Apostila Analise Estrutura Isostática Tópicos 1, 2 e 3

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Analise de Estruturas Isostáticas 
Tópicos 1, 2 e 3 
 
 
 
Prof. Rogério Todeschini, Eng. Civil, Esp. 
Engenharia Civil 
UNISUL 
 
Tubarão –SC 2017 
 
2 
 
Índice 
 
1 - Conceito fundamental 
2 - Estudos das vigas isostáticas 
3 - Estudos das vigas Gerber 
4 - Estudos dos quadrados isostáticos planos (Pórticos) 
5 - Estudos das treliças pelo método de Cremona 
6 - Cálculos das deformações em estruturas isostáticas 
 
 
 
 
1. Conceitos Fundamentais 
 
1.1. Analise estrutural 
 
Parte da mecânica que estuda a determinação dos esforços e das deformações das estruturas que estão 
submetidas a solicitações externas, como cargas, variações térmicas, movimento dos apoios, etc. 
 
Os objetivos da analise estrutural são a determinação dos esforços solicitantes internos (ESI), para 
determinação do dimensionamento dos elementos estruturais; determinação das reações de apoio, 
reciproca das forças reativas de uma estrutura que são utilizadas como força ativa nas estruturas sobre 
as quais está apoiada; e determinação dos deslocamentos em determinados pontos que é a limitação 
da flecha máxima em vigas que é determinada por normas evitando deformações excessivas. Estas 
limitações podem ser por questões funcionais como em cima de janelas e portas ou por questões 
estéticas. 
 
As estruturas se compõem de uma ou mais peças, ligadas entre si e ao meio exterior de modo a formar 
um conjunto estável, capaz de receber solicitações externas absorvê-las internamente e transmiti-las 
até seus apoios, atingindo equilíbrio estático. 
 
Exemplos de estruturas para o Engenheiro Civil: pontes (Figura 1.1), viadutos, passarelas, partes 
resistentes das edificações, barragens, rodovias etc. 
 
 
Figura 1.1 Ponte ferroviária 
Fonte: Estruturas Isostáticas, Almeida, Maria C. F. 
 
1.2 Elementos estruturais 
 
3 
 
As partes resistentes de uma estrutura numa construção são as vigas, pilares, paredes, sapatas e blocos. 
Estes elementos (Figura 1.2) podem ser feitos de diversos materiais porem, o mais comum no Brasil 
é o de concreto armado. 
 
 
Figura 1.2 Exemplos de elementos estruturais numa edificação 
Fonte: Estruturas Isostáticas, Almeida, Maria C. F. 
 
Os elementos estruturais devem apresentar as propriedades de resistência e de rigidez, que significa 
resistir às cargas sem se romperem e sem sofrer grandes deformações de suas dimensões originas. 
Claro que estas cargas estão dentro de certos limites calculados para cada elemento. 
 
Resistência é a capacidade de transmitir as forças internamente do ponto de aplicação até seus apoios, 
sem que ocorra a ruptura da peça. A determinação da capacidade resistente é obtida pela determinação 
dos esforços solicitantes internos (analise estrutural) e tensões internas (resistência dos materiais). 
 
Rigidez é a capacidade de não deformar excessivamente, para o carregamento previsto, para não 
comprometer a funcionalidade e o aspecto da peça. 
1.3 Classificações dos elementos 
 
As peças que compõem as estruturas podem possuir uma, duas ou três dimensões, respectivamente 
unidimensional, bidimensional e tridimensional. 
 
Unidimensionais 
São estruturas reticuladas em que o comprimento prevalece sobre as outras duas dimensões. 
Exemplo barras. (Figura 1.3). 
 
 
Figura 1.3 Estruturas reticulares formadas por elementos unidimensionais 
Fonte: Estruturas Isostáticas, Almeida, Maria C. F. 
4 
 
Bidimensionais 
 
São estruturas cujas duas de suas dimensões prevalecem em relação à terceira. Exemplo: lajes, 
paredes e casca. (Figura 1.4) 
 
 
Figura 1.4 Exemplos de elementos estruturais numa edificação 
Fonte: Estruturas Isostáticas, Almeida, Maria C. F. 
 
Tridimensionais 
 
Estruturas maciças onde as três dimensões se comparam, isto é, três dimensões são consideradas. 
 
 
Figura 1.5 Exemplos de elementos estruturais numa edificação 
Fonte: Estruturas Isostáticas, Almeida, Maria C. F. 
 
 
1.4 – Grandezas fundamentais 
 
1.4.1 – Forças 
 
As forças são grandezas vetoriais, caracterizadas por direção, sentido, intensidade e ponto de aplicação. Sua 
unidade, no sistema SI é o N (Newton). Normalmente utilizamos em Engenharia Estrutural a tonelada-força, 
cujo símbolo é tf. 
 
F = m.a 
 
Conversão: 1 kgf ~ 10 N 1 tf ~ 10.000N ou 10KN 10 kgf/cm² ~ 1 Mpa 1 Pa = 1 N/m² 
 
 
1.4.2 – Momento 
 
Momento é uma grandeza vetorial que apresenta direção, sentido, intensidade e ponto de aplicação. O Vetor 
M da figura 1.6 é produto vetorial do módulo da força pela distância do ponto O à linha de ação da força (
OAr
) pelo 
sen
. Sua direção é perpendicular ao plano P que contem a reta da força F e o ponto O e o sentido 
da rotação de F em torno de O é dado pela regra da mão direita. (figura 1.6) 
5 
 
M
 = |
oar

| x |
F
 |sen α, 
 
Em outras palavras, o momento é o valor cuja intensidade é o produto da força F pela menor distância d ao 
ponto O. d = 
oar

Sen 90º (figura 1.7). 
 
 
 
 
Figura 1.6 Representação do vetor momento M 
 
 
 
Figura 1.7 Representação do momento 
Fonte: Estruturas Isostáticas, Sussekinde, José Carlos Fonte: Estruturas Isostáticas, Sussekinde, José Carlos 
 
A figura 1.8 ilustra o fato de que existe uma tendência de rotação (momento) em torno de um ponto devido 
ao valor da força e de sua distância ao ponto, sendo diretamente proporcional a ambos. Este efeito é 
chamado de momento. Neste caso encontra-se em equilíbrio (Mc = 10x2 – 5x4 = 0, olhando pela seção da 
esquerda). 
 
Figura 1.8 Tendência de rotação em tono do ponto C 
Fonte: Estruturas Isostáticas, Sussekinde, José Carlos 
 
1.5 Classificações dos esforços 
 
Os esforços ou ações são classificados em esforços solicitantes, vistos na analise estrutural e esforços 
resistentes vistos na resistência dos materiais. (Figura 1.8) 
 
Solicitantes Resistente 
Externos Internos 
Tensões normais e 
Tangencias 
 (ou suas resultantes) 
Diretos Indiretos 
Forças e Momentos 
Ativos e reativos 
Temperatura, recalque e 
variação do comprimento 
Forças: N, Qx, Qy 
Momentos: T, My e Mz 
Figura 1.8 Esforços solicitantes e resistentes 
Fonte: Estruturas Isostáticas, Almeida, Maria C. F. 
 
O objetivo da engenharia civil, por meio do cálculo estrutural é garantir que os esforços resistentes internos 
(ERI) sejam maiores que os esforços solicitantes internos (ESI). 
 
ERI > ESI 
6 
 
 
1.6 Forças aplicadas 
 
As forças aplicadas são as cargas aplicadas nas estruturas, conhecidas também como carregamentos ou 
esforços solicitantes externos. A NBR 6120 regulamenta as Cargas para Cálculo de Estrutura de Edificações 
no Brasil. 
 
 
1.6.1 Classificação das cargas 
 
Quanto à posição as cargas podem ser fixas, que não mudam de posição, exemplo as cargas das edificações; 
ou móveis, cargas que mudam de posição, exemplo veículos nas pontes e viadutos. 
 
Quanto à duração as cargas podem ser permanentes como o peso próprio; ou acidentais que podem ou não 
agir sobre as estruturas como peso das pessoas, móveis etc. 
 
Quanto à forma de aplicação as cargas podem ser concentradas quando se aplica em um ponto da estrutura; 
e distribuídas se aplica ao longo de um comprimento da estrutura. 
 
Quanto à variação no tempo as cargas podem ser estáticas que não vaiam no tempo; dinâmicas quando 
temos que considerar a variação no tempo como os ventos, correntes marítimas, explosões e terremotos. 
 
 
1.7 Estruturas reticulares 
 
São estruturas constituídas por barras (elementos unidimensionais) interconectadas por nós que podem ser 
reticulados ou rígidos. (figura 1.7) 
 
 
Figura1.7 Exemplos de barras e nós em estruturas reticuladas 
Fonte: Estruturas Isostáticas, Almeida, Maria C. F. 
Os nós reticulados permitem rotação relativa das barras a ele conectadas e os nós rígidos são os que não 
permitem rotação das barras a ele conectadas. (figura 1.8) 
 
 
Figura 1.8 Classificação dos nós nas estruturas 
7 
 
No nó rígido o ângulo formado pelas barras é o mesmo depois da deformação e no nó articulado, devido à 
rotação relativa, o ângulo é diferente depois da deformação. 
 
As barras podem ter eixos retos ou curvos e seção transversal constante ou variável. (Figura 1.9) 
 
 
Figura 1.9 Classificação das barras 
 
 
 
1.8 Condições de equilíbrio 
 
Uma força aplicada sobre um corpo provoca uma tendência de deslocamento linear ou translação e um 
momento aplicado a este corpo provoca uma tendência de deslocamento angular ou rotação. 
 
Para um corpo, submetido a um sistema de forças, estar em equilíbrio, é necessário que as forças e 
momentos não provoquem nenhuma tendência de translação nem rotação a este corpo respectivamente. 
 
 
1.9 - Graus de liberdade 
 
A ação estática de um sistema de forças no espaço, em relação a um dado ponto, é igual à que a sua 
resultante provoca a tendência de translação e à de seu momento resultante em relação àquele ponto 
provoca uma tendência de rotação. 
No espaço, uma translação pode ser expressa por suas componentes segundo três eixos (x, y e z), assim como 
a rotação, cada uma em torno de um desses eixos. Dizemos que uma estrutura no espaço possui um total de 
seis graus de liberdade (três translações e três de rotações). 
Para estruturas planas, o mais frequente em analise estrutural, existe três graus de liberdade a combater, 
segundos os eixos x e y: os movimentos de translação em direção aos eixos x e y e o de rotação em torno de 
um eixo perpendicular ao plano. 
 
 
1.10 - Apoio 
 
Estes graus de liberdade precisam ser restringidos, de modo a evitar toda tendência de movimento da 
estrutura, a fim de manter o equilíbrio. Esta restrição se da por meio dos apoios, que devem impedir as 
diversas tendências possíveis de movimento, através do aparecimento de forças reativas ou reações de 
apoios sobre a estrutura nas direções dos movimentos que impedem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
Tipos de apoio em modelos planos de estruturas 
 
Apoio 1º gênero (simples) Apoio 2º gênero (articulação ou 
rótula) 
3º gênero (Engaste) 
 
 
Impede: movimento vertical da 
estrutura (Y) 
Permite: movimento horizontal (x) 
e rotação no nó (Z) 
 
 
Impede: movimento vertical e 
horizontal da estrutura (X e Y) 
Permite: rotação no nó (Z). 
 
 
Impede: movimento vertical 
(y), horizontal (X) e rotação 
no nó (Z). 
Permite: nenhum movimen-
to 
 
Rv: Reação de apoio Vertical (Y); Rh: Reação de apoio Horizontal (X); M: Reação de apoio de rotação no nó (Z). 
Fonte: do autor 
 
 
 
1.10 Equações de equilíbrio da estática 
 
Pela segunda lei de Newton, as resultantes de forças e momentos, englobando cargas externas e reações de 
apoio, devem ser nulas. 
 
No espaço 
 
 Equilíbrio das forças 
0F
x

 ; 
0F
y

 ; 
0F
z

 
 
Equilíbrio dos momentos 
0Mx 
; 
0My 
; 
0Mz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
No plano 
 
Equilíbrio das forças 
0F
x

 ; o somatório das cargas horizontais ativas e reativas seja igual; 
 
0F
y

 ; o somatório das cargas verticais ativas e reativas seja igual; 
 
Equilíbrio do momento 
 
0M A 
; o somatório dos momentos em qualquer ponto da estrutura seja nulo. 
 
 
1.11 Cargas em estruturas reticulares 
 
1.11.1 Cargas concentradas 
 
Quando uma carga (força ou momento) se distribui numa área pequena em comparação com a estrutura 
dizemos que é uma carga concentrada. 
 
1.11.2 Cargas distribuídas 
 
Quando uma carga (força ou momento) se distribui ao logo de uma superfície muito pequena em relação à 
outra dimensão dizemos que uma carga distribuída. Exemplo é a distribuição da ação da laje em cima de uma 
viga. Quando esta laje é engatada na viga então temos um momento aplicado distribuído. 
 
 A unidade de força ao longo de em comprimento é: tf/m, kN/m e outras. 
 
A unidade de momento distribuído ao longo de um comprimento é: tf.m/m, kN.m/m e outras. 
 
 
 
 
 
10 
 
1.11.2.1 Resultado dos carregamentos distribuídos 
 
A resultante da carga distribuída (q) ao logo de um comprimento L é a área delimitada pela função q(x) 
aplicada no centro de gravidade do diagrama q(x). A Figura 1.9 A e Figura 1.9 B, mostram os diversos tipos 
de carregamentos distribuídos e a suas resultantes. 
 
 
Carregamento Uniforme Carregamento triangular 
 
 
Resultante Resultante 
 
 
Figura 1.9 A – Resultante do carregamento uniforme e triangular 
Carregamento Trapezoidal Carregamento qualquer 
 
Resultante Resultante 
 
 
Figura 1.9 A – Resultante do carregamento trapezoidal e qualquer 
 
 
 
 
11 
 
1.12 Vigas 
 
 
 
1.13 Reações de apoio 
 
As reações de apoio são forças ou momentos reativos dos apoios com direção e aplicação conhecidos e de 
intensidade e sentidos tais que equilibram o sistema de forças e momentos ativos. 
 
Para determinar as reações de apoio: 
 
a. Adotar um sistema de eixos ortogonais; 
b. Indicar nos apoios da estrutura as cargas reativas atribuindo um sentido 
c. Utilizam-se as equações da estática (
0 xF
 ; 
0 yF
 ; 
0 AM
) 
 
Exemplo 1: Cálculo da viga Biapoiada para força concentrada 
 
a. Esquema simplificado b. Sistema referencial X, Y e Z 
 
 
 
 
 
12 
 
c. Reações de apoio – sentidos arbitrados 
 
 
 
d. Cálculo das reações de apoio com base nas equações de equilíbrio da estática da estática 
 
(a) 
0Fx 
 

 
05HA 
 

 
tf5HA 
 
(b) 
0Fy 
 

 
0V20V BA 
 

 
tf20VV BA 
 
(c) 
0MA 
 

 
03x2012xVB 
 

 
tf5VB 
 
(d) 
tf20VV BA 
 

 
tf205VA 
 

 
tf15VA 
 
 
 
 
O sinal negativo da reação horizontal no ponto A (
tf5HA 
), indica que convencionamos o sentido da 
reação de forma invertida. 
 
Exemplo 2: Cálculo das reações de apoio da viga Biapoiada para força distribuída 
 
a. 
 
 
 
a. Transformar a carga aplicação distribuída em 
carga concentrada no centro geométrico da área da 
carga. 
 
b. Cálculo das reações de apoio com base nas 
equações de equilíbrio da estática 
 
 
(a) 
0Fy 
 

 
0240  BA VV
 

 
tfVV BA 240
 
(b) 
0MA 
 

 
0126240  xVx B
 

 
tfVB 120
 
(c) 
tfVV BA 240
 

 
tfVA 240120 
 

 
tfVA 120
 
13 
 
 
Genericamente: 
2
qL
VV BA 
 
 
 
b. Triangular 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c. Triangular 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
 
d. Trapezoidal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e. Momento 
 
Observação: As forças reativas formam um binário que equilibra o momento aplicado e que o binário das 
forças reativas será sempre o mesmo, independente da posição do momento aplicado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
f. Momento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.13 Estaticidade e estabilidade 
 
Estes conceitos dever ser entendidos de forma simultânea: 
 
Estabilidade: é a classificação das estruturas em estáveis: quando as forças reativas são capazes de equilibrar 
o sistema de forças ativas; instáveis: quando os números de forças reativas forem em número insuficientes 
sendo incapaz de deixar o sistema de forças ativas equilibrado. 
 
Estaticidade: As estruturas podem ser Hipostáticas(sempre instáveis), Isostática e Hiperestáticas (estas duas 
sempre estáveis). 
 
a. Estrutura isostática (estrutura estável) 
 
Quando o número de reações de apoio a determinar é igual ao número de equações de equilíbrio (equações 
da estática 
0 xF
 ; 
0 yF
 ; 
0 AM
). Chega-se a um sistema de equações determinado que resolva 
o problema. Dizemos então, que a estrutura é isostática, ocorrendo uma situação de equilíbrio estável. 
b. Estrutura hiperestática (estrutura estável) 
 
Quando o número de reações de apoio (incógnitas) a determinar é maior do que número de equações de 
equilíbrio (equações da estática). Neste caso, teremos menor número de equações que de incógnitas, 
conduzindo a um sistema indeterminado. As equações da Estática não serão, então, suficientes para a 
determinação das reações de apoio, sendo necessárias equações adicionais de compatibilidade de 
deformações visto em teoria das Estruturas II. “A estrutura continua em equilíbrio estável (aliás, poderíamos 
dizer, um pouco impropriamente, que o equilíbrio é mais que estável)”. (Fonte: Curso de Analise Estrutural, 
Sussekind) 
 
c. Estrutura hipostática (estrutura instável) 
 
Quando o número de reações de apoio a determinar é menor do que número de equações de equilíbrio 
(equações da estática). Os apoios são inferiores ao necessário para impedir todos os movimentos possíveis 
da estrutura e se torna instável. Exemplo, fechadura de porta. Não se calcula para estruturas estáticas. 
 
1.14 Esforços (forças) seccionais – Esforços Solicitantes Internos (ESI) 
Esforços simples atuantes em uma seção. Vemos que é indiferente calcular os esforços simples atuantes 
numa seção, entrando com as forças da parte à esquerda ou da parte à direita da seção. Na prática, usaremos 
as forças do lado que nos conduzir ao menor trabalho de cálculo. 
16 
 
• Esforço ou força normal N 
• Esforço ou força cortante V 
• Momento fletor M 
• Momento de torção T 
 
 
1.14.1 Convenções de sinais 
 
A - Força normal (N) 
 
 
Observação: para força normal o sinal é positivo quando traciona as fibras e negativos quando comprime as 
fibras. 
 
B - Esforço cortante (Q) 
 
 
 
 
C - Momento fletor (M) 
 
 
17 
 
D - Momento de torção 
 
 
 
 
 
2 - Estudos das vigas isostáticas 
 
São estruturas compostas por barras (elementos unidimensionais) interconectadas por nós rígidos ou 
articuladas. Quando todos os nós são rígidos é dito que é uma viga simples e quando temos nós rígidos e 
articulados dizemos que a viga é composta. A figura abaixo mostra exemplo de vigas simples. 
 
 
 
 
Convenção de sinal para vigas 
 
Momento Fletor 
 
Os momentos fletores são positivos quando entrando com as forças e momentos a esquerda de 
uma seção transversal, a resultante momento na seção for sentido horário e quando entrando 
pela direita, a resultante momento na seção for anti-horário. (Olhando com a cabeça voltada das 
fibras inferiores para as superiores). 
 
Quando for contrário ao indicado o momento fletor é negativo. 
 
 
 
18 
 
Força Cortante 
 
Esforços cortantes são positivos quando, entrando com as forças à esquerda de uma seção 
transversal, a resultante das forças na direção vertical local for no sentido para cima e entrando 
com as forças pela direita a resultante for no sentido para baixo. (Olhando com a cabeça voltada 
das fibras inferiores para as superiores). 
 
Quando for contrário ao indicado a esforço cortante é negativo. 
 
 
 
Observação: Uma vez calculada as reações de apoio de modo correto, tanta faz entrarmos com as forças ou 
momentos pelo lado direito ou esquerdo de uma seção para determinar os esforços internos. Em geral 
procura-se determinar os valores dos esforções internos pelo lado que for mais simples. 
 
Diagramas das solicitações internas 
 
DMF - Diagrama dos momentos fletores 
 
O diagrama de momento fletor é sempre desenhado do lado da fibra tracionada. Os momentos são 
positivos quando tracionam as fibras inferiores e negativas quando tracionam as fibras superiores. 
 
 
DFQ – Diagrama da força cortante 
 
No diagrama da força cortante os valores positivos são desenhados do lado das fibras 
superiores e negativos do outro lado. 
 
 
 
Onde calcular o Momento Fletor 
1 – Início e final das barras. 
2 – Início e final das cargas distribuídas. 
3 – Embaixo das cargas concentradas. 
4 – Um pouco antes e um pouco depois da carga momento aplicada. 
5 – Nos nós para cada uma das barras que neles concorrem. 
 
Onde calcular a força cortante 
1 – Início e final das barras. 
2 – Início e final das cargas distribuídas. 
3 – Um pouco antes e um pouco depois das cargas concentradas. 
4 – Nos nós para cada uma das barras que neles concorrem. 
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2.1 - Vigas Biapoiada 
2.1.1 Carga Concentrada 
 
Diagrama do momento fletor e diagrama da força cortante da Viga Biapoiada, submetida a uma carga 
concentrada P, atuante na seção S, abaixo. 
 
 
 
Das equações de equilíbrio da Estática (∑Ma = O e ∑Mb = O), obtemos as reações de apoio. 
 
 + ∑ 𝑀𝐵 = 0 → 𝑉𝐴 . 𝑙 − 𝑃. 𝑏 = 0 → 𝑉𝐴 = 
𝑃.𝑏
𝑙
 
 
 + ∑ 𝑀𝐴 = 0 → 𝑉𝐵 . 𝑙 − 𝑃. 𝑎 = 0 → 𝑉𝐵 = 
𝑃.𝑎
𝑙
 
 
Como sabemos que em A e em B os momentos são nulos (em A, olhando para seção da esquerda d=0, 
portanto M=Fx0 e em B olhando para direita o mesmo raciocino), bastará conhecer seu valor em S para 
termos definido o Diagrama de Momento Fletor – DMF, então obtemos: Ms = Pab/l 
 
 + 𝑀𝑠 = 𝑉𝐴 . 𝑎 = 
𝑃𝑏
𝑙
 . 𝑎 = 
𝑃𝑎𝑏
𝑙
 
ou 
 
 +𝑀𝑠 = 𝑉𝑏 . 𝑏 = 
𝑃𝑎
𝑙
 . 𝑏 = 
𝑃𝑎𝑏
𝑙
 
 
Quanto ao diagrama de esforços cortantes (DFQ), será dado no trecho AS por Q = + Va = Pb/l e, no trecho 
SB, por Q = - Vb = -Pa/l. 
 
 
Exercício resolvido R2.1 
 
a) obter os diagramas dos esforços solicitantes internos para a viga abaixo 
 
 
20 
 
Solução R2.1: 
 
Calcular as reações de apoio 
 
 
 + ∑ 𝑀𝐸 = 0 → 𝑉𝐴 𝑥 13 − 5𝑥9 − 3𝑥5 − 9𝑥2 = 0 → 𝑉𝐴 = 
78
13
 → 𝑉𝐴 = 6 𝑡𝑓 
 
 
 + ∑ 𝑀𝐴 = 0 → 𝑉𝐸 𝑥 13 − 9𝑥11 − 3𝑥8 − 5𝑥4 = 0 → 𝑉𝐸 = 
143
13
 → 𝑉𝐸 = 11 𝑡𝑓 
Ou 
 
+ ∑ 𝐹𝑉 = 0 → 𝑉𝐸 + 6 − 5 − 3 − 9 = 0 → 𝐸 = 11 𝑡𝑓 
 
 
 
Calcular os esforços cortantes Convenção de sinal DFQ 
 
+ 𝑄𝐴
𝐴 = 0 
 
+ 𝑄𝐴
𝐷 = 6 𝑡𝑓 
 
+ 𝑄𝐵
𝐴 = 6 𝑡𝑓 
 
+ 𝑄𝐵
𝐷 = 6 − 5 = 1 𝑡𝑓 
 
+ 𝑄𝐶
𝐴 = 1 𝑡𝑓 
 
+ 𝑄𝐶
𝐷 = 1 − 3 = −2𝑡𝑓 
 
+ 𝑄𝐷
𝐴 = −2 𝑡𝑓 
 
+ 𝑄𝐷
𝐷 = −2 − 9 = −11 𝑡𝑓 
 
+ 𝑄𝐸
𝐴 = −11 𝑡𝑓 
 
+ 𝑄𝐸
𝐷 = −11 + 11 = 0 
 
 
DFQ (Diagrama da Força Cortante) 
 
 
 
 
21 
 
 
 
Calcular os momentos fletores Convenção de sinal DMF 
 
 + 𝑀𝐴 = 0 
 
 + 𝑀𝐵 = 6 𝑥4 = 24 𝑡𝑓. 𝑚 
 
 + 𝑀𝐶 = 6 𝑥 (4 + 4) − 5𝑥4 = 28 𝑡𝑓. 𝑚 
 
 + 𝑀𝐷 = 6 𝑥 (4 + 4 + 3) − 5𝑥(4 + 3) − 3𝑥3 = 22 𝑡𝑓. 𝑚 ou + 𝑀𝐷 = 11𝑥2 = 22 𝑡𝑓. 𝑚 
 
 + 𝑀𝐸 = 0 
 
 
DMF (Diagrama do Momento Fletor) 
 
 
 
2.1.2 – Carga distribuída 
 
Determinar o diagrama do momento fletor e diagrama da força cortante da Viga Biapoiada, submetida a uma 
carga distribuída q, da estrutura abaixo. 
 
 
Das equações de equilíbrio da Estática (∑Ma = O e ∑Mb = O), obtemos as reações de apoio. 
 
 + ∑ 𝑀𝐴 = 0 
 
𝑉𝐵. 𝑙 − 𝑞. 𝑙.
𝑙
2
= 0 → 𝑉𝐵 = 
 𝑞.𝑙²
2
.
1
𝑙
 → 𝑉𝐵 = 
 𝑞.𝑙
2
 
 
 
 + ∑ 𝑀𝐵 = 0 
 
𝑉𝐴. 𝑙 − 𝑞. 𝑙.
𝑙
2
= 0 → 𝑉𝐴 = 
 𝑞.𝑙²
2
.1
𝑙
 → 𝑉𝐴 = 
 𝑞.𝑙
2
 
 
Então, em barra biapoiada com carga distribuída as reações de apoio são: 
 
22 
 
 𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 = 
 𝑞.𝑙
2
 
 
Os momentos fletores serão dados por uma parábola do 2º grau, passando por zero em A e B e passando por 
um máximo em 𝑙 2⁄ (seção onde o momento é máximo). 
 
 + 𝑀𝑚á𝑥 = 𝑉𝐴.
𝑙
2
− 𝑞.
𝑙
2
.
𝑙
4
 → + 𝑀𝑚á𝑥 =
𝑞.𝑙
2
.
𝑙
2
−
 𝑞.𝑙²
8
 → + 𝑀𝑚á𝑥 =
𝑞.𝑙²
4
−
 𝑞.𝑙²
8
 
 
 + 𝑀𝑚á𝑥 =
2.𝑞.𝑙2 − 𝑞.𝑙²
8
 → + 𝑀𝑚á𝑥 =
𝑞.𝑙²
8
 → 𝑀𝑚á𝑥 =
𝑞.𝑙²
8
 
 
 
Os esforços cortantes serão dados por uma linha reta que fica determinada pelos seus valores extremos. 
 
+ 𝑄𝐴
𝐴 = 0 
 
+ 𝑄𝐴
𝐷 =
𝑞.𝑙
2
 
 
+ 𝑄𝐵
𝐴 =
𝑞.𝑙
2
− 𝑞. 𝑙 = 
𝑞.𝑙−2.𝑞.𝑙
2
= − 
𝑞.𝑙
2
 
 
 + 𝑄𝐵
𝐷 = −
𝑞.𝑙
2
+
𝑞.𝑙
2
= 0 
 
Observação: 
 
 O momento é máximo onde o cortante é nulo 
 O momento fletor cresce quando o cortante é positivo e decresce quando o cortante é negativo. 
 O diagrama de momentos fletores indica sempre o lado da fibra que é tracionado. 
 
2.2.1.1 - Equação do momento fletor e força cortante 
 
Exercício resolvido R2.2 
 
 
Reações de apoio 
 
 + ∑ 𝑀𝐴 = 0 
 
𝑉𝐵. 7 − 5 . 7 . 3,5 = 0 → 𝑉𝐵 =
122,5
7
 → 𝑉𝐵 = 17,5 𝑡𝑓 
 
 
 + ∑ 𝑀𝐵 = 0 
 
𝑉𝐴. 7 − 5 . 7 . 3,5 = 0 → 𝑉𝐴 =
122,5
7
 → 𝑉𝐴 = 17,5 𝑡𝑓 
 
Ou 𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 = 
 𝑞.𝑙
2
 → 𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 = 
 5 𝑥 7
2
 → 𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 = 17,5 𝑡𝑓 
23 
 
 
 
 
Momento Fletor 
 
Convenção de sinal 
 
 
 + 𝑀𝑆 = 17,5. 𝑋 − (5. 𝑋.
𝑋
2
) 
 
𝑀𝑆 = 17,5. 𝑋 − 2,5𝑋
2 Equação da parábola 
 
 
 + 𝑀𝐴 = 17,5 𝑥 0 − 2,5(0)
2 = 0 
 
 + 𝑀3,5 = 17,5 𝑥 3,5 − 2,5(03,5)
2 = 30,625 𝑡𝑓. 𝑚 Momento no centro da viga (Momento máximo) 
 
 + 𝑀𝐵 = 17,5 𝑥 7 − 2,5(7)
2 = 0 
 
Momento máximo usando 𝑀𝑚á𝑥 =
𝑞.𝑙²
8
 
 
𝑀𝑚á𝑥 =
5 𝑥 7²
8
 → 𝑀𝑚á𝑥 = 30,625 
Ou calcular o momento máximo, conforme abaixo: 
 
1) Fazer primeiro o gráfico do esforço cortante; 
2) Calcular "x", local do cortante nulo, usando regra de três no triangulo que forma a linha inclinada do 
gráfico. 
3) Calcular o momento neste ponto, força pela distância, como normalmente se faz. 
 
Força Cortante 
 
Convenção de sinal 
 
 
A força cortante é a derivada do momento fletor, então a equação da força cortante é: 
 
𝑀𝑆 = 17,5. 𝑋 − 2,5𝑋
2 Equação da parábola 
 
𝑄𝑆 = 17,5 − 5𝑋 Equação da reta 
 
 
+ 𝑄𝐴 = 17,5 − 5 𝑥 0 = 17,5 𝑡𝑓 
 
+ 𝑄3,5 = 17,5 − 5 𝑥 3,5 = 0 
 
+ 𝑄𝐵 = 17,5 − 5 𝑥 7 = −17,5 𝑡𝑓 
 
24 
 
Notas: 
 
 O momento é máximo onde a cortante é nulo 
 O momento fletor cresce quando o cortante é positivo e decresce quando o cortante é negativo. 
 O diagrama de momentos fletores indica sempre o lado da fibra que é tracionado. 
 
Diagramas de esforços solicitantes internos 
 
Convenção do diagrama do momento fletor - DMF 
 
Convenção do diagrama da força cortante - DFQ 
 
DMF e DFQ 
 
 
1) fazer primeiro o gráfico do esforço cortante; 
2) calcular "x", local do cortante nulo, usando regra de três no triangulo que forma a linha inclinada do 
gráfico. 
3) calcular o momento neste ponto, força pela distância, como normalmente se faz. 
 
2.2 Viga em balanço 
 
Exercício resolvido R2.3 
 
 
Reações de apoio 
25 
 
 
 
Momento Fletor Força Cortante 
 
 
 
Diagramas de esforços solicitantes internos 
 
 
 
Exercício resolvido R2.4 
 
 
 
26 
 
Reações de Apoio 
 
 
 
Momento Fletor 
 
 
 
Força Cortante 
 
 
 
Diagramas de esforços solicitantes internos 
 
27 
 
 
 
Exercício resolvido R2.5 
 
Determinar os diagramas dos esforços solicitantes internos 
 
 
 
Reações de apoio 
 
 
 
28 
 
Momento fletor 
 
 
 
Força Cortante 
 
 
Diagramas de esforços solicitantes internos 
 
 
29 
 
Exercício resolvido R2.5-1 
 
 
 
 
 
30 
 
Diagramas dos Esforções Solicitantes Internos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 
 
Exercício resolvido R2.6 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
Exercícios propostos 
 
Exercicio - P2.1 
 
 
 
 
 
 
 
Exercicio - P2.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício proposto - P2.3 
 
 
 
 
 
34 
 
3 - Estudos das vigas Gerber 
 
Definição: É uma associação de vigas onde vigas sem estabilidade sustentam-se em vigas estáveis (ou com 
estabilidade) 
 
 
 
 
No carregamento do trecho CD não tem estabilidade própria, pois as cargas, para serem equilibradas, 
necessitarão de reações de apoio em C e em D. Este último ponto é um apoio do 1º gênero e pode absorver 
uma força vertical; caberia, então, ao ponto C absorver uma força vertical e uma horizontal, o que ele não é 
capaz de fazer, mas é capaz, entretanto, de transmitir estas forças ao trecho ABC. Fica, então, a estabilidade 
do trecho CD condicionada à estabilidade do trecho ABC que, em se tratando de uma viga biapoiada com 
balanço, é estável. 
 
Se tivermos carregado o trecho ABC, a carga solicitará apenas este trecho, pois, em se tratando de um trecho 
com estabilidade próprio nele mesmo, encontrara o carregamento suas reações equilibrantes. 
 
O ponto C é, então, um ponto de transmissão de forças, não transmitindo momento algum (pois não impede 
nenhuma rotação à estrutura) e é representado, pois, por uma rótula, ficando o esquema estático da 
estrutura representado conforme abaixo: 
 
 
 
 
 
Para resolvê-la, basta fazer sua decomposição nas vigas que a constituem, resolvendo inicialmente aquelas 
sem estabilidade própria e, após, as dotadas de estabilidade própria, para as cargas que lhe estão 
diretamente aplicadas, acrescidas, para estas últimas, das forças transmitidas pelas rótulas. 
 
As vigas Gerber tiveram seu aparecimento ditado por motivos de ordem estrutural e de ordem construtiva. 
35 
 
 
 
Exemplos de decomposição de vigas de Gerber 
 
A) 
 
 
 
 
 
B) 
 
 
 
C) 
 
36 
 
 
 
 
 
Exercício resolvido 3.1 
 
 
 
 
 
37 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
Exercício resolvido R3.2 
 
 
 
Solução 
 
Decomposição das vigas que as constituem 
 
 
Resolver 1º as vigas sem estabilidade 
 
40 
 
 
41 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
 
44 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
Exercícios propostos 
 
 
Exercício P3.1 
 
 
 
 
 
Exercício P3.2 
 
 
 
 
 
Exercício P3.3