equações fundamentais da fisic fluid

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Equações Fundamentais da Mecânica dos Fluidos
Conservação de massa
Conservação de momento linear
 Conservação do momento angular Conservação de energia
Prof. Maximiliano Haymann
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Introdução
A principal finalidade da Hidrodinâmica é o estabelecimento das leis que regem os movimentos dos fluidos. Iremos, inicialmente apresentar 4 equações básicas da física aplicadas para o estudo mecânica dos fluidos.
 Conservação de massa (equação de continuidade)
 Conservação de momento linear (2ª Lei de Newton e a quantidade de movimento linear)
 Conservação de momento angular (princípio do momento da quantidade de movimento)
 Conservação da energia (1ª Lei da Termodinâmica)
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Conceitos Básicos
Sistema: O sistema é definido como sendo certa quantidade fixa e definida de massa. 
 Os limites do sistema podem ser fixos ou móveis, mas não se verifica transporte de massa através desses limites. Contudo, calor e trabalho podem atravessar os limites do sistema, porém a quantidade de matéria no interior desses limites permanecerá a mesma. 
Fronteira do sistema: superfície que delimita o sistema
Vizinhança do sistema: tudo que pertence ao exterior e interage com o sistema.
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Conceitos Básicos
 Volume de controle: região do espaço escolhida para a realização da análise termodinâmica, conveniente para analisar dispositivos ou equipamentos onde há fluxo de massa.
 Superfície de controle: análoga à fronteira do sistema, porém com a possibilidade de existir fluxo mássico através dela.
 Propriedade: é uma quantidade que depende do estado do sistema e é independente do caminho pelo qual o sistema chegou ao estado considerado. O conjunto de propriedades define o estado termodinâmico do sistema. 
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Conceitos Básicos
Propriedade extensivas: a propriedade dependente da massa. Ex: V, M. 
Propriedade intensivas: a propriedade independente da massa, são as chamadas propriedades específicas. Ex: ν, , P, T. 
Regime permanente: 
 1. O VC não se move em relação ao sistema de coordenadas.
 2. O estado da massa, em cada ponto do VC não varia com o tempo.
 3. O fluxo e o estado da massa que cruza a SC não varia com o tempo. As taxas nas quais o calor e trabalho cruzam a SC permanecem constantes.
Regime uniforme:
1. O VC não se move em relação ao sistema de coordenadas.
2. O estado da massa interna ao VC pode variar com o tempo. (porém, em qualquer instante o estado é uniforme)
3. O estado da massa que cruza a SC não varia com o tempo, mas as vazões podem variar com o tempo
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Equações Básicas para o Sistema
 Conservação de massa (a massa no sistema é cte)
 
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Equações Básicas para o Sistema
 Conservação de energia: dE = Q - W 
 Conservação do momento angular (H)
 Obs: o torque resultante sobre um sistema é igual à taxa de variação temporal, a derivada no tempo, do momentum angular. Se H = cte, T = 0 
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Formulação para o Volume de Controle
O método do VC é usado, pois em mecânica dos fluidos, nos preocupamos com escoamento de fluidos através de dispositivos como compressores, turbinas entre outros  focaliza a atenção numa quantidade de massa identificável.
Para estabelecer uma relação matemática que modele a variação de qualquer propriedade extensiva, a qual chamaremos N, para o volume de controle.
Consideramos:
 = N /m 
(a mesma propriedade, só que intensiva, independente da massa) 
m =  V (onde  = massa específica e V = volume) 
N = ∫M(sist)  dm = ∫V(sist)   dV 
Onde: dV é um elemento de volume. 
Termos então o seguinte:
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Formulação para o Volume de Controle
Esta relação poder ser deduzida usando um processo limite no qual o sistema e o VC coincidam em um certo instante inicial e um instante t2 com o deslocamento do VC.
A relação entre a variação da propriedade no sistema e a formulação para volume de controle pode ser escrita da seguinte forma:
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Formulação para o Volume de Controle
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Conservação de Massa no VC
Como , por definição, no sistema não existe variação de massa, então:
A primeira parcela da direita modela o efluxo de massa que atravessa a superfície de controle e a segunda é a variação com o tempo da massa dentro do volume de controle. 
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Conservação de Massa no VC
Exemplo: considerando a situação bastante comum em que o fluido entra em um dispositivo, passando por um tubo de admissão e o abandona através de um segundo tubo, em regime permanente e unidimensional.
Em regime permanente o primeiro termo da equação à direita é igual a zero.
Como  e V são constantes em cada seção:
0 = 1V1 ∫A1 dA - 2V2 ∫A2 dA
Integrando, obtemos a conhecida equação:
1 V1 A1 = 2 V2 A2
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Conservação do Momento Linear no VC
Equação da quantidade de movimento
Considerando a segunda Lei de Newton para um sistema que se move em relação a um sistema de coordenadas inerciais:
Onde: Fs  forças de superfície, ex: força devida à pressão atmosférica. 
 Fb  forças de campo, ex: força gravitacional
 
 
Temos:
 
 
Obs: as forças serão avaliadas em cada direção a depender do volume de controle escolhido
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Conservação do Momento Linear no VC
Equação da quantidade de movimento
Equações básicas:
Para escoamentos permanentes:
Procuramos a força na direção x:
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Conservação do Momento Linear no VC
Equação da quantidade de movimento
Então a força horizontal sobre o suporte é Kx = -Rx = 2,25 kN
Continuando...
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Conservação do Momento Angular no VC
Equação do momento da quantidade de movimento
Como o princípio do momento da quantidade de movimento para um sistema em um referencial inercial é:
 
 
Onde:
 
Temos:
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Conservação da Energia no VC
1ª Lei da Termodinâmica
Temos:
A taxa de trabalho no VC pode ser subdividida em 4 classificações :
Ws  trabalho de eixo
.
Wnormal  trabalho realizado por tensões normais na SC (Wn = ∫nn V dA)
Wcisalhamento  trabalho de eixo por tensões de cisalhamento na SC 
Woutros  outros trabalhos
.
.
.


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Conservação da Energia no VC
1ª Lei da Termodinâmica
Temos:
Incluindo o componente do trabalho realizado por tensões normais no lado direito da equação e substituindo nn por –p, temos:
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Bibliografia
 
1. FOX, R., McDONALD; Introdução à Mecânica dos Fluidos; 6ª Edição. Rio de Janeiro; Editora LTC; 662 p; 1997.
2. SHAMES, Invirg. Mecânica dos Fluidos – Princípios Básicos. São Paulo: Edgard Blücher. 1962.
3. SISSON, Leighton, PITTS, Donald; Fenômenos de Transporte; LTC, 2001.
4. VAN WYLEN, Gordon J., SONTAG, Richard E. & BORGNAKKE, Claus. Fundamentos da Termodinâmica. 6ª Edição. Tradução: Euryale de Jesus Zerbini. São Paulo: Edgard Blücher, 2003.