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Universidade Federal de Pernambuco Departamento de Expressão Gráfica Apostila Volume Teórico GEOMETRIA GRÁFICA TRIDIMENSIONAL Autoras: Profª Andiara Lopes Profª Mariana Gusmão 2016 APRESENTAÇÃO e AGRADECIMENTOS Caro(a) Aluno(a), Esta é uma apostila desenvolvida especialmente para os alunos da disciplina Geometria Gráfica Tridimensional, ministrada no Ciclo Básico do Curso de Engenharias da Universidade Federal de Pernambuco. Essa apostila surgiu da necessidade de registrar soluções didáticas encontradas em sala de aula e discussões posteriores realizadas periodicamente por uma equipe de professores que ministram essa disciplina desde 2009. Vale salientar que essa equipe de professores não é fixa e, portanto, não há como registrar nominalmente cada um dos membros que contribuiu com as discussões. Essa apostila aborda três tipos de projeções bastante utilizadas em desenho técnico: Cavaleira, Desenho Isométrico e Sistema Mongeano. Além disso, aborda temas como Vistas Auxiliares, Verdadeira Grandeza e o estudo da Seção Plana nos sólidos básicos. A apostila está dividida em seis capítulos. O primeiro capítulo é introdutório e aborda algumas noções básicas sobre desenho, representação, projeção e perspectiva, bem como materiais de desenho e sua utilização. O segundo capítulo trata da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira. O terceiro capítulo aborda o Desenho Isométrico, que é uma simplificação da Perspectiva Cilíndrica Isométrica. O quarto capítulo tem como tema o Sistema Mongeano de Representação. Finalmente, o quinto e sexto capítulos tratam dos estudos de Verdadeira Grandeza e Seção Plana, respectivamente. Os exercícios foram retirados, em parte, de livros e apostilas, especialmente do livro do professor Mário Duarte e da apostila anterior da disciplina, do professor João Duarte. Outra parte dos exercícios foi retirada de provas anteriores elaboradas pela equipe de professores já citada acima. SUMÁRIO CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 1.1. A Disciplina Introdução ao Desenho 4 1.2. Instrumentos de Desenho 4 1.3. Elementos Básicos do Desenho 6 1.4. O Desenho como Linguagem 7 1.5. Ortoedro de Referência 9 1.6. Sistema de Projeção 11 1.7. Tipos de Projeção 12 1.7.1. Projeção Cônica 13 1.7.2. Projeção Cilíndrica 15 1.8. Aplicabilidade da Perspectiva Cilíndrica 16 CAPÍTULO 2 – Perspectiva Cilíndrica Cavaleira 2.1. Caracterização da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira 19 2.2. Eixos Coordenados 19 2.3. O Eixo y 21 2.4. Parâmetros da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira 22 2.4.1. A Direção da Cavaleira (α) 22 2.4.2. Fator de Deformação (K) 23 2.5. Rotação da Peça 24 2.5.1. Diferença entre Rotação e Variação do Quadrante de Projeção do Eixo y 25 2.5.2. Diferença entre Faces e Vistas 26 2.6. Cilindros e Cones 26 2.6.1. Cilindros 28 2.6.2. Cones 29 2.6.3. O Desenho da Elipse 29 CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 3.1. Caracterização da Axonometria 34 3.2. Caracterização do Desenho Isométrico 35 3.3. Desenho Isométrico na Prática 36 3.4. Os Eixos Coordenados e o Ortoedro de Referência 37 3.4. 1. A Visualização de Todas as Faces 37 3.4.2. Rotação da Peça 38 3.5. Cilindros e Cones 38 3.5.1. O Desenho da Elipse e da Oval 40 CAPÍTULO 4 – A Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 4.1. Introdução 45 4.2. Caracterização da Perspectiva Cilíndrica Ortográfica 46 4.3. Observador, Objeto e Planos de Projeção 48 4.3.1. Primeiro e Terceiro Diedros 49 4.3.2. Segundo e Quarto Diedros 50 4.3.3. Sistemas Alemão e Americano 50 4.4. As Seis Vistas 51 4.5. Os Eixos Coordenados 55 4.6. Visualização das Vistas Mongeanas e da Peça 56 4.7. A Escolha das Vistas 57 4.8. Desenhando as Primeiras Peças em Mongeano 58 4.9. Os Sólidos Básicos: Prismas, Pirâmides, Cilindros, Cones e Esferas 61 4.9.1. Prisma 61 4.9.2. Pirâmides 63 4.9.3. Cilindros 64 4.9.4. Cones 67 4.9.5. Esferas 69 CAPÍTULO 5 – Verdadeira Grandeza 5.1. Definições e Usos 72 5.1.1. Compreendendo as Três Posições Básicas: Paralela, Perpendicular e Oblíqua 72 5.2. Sistema Mongeano e Plano Auxiliar 74 5.3. Mudança de Plano 77 5.4. Caso 1 77 5.5. Caso 2 79 5.6. Caso 3 81 CAPÍTULO 6 – Seção Plana 6.1. Introdução ao Conceito de Seção Plana e Interseção 84 6.1.1. Superfície e Sólido 84 6.1.2. Interseção e Seção 85 6.2. Seção Plana de Sólidos Geométricos Básicos 87 6.2.1. Seção Plana de Prismas 87 6.2.2. Seção Plana de Pirâmides 89 6.2.3. Seção Plana de Cilindros 92 6.2.4. Seção Plana de Cones 96 UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 4 CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 1.1. A Disciplina Introdução ao Desenho O conteúdo dessa disciplina é importante para os estudantes de engenharia porque a prática profissional inclui a resolução de problemas que envolvem a visualização e representação de objetos e construções em diversas escalas nos projetos de engenharia. O principal objetivo da disciplina Introdução ao Desenho é desenvolver as habilidades de visualização espacial, expressão e interpretação gráficas. Isso quer dizer que ao final do semestre, se espera que os alunos possam visualizar sólidos geométricos, se expressar graficamente e representar objetos em cavaleira, desenho isométrico e no sistema mongeano. Para tanto, a metodologia utilizada na disciplina inclui aulas expositivas e resolução de exercícios em sala. No entanto, para atingir um nível satisfatório na disciplina é necessário que o aluno reserve tempo extra-aula para complementar com resolução de exercícios. A disciplina será divida em três unidades: I) cavaleira e desenho isométrico; II) sistema mongeano e; III) verdadeira grandeza e seção plana. Ao final de cada unidade será realizada uma prova. O assunto é cumulativo. O calendário do curso é fixo, portanto as datas das provas são definidas no início do semestre. As informações e materiais trocados entre professor e aluno deverão ser feitas em sala de aula e através de e-mail. 1.2. Instrumentos de Desenho É muito importante que os alunos das disciplinas de desenho tenham total domínio do uso dos instrumentos básicos de desenho. 1. Lapiseira: recomenda-se o uso de lapiseira com grafite do tipo HB com espessura de 0,5 mm, para evitar perda de tempo e imprecisão. 2. Borracha: recomenda-se o uso de borracha branca macia, se possível borracha específica para desenho técnico. 3. Régua: recomenda-se o uso de régua transparente de plástico ou acrílico, com 15 ou 20 cm. 4. Compasso de Metal: recomenda-se o uso de compasso de metal. O compasso é um instrumento utilizado para desenhar arcos e circunferências, mas ele também pode ser usado para transportar medidas e ângulos. 5. Par de Esquadros: recomenda-se o uso de um par de esquadros que não tenham marcação de escala. No par, um deve ter dois ângulos de 45ᵒ e o outro um ângulo de 60ᵒ e um de 30ᵒ. Veja as figuras 1.1 e 1.2. O tamanho dos esquadros é medido pelo lado maior, a hipotenusa do triângulo formado pelo esquadro de 45ᵒ e o lado de tamanho médio, cateto maior, do esquadro de 60ᵒ. Fig. 1.1 Os esquadros são vendidos em pares por apoio para o outro no traçado de linhas paralelas e perpendiculares quando usados em conjunto com a régua T ou a régua paralela,formação de diversos outros ângulos. 6. Papel: recomenda-se o uso de papel branc de aproximadamente meia resma. considera um retângulo de 841 mm ( 1 m² de área. Deste formato derivam figura 1.4. http://blog.creativecopias.com.br/simplificando UFPE – Departamento Fig. 1.1 Os esquadros são vendidos em pares por duas razões: primeiro porque um serve de o traçado de linhas paralelas e perpendiculares o usados em conjunto com a régua T ou a régua paralela, seus formação de diversos outros ângulos. Ver figura 1.3. Fig. 1.3 se o uso de papel branco com formato A4. A quantidade a ser utilizada é meia resma. O formato básico de papel designado de A0 (A zero) considera um retângulo de 841 mm (altura “a”) por 1.189 mm (largura “l” 1 m² de área. Deste formato derivam-se os demais formatos na relação Fig. 1.4 http://blog.creativecopias.com.br/simplificando-o-tamanho-e-formato-dos Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 5 Fig. 1.2 primeiro porque um serve de o traçado de linhas paralelas e perpendiculares e segundo, porque seus ângulos permitem a A quantidade a ser utilizada é O formato básico de papel designado de A0 (A zero) largura “l”) correspondente a se os demais formatos na relação l = a√ 2 , conforme dos-papeis/ 1.3. Elementos Básicos do Desenho O desenho possui quatro São eles: o ponto, a linha, a superfície e o volume. E são abstratos. Quando desenhamos um ponto, uma conceitos deixam de ser conceitos 1. O Ponto: É o elemento mais básico e mais fundamental do desenho. Ele não possui formato ou dimensão cruzamento de duas ou mais linhas. O ponto marca o início e o fim de uma linha. representado por uma letra maiúscula do alfabeto 1.6 e 1.7. Fig. 1.5 2. A linha: À medida que o ponto se move, a sua trajetória se torna uma enfileiramento de pontos unidos. Possui apenas uma dimensão ( posição e direção. Porém, a posição e a direção são sempre relativos a um referencial, conforme veremos. É representada por uma letra minúscula do alfabeto v, x). A linha define os limites de Formato e de acordo com o Traço. Nessa disciplina utilizaremos Com relação ao tipo de traço, utilizaremos TIPO DE LINHA Linha fina contínua Linha grossa contínua Linha grossa tracejada UFPE – Departamento Elementos Básicos do Desenho O desenho possui quatro elementos básicos por meio dos quais podemos expressar id a superfície e o volume. Esses elementos são conceitos ou id Quando desenhamos um ponto, uma linha, uma superfície conceitos e passam a ser formas ou representações É o elemento mais básico e mais fundamental do desenho. Ele ão possui formato ou dimensão, não ocupa um lugar no espaço cruzamento de duas ou mais linhas. O ponto marca o início e o fim de uma linha. representado por uma letra maiúscula do alfabeto latino (A, B, D, K). Fig. 1.6 À medida que o ponto se move, a sua trajetória se torna uma ntos unidos. Possui apenas uma dimensão (comprimento posição e direção. Porém, a posição e a direção são sempre relativos a um referencial, É representada por uma letra minúscula do alfabeto define os limites de uma superfície e podem ser classificadas de acordo com o Formato e de acordo com o Traço. Nessa disciplina utilizaremos, com relação ao formato, linhas retilíneas e linhas curvas. Com relação ao tipo de traço, utilizaremos três tipos de linhas, conforme o quadro abaixo. DESENHO FUNÇÃO Representar construção ou arestas não visíveis no desenho da cavaleira e do desenho isométrico Representar Representar sistema mongeano Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 6 s quais podemos expressar ideias. são conceitos ou ideias, portanto linha, uma superfície ou um volume esses representações. É o elemento mais básico e mais fundamental do desenho. Ele indica uma posição, ão ocupa um lugar no espaço. É também o lugar do cruzamento de duas ou mais linhas. O ponto marca o início e o fim de uma linha. É (A, B, D, K). Observe as figuras 1.5, Fig. 1.7 À medida que o ponto se move, a sua trajetória se torna uma linha. Assim, a linha é o comprimento); mas possui posição e direção. Porém, a posição e a direção são sempre relativos a um referencial, É representada por uma letra minúscula do alfabeto latino (a, b, c, r, p, q, superfície e podem ser classificadas de acordo com o , com relação ao formato, linhas retilíneas e linhas curvas. , conforme o quadro abaixo. Representar linhas auxiliares de construção ou arestas não visíveis no desenho da cavaleira e do desenho isométrico Representar arestas visíveis Representar arestas não visíveis no sistema mongeano 3. A superfície: Na medida em que a linha se desloca, a sua trajetória, que não seja a sua direção intrínseca, se torna uma superfície. superfícies possuem apenas duas dimensões, limites de um volume. Porém, a posição e a direção são sempre relativas a um referencial, conforme veremos. É representad 4. O Volume: A trajetória de uma superfície em uma direção intrínseca, se torna um volume. O volume tem uma posição no espaço e possui também três dimensões: largura, altura e profundida figura 1.8. 1.4. O Desenho como Linguagem De maneira geral, o desenho é uma forma de linguagem. um dos interlocutores usa-o para representar uma ideia e, assim, das engenharias, ele adquire um caráter específico, uma vez que precisa representar a forma, dimensão e posição de um objeto de acordo com as necessidades de cada projeto. Para os desenhos dessa natureza dá-se o nome de Nas engenharias, como em muitas áreas de conhecimento existe a necessidade de formas, desde um parafuso até uma edificação. A base desse processo está numa etapa chamada de criação, sendo seu produto um projeto. plano das ideias, para que essas envolvidos no processo precisam ser desenhadas. Esse desenho não pode ser feito de qualquer maneira, deve obedecer a alguns padrões e procedimentos que visem sua maneira, o desenho técnico cumpr partes envolvidas no processo de criação e execução de objetos. Em um desenho artístico a represent com o que é real, sua representação é livre e é feita de acordo com a interpretação do objeto no contexto de sua visão do mundo. Nesse caso, cada artista possui uma linguagem própria, única e quanto mais particular for essa linguagem mais marcante será seu estilo. Diferentemente do desenho artístico, o desenho técnico é comprometido com característica possibilita a comunicação entre as partes envolvidas no process UFPE – Departamento Na medida em que a linha se desloca, a sua trajetória, que não seja a sua direção intrínseca, se torna uma superfície. Assim, a superfície é o enfileiramento de linhas unidas. superfícies possuem apenas duas dimensões, profundidade e largura. limites de um volume. Porém, a posição e a direção são sempre relativas a um referencial, É representada por uma letra do alfabeto grego (α, β, γ, δ, λ, π, φ). A trajetória de uma superfície em uma direção, que não seja a sua direção se torna um volume. O volume tem uma posição no espaço e possui também três dimensões: largura, altura e profundidade. No espaço o volume é limitado por planos. Fig. 1.8 O Desenho como Linguagem o desenho é uma forma de linguagem. Em outras palavras, pode o para representar uma ideia e, assim, transmiti-la para o outro. das engenharias, ele adquire um caráter específico, uma vez que precisa representar a forma, dimensão e posição de um objeto de acordo com as necessidades de cada projeto. Para os desenhosDesenho Técnico. em muitas áreas de conhecimento existe a necessidade de até uma edificação. A base desse processo está numa etapa chamada de produto um projeto. Esse último consiste na representação daquilo que está no essas sejam compreendidas e executadas pelos envolvidos no processo precisam ser desenhadas. Esse desenho não pode ser feito de qualquer ns padrões e procedimentos que visem sua cumpre sua função, que é a de estabelecer a comunicação entre as partes envolvidas no processo de criação e execução de objetos. Em um desenho artístico a representação é uma escolha do artista, este não tem compromisso , sua representação é livre e é feita de acordo com a interpretação do objeto no contexto de sua visão do mundo. Nesse caso, cada artista possui uma linguagem própria, única e ais particular for essa linguagem mais marcante será seu estilo. Diferentemente do desenho artístico, o desenho técnico é comprometido com a representação da característica possibilita a comunicação entre as partes envolvidas no process Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 7 Na medida em que a linha se desloca, a sua trajetória, que não seja a sua direção leiramento de linhas unidas. As e largura. A superfície define os limites de um volume. Porém, a posição e a direção são sempre relativas a um referencial, ra do alfabeto grego (α, β, γ, δ, λ, π, φ). que não seja a sua direção se torna um volume. O volume tem uma posição no espaço e possui também três de. No espaço o volume é limitado por planos. Ver Em outras palavras, pode-se dizer que la para o outro. No campo das engenharias, ele adquire um caráter específico, uma vez que precisa representar a forma, dimensão e posição de um objeto de acordo com as necessidades de cada projeto. Para os desenhos em muitas áreas de conhecimento existe a necessidade de se criar até uma edificação. A base desse processo está numa etapa chamada de ste na representação daquilo que está no elos outros profissionais envolvidos no processo precisam ser desenhadas. Esse desenho não pode ser feito de qualquer ns padrões e procedimentos que visem sua universalização. Dessa ão, que é a de estabelecer a comunicação entre as ação é uma escolha do artista, este não tem compromisso , sua representação é livre e é feita de acordo com a interpretação do objeto no contexto de sua visão do mundo. Nesse caso, cada artista possui uma linguagem própria, única e ais particular for essa linguagem mais marcante será seu estilo. Diferentemente do desenho a representação da realidade. Essa sua característica possibilita a comunicação entre as partes envolvidas no processo de produção de um UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 8 objeto através da linguagem universal. Observe as figuras abaixo e reflita um pouco sobre as diferenças entre o desenho artístico, à esquerda, e o desenho técnico, à direita. Kandinsky, Arch and Point, 1923 http://www.invisiblebooks.com/Kandinsky.htm Fig. 1.9 http://aordemsinequanonoide.blogspot.com.br/2010/12/desenho- tecnico-mecanico.html Fig. 1.10 Para representar um objeto é importante perceber que todos os objetos que estão a nossa volta possuem três dimensões: largura, altura e profundidade. Quando vamos fazer a representação desse objeto, as dimensões precisam ser desenhadas em uma superfície com apenas duas dimensões, como é o caso do papel ou da superfície da tela do computador. Como fazer essa representação é exatamente o objetivo dessa disciplina. É importante salientar, mais uma vez, que a representação para o desenho técnico, não pode ser feita de maneira aleatória, ela deve obedecer a normas específicas para garantir a universalidade da linguagem. Tanto quem desenha como quem lê o desenho precisa falar a mesma língua, ou seja, dominem a representação na qual o desenho foi feito. Visando padronizar as possíveis representações de um objeto foram criados sistemas de representação. Os sistemas de representação são como linguagens a qual os profissionais da área dominam. Quem desenha e que lê o desenho sabem em qual sistema de representação o objeto foi desenhado, sabe retirar/interpretar do próprio desenho as informações necessárias para a sua construção. As representações dentro dos Sistemas de Representação são chamadas de perspectivas. O principal objetivo perspectivas é representar em uma superfície bidimensional as três dimensões de um objeto. Existem duas etapas nessa representação. A primeira diz respeito ao processo cognitivo de transpor a imagem do objeto real para a representação do mesmo no papel. A outra etapa é, exatamente, percorrer o caminho inverso, o qual consiste em perceber a tridimensionalidade do objeto quando ele está representado em duas dimensões, ou seja, no papel. Ambos os processos requerem o domínio das regras que diferenciam asperspectivas. A palavra perspectiva possui origem grega e deriva da palavra Perspicere, que significa “ver através de”. A maneira mais simples de definir perspectiva é: Perspectiva é a representação de um objeto ou paisagem – que possui três dimensões – em desenho, ou pintura, ou outra forma de UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 9 representação gráfica, em duas dimensões. Ou ainda, a representação de três dimensões em duas dimensões. PERSPECTIVA = 3D 2D Abaixo estão diferentes representações de um mesmo objeto utilizadas no desenho técnico, figuras 1.11, 1.12, 1.13 e 1.14. Axonometria Cônica Fig. 1.11 Isometria Fig. 1.12 Cavaleira Fig. 1.13 Mongeano Fig. 1.14 Essas representações se diferenciam em função de dois aspectos: 1°) Posicionamento do ORTOEDRO DE REFERÊNCIA, que imaginariamente envolve o objeto, em relação ao plano de projeção e; 2°) Tipo de projeção. A seguir será explicado o significado de cada um desses termos. 1.5. Ortoedro de Referência A utilização do ortoedro de referência é uma técnica muito útil quando se trabalha com representações em geral. Ela consiste em imaginarmos o objeto que queremos desenhar dentro de uma caixa, mas não de uma caixa qualquer. Essa caixa também pode ser chamada de ortoedro auxiliar, ortoedro envolvente, ou ainda, de paralelepípedo de referência. Ver figura 1.15. O ortoedro de referência possui características que facilitam a visualização espacial do objeto, são elas: 1. Todas as suas arestas são paralelas a algum dos três eixos coordenados x, y e z, largura, profundidade e altura, respectivamente; 2. Possui faces retangulares; 3. As faces formam ângulos retos umas com as outras; 4. As faces opostas são iguais entre si. UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 10 Fig. 1.15 As figuras 1.16 e 1.17 mostram um mesmo objeto inserido em dois ortoedros de referência diferentes. Esse exemplo nos mostra como o mesmo objeto pode ter interpretações diferentes, dependendo da colocação do ortoedro. Na figura 1.16 a face ABC está perpendicular ao chão, colada com a face frontal do ortoedro. Já na figura 1.17 a face ABC está inclinada, ou oblíqua ao chão, como uma rampa. Figura 1.16 Figura 1.17 A técnica do ortoedro de referência é um artifício que utilizamos para desenhar objetos quaisquer. É muito importante que ortoedro envolva o objeto completamente e, além disso, que fique bem “colada” ao objeto, de modo que possibilite a coincidência de faces e arestas do objeto com faces do ortoedro. Dessa maneira, o ortoedro de referência seria a MENOR CAIXAPOSSÍVEL capaz de conter o objeto que queremos desenhar. Muitas vantagens podem ser vistas quando usamos o ortoedro de referência: 1. O ortoedro é um objeto simples de ser desenhado; 2. O uso do ortoedro faz com que possamos controlar quais faces queremos mostrar, porque primeiro decidimos como fica o desenho do ortoedro e só então colocamos o objeto dentro dele; 3. Como o ortoedro possui todas as suas arestas paralelas a um dos três eixos coordenados, é fácil fazer uma correlação entre as medidas do objeto e as medidas do ortoedro; 4. Qualquer objeto pode ser colocado, ou imaginado, dentro de um ortoedro, especialmente os objetos com faces curvas ou muito detalhadas. Quando mais detalhado é o objeto mais precisamos do ortoedro de referência. A figura 1.18 mostra um objeto qualquer e a figura 1.19 mostra o mesmo objeto inserido no Ortoedro. UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 11 Fig. 1.18 Fig. 1.19 1.6. Sistema de Projeção As representações têm em seu arcabouço sistemas de projeção. Para entender como funciona um sistema de projeção o exemplo mais comumente utilizado é o da sombra. Ver figura 1.20. http://well31.comunidades.net/index.php?pagina=1305455344 Fig. 1.20 Na figura 1.18, da fonte de luz (F) saem os raios luminosos que iluminam o objeto e a parede atrás do objeto. A sombra acontece porque os raios que iluminam o objeto não chegam até a parede, deixando a projeção da imagem do objeto na superfície bidimensional da parede. Um sistema de projeção funciona de forma semelhante. Para representar um objeto primeiramente é necessário projetá-lo. O processo de projeção funciona como uma cena, para compreendê-la precisamos conhecer alguns elementos básicos que a compõe. São eles: a. Observador: centro de projeção; b. Objeto: o objeto é o que queremos representar; c. Projetantes: raios visuais que partem dos olhos do observador; d. Plano de Projeção: é o plano onde será desenhada a projeção. A cena funciona da seguinte maneira: o observador observa o objeto. Para perceber o objeto, dos olhos do observador partem raios visuais, ou projetantes, que conectam os olhos do observador aos limites do objeto, projetando o objeto no plano de projeção. Os pontos, onde as projetantes “passam” ou “tocam” no plano de projeção definem o desenho da projeção do objeto, que consiste em uma imagem bidimensional proporcional ao objeto tridimensional. UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 12 Na figura 1.21 abaixo o centro de projeção está representado pela lanterna, os raios de luz que saem da lanterna (projetantes) incidem sobre o objeto projetando-o no plano do quadro (plano de projeção). http://edificacacaomoderna.blogspot.com.br/2012/03/projecoes-conicas.html Fig. 1.21 Na situação anterior o exemplo foi dado a partir de um objeto real, porém, podemos imaginar uma situação na qual o objeto é virtual, ou seja, existente apenas como uma ideia. Sendo assim, é necessário um grau de abstração relativamente maior para imaginar toda essa cena primeiramente em nossa mente, para, só então, representar no papel a projeção final do processo. 1.7. Tipos de Projeção Existem dois tipos de projeção bastante conhecidos e utilizados, a PROJEÇÃO CÔNICA e a PROJEÇÃO CILÍNDRICA. Nessa disciplina serão abordadas as projeções Cilíndricas: cavaleira, isometria e sistema mongeano. Observe abaixo um quadro síntese que mostra o mesmo objeto sendo representado em cada um dos tipos de projeção. UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 13 1.7.1 Projeção Cônica Na projeção Cônica o centro de projeção é chamado de PRÓPRIO, isso porque ele está a uma distância finita do objeto. Esse sistema é bem semelhante ao exemplo dado anteriormente, que comparou o centro de projeção com uma lanterna. No exemplo da figura 1.22 é fácil perceber que as projetantes que partem dos olhos do observador formam um feixe cônico. Por essa razão o sistema é chamado de Cônico. Esse feixe projeta o objeto, a esfera, no plano de projeção, ficando a imagem projetada em forma de circunferência. TIPOS DE PROJEÇÃO 1 FUGA PROJEÇÃO CÔNICA 2 FUGAS 3 FUGAS PROJEÇÃO CILÍNDRICA SISTEMA MONGEANO O AXONOMETRIA CAVALEIRA DIMETRIA TRIMETRIA ISOMETRIA UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 14 Na figura 1.23 temos um exemplo da uma projeção cônica de um objeto bidimensional, o triângulo ABC, o qual projetado segundo um centro de projeção O, forma a imagem A’B’C’. Projeção cônica Fig. 1.22 http://det.ufc.br/desenho/?page_id=86 Projeção cônica Fig. 1.23 Nesse curso nós não estudaremos esse tipo de projeção. Mas é importante sabermos que a projeção cônica imita a visão humana. Por isso, seu desenho é mais facilmente percebido, mesmo por pessoas que não conhecem o desenho. Nas figuras 1.24 e 1.25 temos a mesma cena vista de ângulos diferentes. A cena mostra uma projeção cônica com o plano de projeção localizado entre o observador e o objeto. Ao observarmos as duas imagens, podemos perceber claramente a relação entre observador, projetantes, objeto e sua imagem. http://edificacacaomoderna.blogspot.com.br/2012/03/projecoes-conicas.html Fig. 1.24 UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 15 http://edificacacaomoderna.blogspot.com.br/2012/03/projecoes-conicas.html Fig. 1.25 1.7.2. Projeção Cilíndrica Na projeção Cilíndrica o observador está uma distância infinita do objeto. Nesse caso o centro çde projeção é IMPRÓPRIO, ver figura 1.26. As projetantes ao invés de serem concorrentes (num ponto que é o centro de projeção), como ocorre no sistema cônico de projeção, elas são paralelas. Isto é, as projetantes partem do centro de projeção num feixe em forma de cilindro, é por essa razão que esse sistema de projeção é chamado de cilíndrico. Um exemplo que ilustra bem a mecânica desse sistema de projeção é o dos raios luminosos que partem do sol. O sol está a uma distância tão grande da terra que ao chegar à sua superfície os raios luminosos estão quase paralelos entre si e aí projetam a sobra dos objetos sobre a superfície terrestre de forma cilíndrica. http://edificacacaomoderna.blogspot.com.br/2012/03/projecoes- conicas.html Fig. 1.26 UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 16 No sistema cilíndrico de projeção podemos ter as projeções cilíndricas oblíquas (figura 1.27) e as projeções cilíndricas ortogonais (figura 1.28). O que diferencia uma da outra é exatamente o ângulo de incidência das retas projetantes no plano de projeção. Nas projeções cilíndricas oblíquas o ângulo é diferente de 90° e nas projeções cilíndricas ortogonais esse ângulo é igual a 90°. Reparem a diferença: http://det.ufc.br/desenho/?page_id=86 Projeção Cilíndrica Oblíqua Fig. 1.27 http://det.ufc.br/desenho/?page_id=86 Projeção Cilíndrica Ortogonal Fig. 1.28 1.8. Aplicabilidade da Perspectiva Cilíndrica Uma coisa muito importante e motivadora para aprender um novo assunto é saber sobre a aplicabilidade do que se está aprendendo. Uma pergunta sempre válida diante de um novo conhecimento é “Que usos esse assunto possui?”. No caso dessa disciplina a pergunta seria? Que usos a representação deobjetos tridimensionais em duas dimensões pode ter para um futuro engenheiro? A primeira aplicação seria a representação de objetos que muitas vezes estão apenas no plano das ideias. Quando é necessário comunicar uma ideia para outros, apenas palavras não explicam tudo, especialmente quando as ideias tratam de formas. UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 17 As Perspectivas Cilíndricas são indispensáveis para todas as áreas do conhecimento que trabalham ou estudam a FORMA: Arquitetura, Engenharia, Arte, Design, Expressão Gráfica, entre outras. Tal tipo de representação é a base do desenho técnico. Outra aplicação das Perspectivas Cilíndricas está presente em manuais de equipamentos sejam de móveis, de máquinas e até de brinquedos. Esses se utilizam das perspectivas cilíndricas tipo cavaleira ou axonometria (usualmente o desenho isométrico) para representar peças e equipamentos. Veja a figura 1.29 de um manual virtual para montagem de um brinquedo. Observe que desde as peças do menu até a representação da peça a ser montada estão em desenho isométrico. http://www.baixaki.com.br/download/lego-digital-designer.htm Fig. 1.29 Uma terceira forma de aplicação das perspectivas está nos ambientes virtuais de jogos e manuais. Nesse ambiente a visão isométrica é um recurso amplamente utilizado, como mostra a figura 1.30. http://www.tecmundo.com.br/1085-o-que-e-visao-isometrica-.htm Fig. 1.30 UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 1 – Noções Básicas 18 Na área das Engenharias a aplicabilidade das perspectivas em geral é quase uma obrigatoriedade, porque não há como falar de objetos, sejam reais ou virtuais, sem lançar mão do uso de algum tipo de representação da forma (ver figura 1.31). As perspectivas nesse caso são o recursos que estabelecem a comunicação na área. Nesse caso é possível utilizar tanto as perspectivas feitas à mão livre, quanto as feitas com esquadros e compasso, até mesmo as feitas com o auxílio de softwares especializados. Independentemente de como as perspectivas são elaboradas, para desenhá-las são necessários conhecimentos específicos sobre o assunto. HTTP://WWW.NAVAL.COM.BR/BLOG/2012/03/09/AVISOS-HIDROCEANOGRAFICOS-FLUVIAIS-AVHOFLU-RIO-SOLIMOES-E-RIO- NEGRO/ Fig. 1.31 Muitos acreditam que com o amplo uso do computador não será mais necessário aprender certos conceitos, essas pessoas esquecem que o computador não realiza procedimentos sozinho. Para que o desenho seja feito com softwares é preciso efetuar comandos, caso contrário, mesmo com os mais avançados softwares disponíveis no mercado, o desenho pode findar incorreto ou incompleto. UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 2 - Cavaleira 19 CAPÍTULO 2 – PERSPECTIVA CILÍNDRICA CAVALEIRA 2.1. Caracterização da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira Conforme visto no item 1.4 do capítulo anterior, as representações de objetos em perspectiva se diferenciam em função de dois aspectos: 1. Posição do ortoedro de referência em relação ao plano de projeção, e; 2. Tipo de projeção. No caso da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira, que está representada na figura 2.1, a posição característica ortoedro de referência é tal que sua face frontal SEMPRE ficará paralela ao plano de projeção. Já a projeção é do tipo CILÍNDRICA OBLÍQUA, ou seja, as retas projetantes são paralelas entre si, porque o observador está em um ponto impróprio, e essas encontram o plano de projeção de forma oblíqua, fazendo, portanto, um ângulo diferente de 90ᵒ, como aparece na figura 2.1. Fig. 2.1 Fonte: DUARTE, 2008. Fig. 2.2 A análise da figura 2.2, que traz a representação em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira do objeto da figura 2.1, mostra que os ângulos retos existentes na face frontal são mantidos em sua verdadeira grandeza, ou seja, a Perspectiva Cilíndrica Cavaleira mantém a VG das medidas angulares, bem como lineares na face frontal da peça. Lembrando que isso ocorre porque a face frontal encontra-se paralela ao plano de projeção. Além disso, as arestas referentes às profundidades e às alturas são paralelas entre si. 2.2. Eixos Coordenados A visualização de objetos tridimensionais se dá com mais facilidade quando se utilizam os eixos coordenados, uma vez que eles funcionam como uma estrutura que dá suporte a todo o desenho. A figura 2.3 traz um desenho esquemático dos três eixos coordenados. Nele está o eixo x, que é o eixo referente às larguras; o eixo y que é o eixo referente às profundidades, e o eixo z, que é o eixo referente às alturas. Dessa forma, todas as larguras da peça ficarão paralelas ao eixo x, todas as profundidades ficarão paralelas ao eixo y e todas as alturas ficarão paralelas ao eixo z. UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 2 - Cavaleira 20 Posicionamento das Faces A figura 2.4 mostra um dado desenhado em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira e referenciado pelos eixos coordenados. A face que contém o número um do dado é a FACE SUPERIOR do objeto, a face que contém o número dois é a FACE FRONTAL e a face que contém o número três é a FACE LATERAL DIREITA. A face oposta à face frontal é a FACE POSTERIOR, já a face oposta à face superior é a FACE INFERIOR e, finalmente, a face oposta à face lateral direita é a FACE LATERAL ESQUERDA. ATENÇÃO! É muito comum confundir a denominação das faces laterais, esquerda e direita. A face lateral esquerda fica do lado esquerdo de quem observa. Consequentemente, a face lateral direita fica do lado direito. Lembrem-se de que desenhos são inanimados, eles não possuem consciência e referência próprias. O observador é quem denomina as partes, direções e demais elementos do desenho. Portanto, é o referencial de quem observa que é levado em consideração. Quando os eixos coordenados são desenhados, como na figura 2.3, é possível perceber alguns aspectos particulares desse tipo de Perspectiva Cilíndrica Cavaleira. O primeiro deles é a manutenção da ortogonalidade entre os eixos x e z. Se considerarmos o espaço tridimensional, é possível afirmar que todos os eixos fazem 90ᵒ entre si. No entanto, se considerarmos a representação em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira só enxergamos 90ᵒ de fato entre os eixos x e z. Essa característica confere à Perspectiva Cilíndrica Cavaleira um aspecto importante que é o fato dos ângulos e medidas contidas na face frontal e posterior do ortoedro de referência manterem suas verdadeiras grandezas (VG), isto é, as medidas do desenho são iguais às medidas do objeto real. É por essa razão que se diz que na Perspectiva Cilíndrica Cavaleira as faces paralelas ao plano de projeção estão em VG. Já as outras faces sofrem algum tipo de deformação, fato que será estudado com mais detalhes adiante. Dessa maneira, quando se desenha uma Perspectiva Cilíndrica Cavaleira os eixos x e z SEMPRE fazem 90ᵒ entre si, ou seja, eles ficam fixos nessa posição, já o eixo y não tem uma posição fixa. A variação da direção do eixo y e as implicações dela serão estudadas no próximo item. Fig. 2.3 Fig. 2.4 UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 2 - Cavaleira 21 2.3. O Eixo y As perspectivas sempre mostram três faces. No caso da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira a face frontal, que fica paralela ao plano de projeção, SEMPRE é mostrada. Esta é, em geral, a principal face da peça. Usualmente, são mostradas as três faces que contêm mais detalhes ou as três que melhor definem o objeto. Sendo assim, podemos ter apenas as seguintescombinações: � Frontal, lateral direita e superior; � Frontal, lateral esquerda e superior; � Frontal, lateral direita e inferior, e; � Frontal, lateral esquerda e inferior. A representação de um ou de outro conjunto de faces, acima listados, depende da direção escolhida para projetar o eixo coordenado y, pois, como foi mencionado, os eixos x e z ficam fixos, fazendo 90° entre si. Assim, caso a direção escolhida para o eixo y seja como a que está na figura 2.5, as faces mostradas são a FRONTAL, a LATERAL ESQUERDA e a SUPERIOR. Já se a direção de y for como na figura 2.6 as faces mostradas são FRONTAL, LATERAL DIREITA e INFERIOR. Fig. 2.5 Fig. 2.6 A figura 2.7 traz a síntese das quatro possíveis direções que o eixo y pode assumir, bem como as faces que são mostradas em cada caso. Quando a direção escolhida para a projeção do eixo y é a que está no quadrante 1, são mostradas as faces: FRONTAL, LATERAL ESQUERDA e INFERIOR. No quadrante 2 são as faces: FRONTAL, LATERAL DIREITA e INFERIOR. No quadrante 3, as faces: FRONTAL, LATERAL DIREITA e SUPERIOR; e, finalmente, no quadrante 4, as faces mostradas são: FRONTAL, LATERAL ESQUERDA e SUPERIOR. Fig. 2.7 1 4 3 2 UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 2 - Cavaleira 22 2.4. Parâmetros da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira Para que uma Perspectiva Cilíndrica Cavaleira possa ser elaborada dois parâmetros precisam ser previamente definidos: a direção da Cavaleira (α) e o fator de deformação (k). A figura 2.8 apresenta a projeção de um objeto em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira. Nessa representação podemos perceber que as arestas referentes à largura (ex.: AC) e à altura (ex.: AD) são paralelas ao plano de projeção e quando projetadas aparecem nesse plano exatamente com a mesma medida que possuem no real. Isso significa que na Perspectiva Cilíndrica Cavaleira elas estão em VG. No entanto, as arestas referentes à profundidade (ex.: AB), que no espaço estão perpendiculares ao plano de projeção, quando projetadas, aparecem de maneira deformada. Essa deformação vai depender da direção tomada pelas retas projetantes (ex.: AA’). Tal direção pode ser determinada por dois ângulos (α e β). No próximo item tais ângulos e as relações que eles têm com os parâmetros determinantes da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira serão estudados. Fig. 2.8 Fonte: DUARTE, J., 2008. 2.4.1. A Direção da Cavaleira (α) DEFINIÇÃO: O ângulo α pode ser definido como sendo o ângulo formado pela horizontal da projeção (ex.: A’C’) e pela projeção da profundidade do objeto (ex.: A’B’), como podemos ver na figura 2.8. Não existe uma medida definida para α, ou seja, uma Perspectiva Cilíndrica Cavaleira pode ser desenhada com α medindo qualquer ângulo entre 0ᵒ e 90ᵒ. No entanto, a medida de α vai influir na porção vista das faces. Na prática, os ângulos existentes nos esquadros (30ᵒ, 45ᵒ e 60ᵒ) acabam sendo, pela praticidade, os ângulos mais utilizados na elaboração de Perspectivas Cilíndrica Cavaleira, mas nada impede que outras medidas sejam adotadas. Veja nas três figuras abaixo uma comparação mostrando o que acontece quando variamos os valores de α. Fig. 2.9 Fig. 2.10 Fig. 2.11 UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 2 - Cavaleira 23 O que podemos concluir após a análise das figuras acima é que mesmo que estejam sendo mostradas as mesmas faces (FRONTAL, LATERAL DIREITA e SUPERIOR), quando o ângulo α varia, porções diferentes das faces FRONTAL e LATERAL DIREITA são mostradas. No entanto, o mesmo não ocorre com a face FRONTAL, a qual aparece da mesma forma nas três figuras. Isso acontece porque ela está paralela ao plano de projeção e, consequentemente, em VG. Dessa forma, suas medidas lineares e angulares são resguardadas mesmo depois da sua projeção. Na figura 2.9, α mede 30°, e a face LATERAL DIREITA aparece com bem mais destaque do que a face SUPERIOR. Já na figura 2.10, onde α mede 45ᵒ, ambas as faces aparecem com o mesmo destaque. Finalmente, na figura 2.11, que tem α medindo 60°, vemos uma porção bem menor da face LATERAL DIREITA do que da face SUPERIOR. O mesmo pode ser feito com as outras combinações de faces. ATENÇÃO! Ao escolher a medida de α, evite os ângulos 90ᵒ e 180ᵒ, porque com esses valores só é possível mostrar duas das faces do ortoedro. Fig. 2.12 Fonte: DUARTE, J., 2008. 2.4.2. Fator de Deformação (K) DEFINIÇÃO: O fator de deformação (K) consiste na relação constante entre o comprimento real de um segmento (ex.: AB, da figura 2.13) e o comprimento dele depois de projetado (ex.: A’B’). Essa relação também é dada pela tangente do ângulo β, o qual está contido no triângulo AOA’ da figura 2.13. DEMONSTRAÇÃO: K = tg (β) tg (β) = cateto oposto = A’O = A’B’ cateto adjacente AO AB Assim: K = A’B’ AB A’B’ = K x AB Se K = 1; A’B’ = AB Se K = 0,5; A’B’ = 0,5 x AB Fig. 2.13 UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 2 - Cavaleira 24 ATENÇÃO! O fator de deformação (K) atua apenas nas projeções das arestas que são paralelas ao eixo coordenado Y, ou seja, aquelas que no espaço, são ortogonais ao plano de projeção. As projeções das arestas paralelas ao plano de projeção permanecem com o tamanho real. O fator de deformação (K) é utilizado nos casos em que se quer mostrar uma face em detalhes. Muitas vezes o desenho da Perspectiva Cilíndrica Cavaleira sem deformação (K=1), ou seja, com as medidas iguais às do objeto real faz com que porções de uma determinada face não apareçam, ver figura 2.14. Se uma face não estiver sendo vista completamente é possível aplicar o fator de deformação (K) de forma que essa face seja mostrada completamente, ver exemplo das figuras 2.14 e 2.15. Na primeira figura K = 1 e na segunda k = 0,4. Fig. 2.14 Fonte: DUARTE, J., 2008. Fig. 2.15 Fonte: DUARTE, J., 2008. ATENÇÃO! A prática mostrou que se o fator de deformação (K) variar entre 0,5 e 1 a representação da peça se assemelha bastante ao aspecto real da mesma. Portanto, para que a perspectiva se assemelhe à peça real utilize esses valores. 2.5. Rotação da Peça A rotação é uma operação gráfica utilizada no aprendizado da visualização espacial. Uma maneira de realizar essa rotação ainda no plano das ideias é utilizar os eixos coordenados como referência e imaginar o objeto sendo rotacionado em torno de um dos eixos, ver figura 2.16. Dessa forma, a rotação depende: 1. do eixo escolhido como referência: x, y ou z; 2. do sentido da rotação, se horário ou anti- horário, e; 3. da extensão da rotação, ou seja, com quantos graus deverá ser feito o giro. Fig. 2.16 UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 2 - Cavaleira 25 As figuras 2.17 e 2.18 mostram um exemplo de rotação. Na primeira figura tem-se a peça na posição original, já a figura 2.18 mostra a representação da mesma peça após uma rotação de 90ᵒ, em torno do eixo z, no sentido anti-horário. 2.5.1. Diferença entre ROTAÇÃO e VARIAÇÃO DA DIREÇÃO DA PROJEÇÃO DO EIXO Y É importante não confundir a ROTAÇÃO, discutida no item 2.5, com a VARIAÇÃODA DIREÇÃO DA PROJEÇÃO DO EIXO Y, discutido no item 2.3. Tais procedimentos podem ocorrer em comandos distintos, ou num mesmo comando. Se esse for o caso, a rotação ocorrerá primeiro e somente no plano das ideias (mentalmente), ou seja, o objeto será rotacionado em torno de um dos eixos e, em seguida, serão escolhidas as faces que serão mostradas após a rotação. Essa escolha dependerá da direção tomada pela projeção do eixo y. A peça da figura 2.17 após rotacionada 90ᵒ, em torno do eixo z, no sentido anti-horário, pode ser representada de quatro maneiras, conforme mostra a figura 2.19. É possível perceber na figura abaixo que os quatro desenhos mostram a peça na mesma posição, porém as faces mostradas variam. Fig. 2.19 Figura 2.17 Figura 2.18 UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 2 - Cavaleira 26 2.5.2. Diferença entre Faces e Vistas Existe uma diferença entre FACES e VISTAS. A face pertence ao objeto, enquanto que a vista é própria do ortoedro de referência. As vistas do ortoedro de referência se configuram num referencial fixo de posicionamento. Por exemplo, na figura 2.20, a face do objeto que contém o número um corresponde à vista SUPERIOR do ortoedro de referência. Da mesma maneira, a face do objeto que contém o número dois corresponde à vista FRONTAL do ortoedro. Já a face do objeto que contém o número três corresponde à vista LATERAL DIREITA do ortoedro. Fig. 2.20 2.6. Cilindros e Cones Fig. 2.21 Cilindros e cones são sólidos geométricos gerados segundo algumas “leis de geração”. Pode-se dizer, por exemplo, que o cilindro é uma superfície gerada por uma reta (geratriz) paralela a um eixo, a qual se desloca em torno de uma circunferência (diretriz), como aparece na figura 2.21. Outra forma de gerar uma superfície cilíndrica é quando uma circunferência (geratriz) se desloca ao longo de um eixo. Esse movimento, também, gera uma superfície cilíndrica. Portanto, um cilindro possui geratrizes retas (primeiro exemplo), bem como geratrizes curvas (segundo exemplo). UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 2 - Cavaleira 27 Superfícies cônicas podem ser geradas de forma semelhante à descrita acima. No primeiro caso, tem-se uma reta g (geratriz) apoiada num eixo Hh que se desloca em torno de uma circunferência (diretriz). Outra forma de gerar um cone é quando uma circunferência (geratriz) se desloca ao longo de um eixo, e na medida em que se desloca tem seu raio diminuído até chegar ao vértice, onde o raio é igual a zero. Ver figura 2.22. Fig. 2.22 http://www.solucaomatematica.com.br/?p=1873 Nesta disciplina trataremos apenas de Cilindros e de Cones de Revolução. Eles são casos particulares dos cilindros e cones uma vez que possuem uma propriedade específica que diz que todo plano perpendicular ao eixo desses sólidos cortará a superfície desse sólido segundo uma circunferência. Na representação de objetos em forma de cilindros e cones de revolução em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira são utilizados segmentos curvos (circunferências e elipses) para representar as faces planas, e segmentos retos para representar a superfície curva. Tais segmentos retos são chamados de geratrizes de limite de visibilidade. Elas, em geral, estão paralelas a um dos eixos coordenados. Na figura 2.23 as geratrizes de limite de visibilidade estão paralelas ao eixo z, enquanto que na figura 2.24 elas estão paralelas ao eixo x, já na figura 2.25 elas estão paralelas ao eixo y. Fig. 2.23 Fig. 2.24 Fig. 2.25 No caso da representação de objetos em forma de cones de revolução as geratrizes de limite de visibilidade concorrem em um ponto chamado vértice. Tais elementos serão estudados mais adiante. geratrizes de limite de visibilidade geratriz de limite de visibilidade Fig. 2.26 UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 2 - Cavaleira 28 2.6.1. Cilindros No espaço, um objeto em forma de cilindro possui duas faces planas e uma superfície curva. O desenho das faces planas em Perspectiva Cilíndrica Cavaleira é composto por circunferências e arcos de circunferência. É preciso chamar a atenção para o fato de que as faces planas do cilindro possuem forma de circunferência quando estão no espaço. No entanto, quando são representadas em duas dimensões, elas podem permanecer com forma de circunferência ou tomar forma de elipse, dependendo da posição dessas faces em relação aos eixos coordenados, como mostram as figura 2.27 e 2.28. Fig. 2.27 Fig. 2.28 A figura 2.29 traz a representação de um cilindro cujas faces planas são paralelas aos eixos x e y. Nessa situação, as curvas assumem a forma de elipse. Situação semelhante ocorre com o cilindro da figura 2.30, onde as curvas aparecem como elipses. Nessa figura, as faces planas são paralelas aos eixos y e z. Já na figura 2.31, as faces planas aparecem como circunferências, nesse caso, elas estão paralelas aos eixos x e z. É importante destacar que as faces que aparecem como circunferências estão paralelas ao plano de projeção, portanto em VG. Quando estão perpendiculares a este plano, elas aparecem como elipse, uma vez que sofrem deformação causada pelo eixo y. Fig. 2.29 Fig. 2.30 Fig. 2.31 UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 2 - Cavaleira 29 2.6.2. Cones Situações semelhantes ocorrem na representação de objetos em forma de cone. As figuras 2.32, 2.33 e 2.34, mostram que a face plana do cone pode aparecer em forma de circunferência ou de elipse pelas mesmas razões explicadas acima para o cilindro. Fig. 2.32 Fig. 2.33 Fig. 2.34 Na figura 2.32 a face plana do cone aparece como uma circunferência porque ela está paralela ao plano de projeção, portanto em VG. Já os cones das figuras 2.33 e 2.34 têm suas faces planas representadas em forma de elipses. Essas faces estão perpendiculares ao plano de projeção, portanto sofrem deformação. 2.6.3. O Desenho da Elipse Existem alguns procedimentos para facilitar o traçado da elipse. A seguir serão apresentados dois deles para a Perspectiva Cilíndrica Cavaleira: o procedimento dos 8 pontos, também chamado de procedimento das diagonais, e o procedimento dos “n” pontos. Procedimento dos 8 Pontos Para desenhar uma elipse parte-se de parâmetros que valem para uma circunferência inscrita em um quadrilátero, ou seja: a circunferência tangencia o quadrado na qual está inscrita em quatro pontos, os pontos 1, 2, 3 e 4 da figura 2.35. Esses quatro pontos são os pontos médios dos lados do quadrado. As diagonais do quadrado interceptam a circunferência inscrita nele em outros quatro pontos, que são os pontos 5, 6, 7 e 8 da figura 2.36. Fig. 2.35 Fig. 2.36 UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 2 - Cavaleira 30 Colocados os parâmetros que valem para a circunferência, é possível transpô-los para a representação da circunferência em perspectiva, ou seja, da elipse. Ver figura 2.37. Vamos começar pelo desenho do quadrado em perspectiva, que será um paralelogramo posicionado de forma perpendicular ao plano de projeção, ou seja, paralelo aos eixos x e y. No paralelogramo, desenham- se os mesmos parâmetros vistos acima para o quadrado, ou seja, as retas que ligam os pontos médios dos lados e as diagonais. Dessa maneira, encontram-se os primeiros quatro pontos, que sãoos pontos de tangência da elipse no paralelogramo: pontos 1’, 2’, 3’ e 4’ da figura 2.37. Esses pontos estão localizados nos pontos médios de cada lado do paralelogramo e correspondem aos pontos 1, 2, 3 e 4 do quadrado. Fig. 2.37 Fig. 2.38 Para encontrar os pontos correspondentes aos pontos 5, 6, 7 e 8 do quadrado, é necessário levá-los para o paralelogramo por meio de duas linhas, uma paralela ao eixo z, que liga os pontos 6 e 7 e outra paralela ao eixo y, que ao cruzar com as diagonais do paralelogramo, liga os pontos 6’ e 7’, como aparece na figura 2.38. O mesmo procedimento é feito para encontrar os pontos 5’ e 8’. Fig. 2.39 Fig. 2.40 Para determinar a elipse traçamos a mão livre uma linha curva que passe pelos oito pontos encontrados anteriormente, ver figura 2.39. Para desenhar uma elipse na face lateral direita do objeto procede-se de maneira análoga, como mostra a figura 2.40. UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 2 - Cavaleira 31 Um exercício muito interessante, que pode ser realizado tanto com o procedimento que acabou de ser apresentado, quanto com o procedimento que será apresentado a seguir, consiste em desenhar a elipse em todas as faces do ortoedro de referência. DICA IMPORTANTE! É possível determinar os pontos correspondentes aos pontos 5’, 6’, 7’ e 8’ do exemplo anterior sem que seja necessário desenhar um quadrado com uma circunferência circunscrita previamente. Para isso encontra-se o segmento AB, da figura 2.41, através da fórmula: AB = r x 0,3. A justificativa desse procedimento se baseia no fato de que: AB = OB – OA = r – r cos (45o) AB = r (1 - cos (45o)) = r (1 - 0,707) AB = 0,293 x r, ou seja, AB = r x 0,3 O ponto D do paralelogramo corresponde ao ponto C do quadrado. Fig. 2.41 Fonte: DUARTE, J. 2008. Procedimento dos “n” Pontos Existe outro procedimento que determina pontos da elipse, auxiliando a construção dessa curva, o chamado procedimento dos “n” pontos. Com esse procedimento é possível determinar quantos pontos se desejar, ou seja, “n” pontos. Enquanto que o procedimento anterior determina no máximo oito pontos da elipse. Quanto mais pontos da elipse forem conhecidos, mais precisa será a construção da mesma, sobretudo se o desenho for feito à mão livre. Portanto, a vantagem desse procedimento é o desenho mais preciso da circunferência em perspectiva. Partimos do paralelogramo que circunscreve a elipse que se quer construir. Em seguida, determinam-se os quatro pontos médios dos lados do paralelogramo: M1, M2, M3 e M4. A partir desses pontos, divide-se o paralelogramo em quatro quadrantes. Fig. 2.42 Fig. 2.43 UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 2 - Cavaleira 32 Dividem-se os segmentos destacados na figura 2.44 em qualquer quantidade de partes iguais. Nesse exemplo, os segmentos foram divididos em três partes iguais. É muito importante que os segmentos sejam divididos no mesmo número de partes. Ver na página seguinte como se divide um segmento em partes iguais. Não importa que largura, altura ou profundidade, tenha o paralelogramo que envolve a elipse, os dois segmentos que formam cada quadrante devem ser divididos no mesmo número de partes. Depois, enumeram-se os segmentos destacados da mesma forma como aparece na figura 2.44 e 2.45. Fig. 2.44 Fig. 2.45 Para demonstrar como desenhar a elipse vamos realizar o procedimento no 1° quadrante (fig. 2.46) e, depois, repeti-lo nos demais quadrantes. Liga-se o ponto A ao ponto 1 do segmento oblíquo e o ponto B ao ponto 1 do segmento horizontal. O cruzamento dos segmentos A1 e B1 é um dos pontos da elipse, o ponto C. Para determinar mais um ponto no mesmo quadrante, repita a operação anterior ligando o ponto A ao ponto 2 do segmento oblíquo e o ponto B ao ponto 2 do segmento horizontal, o cruzamento dos segmentos A2 e B2, resulta no ponto D, figura 2.47. Fig. 2.46 Fig. 2.47 Já é possível traçar à mão livre a elipse nesse quadrante. Para isso, inicia-se o traçado no ponto B (que é um dos ponto de tangência da elipse com o quadrilátero que a circunscreve), e segue- se traçando o arco de elipse até o ponto D, em seguida, segue-se ao ponto C e finaliza-se o arco de elipse no ponto O (que é outro ponto de tangência da elipse com quadrilátero que a circunscreve), ver a figura 2.49. Figura 2.49 Fig. 2.50 UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 2 - Cavaleira 33 Para traçar a elipse nos outros quadrantes, inicia-se o traçado em um dos pontos de tangência da elipse e procede-se analogamente, como mostra a figura 2.49. A elipse completa fica como na figura 2.50. DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM PARTES IGUAIS Tomamos como exemplo o segmento AB (figura 2.51), que será dividido em “n” partes iguais. Fig. 2.51 Fig. 2.52 O primeiro procedimento consiste na construção de uma linha auxiliar partindo de uma das extremidades do segmento AB, formando um ângulo qualquer com o segmento AB, figura 2.52. Em seguida, divide-se a linha auxiliar no número de partes que queremos dividir o segmento AB (nesse exemplo dividiremos em três partes iguais). Essa divisão pode ser feita com escala ou utilizando uma mesma abertura no compasso, como mostra a figura 2.52. Em seguida, liga-se a extremidade da última divisão à extremidade do segmento, nesse caso o ponto A, traçando assim o segmento 3A, como mostra a figura 2.53. Para finalizar deve-se traçar segmentos paralelos ao segmento 3A passando pelos pontos 1 e 2. Dessa maneira, os segmentos traçados irão interceptar o segmento AB dividindo-o em 3 partes iguais, como se vê na figura 2.54. Fig. 2.53 Fig. 2.54 UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 34 CAPÍTULO 3 – DESENHO ISOMÉTRICO 3.1. Caracterização da Axonometria A isometria faz parte de um sistema de representação chamado AXONOMETRIA. Conforme foi explicitado no capítulo 1, os sistemas de representação se diferenciam por duas características: 1. Posição de ortoedro de referência com relação ao plano de projeção; 2. Tipo de projeção. Na axonometria a projeção é CILINDRICA ORTOGONAL, ou seja, as retas projetantes são paralelas entre si e formam um ângulo de 90° com o plano de projeção. Fig. 3.2 No caso da axonometria o ortoedro de referência está posicionado de tal maneira com relação ao plano de projeção que se as três arestas que partem de um mesmo vértice A forem prolongadas todas elas encontrarão o plano de projeção nos pontos E, F e G (ver figura 3.1). Diferente da cavaleira, na qual apenas uma das três arestas encontraria o plano de projeção caso fossem prolongadas. Quando todas as faces do objeto são projetadas obtém-se uma imagem como mostra a figura 3.2. Como não existem faces paralelas ao plano de projeção, pois estão todas oblíquas em relação a ele, não existe nenhuma face em VG, ou seja, as três faces sofrem deformação ao serem projetadas. Como cada face, ao ser projetada, faz com o plano do desenho um determinado ângulo podem ocorrer três situações: (1) se os três ângulos são diferentes entre si, temos a TRIMETRIA, onde as faces que têm maiores ângulos têm menos destaque, ver figura 3.3; (2) se dois dos ângulos são iguais e apenas um deles é diferente, temos a DIMETRIA, onde duas faces terão mais destaque do que a outra, ver figura 3.4; (3) se os três ângulos são iguais, temos a ISOMETRIA, onde as três faces sofrem a mesma deformação. O ângulo que as faces fazem com o plano de projeção é iguala 120° (pois 360°/3 = 120°, ver figura 3.5). Fig. 3.1 Fonte: Duarte, 2008 UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 35 Fig. 3.3 Fig. 3.4 Fig. 3.5 3.2. Caracterização do Desenho Isométrico Dentre as projeções axonométricas, a isometria é a mais utilizada. Principalmente a perspectiva isométrica na sua forma simplificada, o DESENHO ISOMÉTRICO ou ISOMETRIA SIMPLIFICADA, que não carece de coeficientes de redução. O termo isométrico significa igual medida. Nos desenhos de perspectiva isométrica, o objeto está oblíquo em relação ao plano de projeção, conforme mostra a figura 3.5. Essa obliquidade em relação ao plano de projeção faz com que a projeção das dimensões do objeto no plano de projeção seja reduzida igualmente em cada direção dos eixos. Dessa maneira, na isometria, todas as arestas da peça que possuem direção igual a uma das direções das arestas de um ortoedro envolvente (AB, AC ou AD) têm a mesma inclinação em relação ao plano de projeção. Portanto as projeções ortogonais dessas arestas têm a mesma deformação (nesse caso, uma redução): A’B’= 0,816 x AB A’C’= 0,816 x AC A’D’= 0,816 x AD Veja a demonstração na figura 3.6: Os pontos E, F e G são as interseções dos prolongamentos das arestas AB, AC e AD com o plano de projeção. Traçando por A e B perpendiculares a EG determina-se o segmento A’’ B’’. A’’B’’ = AB x cos(45o) = A’B’ x cos(30o) � A’B’= cos(45o) / cos(30o) x AB = 0,816 x AB Sendo assim, o desenho da projeção fica como a figura 3.6 Com todas as arestas reduzidas com relação à peça real. Observe abaixo a diferença entre a perspectiva isométrica e o desenho isométrico feito para a mesma peça. O DESENHO ISOMÉTRICO, figura 3.7 é maior porque não há redução das arestas. O Desenho Isométrico é muito utilizado para o ensino de disciplinas introdutórias de desenho e para o desenho em softwares. Fig. 3.6 Fonte: Duarte, J. 2008 UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 36 Repetindo: No Desenho Isométrico as projeções das arestas não são reduzidas (A’B’= AB, A’C’= AC e A’D’= AD). Os desenhos feitos com esquadros nessa disciplina serão executados adotando o Desenho Isométrico. 3.3. Desenho Isométrico na prática Na prática, a construção do ortoedro envolvente em desenho isométrico começa com o desenho de uma linha horizontal de referência. Em seguida é escolhido um ponto nessa linha para a partir dele desenharmos duas linhas formando 30o com a linha horizontal (ver figura 3.9). Fig. 3.9 Para desenhar as linhas com 30° comece desenhando uma reta vertical e posicione os esquadros como indicado na fig. 3.10 Desloque o esquadro de 30o na direção da seta e desenhe a reta destacada. Em seguida posicione os esquadros como indicado na fig. 3.11 e desenhe a reta destacada nessa figura. Fig. 3.10 Fig. 3.11 Fig. 3.7 Fonte: Duarte, J. 2008 Fig. 3.8 Fonte: Duarte, J. 2008 Isometria Exata Desenho Isométrico UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 37 Determine a altura, a largura e a espessura da peça de acordo com os eixos coordenados e complete o ortoedro traçando as paralelas indicadas, conforme veremos no próximo item. 3.4. Os Eixos Coordenados e o Ortoedro de Referência Da mesma forma como foi demonstrado para a perspectiva cavaleira, podemos visualizar as peças desenhadas com mais facilidade quando relacionamos suas dimensões com os eixos coordenados. Ao pensarmos que tudo a nossa volta possui três dimensões facilitamos a transposição do objeto real para o objeto desenhado no papel. Dessa maneira, teremos o eixo das larguras, o eixo x; o eixo das profundidades, o eixo y e o eixo das alturas, o eixo z. Observe o exemplo abaixo. As figura 3.12 mostra como fica a posição dos eixos coordenados no desenho isométrico. Na literatura o eixo z sempre aparece localizado verticalmente, porém, não há um consenso com relação ao posicionamento dos eixos coordenados x e y. A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) adota o eixo x posicionado à esquerda e o eixo y à direita. No entanto, muito autores da área (Duarte, M. 1996; Duarte, J., 2008 e Bortolucci) adotam o eixo x posicionado à direita e o eixo y à esquerda. Nessa disciplina adotaremos esse último posicionamento, conforme mostra a figura 3.12. A representação padrão exibe o objeto como na figura 3.13, que mostra um dado desenhado em isometria e referenciado pelos eixos coordenados. A face que contém o número um do dado corresponde à vista superior do ortoedro de referência; a face que contém o número dois do dado corresponde à vista frontal do ortoedro de referência e, consequentemente, a face que contém o número três do dado corresponde à vista lateral direita do ortoedro de referência. Todas as peças desenhadas em desenho isométrico seguirão essa mesma convenção. Fig. 3.12 3.13 3.4.1. Visualização de Todas as Faces A exemplo da Perspectiva Cavaleira, no Desenho Isométrico são sempre mostradas três faces do ortoedro envolvente. Na figura 3.13 foram mostradas as faces frontal, lateral direita e superior. Para mostrar as outras faces do objeto podemos ter as seguintes combinações: • Frontal, lateral direita e superior; • Frontal, lateral esquerda e superior; • Frontal, lateral direita e inferior, e; • Frontal, lateral esquerda e inferior. UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 38 Dada a peça da figura 3.14, desenhada em Desenho Isométrico, que mostra as vistas: frontal, superior e lateral direita do ortoedro de referência, podemos representá-la de forma a mostrar as outras faces da peça, conforme mostram as peças da figura 3.15. Nesse caso, tem-se que rotacionar a peça em torno de algum dos eixos coordenados ou variar a posição do eixo y, como foi visto para a Perspectiva Cavaleira. 3.4.2. Rotação da Peça Fig. 3.16 No Desenho Isométrico a rotação de uma peça pode ocorrer da mesma maneira como vimos na Perspectiva Cavaleira. Porém, deve ser observada a posição dos eixos coordenados. Observe a figura 3.16 ao lado e veja como fica a rotação para cada um dos eixos coordenados. Dessa forma, a rotação depende: 1. Do eixo escolhido como referência: x, y ou z; 2. Do sentido da rotação, se horário ou anti-horário; 3. Da extensão, em graus, da rotação. 3.5. Cilindros e Cones As propriedades geométricas dos cilindros e cones não se alteram em funcão do tipo de representação escolhida. Assim, a conceituação para leis de geração e geratrizes de limite de visibilidade se aplicam para o Desenho Isométrico da mesma forma como foi visto para o desenho da Perspectiva Cavaleira. Na representação do cilindro e do cone em Desenho Isométrico as faces que têm forma de circunferência, quando são representadas em duas dimensões sempre irão tomar forma de elipse, porque no caso do Desenho Isométrico nenhuma das faces do ortoedro de referência está paralela ao plano de projeção. Fig. 3.17 Fig. 3.18 Fig. 3.14 Fig. 3.15 x x x x y y y y z z z z UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 39 O cilindro pode assumir três posições básicas no desenho isométrico, com relação aos eixos coordenados. Fig. 3.19 Fig. 3.20 Fig. 3.21Na figura 3.19, a face plana do cilíndro, que possui forma de circunferência quando está no espaço, está representada paralela aos eixos y e x, tomando forma de uma elipse. Atenção ao ortoedro envolvente para facilitar a visualização. Na figura 3.20 quando a face plana do cilíndro fica, na representação, paralela aos eixos x e z toma a forma de uma elipse. Nesse caso, diferentemente da cavaleira, na qual a face em forma de circunferência do cilindro fica na forma de circunferência. Por último, na figura 3.21 a face plana do cilíndro, está representada paralela aos eixos y e z e, também, toma forma de elipse. Pode-se aplicar para o caso do cone o mesmo que foi visto para o cilindro, uma vez que as situações são semelhantes. Na primeira figura, 3.22, a face plana do cone está paralela aos eixos x e y. Vai acontecer o mesmo que aconteceu com o cilindro, ou seja, a face em forma de circunferência vai aparecer na perspectiva como uma elipse. Fig. 3.22 Fig. 3.23 Fig. 3.24 Em Isometria e também em Desenho Isométrico a circunferência sempre toma forma de elipse, não importa a que eixos a face em forma de circunferência ou arco de circunferência esteja paralela. Isso ocorre porque em Isometria todos ou eixos estão oblíquos com relação ao plano de projeção. UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 40 No segundo caso, figura 3.23, a face plana do cone está paralela aos eixos y e z e, a exemplo do cilindro, também se torna uma elipse. No último caso, figura 3.24, a face curva do cone agora está paralela aos eixos x e z, nesse caso a circunferência também tomará a forma de elipse. 3.5.1. Desenho da Elipse e da Oval A exemplo da Perspectiva Cavaleira existem alguns procedimentos para facilitar o traçado da elipse. Veremos três deles para o Desenho Isométrico. Os dois primeiros tipos são semelhantes aos procedimentos já vistos para a Perspectiva Cavaleira: o traçado da elipse com 8 pontos, usando as diagonais e o traçado da elipse com “n” pontos, usando a divisão do quadrilátero em quadrantes. O terceiro procedimento não é utilizado na Perspectiva Cavaleira, ele é utilizado apenas na Isometria e no Desenho Isométrico, que é o desenho da oval regular de quatro centros. Procedimento dos 8 pontos Para desenhar a elipse em Desenho Isométrico, a exemplo do que aprendemos para a Perspectiva Cavaleira, serão utilizados parâmetros que valem para uma circunferência inscrita em um quadrilátero, ou seja: Na figura 3.25: 1) a circunferência tangencia o quadrado na qual está inscrita em 4 pontos: 1, 2, 3 e 4. Esses 4 pontos são os pontos médios dos lados do quadrado, e; 2) as diagonais do quadrado cruzam com a circunferência inscrita em mais 4 pontos: 5, 6, 7 e 8. Fig.3.25 Esse mesmos parâmetros são transpostos para realizar o desenho da elipse em Desenho Isométrico. O primeiro procedimento é o do desenho do quadrilátero em desenho isométrico, que será um paralelogramo paralelo aos eixos x e y. No paralelogramo são desenhados os mesmos parâmetros do quadrado. Assim encontram-se os primeiros 4 pontos, que são os pontos de tangência da elipse no quadrilátero, pontos M1, M2, M3 e M4, como na figura 3.26. Esses pontos estão localizados nos pontos médios de cada lado do quadrilátero e equivalem aos pontos 1, 2, 3 e 4. O segundo procedimento, figura 3.27, é encontrar os equivalente dos pontos 5, 6, 7 e 8 para a elipse, através do traçado das diagonais. Observe que no desenho isométrico as diagonais ficam na vertical e na horizontal. UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 41 Fig.3.26 Fig.3.27 Para determinar os pontos 5, 6, 7 e 8, não é necessário desenhar a circunferência. Basta utilizar o parâmetro: AB = r x 0.3, da mesma forma como vimos na Perspectiva Cavaleira, ou seja, mede-se o raio, multiplica-o por 0,3 e descobre-se o tamanho do segmento AB. Em seguida, posiciona-se o segmento AB em uma das arestas do ortoedro e, assim, determinam-se os pontos 5, 6, 7 e 8, conforme a figura 3.28. Fig.3.28 Fig.3.29 Para determinar a elipse traça-se uma curva à mão livre prestando bastante atenção para que essa passe por todos os pontos determinados, ver figura 3.29. Um exercício muito interessante e que ajuda a fixar os conhecimentos aprendidos é desenhar a elipse em todas as faces do ortoedro, como mostra a figura 3.30. Fig. 3.30 Procedimento dos “n” pontos O outro procedimento, demonstrado para a Perspectiva Cavaleira, também pode ser utilizado na Isometria. Ele permite determinar não apenas 8, mas sim inúmeros pontos da elipse. Essa é a vantagem da utilização desse procedimento, pois quanto mais pontos forem utilizados para dar suporte ao traçado da curva à mão livre, mais preciso fica o desenho da curva. AB AB UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 42 Parte-se de alguns princípios semelhantes ao procedimento anterior, ver figura 3.31: 1. A elipse será desenhada inscrita em um quadrilátero; 2. Determinam-se 4 pontos de tangência nesse quadrilátero, sendo as tangentes e seus pontos médios; 3. O quadrilátero é dividido em 4 quadrantes. Fig.3.31 Os quadrantes são trabalhados um a um, como mostram as figuras 3.32 e 3.33. No primeiro quadrante dividem-se suas laterais em um número de partes iguais. Nesse exemplo dividiu-se ambos os segmentos em 3 partes iguais. É muito importante que os dois segmentos que formam cada quadrante sejam divididos no mesmo número de partes, ou seja, se dividirmos um em duas partes, devemos dividir o outro também em duas partes. Para demonstrar como desenhar a elipse vamos realizar o procedimento no 1° quadrante e depois repetí-lo nos demais quadrantes. Ligue o ponto A ao ponto 1 do segmento mais próximo e o ponto B ao ponto 1 do outro segmento, o cruzamento dos segmentos A1 e B1 será um ponto da elipse, o ponto C. Observe na figura 3.32. Para determinar mais um ponto no mesmo quadrante, ligue o ponto A ao ponto 2 do segmento mais próximo e o ponto B ao ponto 2 do outro segmento, o cruzamento dos segmentos A2 e B2 será outro ponto da elipse, o ponto D. Observe na figura 3.32. Já é possível traçar, à mão livre, a elipse nesse quadrante. Para fazer isso inicie o traçado no ponto B (que é um ponto de tangência da elipse no quadrilátero envolvente), siga traçando o arco de elipse até o ponto D e depois ao ponto C e finalize o arco de elipse no ponto 0 (que também é um ponto de tangência da elipse no quadrilátero envolvente). Quando esse procedimento é repetido nos outros três quadrantes o resultado é como o da figura 3.33. Fig.3.32 Fig.3.33 Desenho da Oval No caso da Isometria e do Desenho Isométrico, o desenho da elipse pode ser realizado utilizando uma curva chamada de oval regular de quatro centros. Como a oval é muito semelhante a elipse, ela também é conhecida como falsa elipse. UFPE – Departamento de Expressão Gráfica CAPÍTULO 3 – Desenho Isométrico 43 Muitas pessoas preferem desenhar a oval a desenhar elipse, porque a oval pode ser desenhada totalmente com instrumentos (esquadros e compasso), eliminando assim a parte do traçado à mão livre que precisa ser feita quando se desenha uma elipse. Para desenhar a oval parte-se da mesma ideia inicial dos procedimentos anteriores, ou seja, da divisão do quadrilátero em 4 quadrantes. Sendo os pontos M1, M2, M3 e M4 os pontos médios de cada lado, como mostra a figura 3.34. Ao final do procedimento serão desenhados com o compasso
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