3 - Introdução ao Desenho - Geometria Gráfica Tridimensional (GGT) - UFPE

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CAPÍTULO 5 – Verdadeira Grandeza 
 
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CAPÍTULO 5 - Verdadeira Grandeza 
 
5.1. Definições e Usos 
Verdadeira Grandeza (VG) são as medidas angulares e lineares reais de uma das arestas ou 
faces de um objeto - como altura, largura e profundidade. Na área de conhecimento das Engenharias 
é imprescindível o conhecimento das medidas reais, ou verdadeiras grandezas, de um objeto, seja ele 
um parafuso ou um telhado. Geralmente, o uso das verdadeiras grandezas de um objeto está 
atrelado ao cálculo de áreas, e realmente, sem o conhecimento da real medida do perímetro de uma 
superfície, por exemplo, é impossível realizar o cálculo de sua área com precisão. No entanto, saber 
“ler” ou, mais ainda, saber extrair as verdadeiras grandezas de um objeto que está representado no 
Sistema Mongeano é importante não somente no cálculo de áreas, mas também em diversas 
atividades da prática profissional da engenharia, como, por exemplo, análise de projetos e pareceres 
técnicos. 
Nem sempre as características geométricas do objeto representado possibilitam a extração 
direta de suas verdadeiras grandezas, ou seja, algumas vezes mesmo a representação de todas as 
vistas de um objeto não mostram todas as partes deste objeto em VG. Para lidar com situações dessa 
natureza, deve-se dominar o uso de operações gráficas para determinar a VG de superfícies ou de 
arestas. Existem, na Geometria Descritiva, algumas operações gráficas, as principais são: 
� Mudança de Plano; 
� Rotação; e 
� Rebatimento. 
Todas as operações citadas possuem o mesmo objetivo, que é o de determinar a VG de 
objetos geométricos. No entanto, nessa disciplina optou-se por trabalhar com a operação da 
Mudança de Plano para determinar a VG de faces e arestas. Essa opção foi feita porque essa 
operação é a mais versátil, ou seja, com ela se resolve qualquer caso de obtenção de VG. 
 
5.1.1. Compreendendo as três posições básicas: paralela, perpendicular e oblíqua 
 Para compreender o conceito de Verdadeira Grandeza é imprescindível conhecer as três 
posições básicas de referência posicional entre os elementos geométricos que compõem um objeto 
(arestas ou faces) e, principalmente, de referência posicional entre os elementos desse objeto e os 
planos de projeção. São três as posições básicas que um ente geométrico pode assumir: paralela, 
perpendicular e oblíqua. Em outras palavras, arestas e faces podem estar paralelas, perpendiculares 
ou oblíquas entre si ou entre si e os planos de projeção. 
No capítulo 4, onde estudou-se o Sistema Mongeano, essas três posições foram trabalhadas, 
no entanto, o que será feito agora é compreender como cada uma dessas posições pode interferir na 
visualização da VG de arestas e superfícies. 
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Tomando como exemplo a situação da casa da figura 5.1, observa-se a superfície ABCD que 
compõe a coberta. Atenção para a aresta AD e suas projeções nas vistas frontal, superior e nas 
laterais. Na vista superior, a aresta AD está sendo representada por um segmento de reta. Na vista 
frontal, AD está representada por um único ponto e, finalmente, nas vistas laterais, AD aparece 
novamente sendo representada por um segmento de reta. Analisando as quatro vistas 
conjuntamente percebe-se que a aresta AD está perpendicular ao plano de projeção da vista frontal 
e por isso aparece representada por um ponto nessa vista. Todas as vezes que um elemento está 
perpendicular ao plano de projeção, diz-se que ele está em vista básica (VB) nesse plano. Dessa 
maneira, a aresta AD está em VB. Já com relação aos outros três planos de projeção, a aresta AD está 
paralela a esses planos, aparecendo com as mesmas dimensões, que são exatamente as suas 
dimensões reais. Portanto, na vista superior e nas laterais a aresta AD está em verdadeira grandeza. 
É importante ressaltar que a única posição que um objeto pode tomar para que ele esteja em VG é 
quando ele está paralelo a um plano no qual se fará a projeção ortogonal. 
Na mesma figura, a 5.1, a aresta AB está representada por um segmento de reta em todas as 
vistas. No entanto, ela não está na mesma posição com relação a todos os planos de projeção. Na 
vista frontal a aresta AB está em VG, porque está paralela ao plano vertical. Já nas outras três vistas, 
a aresta AB aparece com dimensões reduzidas em relação à suas medidas reais. Isso ocorre porque 
ela está oblíqua aos planos de projeção horizontal e verticais. 
 
 
Casa esquemática representada em vistas ortográficas 
Figura 5.1 
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Portanto, podemos concluir que dependendo da posição da aresta com relação aos planos de 
projeção, podemos ter essa aresta em verdadeira grandeza (VG), em vista básica (VB) ou com 
dimensões reduzidas. Veja o quadro síntese abaixo: 
 
objeto paralelo ao plano de projeção = objeto em verdadeira grandeza (VG) 
objeto perpendicular ao plano de projeção = objeto em vista básica (VB) 
objeto oblíquo ao plano de projeção = objeto com dimensões reduzidas 
 
O mesmo raciocínio utilizado para compreender as posições relativas de uma aresta com 
relação aos planos de projeção deve ser aplicado para as faces do objeto. Como será visto no 
próximo item. 
 
5.2. Sistema Mongeano e Plano Auxiliar 
 
 
 
 
Casa com épura 
Figura 5.2 
Tomando como exemplo uma situação na 
qual é solicitado o cálculo da área da superfície da 
coberta da casa representada em épura na figura 
5.2, para que se possa fazer o cálculo do 
quantitativo de telhas para cobrir o telhado, 
percebe-se que nem a vista superior da casa 
(projeção no plano horizontal), nem na vista frontal 
(projeção no plano vertical) as medidas da 
superfície da coberta são as medidas reais. 
 
 
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Quatro vistas ortográficas 
Figura 5.3 
 
Na figura 5.3 é possível notar que a superfície ABCD (que corresponde à metade da superfície 
da coberta) aparece nas projeções, porém com medidas deformadas. Na vista superior, e nas duas 
laterais, a face aparece com suas medidas reduzidas, já na vista frontal, ela aparece em VB. Dessa 
forma, nenhuma das quatro vistas ortográficas fornece as medidas reais da face ABCD. Isso ocorre 
porque o plano em que a superfície da coberta se apoia é oblíquo tanto ao plano de projeção 
horizontal (π1), quanto aos planos verticais - principal (π2) e auxiliares (π3, π4). Para que o plano 
ABCD fosse mostrado em VG seria necessário que estivesse representado paralelo a um dos planos 
mongeanos. No entanto, embora o plano ABCD não apareça em VG em nenhuma das projeções 
mongeanas, algumas arestas do plano estão representadas em VG em algumas das vistas. E é 
exatamente a noção da união das partes que estão em VG que irá nos auxiliar na aplicação do 
método da Mudança de Plano para a extração da VG de ABCD. 
Observe que na vista frontal a coberta ABCD está representada em VB. Lembrando que a VB 
ocorre quando o objeto representado está perpendicular ao plano de projeção. Consequentemente, 
se o objeto for um segmento de reta, sua representação em VB será um ponto, e se o objeto for um 
plano, sua representação em VB será uma reta, como é o caso do plano ABCD. 
Observe também que os segmentos AB e CD estão paralelos ao plano vertical de projeção 
(π2), portanto estando em VG nessa vista. Os segmentos AD e BC estão paralelos tanto ao plano 
horizontal (π1), como aos planos verticais de projeção (π3 e π4), consequentemente estando em VG 
nessas vistas. Se pudéssemos unir essas partesque estão em VG do plano ABCD teríamos a VG desse 
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plano. Contudo, esse raciocínio, embora útil, é difícil de ser aplicado para o caso de uma face com 
muitas arestas, ou aresta com medidas diferentes por exemplo. Para isso existe a operação da 
Mudança de Plano, com ela podemos reunir as partes da face, da qual se quer a VG, que estão com 
suas medidas reais representadas em planos mongeanos diferentes. 
Para que se conheçam as medidas reais da coberta é necessário se produzir mais uma 
projeção. Vale ressaltar que a condição essencial para se trabalhar no Sistema Mongeano é operar 
dentro de diedros. Portanto, o primeiro passo de uma operação de mudança de plano é criar um 
novo diedro. Um novo diedro terá que ser criado porque nenhum dos diedros já conhecidos (os que 
fornecem as seis vistas mongeanas) colocam o plano que apoia a face da qual se quer a VG na posião 
necessária para se obter suas VGs. Em outras palavras, é preciso criar um diedro, no qual o novo 
plano seja perpendicular a um dos planos mongeanos e ao mesmo tempo seja paralelo à face ABCD, 
como mostra a figura 5.4, visto que somente essa posição fornecerá a VG da face ABCD. No caso do 
exemplo da figura, o novo diedro é composto pelo plano π2 e por um novo plano, também chamado 
de Plano Auxiliar (PA). Por isso é que se dá o nome de “Mudança de Plano” para essa operação 
descritiva. Criado o novo diedro, projeta-se a face ABCD ortogonalmente no PA. 
 
Casa esquemática para mostrar a projeção do telhado no plano auxiliar 
Figura 5.4 
 
 No entanto, temos que realizar a projeção no PA trabalhando de forma bidimensional, ou 
seja, em épura. Para isso o PA deve ser inserido perpendicularmente (ortogonalmente ou em VB), 
com relação a um dos seis planos mongeanos para criar um novo diedro. Como mostra a figura 5.4, 
observe que o PA criou um novo diedro com o plano vertical π2. 
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5.3. Mudança de Plano 
 
Em resumo, na operação da Mudança de Plano utilizamos um novo plano, um plano auxiliar 
(PA) que deve ser paralelo à face da qual se quer a VG. Sabemos também que esse PA deve criar um 
novo diedro com um dos planos mongeanos, portanto ele é inserido em VB em um dos seis planos 
mongeanos. 
Concluímos, portanto, que para se extrair a VG de uma aresta ou face utilizando a Mudança de 
Plano devemos ter duas premissas em mente: 
1. Para visualizar uma face ou aresta em VG, essa face ou aresta precisa ser projetada num PA 
paralelo a ela; 
2. O PA é sempre inserido perpendicularmente (em vista básica) a um dos seis planos 
mongeanos. Essa condição de perpendicularidade ocorre porque é necessário que criar um 
novo diedro. 
Se o PA deve, simultaneamente, ser inserido em VB em um dos seis planos mongeanos e 
estar paralelo à face da qual irá se extrair a VG, logo a face tem que estar em VB em pelo menos 
uma das vistas. 
Dentro da lógica da mudança de plano existem três situações possíveis de posicionamento 
entre os entes geométricos e os planos de projeção. Tais situações serão estudadas a seguir. Cada 
uma das três situações são chamadas de Casos, temos assim: caso 1; caso 2 e caso 3. Essa divisão não 
existe na literatura, ela é resultado de uma opção didática elaborada pelos professores dessa 
disciplina ao longo dos semestres. Elas reúnem todas as possibilidades de posicionamento de uma 
aresta ou face em relação aos planos de projeção. 
No caso 1, a face da qual se quer a VG aparece em VB em pelo menos uma das seis vistas 
mongeanas. No caso 2, a face da qual se quer a VG não está em VB em nenhuma das seis vistas 
mongeanas, mas pelo menos uma de suas arestas aparece em VG em pelo menos uma das seis vistas 
mongeanas. Finalmente, no Caso 3, a face da qual se quer a VG não está em VB em nenhuma das seis 
vistas mongeanas, e também nenhuma de suas arestas aparece representada em VG em nenhuma 
das seis vistas mongeanas. 
 
5.4. Caso 1 
 Identificamos que a situação está no Caso 1, quando a face da qual se quer a VG já aparece 
em vista básica, ou seja, ela aparece reduzida a um segmento de reta em pelo menos um dos seis 
planos mongeanos. Nas situações do caso 1 é necessário apenas um único procedimento para extrair 
a VG da face. 
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Identificando a posição da face que se quer a VG 
Figura 5.5 
Qual é a VG da face 122’1’? 
 
1. Localizar se há algum plano no qual a face 
122’1 esteja representada em VB. 
2. No plano da vista superior (π1) a face 122’1 
está com as arestas 1’2’e 12 em medidas 
reduzidas. Mas as arestas 11’ e 22’ estão em 
VG. 
3. No plano da vista lateral (π3) direita a face 
122’1 também está com as arestas 1’2’e 12 
em medidas reduzidas. Mas as arestas 11’ e 
22’ estão em VG. 
4. Na vista frontal (π2) as arestas 12 e 1’2’ estão 
em VG. 
5. A face 122’1’ está em VB no plano da vista 
frontal, pois está reduzida a um segmento de 
reta. 
 
 
Determinando a VG da face 121’2’ com um procedimento 
Figura 5.6 
Procedimento 1: determinar a VG da 
face 122’1’ 
1. A face 122’1 está em vista básica no 
plano π2. Pois está reduzida a um 
segmento de reta. 
2. Inserimos o plano auxiliar, π4, em VB 
com relação ao plano π2 e paralelo a VB 
da face 122’1’, que também está em VB. 
3. Cria-se o diedro entre π2 e π4. 
4. As arestas 12 e 1’2’ que estavam em VG 
em π2 têm suas medidas projetadas em 
π4, isso é feito através das linhas de 
chamada. 
5. Rebatemos π4 para que ele apareça na 
representação. 
6. Transportamos as medidas com o 
compasso a partir da linha de terra π1 π2 
até os pontos 1’, 1, 2 e 2’ para o PA. 
Com o cuidado de, no momento do 
transporte, centrar na linha de terra 
π2π4 (ver quadro síntese na próxima 
página). 
7. Após o transporte das medidas 
fechamos a linha poligonal unindo os 
vértices. 
Se houver dúvidas no fechamento da linha poligonal, podemos observar a face da qual estamos 
extraindo a VG em alguma das projeções mongeanas. 
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IMPORTANTE: 
Um aspecto relevante sobre as linhas de chamada é o fato de que estas estabelecem uma 
relação de ortogonalidade dentro do diedro. As linhas de chamada transportam medidas de um plano 
a outro dentro do diedro formado por ambos. Portanto, as linhas de chamada sempre estão 
perpendiculares à linha de terra do diedro ao qual pertence. 
Outro aspecto que merece atenção é o transporte das medidas para o PA. Há uma dúvida 
recorrente com relação ao transporte de medidas no momento de rebater o Plano Auxiliar. Existem 
duas maneiras de visualizar de que lugar devemos extrair as medidas para o transporte: 
1) Observar os eixos coordenados. Se por exemplo o PA foi inserido em π2, estamos 
trabalhando com larguras (x) e alturas (z), portanto quando rebatermos o PA as medidas 
que aparecerão serão as profundidades (y). 
2) Observar a relação do diedro. Se fecharmos os diedros do desenho, voltando a relação em 
3D, podemos, facilmente, observar de onde deveremos extrair as medidas que queremos. 
É importante lembrar que esse transporte deve ser feito com o compasso e utilizando as 
distâncias de plano a ponto, para evitar erros. 
 
 
5.5. Caso 2 
 Identificamos que a situação está no Caso 2, quando a face da qual se quer a VG não aparece 
em vista básica. No entanto, existe pelo menos uma aresta, pertencente à face, em VG. Esse será 
nosso ponto de partida. 
 Nas situações do Caso 2 são necessários dois procedimentos para extrair a VG da face. Isso 
ocorreporque para extrair a VG da face precisamos que ela esteja em VB, só assim podemos inserir o 
PA, também em VB, paralelo a face da qual se quer a VG. Como a face não está em VB, precisamos 
realizar um procedimento anterior ao que realizamos para o Caso 1. Esse procedimento anterior 
consiste em fazer uma vista auxiliar (utilizando um plano auxiliar) para reduzir a face para a VB. Após 
esse procedimento inicial teremos a face em VB, voltando assim para uma situação de Caso 1. 
Observe a figura. 
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Qual é a VG da face 122’1’? 
1. Localizar se há algum plano no qual 122’1’ 
esteja representada em VB. Nesse caso 
não há. 
2. Precisamos fazer uma vista auxiliar, 
utilizando um plano auxiliar para reduzir a 
face 122’1’ à VB. 
3. Para que um PA visualize a face 122’1’ em 
VB esse plano precisa estar perpendicular 
à face. Para simplificar: se o PA estiver 
perpendicular a qualquer aresta 
pertencente a face 122’1’ irá reduzir essa 
aresta à VB (que é um ponto), 
consequentemente irá reduzir toda a face 
122’1’ à VB (que é um segmento de reta). 
4. Mas para fazer isso, precisamos trabalhar 
com a VG de uma aresta pertencente à 
face 122’1’ que está em VG. 
5. Em π2, identificamos que as arestas 1’2’ e 
12 estão paralelas à π1, portanto, em π1 
essas arestas estão em VG. 
6. Faremos o procedimento com base na VG 
do segmento. 
 
Identificando a posição da face que se quer a VG 
Figura 5.7 
 
Procedimento 1: determinar a VB da 
face 122’1’ 
1. Para o PA visualizar a face 122’1’ em VB 
ele precisa estar perpendicular a VG de 
uma aresta dessa face. 
2. Em π2, identificamos que as arestas 1’2’ 
e 12 estão paralelas à π1, portanto, em 
π1 essas arestas estão em VG. 
3. Inserimos o PA perpendicular à VG da 
aresta 1’2’ (nesse caso, também 
poderia ser a aresta 12). 
4. Projetamos a face no PA. 
5. Rebatemos o PA, transportando de 
compasso as medidas a partir da linha 
de terra π1PA até os pontos 1’, 1, 2 e 2’ 
para o PA. Com o cuidado de, no 
momento do transportar, centrar na 
linha de terra π1PA. (observar o texto 
relativo ao transporte de medidas). 
6. A face 122’1’ aparece projetada em VB 
no PA. 
7. Voltamos a ter a condição do Caso 1, na 
qual temos a face da qual queremos a 
VG em VB. 
 
Determinando a VB da face 121’2’ com o primeiro procedimento 
Figura 5.8 
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Procedimento 2: determinar a VG da 
face 122’1’ 
1. A face 122’1’ está em VB no plano 
auxiliar π4, pois está reduzida a um 
segmento de reta. 
2. Inserimos um plano auxiliar, π5, em VB 
com relação a π4 e paralelo à VB da face 
122’1’. 
3. Cria-se o diedro entre π4 e π5. 
4. Projeta-se a face 122’1’ em π5. 
5. Rebatemos π5, transportando as 
medidas com o compasso a partir da 
linha de terra π1 π4 até os pontos 1’, 1, 2 
e 2’ para π5. Com o cuidado de, no 
momento do transporte, centrar na 
linha de terra π4π5 (para esse 
transporte, perdemos a referência dos 
eixos coordenados, devemos utilizar a 
relação do diedro). 
6. Após o transporte das medidas 
fechamos a linha poligonal unindo os 
vértices 1, 2, 1’ e 2’. 
 
 
Determinando a VG da face 121’2’ com o segundo procedimento 
Figura 5.9 
 
5.6. Caso 3 
 Identificamos que a situação está no Caso 3, quando a face da qual se quer a VG não aparece 
em vista básica e nenhuma aresta pertencente à face está em VG em nenhum dos seis planos 
mongeanos. 
 Nas situações do Caso 3, a exemplo do que ocorreu nas situações do Caso 2, também são 
necessários dois procedimentos para extrair a VG da face. Isso ocorre porque para extrair a VG da 
face precisamos que ela esteja em VB, só assim podemos inserir o PA, também em VB, paralelo à face 
da qual se quer a VG. Como a face não está em VB, precisamos realizar um procedimento anterior ao 
que realizamos para o Caso 1. Esse procedimento anterior consiste em fazer uma vista auxiliar 
(utilizando um plano auxiliar) para reduzir a face para a VB. Após esse procedimento inicial teremos a 
face em VB, voltando assim para uma situação de Caso 1. Observe a figura. 
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Identificando a posição da face que se quer a VG 
Figura 5.10 
 PROCEDIMENTO INICIAL: destacar a VG 
de segmento da face 123 
1. Precisamos projetar a VB da face 123 para 
extrair sua VG. 
2. Para projetar a face 123 em VB precisamos 
de uma aresta em VG. Porém, nenhuma 
aresta pertencente a face 123 está em VG. 
3. A partir de um vértice da face, no caso da 
figura, o vértice 2, traçamos o segmento de 
reta 2P, paralelo à π1. Se P pertence a 
aresta 31, irá, consequentemente, 
pertencer a todas as projeções de 31. 
Sendo assim, descemos uma linha de 
chamada a partir de P até a sua projeção 
em π1. 
4. Em π1, o segmento de reta 2P está em VG. 
Dessa forma, voltamos a uma situação 
semelhante ao caso 2. 
 
 
Determinando a VB da face 123 com o primeiro procedimento 
Figura 5.11 
Procedimento 1: determinar a VB da 
face 123 
1. Posicionar π4 perpendicular ao 
segmento 2P. 
2. Projetamos a face 123 em π4 . 
3. Rebatemos π4, transportando de 
compasso as medidas a partir da 
linha de terra π1π2 até os pontos 1, 2 
e 3 para π4. Com o cuidado de, no 
momento de transportar, centrar na 
linha de terra π1 π4. 
4. A face 123 aparece projetada em VB 
em π4. 
5. Voltamos a ter uma condição do 
Caso 1, na qual temos a face da qual 
queremos a VG em VB. 
 
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Determinando a VG da face 123 com o segundo procedimento 
Figura 5.12 
 
Procedimento 2: determinar a VG da face 123 
1. A face 123 está em vista básica no Plano auxiliar π4. Pois está reduzida a um segmento de reta. 
2. Inserimos um plano auxiliar π5, em VB com relação a π4 e paralelo a VB da face 123. 
3. Cria-se o diedro entre π4 e π5. 
4. Projeta-se a face 123 em π5. 
5. Rebatemos π5, transportando as medidas com o compasso a partir da linha de terra π1 π4 até os 
pontos 1, 2 e 3 para π5. Com o cuidado de, no momento do transportar, centrar na linha de terra 
π4 π5. (para esse transporte, perdemos a referência dos eixos coordenados, devemos utilizar a 
relação do diedro). 
6. Após o transporte das medidas fechamos a linha poligonal unindo os vértices 1, 2 e 3. Se houver 
dúvidas no fechamento da linha poligonal, podemos observar a face da qual estamos extraindo a 
VG em alguma das projeções mongeanas. 
 
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CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
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CAPÍTULO 6 – SEÇÃO PLANA 
6.1. Introdução ao Conceito de Seção Plana e Interseção 
 
6.1.1. Superfície e Sólido 
 
Superfície é uma região que possui dois comprimentos. Segundo Rangel (1979) a definição 
mais básica e abrangente para qualquer superfície é a definição de Gaspar Monge: “Superfície é o 
limite da extensão a três dimensões”. Porém, no intuito de ampliar o entendimento de superfícies 
Rangel apresenta mais três definições: “a) Superfície é a película sem espessura que separa duas 
regiões no espaço tridimensional; b) É o lugar geométrico dos pontos comuns a duas regiões 
tridimensionais e; c) É todo lugar bidimensional” (Rangel, 1979, p. 97). 
Portando, as superfícies podem possuir diferentes formas. As figuras abaixo mostram 
diferentes exemplos de superfícies. As figuras 6.1, 6.2 e 6.3 mostram uma superfície cilíndrica, uma 
superfície cônica e uma superfície esférica, respectivamente, as três possuem leis de geração, sendo 
assim consideradas superfícies geométricas: “Toda superfíciegeométrica pode ser gerada por uma 
linha que se move segundo uma lei dada” (Chaput, 1949, p. 193). 
As figuras 6.4 e 6.5 trazem exemplos de superfícies não geométricas, porque possuem uma 
forma irregular que não estão submetida a nenhuma lei de geração. A figura 6.6 é um caso particular 
de superfície, pois trata-se de uma superfície plana. A superfície plana também é um exemplo de 
superfície geométrica. 
 
 
Superfície Cilíndrica 
Figura 6.1 
http://www.mat.ufmg.br/ 
 
Superfície Cônica 
Figura 6.2 
http://www.professores.uff.br/ 
 
Superfície Esférica 
Figura 6.3 
http://www.professores.uff.br/ 
 
Superfície curva qualquer 
Figura 6.4 
http://knowledge.autodesk.com/support/autoc
ad/ 
 
Superfície de um bule 
Figura 6.5 
http://knowledge.autodesk.com/support/autoc
ad/ 
 
Superfície plana 
Figura 6.6 
http://7dasartes.blogspot.com.br/ 
 
 
As superfícies fechadas, a exemplo da 
exterior. O espaço interior à superfície é o seu volume e todo o restante é o espaço exterior. A soma 
da superfície com o espaço interior chama
sólido composto pela superfície esférica somada
sólidos podem ser classificados em dois grandes grupos: o
esfera é um exemplo de sólido de revolução (figura 6.7). Já os sólidos da figura 6.8, são exemplos de 
poliedros. 
 
Esfera 
Figura 6.7 
http://geometriaespacial-3g.blogspot.com.br/
 
Nessa apostila serão trabalhados
pirâmide e cilindro, como mostra a figura 6.9
 
 Prisma 
 
6.1.2. Interseção e Seção 
 
O conceito de interseção
o mesmo da Matemática, isto é, 
que fazem parte do conjunto interseção são os 
elementos comuns aos conjuntos relacionados
Na geometria uma interseção ocorre entre
geométricos: retas, sólidos e superfícies.
6.10 mostra a interseção (I) entre a porção de 
uma superfície esférica (E) e um cone (C). 
 
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As superfícies fechadas, a exemplo da superfície esférica, figura 6.3
superfície é o seu volume e todo o restante é o espaço exterior. A soma 
da superfície com o espaço interior chama-se sólido (Rangel, 1982:3). Por exemplo, 
superfície esférica somada a toda região compreendida por essa su
sólidos podem ser classificados em dois grandes grupos: os poliedros e os sólidos de revolução. A 
esfera é um exemplo de sólido de revolução (figura 6.7). Já os sólidos da figura 6.8, são exemplos de 
 
3g.blogspot.com.br/ 
Poliedros
Figura 6.
http://www.reidaverdade.net/o
stila serão trabalhados sólidos geométricos básicos, são eles
, como mostra a figura 6.9. 
 Cone Pirâmide 
Figura 6.9 
interseção na Geometria é 
atemática, isto é, os elementos 
que fazem parte do conjunto interseção são os 
elementos comuns aos conjuntos relacionados. 
ma interseção ocorre entre entes 
e superfícies. A figura 
6.10 mostra a interseção (I) entre a porção de 
uma superfície esférica (E) e um cone (C). 
Interseção entre 
Figura 6.
 http://www.mat.uel.br/geometrica/
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CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
85 
figura 6.3, admitem interior e 
superfície é o seu volume e todo o restante é o espaço exterior. A soma 
Por exemplo, a esfera é um 
a toda região compreendida por essa superfície. Os 
s poliedros e os sólidos de revolução. A 
esfera é um exemplo de sólido de revolução (figura 6.7). Já os sólidos da figura 6.8, são exemplos de 
 
Poliedros 
Figura 6.8 
http://www.reidaverdade.net/o-que-sao-poliedros.html 
geométricos básicos, são eles: prisma, cone, 
 
Cilindro 
 
Interseção entre superfícies 
Figura 6.10 
http://www.mat.uel.br/geometrica/ 
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CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
86 
 
 
A interseção mais simples e mais facilmente percebida é da figura 6.11, que ilustra a 
interseção entre duas retas, marcada por um ponto comum às duas retas. A interseção entre uma 
reta é uma superfície também é marcada por um ponto (figura 6.12) ou por mais pontos (figura 6.13). 
A interseção entre um plano e uma reta, não pertencente a este, é marcada por um ponto (A), 
como ilustra a figura 6.14. A interseção entre dois planos é marcada por um reta. No caso da figura 
6.15, onde os planos são perpendiculares entre si, a interseção entre é chamada de Linha de Terra, 
ou, simplesmente, LT, como vimos no estudo do sistema mongeano. 
 
 
Interseção entre duas retas 
Figura 6.11 
 
 
 
Interseção entre superfície e reta 
(um ponto) 
Figura 6.12 
 
 
 
Interseção entre superfície e reta 
(vários pontos) 
Figura 6.13 
 
 
Interseção entre reta e plano 
Figura 6.14 
 
 
Interseção entre planos perpendiculares entre si. 
Interseção = Linha de Terra 
 Figura 6.15 
 
 
 Foram vistos alguns exemplos de interseções, porém não foram esgotadas todas as 
possibilidades, podem existir interseções entre superfícies, entre superfícies e sólidos ou ainda entre 
sólidos. 
A definição de seção em geometria também pode ser encontrada nos dicionários: 
 “Seção: 1 Ato ou efeito de seccionar. 2 Lugar onde uma coisa está cortada. 3 Cada uma das 
partes em que um todo foi seccionado ou separado; segmento. (...) 6 Desenho da figura que 
resultaria do corte de qualquer coisa por um plano, geralmente vertical. (...) 8 Geom Figura 
proveniente da interseção de um sólido ou superfície por um plano. (...).” 
(http://michaelis.uol.com.br/) 
O conceito de seção está incluso no conceito de interseção porque para realizar o estudo da 
seção, por exemplo, entre um plano de seção, também chamado de plano setor, e um objeto, temos 
que determinar pontos e arestas em comum entre ambos, ou seja, temos que determinar as 
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CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
87 
 
interseções entre o plano da seção e os elementos do objeto que está sendo seccionado. Dessa 
forma, podemos afirmar que toda seção é uma interseção. 
6.2. Seção plana de sólidos geométricos básicos 
A seção plana envolve um plano e um sólido ou superfície. O plano “corta” o sólido ou 
superfície. No caso da seção plana de uma superfície, a seção será a linha de interseção entre o plano 
e esta superfície. No caso da seção plana de um sólido, a seção resultante será uma figura plana, que 
compreende toda a região de interseção entre o plano e o sólido. 
As possibilidades de posição de plano setor são infinitas. Nessa apostila, por uma opção 
didática, o plano setor será sempre fornecido em vista básica em uma das vistas mongeanas. Além 
disso, serão exploradas algumas posições que melhor representam essa variedade de possibilidades e 
que, consequentemente, ilustram grande parte das situações encontradas na atividade profissional 
de um engenheiro. Dessa forma, serão exemplificadas várias posições de plano setor para cada sólido 
geométrico. Para facilitar o entendimento, o plano horizontal (também chamado de plano do chão, 
ou ainda π1) sempre será a referência para a posição do plano setor. 
6.2.1 Seção Plana de Prismas 
Para trabalhar com a seção de prismas, será usado como exemplo um prisma reto de base 
quadrangular. Estudaremos as seções de prismas em três situações, que são: 
1) Plano de Seção Paralelo ao Plano Horizontal (PH): no caso do prisma de base quadrangular da 
figura 6.16, a seção produzida é um polígono igual ao polígono da base, como mostra a figura 6.17. 
 
Prisma seccionado por um plano paralelo ao PH 
Figura 6.16 
 
Prisma truncado após a seção 
Figura 6.17 
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CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
88 
 
 
 
A figura 6.18 mostra como fica a 
representação, em vistas mongeanas, da 
seção de um plano paralelo ao PH em um 
prismade base quadrangular (o Sistema 
Mongeano de representação foi estudado no 
capítulo 4). 
Observe que plano setor α está dado na 
vista frontal, e nela ele aparece em vista 
básica. A seção propriamente dita também 
aparece em vista básica nessa vista. O mesmo 
ocorre na vista lateral, onde a área seccionada 
está reduzida a um segmento de reta. Na vista 
superior a área seccionada, representada por 
uma hachura, é uma região igual a da base. 
 
Vistas mongeanas de um prisma seccionado 
 por um plano paralelo ao PH 
Figura 6.18 
 
2) Plano de Seção Oblíquo ao Plano Horizontal (PH): no caso da figura 6.19, a seção produzida é um 
polígono diferente do polígono da base, conforme mostra a figura 6.20. 
 
Prisma seccionado por um plano oblíquo ao PH 
Figura 6.19 
 
Prisma truncado após a seção 
Figura 6.20 
 
A figura 6.21 mostra como fica a 
representação, em vistas mongeanas, da 
seção de um plano oblíquo ao PH em um 
prisma de base quadrangular. 
Observe que plano setor α está dado 
na vista frontal, em vista básica. A área 
seccionada também aparece em vista 
básica nessa vista. Nas vistas superior e 
lateral, as áreas seccionadas estão 
representadas por hachuras, ambas são 
regiões quadrangulares com dimensões 
diferentes das dimensões da base e do 
topo. 
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CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
89 
 
Vistas mongeanas de um prisma seccionado 
por um plano oblíquo ao PH 
Figura 6.21 
 
3) Plano de Seção Perpendicular ao Plano Horizontal (PH): nesse exemplo, o plano setor está 
perpendicular ao plano do chão e está paralelo à face frontal do prisma (ver figura 6.22). Nesse caso, 
a seção produzida é um polígono igual à face frontal, conforme mostra a figura 6.23. 
 
 
Prisma seccionado por um plano perpendicular ao PH 
Figura 6.22 
 
Prisma truncado após a seção 
Figura 6.23 
 
 
A figura 6.24 mostra como fica a 
representação, em vistas mongeanas, da 
seção de um plano perpendicular ao PH em 
um prisma de base quadrangular. 
Observe que plano setor α está dado na vista 
superior, portanto nessa vista ele aparece em 
vista básica. A seção também está em vista 
básica nessa vista mongeana. O mesmo ocorre 
na vista lateral, onde a seção também está em 
vista básica. Já na vista frontal, a área 
seccionada, representada por uma hachura, é 
um polígono igual à face frontal, uma vez que 
o plano está paralelo a essa face. 
 
Vistas mongeanas de um prisma seccionado 
por um plano perpendicular ao PH 
Figura 6.24 
6.2.2 Seção Plana de Pirâmides 
Para trabalhar com a seção de pirâmides, será usada como exemplo uma pirâmide reta de 
base quadrangular. Serão estudadas quatro posições básicas para o plano de seção, são elas: 
1) Plano Paralelo ao PH: no caso da pirâmide de base quadrangular da figura 6.25, a seção produzida 
é um polígono semelhante ao polígono da base, como mostra a figura 6.26. Nas pirâmides, a seção 
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CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
90 
 
resultante de um plano setor paralelo ao chão é diferente da do prisma porque nas pirâmides as 
faces laterais concorrem no vértice, ou seja, as arestas laterais não são paralelas entre si, como nos 
prismas, e por isso, não mantêm as distâncias entre si. 
 
Pirâmide seccionada por um plano paralelo ao PH 
Figura 6.25 
 
Pirâmide truncada após a seção 
Figura 6.26 
 
Vistas mongeanas de uma pirâmide seccionada 
por um plano paralelo ao PH. Figura 6.27 
 A figura 6.27 mostra como fica a 
representação, em vistas mongeanas, da seção de 
um plano paralelo ao PH em uma pirâmide de base 
quadrangular. Observe que plano setor α está 
dado na vista frontal, portanto em vista básica. A 
área seccionada, também está em vista básica 
nessa vista. O mesmo ocorre na vista lateral, onde 
a seção está reduzida a um segmento de reta, pois 
também está em vista básica. Já na vista superior, 
a área seccionada, representada por uma hachura, 
é uma região semelhante, porém menor que a da 
base da pirâmide. 
 
 
2) Plano de Seção Oblíquo ao PH: no caso da figura 6.28, a seção produzida é um polígono diferente 
do polígono da base, conforme mostra a figura 6.29. 
 
 
Pirâmide seccionada por um plano oblíquo 
Figura 6.28 
 
Pirâmide truncada após a seção 
Figura 6.29 
 
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CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
91 
 
 
Vistas mongeanas de uma pirâmide seccionada 
 Por um plano oblíquo ao PH 
Figura 6.30 
A figura 6.30 mostra como fica a 
representação, em vistas mongeanas, da seção de 
um plano oblíquo ao PH em uma pirâmide de 
base quadrangular. 
Observe que plano setor α está dado na 
vista frontal em vista básica, portanto a área 
seccionada nesta vista coincide com a 
representação do plano, ou seja, também está 
em vista básica. Nas vistas superior e lateral as 
áreas seccionadas estão representadas por 
hachuras, ambas são regiões quadrangulares de 
dimensões diferentes das da base, observe que a 
base é um quadrado e as seções das vistas 
superior e lateral são trapézios, isso ocorre por 
conta da obliquidade do plano setor α. 
 
3) Plano de Seção Perpendicular ao PH: no caso da pirâmide, como mostra a figura 6.31, a seção 
produzida é um polígono diferente do polígono da face frontal, conforme mostra a figura 6.32. 
 
Pirâmide seccionada por um plano perpendicular ao PH 
Figura 6.31 
 
Pirâmide truncada após a seção 
Figura 6.32 
 
Vistas mongeanas de pirâmide seccionada 
por um plano perpendicular ao PH 
Figura 6.33 
A figura 6.33 mostra como fica a 
representação, em vistas mongeanas, da 
seção de um plano perpendicular ao PH em 
uma pirâmide de base quadrangular. 
Observe que plano setor α está dado na 
vista superior, portanto, nessa vista, tanto o 
plano de seção quanto a área seccionada 
aparecem em vista básica. Na vista lateral, a 
área seccionada também está em vista 
básica, portanto, reduzida a um segmento de 
reta. Já na vista frontal, área seccionada 
representada por uma hachura, é um 
polígono diferente do polígono da face 
frontal. 
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CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
92 
 
 
4) Plano de Seção Perpendicular ao PH Passando pelo Vértice: no caso da pirâmide como mostra 
a figura 6.34, a seção produzida é um triângulo semelhante à face frontal, conforme mostra a 
figura 6.35. 
 
 
Pirâmide seccionada por um plano perpendicular 
ao PH que passa pelo vértice 
Figura 6.34 
 
Pirâmide truncada após a seção 
Figura 6.35 
 
 
 
Vistas mongeanas de pirâmide seccionada 
Por um plano perpendicular ao PH que passa pelo vértice 
Figura 6.36 
A figura 6.36 mostra como fica a 
representação, em vistas mongeanas, da 
seção de um plano perpendicular ao PH, 
passando pelo vértice, em uma pirâmide de 
base quadrangular. 
Observe que plano setor α está dado na 
vista superior, portanto, nessa vista, tanto p 
plano de seção quanto a seção propriamente 
dita aparecem em vista básica. Na vista 
lateral a área seccionada também está 
reduzida a um segmento de reta, portanto 
em vista básica. Já na vista frontal área 
seccionada, representada por uma hachura, é 
um triângulo semelhante ao da face frontal, 
observe que as medidas do triângulo da 
seção são um pouco menores do que as 
medidas das arestas da face. 
6.2.3 Seção Plana de Cilindros 
Para trabalhar com a seção de sólidos curvos, como o cone e o cilindro, é necessário utilizar os 
conceitos de lei de geração e de geratrizes de limite de visibilidade. Para realizar qualquer seção em 
um cilindro, ou um cone, serão utilizadas suasgeratrizes retas e suas geratrizes curvas, conforme 
mostram as figuras 6.37 e 6.38. 
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CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
93 
 
 
As geratrizes retas e curvas de um cilindro reto 
Figura 6.37 
 
As geratrizes retas e curvas de um cone reto 
Figura 6.38 
 
Para o estudo da seção plana de cilindros será utilizado como exemplo um cilindro reto. A 
exemplo da pirâmide, estudaremos quatro posições básicas: 
1) Plano de Seção Paralelo ao PH: no caso do cilindro reto da figura 6.39, a seção produzida é uma 
circunferência igual à circunferência da base, como mostra a figura 6.40. 
 
Cilindro seccionado por um plano paralelo 
Figura 6.39 
 
Cilindro truncado após a seção 
Figura 6.40 
 
A figura 6.41 mostra como fica a 
representação, em vistas mongeanas, da seção 
de um plano paralelo ao PH em um cilindro reto. 
Observe que plano setor α está dado na 
vista frontal, portanto em vista básica. Do 
mesmo modo, a área seccionada aparece 
reduzida a uma reta nessa vista. Na vista lateral, 
a área seccionada também aparece em vista 
básica. Na vista superior, a área seccionada, 
representada por uma hachura, é uma região 
igual a da base, ou seja, uma circunferência. 
Como o cilindro é um sólido redondo, para 
determinar os pontos da seção que “cortam” a 
face curva deve-se trabalhar com as geratrizes 
de limite de visibilidade. Vistas mongeanas de um cilindro seccionado 
por um plano paralelo ao PH - Figura 6.41 
 
Na vista frontal, as geratrizes são g1 e g2, como mostra a figura 6.41. A partir delas 
determinamos os pontos 1 e 2 em todas as vistas. Tais pontos pertencem tanto à seção como à face 
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CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
94 
 
curva do cilindro. Na vista lateral, os limites de visibilidade são as geratrizes g3 e g4. A partir delas 
foram determinados os pontos 3 e 4 em todas as vistas. 
2) Plano de Seção Oblíquo sem Cortar a Base: no caso da figura 6.42, o plano setor está oblíquo ao 
PH e “corta” as geratrizes retas e curvas da face curva do cilindro. A seção produzida é uma elipse, 
conforme mostra a figura 6.43. 
Cilindro seccionado por um plano oblíquo ao PH 
Figura 6.42 
 
Cilindro truncado após a seção 
Figura 6.43 
A figura 6.44 mostra como fica a representação, em vistas mongeanas, da seção de um plano 
oblíquo ao Ph em um cilindro reto. 
Observe que plano setor α está dado na vista frontal, portanto tanto o próprio plano de seção 
quanto a seção aparecem em vista básica. Na vista superior a área seccionada, que está hachurada, 
tem sua representação igual a da circunferência da base, no entanto a curva da seção é uma elipse. 
Isso ocorre porque quando a elipse é projetada na vista superior ela fica aparentemente com as 
mesmas dimensões da base. 
Na vista lateral a área seccionada, 
que está representada por hachura, 
corresponde a uma elipse com dimensões 
reduzidas no sentido do eixo menor por 
conta do plano setor que está oblíquo à 
vista lateral. 
Para determinar os pontos da seção 
que “cortam” o cilindro deve-se trabalhar 
com as geratrizes de limite de visibilidade. 
Na vista frontal, as geratrizes são g1 e g2, a 
partir delas determinamos os pontos 1 e 2, 
em todas as vistas. Tais pontos pertencem 
tanto à seção como à face curva do cilindro. 
Na vista lateral os limites de visibilidade são 
as geratrizes g3 e g4, a partir delas foram 
determinados os pontos 3 e 4, em todas as 
vistas. Vistas mongeanas de um cilindro seccionado 
por um plano oblíquo ao PH 
Figura 6.44 
 
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CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
95 
 
3) Plano de Seção Oblíquo ao PH Cortando uma das Superfícies Planas do Cilindro: no caso da figura 
6.45, o plano setor está oblíquo “cortando” a face curva do cilindro, mas também “corta” a face 
plana, que tem forma de circunferência. Nesse caso, a seção produzida é um arco de elipse somado a 
um segmento de reta, conforme mostra a figura 6.46. 
 
Cilindro seccionado por um plano oblíquo ao PH 
Figura 6.45 
 
Cilindro truncado após a seção 
Figura 6.46 
 A figura 6.47 mostra como fica a representação, em vistas mongeanas, da seção de um plano 
oblíquo ao PH, que passa por uma das suas superfícies planas, em um cilindro reto. 
 Observe que plano setor α está dado na vista frontal, em vista básica, portanto nessa vista a 
área seccionada coincide com a representação do plano. Na vista superior, a área seccionada, que 
está representada por hachura, é limitada por um arco de circunferência somado a um segmento de 
reta. O arco de circunferência corresponde ao arco de elipse projetado na vista superior, o 
segmento de reta corresponde à região na qual o plano setor “corta” a base. 
Na vista lateral a área seccionada, que está 
representada por hachura, corresponde a um 
arco de elipse somado a um segmento de reta. O 
arco de elipse apresenta um tamanho reduzido 
no sentido do eixo maior. 
Para determinar os pontos da seção que 
“cortam” o cilindro deve-se trabalhar com as 
geratrizes de limite de visibilidade. Na vista 
frontal, as geratrizes são g1 e g2, porém a seção 
não passa pela geratriz g1. A partir de g2 
determinamos o ponto 2, em todas as vistas. Tal 
ponto pertence tanto à seção como a face curva 
do cilindro. Ainda na vista frontal, determinamos 
os pontos 1 e 1’ que estão no topo do cilindro, 
que é a face plana do cilindro em forma de 
circunferência. Na vista lateral direita, os limites 
de visibilidade são as geratrizes g3 e g4, a partir 
delas foram determinados os pontos 3 e 4, em 
todas as vistas. 
 
Vistas mongeanas de um cilindro seccionado 
por um plano oblíquo ao PH que passa pela 
superfície plana superior 
Figura 6.47 
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CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
96 
 
4) Plano de Seção Perpendicular ao PH: no caso da figura 6.48, o plano setor está perpendicular 
“cortando” as geratrizes curvas da face curva. A seção produzida é um quadrilátero (nesse caso um 
retângulo), sendo dois dos lados iguais às geratrizes retas e os outros dois lados secantes às 
circunferências da base e do topo do cilindro, conforme mostra a figura 6.49. 
 
Cilindro seccionado por um plano perpendicular ao PH 
Figura 6.48 
Cilindro truncado após a seção 
Figura 6.49 
 
A figura 6.50 mostra como fica a 
representação, em vistas mongeanas, da 
seção de um plano perpendicular ao PH em 
um cilindro reto. 
 Observe que plano setor α está dado na 
vista superior, portanto a área seccionada 
nesta vista coincide com a representação do 
plano, ou seja, também está em vista básica. 
Na vista frontal, a área seccionada, que está 
representada por hachura, corresponde a um 
quadrilátero, sendo os segmentos 13 e 24 
iguais às geratrizes retas do cilindro. Os 
segmentos 12 e 34 são secantes à face plana 
do cilindro que tem forma de circunferência. 
Na vista lateral, a área seccionada, está 
representada por um segmento de reta, uma 
vez que o plano setor se encontra em vista 
básica. Observe que o plano setor não 
interceptou as geratrizes de limite de 
visibilidade. 
 
Vistas mongeanas de um cilindro seccionado 
por um plano oblíquo ao PH que passa 
pelo topo do cilindro 
Figura 6.50 
6.2.4 Seção Plana de Cones 
 O estudo de seções planas nos cones poderia ser um capítulo a parte. Isso porque elas geram 
as quatro curvas cônicas, conforme mostra a figura 6.51: circunferência (a), parábola (b), elipse 
(c) e hipérbole (d). Cada curva cônica possui propriedades geométricas específicas. O tipo de 
curva cônica depende da posição que o plano deseção toma em relação ao PH quando está 
cortando a superfície cônica. 
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CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
97 
 
 
As quatro curvas cônicas: circunferência (a), parábola (b), elipse (c) e hipérbole (d) 
Figura 6.51 
 
Conforme foi dito anteriormente, para trabalhar com a seção de sólidos redondos, como o 
cone e o cilindro, é necessário utilizar os conceitos de lei de geração e de geratrizes de limite de 
visibilidade. Para realizar qualquer seção em cones serão utilizadas suas geratrizes curvas e suas 
geratrizes retas, as quais são mostradas nas figuras 6.52 e 6.53. Será tomado como referência o cone 
esquemático da figura 6.54. 
 
 
 
As geratrizes retas do cone 
Figura 6.52 
As geratrizes curvas do cone 
Figura 6.53 
Vista esquemática do cone com seus 
elementos formadores 
Figura 6.54 
 
Para o estudo da seção plana do cone será utilizado como exemplo um cilindro reto. 
Diferentemente dos outros sólidos estudados, estudaremos cinco posições básicas para o plano de 
seção, são elas: 
 
 
 
 
 
 
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98 
 
1) Plano de Seção Paralelo ao PH - circunferência: caso do cone reto da figura 6.55, a seção 
produzida é uma circunferência semelhante à circunferência da base, como mostra a figura 6.56. 
 
Cone seccionado por um plano paralelo 
Figura 6.55 
 
Cone truncado após a seção 
Figura 6.56 
 
 A figura 6.57 mostra um cone 
esquemático sendo cortado pelo plano 
setor α. Quando o plano setor está 
paralelo ao PH – ou ainda, perpendicular 
ao eixo gerador “e” – irá produzir uma 
seção em forma de circunferência. 
 Importante: a circunferência é um 
caso particular que acontece apenas 
quando o plano setor está perpendicular 
ao eixo “e”. 
 
Cone esquemático mostrando a posição do 
plano de seção paralelo ao PH 
Figura 6.57 
 
Vistas mongeanas de um cone seccionado 
por um plano paralelo ao PH 
Figura 6.58 
 
A figura 6.58 mostra como fica a 
representação, em vistas mongeanas, da seção 
de um plano paralelo ao PH em um cone reto. 
Observe que plano setor α está dado na 
vista frontal, portanto a área seccionada nesta 
vista coincide com a representação do plano, 
ou seja, está em vista básica. Na vista lateral, a 
área seccionada está reduzida a um segmento 
de reta, porque também está em vista básica. 
Na vista superior, a área seccionada, 
representada por uma hachura, é uma região 
semelhante à da base, ou seja, uma 
circunferência com diâmetro menor do que a 
circunferência da base. 
 Como o cone é um sólido redondo, para 
determinar os pontos da seção que “cortam” a 
face curva deve-se trabalhar com as geratrizes 
de limite de visibilidade. 
 
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CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
99 
 
Na vista frontal, as geratrizes são g1 e g2, a partir delas determinamos os pontos 1 e 2 em 
todas as vistas, os quais pertencem tanto à seção como à face curva do cilindro. Na vista lateral, os 
limites de visibilidade são as geratrizes g3 e g4, a partir delas foram determinados os pontos 3 e 4, 
em todas as vistas. 
2) Plano de Seção Oblíquo ao PH - elipse: no caso da figura 6.59, o plano setor está oblíquo ao PH, ou 
seja, “cortando” as geratrizes retas e curvas da face curva do cone. A seção produzida é uma elipse, 
conforme mostra a figura 6.60. 
 
Cone seccionado por um plano oblíquo ao PH. Figura 6.59 
 
Cone truncado após a seção 
Figura 6.60 
 A figura 6.61 mostra um cone esquemático sendo 
cortado por um plano setor oblíquo ao PH. Quando o plano 
setor forma um ângulo Ɵ com o PH, irá produzir uma seção 
em forma de elipse. β é o ângulo que a geratriz do cone 
forma com o PH. Enquanto Ɵ for menor do que β teremos 
vários casos de elipse. 
 
 Resumindo: diferentemente da seção em forma de 
circunferência, que é um caso particular, ou seja, o caso em 
que o plano setor é paralelo ao PH, com o plano setor 
oblíquo podemos ter vários casos de elipse, desde que Ɵ < 
β. 
 
 
Cone esquemático mostrando a posição do 
plano oblíquo ao PH 
Figura 6.61 
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CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
100 
 
 
Vistas mongeanas de um cone seccionado 
por um plano oblíquo ao PH 
Figura 6.62 
 
A figura 6.62 mostra como fica a 
representação, em vistas mongeanas, da seção 
de um plano oblíquo ao PH em um cilindro reto. 
Observe que plano setor α está dado na 
vista frontal, portanto a área seccionada nesta 
vista coincide com a representação do próprio 
plano de seção, ou seja, também está em vista 
básica. Na vista superior, a área seccionada 
corresponde a uma elipse, que está 
representada por hachura. Na vista lateral, a 
área seccionada, também está representada 
por hachura, e também corresponde a uma 
elipse. Esta possui dimensões reduzidas no 
sentido do eixo menor por conta do plano setor 
que está oblíquo à vista lateral. Para determinar 
os pontos da seção que “cortam” o cone deve-
se trabalhar com as geratrizes de limite de 
visibilidade. Na vista frontal, as geratrizes são 
g1 e g2, a partir delas determinamos os pontos 
1 e 2, em todas as vistas. Tais pontos pertencem 
tanto à seção como à face curva do cone. Na 
vista lateral, os limites de visibilidade são as 
geratrizes g3 e g4, a partir delas foram 
determinados os pontos 3 e 4, em todas as 
vistas. 
 
3) Plano de Seção Oblíquo ao PH e Paralelo à Geratriz do Cone - parábola: no caso da figura 6.63, o 
plano setor está “cortando” as geratrizes retas e curvas da face curva do cone. A seção produzida é 
uma parábola, conforme mostra a figura 6.64. 
Cone seccionado por um plano oblíquo ao PH 
Figura 6.63 
Cone truncado após a seção 
Figura 6.64 
 
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CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
101 
 
 A figura 6.65 mostra um cone 
esquemático sendo cortado pelo plano setor. 
Quando o plano setor está oblíquo ao PH e 
paralelo à geratriz do cone, ele forma um 
ângulo Ɵ com a base do cone. A seção 
resultante tem a forma de uma parábola. Se 
o plano setor é paralelo à geratriz do cone, os 
ângulos Ɵ e β, que é o ângulo que a geratriz 
do cone forma com o plano do chão, são 
iguais. 
 Importante: a parábola é um caso 
particular que acontece apenas quando o 
ângulo que o plano setor forma com o chão 
“Ɵ” for igual ao ângulo que a geratriz do cone 
forma como chão “β”. 
 
Cone esquemático mostrando a posição do 
plano paralelo à geratriz 
Figura 6.65 
 
 
Vistas mongeanas de um cone seccionado 
por um plano oblíquo ao PH e paralelo a uma de suas 
geratrizes - Figura 6.66 
 
A figura 6.66 mostra como fica a 
representação, em vistas mongeanas, da seção 
de um plano oblíquo ao PH e paralelo à geratriz 
de um cone reto. 
Observe que plano setor α está dado na 
vista frontal, portanto a área seccionada nesta 
vista coincide com a representação do plano, ou 
seja, está em vista básica. Na vista lateral, a 
área seccionada, que está hachurada, 
corresponde a uma parábola. Na vista superior, 
a área seccionada também corresponde a uma 
parábola. No entanto, esta possui dimensões 
reduzidas no sentido vertical devido ao plano 
setor estar oblíquo à vista lateral. Para 
determinar os pontos da seção que “cortam” o 
cone deve-se trabalhar com as geratrizes de 
limite de visibilidade. 
Na vista frontal é possível identificar as geratrizes são g1 e g2. A partir de g1 determinamos o 
vértice da parábola, o ponto 1. Ainda na mesma vista, a base do cone, está em vistabásica, portanto, 
representada por um segmento de reta, neste determinamos os pontos 2 e 2’. Deve-se determinar os 
pontos 1, 2 e 2’ em todas as vistas. Na vista lateral os limites de visibilidade são as geratrizes g3 e g4, 
a partir delas foram determinados os pontos 3 e 4, em todas as vistas. 
4) Plano oblíquo ao PH – hipérbole qualquer: quando o plano setor está oblíquo ao plano do chão. 
No caso da figura 6.67, o plano setor está oblíquo “cortando” as geratrizes retas e curvas da face 
curva do cone. A seção produzida é uma hipérbole qualquer, conforme mostra a figura 6.68. 
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CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
102 
 
Cone seccionado por um plano oblíquo ao PH 
Figura 6.67 
Cone truncado após a seção 
Figura 6.68 
 
 A figura 6.69 mostra um cone esquemático 
sendo cortado por um plano de seção. Quando 
este plano está oblíquo ao plano horizontal, 
formando um ângulo Ɵ com este, o resultado é 
uma seção em forma de hipérbole. β é o ângulo 
que a geratriz do cone forma com o plano do 
chão. Enquanto Ɵ for maior do que β teremos 
vários casos de hipérbole. 
 Resumindo: com o plano setor oblíquo ao 
PH podemos ter vários casos de hipérbole, desde 
que Ɵ > β. 
 
Cone esquemático mostrando a posição do 
plano oblíquo ao PH 
Figura 6.69 
 
 
A figura 6.70 mostra como fica a 
representação, em vistas mongeanas, da seção 
de um plano oblíquo em um cone reto. 
Observe que plano setor α está dado na 
vista frontal, portanto a área seccionada nesta 
vista coincide com a representação do plano, ou 
seja, também está em vista básica. Na vista 
superior, a área seccionada corresponde a uma 
hipérbole, representada por hachura, com 
dimensões reduzidas no sentido vertical por 
conta do plano setor que está oblíquo à vista 
lateral. Na vista lateral, a área seccionada, que 
também está representada por hachura, 
corresponde a uma hipérbole. Para determinar 
os pontos da seção que “cortam” o cone deve-
se trabalhar com as geratrizes de limite de 
visibilidade. Na vista frontal, as geratrizes são 
g1 e g2. A partir delas determinamos os pontos 
2 e 3, em todas as vistas. Tais pontos pertencem 
tanto à seção como à face curva do cone. Na 
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CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
103 
 
Vistas mongeanas cone seccionado 
por plano oblíquo 
Figura 6.70 
 
vista lateral, os limites de visibilidade são as 
geratrizes g3 e g4. A partir delas foram 
determinados os pontos t e t’, em todas as 
vistas. Nas bases foram determinados dois 
pares de pontos, que são: 1, 1’ e 4, 4’. 
 
5) Plano de Seção Perpendicular ao PH – hipérbole equilátera: no caso da figura 6.71, o plano setor 
está perpendicular ao PH, “cortando” as geratrizes curvas e passando pelas geratrizes retas da face 
curva do cone. A seção produzida é uma hipérbole equilátera, conforme mostra a figura 6.72. Uma 
hipérbole dessa natureza possui seus dois ramos com iguais características geométricas. 
Cone seccionado por um plano oblíquo 
Figura 6.71 
Cone truncado após a seção 
Figura 6.72 
 
 A figura 6.73 mostra um cone esquemático 
sendo cortado pelo plano setor. Quando o plano 
setor está perpendicular ao plano horizontal, ou 
seja, quando ele for paralelo ao eixo “e”, a 
seção resultante tem a forma de uma hipérbole 
equilátera. 
Resumindo: a hipérbole equilátera é um caso 
particular que acontece apenas quando o plano 
setor está perpendicular ao chão, ou ainda, 
quando o plano setor é paralelo ao eixo “e”. 
 
Cone esquemático mostrando a posição do plano 
setor perpendicular ao PH 
Figura 6.73 
 
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CAPÍTULO 6 – Seção Plana 
 
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Vistas mongeanas de um cone seccionado 
por um plano perpendicular ao PH 
 Figura 6.74 
 
A figura 6.74 mostra como fica a 
representação, em vistas mongeanas, da seção 
de um plano perpendicular ao PH em um cone 
reto. 
Observe que plano setor α está dado na 
vista frontal, portanto a área seccionada nesta 
vista coincide com a representação do plano, ou 
seja, também está em vista básica. Na vista 
superior, a área seccionada também está em 
vista básica, correspondendo a um segmento de 
reta. Na vista lateral, a área seccionada, que 
está representada por hachura, corresponde a 
uma hipérbole com dimensões em verdadeira 
grandeza porque o plano setor está paralelo à 
vista lateral. 
Para determinar os pontos da seção que 
“cortam” o cone deve-se trabalhar com as 
geratrizes de limite de visibilidade. Na vista 
frontal, as geratrizes são g1 e g2. A partir delas 
determinamos os pontos 2 e 3, em todas as 
vistas. Tais pontos pertencem tanto à seção 
como à face curva do cone. Na vista lateral, os 
limites de visibilidade são as geratrizes g3 e g4. 
Observe que não há pontos que tangenciam 
essas geratrizes. Nas bases foram determinados 
dois pares de pontos, que são: 1, 1’ e 4, 4’, em 
todas as vistas.