O que é Limite

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O que é Limite? 
 
Antes de formalizarmos o conceito de Limites, vamos observar algumas 
situações. Nelas veremos que uma sequencia de valores atribuídos a uma 
variável implica em outra sequência de valores numéricos de uma expressão 
dessa variável. 
 
Ideia Intuitiva de Limite 
 
Consideremos uma figura de forma quadrada e de área igual a 1. 
 
 
Vamos desenvolver as seguintes etapas: 
1 – Colorir de azul metade dessa figura; 
Área colorida: ½ 
 
2 – Colorir de vermelho a metade do que restou em branco; 
Área colorida: ½ + ¼ = ¾ 
 
SATC – ASSOCIAÇÃO BENEFICENTE DA INDÚSTRIA CARBONÍFERA DE SANTA CATARINA 
CURSO: Engenharia da Computação, Mecânica, Elétrica e Química 
DISCIPLINA: Cálculo I CRÉDITOS: 06 - 90 horas/aula - 2012/2 
PROFESSORA: Silvia Helena Mangili, MSc 
E-MAIL: silviahelenamangili@yahoo.com.br 
3 – Colorir de preto metade do que restou em branco; 
Área colorida: ½ + ¼ + 1/8 = 7/8 
 
Continuando esse processo sucessiva e indefinidamente, a região colorida 
vai preenchendo quase todo o quadrado inicial, isto é, a área vai se aproximando 
de 1, ou seja, vai tendendo a 1. 
½ ; ¾ ; 7/8 ; 15/16 ; 31/32 ; 63/64 ; ... 
Dizemos então que o limite dessa soma é igual a 1. 
f(x) 
Quando dizemos que a área da 
região colorida tende a 1, significa 
que ela se aproxima de 1, sem no 
entanto assumir esse valor. 
Observe o gráfico da função f:   
, definida por f(x) = x +2. 
 
 Note que, à medida que os valores de x se aproximam de 3, por valores 
menores que 3 (pela esquerda) ou por valores maiores que 3 (pela direita), f(x) se 
aproxima de 5. A tabela a seguir indica os valores de f(x) para alguns valores de 
x. 
X 2 2,3 2,9 2,99 ... 3,01 3,4 3,9 
f(x) 4 4,3 4,9 4,99 ... 5,01 5,3 5,9 
 
De acordo com o exposto, podemos dizer que: 
– O limite de f(x) quando x tende a 3 pela esquerda é igual a 5, e indicamos por 
 
– O limite de f(x) quando x tende a 3 pela direita é igual a 5, e indicamos por 
 
-2 
-1 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
-4 -2 0 2 4 
Os limites à esquerda e à direita são chamados de limites laterais. 
Em vez das duas indicações anteriores, podemos utilizar a seguinte 
representação única: 
 Lê-se: o limite de f(x) quando x tende a 3 é igual a 5. 
Observe que f(3) = 5 
Considere o gráfico da função f:   , definida por: 
f(x) = x , se x  3 
 x + 2, se x > 3 
 
Observe os limites laterais: 
– Quando x se aproxima de 3 pela esquerda, f(x) se aproxima de 3, isto é 
 
– Quando x se aproxima de 3 pela direita, f(x) se aproxima de 5, isto é 
 
Como os limites laterais neste caso são diferentes, dizemos que não existe 
o limite de f(x) quando x tende a 3. 
 
Definição de limite: 
Considere o gráfico da função f(x): 
Dizemos que o limite da função f(x), quando x tende a a, é o número real L, 
se, e somente se, os números reais da imagem f(x) permanecerem próximos de 
L, para os infinitos valores de x próximos de a, indica-se: 
 
 
 
Podemos ainda calcular o limite quando existir f(x) em todos os pontos de 
um intervalo aberto que contenha a, e os limites laterais, tanto da direita como da 
esquerda, tiverem o mesmo valor L. Então: 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
0 1 2 3 4 
Valores Y 
Valores Y 
 = = 
Exemplos: 
Dada a função f(x) definida por f(x) = x + 1, se x > 2 
 x2 + 1, se x  2 e x  – 1 
Representá-la graficamente e verificar no gráfico os limites: 
a) – 
b) 
c) – 
d) 
e) 
f) 
2) Calcule o 
 
 
 
3) Calcule os limites a seguir: 
a) 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
PROPRIEDADES DOS LIMITES 
Vamos estudar agora algumas propriedades que admitiremos verdadeiras 
sem efetuarmos suas demonstrações. 
Consideremos, então, as funções f(x) e g(x), definidas num domínio D, tal 
que: 
 k é uma constante real 
 
Limite de uma constante 
O limite de uma constante é a própria constante, isto é: 
Exemplos: 
a) = 5 b) = - 3 c) 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
Limite da soma 
O limite da soma de duas funções é igual a soma dos limites dessas 
funções, isto é: 
 a + b 
Exemplos: 
 = + = 2 + 3 = 5 
b) 
 = 
 + + = (- 1)
2 + (- 1) + 1 = 
1 
c) 
 = 
 + + = 1
3 + 4 . 1 + 3 = 8 
 
Limite da diferença 
O limite da diferença de duas funções é igual à diferença dos limites dessas 
funções, isto é: 
 a – b 
Exemplos: 
 
 = 
 – = 4 . 2
2 – 2 = 16 – 2 = 14 
d) 
 = 
 – 
 – = 1
3 + 4 . 12 – 5 . 
1 = 0 
 
Limite do produto 
O limite do produto de duas funções é igual o produto dos limites dessas 
funções, isto é: 
 a . b 
Exemplos: 
 
 = . 
 = 3 . 22 = 3 . 4 = 12 
b) = . = (4 . 2) . = 8 . 2 = 16 
 
Limite do quociente 
O limite do quociente de duas funções é igual o quociente dos limites 
dessas funções, (exceto quando o limite do divisor for igual a zero) isto é: 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 , com b  0 
Exemplos: 
a) 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 
 
Limite de uma potência 
O limite de uma potência enésima de uma função é igual à potência 
enésima do limite dessa função, isto é: 
 
 
 se a > 0 
Exemplos: 
a) 
 (5 . 1)2 = 52 = 25 
 
b) 
 
 [(- 2)2 + 4(-2) + 3]3 = [ 4 
– 8 + 3 ]3 = (-1)3 = - 1 
 
Limite de uma raiz 
O limite da raiz enésima de uma função é igual à raiz enésima do limite 
dessa função, isto é: 
 
 
 
 = 
 
 , se a  0 e n  N* ou se a  0 e n ímpar 
Exemplos: 
a) = = 2 
b) 
 
 
 
 = 
 
 = 
 
 = 
 
 
 
Limite do logaritmo 
O limite do logaritmo de uma função é igual ao logaritmo do limite dessa 
função, isto é: 
 = , com 0 < b  1 e > 0 
 
Exemplos: 
 
 = 
 = 
 ) = = 
 
= 2 
 
FUNÇÃO CONTINUA 
 
Consideramos o gráfico das funções f1 ; f2 e f3 . (Copiar do quadro) 
 
 
 
 
Observe que a cada x do domínio de f1 associamos um único valor de y e 
também que o gráfico de f1 não é interrompido para x = a, isto é o gráfico pode 
ser desenhado de uma só vez, sem levantar a ponta do lápis do papel. Dizemos, 
então, que a função f1 é constante para x = a. 
Observe também que os gráficos das funções f2 e f3 não podem ser 
desenhados sem se levantar a ponta do lápis do papel, isto é os gráficos são 
interrompidos para x = a. Dizemos, então, que as funções f2 e f3 são descontinuas 
para x = a. 
Para que uma função f(x) seja continua em x = a do seu domínio, devem 
ser satisfeitas as seguintes condições: 
 
1ª) existe f(a) 2ª) existe 3ª)existe 
 
Note que para função f2 não existe 2 (x) e f3 não está definida para 
x = a. 
Daí, temos que: 
Uma função f(x) definida em um intervalo I com a  I, é dita continua em x = 
a, se: 
 
Exemplos: 
1) Verifique se a função f(x) = 
 
 
 é continua em x = 3. 
 
 
 
 
2) Verifique se a função f(x) = 
 
 
 é continua em x = 2. 
A função f(x) não está definida para x = 2. Logo, não podemos falar em 
continuidade da função neste ponto. 
 
3) Determinar m   de modo que a função f(x) = x2 – 5x + 6, se x  4 
 3m, se x = 4 
 
 
 
 
 
LIMITE DA FUNÇÃO COMPOSTA 
 
Sabendo que e g é uma funcao continua cujo domínio 
contém a, então: 
 g = g(a) 
Exemplo: 
Calcular os limites: 
a) 
 
 
b) , onde x > 0 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo de limites quando o numerador e o denominador tendem a zero 
 
Quando o numerador e o denominador de uma função tendem a zero, no 
cálculo de um limite para determinado valor de x, devemos tentar fatorar e 
simplificar a função antes de efetuarmos a substituição. 
Exemplos: Calcular os seguintes limites: 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
d)