Estatística - Probabilidade

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Estatística Básica
CRC7314
Prof. Nei e João
nei.leite@ufsc.br
24-10-2013
INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
Aula Anterior
� Medidas de Tendência Central
� Medidas de Dispersão ou Variabilidade
� Dados não-agrupados
� Dados agrupados
� Sem intervalo de classe
� Com intervalo de classe
Aula de hoje:
� Noções de probabilidade
� Distribuições de probabilidade
Chama-se experimento aleatório àquele cujo resultado é
imprevisível, porém pertence necessariamente a um conjunto
de resultados possíveis denominado espaço amostral (U)
→ Qualquer subconjunto desse espaço amostral é
denominado evento
→ Se este subconjunto possuir apenas um elemento,
denomina-se evento elementar
Por exemplo, no lançamento de um dado, o nosso espaço
amostral seria:
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Exemplos de eventos no espaço amostral U:
A: sair número maior do que 4: A = {5, 6}
B: sair um número primo e par: B = {2}
C: sair um número ímpar: C = {1, 3, 5}
Introdução Probabilidade
Trataremos aqui dos espaços amostrais equiprováveis, ou
seja, aqueles onde os eventos elementares possuem a mesma
chance de ocorrerem
Exemplo: no lançamento do dado citado, supõe-se que sendo o
dado perfeito, as chances de sair qualquer número de 1 a 6 são
iguais. Temos então um espaço equiprovável
Em oposição aos fenômenos aleatórios, existem os
fenômenos determinísticos, que são aqueles cujos resultados
são previsíveis, ou seja, temos certeza dos resultados a serem
obtidos
Normalmente existem diversas possibilidades possíveis de
ocorrência de um fenômeno aleatório, sendo a medida numérica
da ocorrência de cada uma dessas possibilidades, denominada
Probabilidade
Veja: 
http://www.youtube.com/watch?v=yDhJOGXIdfY&list=UU16yqJc74D2ApBwZ6B3dsqg&index=3&feature=plcp
Conceitos-chave:
- Evento: Qualquer conjunto de resultados ou consequências de
um experimento;
- Evento simples: Resultado ou evento que não pode ser
decomposto em componentes mais simples;
- Espaço amostral: Consiste em todos os eventos simples
possíveis, isto é, consiste de todos os resultados que não
podem mais ser decompostos
Procedimento
1 nascimento
3 nascimentos
Exemplo de Evento
menina (evento simples)
2 meninas e 1 menino (ffm,
fmf, mff são todos eventos
simples resultantes.
Espaço Amostral Completo
{f, m}
{fff, ffm, fmf, fmm, mff,
mfm, mmf, mmm}
Com um nascimento, o resultado de uma menina é um evento simples.
Com 3 nascimentos, o evento “2 meninas e 1 menino” não é um evento simples, pois pode
ser decomposto em eventos mais simples!
Entretanto, quando pensamos nos resultados individuais, estes consistem de eventos
simples!
Notações
P representa a probabilidade
A, B e C representam eventos específicos
P(A) representa a probabilidade de ocorrência do evento A
Seja U um espaço amostral finito e equiprovável e A um determinado
evento, ou seja, um subconjunto de U. A probabilidade P(A) de
ocorrência do evento A será calculada pela fórmula: P(A) = n(A)
n(U)
onde: n (A) = número de elementos de A e,
n (U) = número de elementos do
espaço amostral U.
0,5
0
1 Certo
Provável
Chance 50-50
Improvável
Impossível
* A expressarmos o valor de uma probabilidade
devemos apresentar a fração exata, o decimal exato
ou arredondar o resultado final para 3 algarismos
significativos!
Considere o lançamento de um dado.
Calcule a probabilidade de:
a) sair o número 3:
b) sair um número par:
c) sair um múltiplo de 3:
d) sair um número menor do que 3:
Exemplos
agora o evento é A = {2, 4, 6} com 3
elementos; logo a probabilidade procurada será:
agora o evento A = {3, 6} com 2
elementos; logo a probabilidade procurada será:
agora, o evento A = {1, 2}
com dois elementos:
Temos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} [n(U) = 6] e
A = {3} [n(A) = 1]. Portanto, a probabilidade procurada será:
Considere o lançamento de dois dados.
Calcule a probabilidade de:
a) Sair a soma 8
Observe que neste caso, o espaço amostral U é constituído
pelos pares ordenados (i, j), onde i = número no dado 1 e j =
número no dado 2
É evidente que teremos 36 pares ordenados possíveis do tipo
(i, j) onde i = 1, 2, 3, 4, 5, ou 6, o mesmo ocorrendo com j
As somas iguais a 8, ocorrerão nos casos: (2,6), (3,5), (4,4),
(5,3) e (6,2)
Portanto, o evento "soma igual a 8" possui 5 elementos. Logo, a
probabilidade procurada será igual a:
Exemplos
b) Sair a soma 12
Neste caso, a única possibilidade é o par (6,6).Portanto, a
probabilidade procurada será igual a:
Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas
amarelas. Tirando-se uma bola com reposição, calcule as
probabilidades seguintes:
a) sair bola azul
b) sair bola vermelha 
c) sair bola amarela
Vemos no exemplo acima, que as probabilidades podem ser expressas como
porcentagem. Esta forma é conveniente, pois permite a estimativa do número de
ocorrências para um número elevado de experimentos.
Exemplos
%.3030,0
10
3
20
6)( ====AP
• P1: A probabilidade do evento impossível é nula
Com efeito, sendo o evento impossível o conjunto vazio (Ø),
teremos:
P(Ø) = n (Ø)/n (U) = 0 /n (U) = 0 
Por exemplo, se numa urna só existem bolas brancas, a
probabilidade de se retirar uma bola verde (evento impossível,
neste caso) é nula
• P2: A probabilidade do evento certo é igual à unidade
Com efeito, P(A) = n(U)/n(U) = 1 
Por exemplo, se numa urna só existem bolas vermelhas, a
probabilidade de se retirar uma bola vermelha (evento certo,
neste caso) é igual a 1
Propriedades
• P3: A probabilidade de um evento qualquer é um número real
situado no intervalo real [0, 1]
Esta propriedade, decorre das propriedades 1 e 2 acima
• P4: A soma das probabilidades de um evento e do seu evento
complementar é igual a unidade
Seja o evento A e o seu complementar A'. Sabemos que A U A' = U.
n(A U A') = n(U) e, portanto, n(A) + n(A') = n(U)
Dividindo ambos os membros por n(U), vem:
n(A)/n(U) + n(A')/n(U) = n(U)/n(U), de onde se conclui:
P(A) + P(A') = 1 
Propriedades
O complementar de um evento A consiste em todos os resultados onde A não ocorre!
Propriedades
• P5: Sendo A e B dois eventos, podemos escrever: (Adição de
Probabilidades)
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Observe que se A∩B= Ø (ou seja, a interseção entre os
conjuntos A e B é o conjunto vazio), então P(A U B) = P(A) +
P(B)
Com efeito, já sabemos da Teoria dos Conjuntos que
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) 
Dividindo ambos os membros por n(U) e aplicando a definição
de probabilidade, concluímos rapidamente a veracidade da
fórmula acima
Um evento composto é qualquer evento que combina dois ou mais eventos simples!
Variáveis Aleatórias
Discretas = enumerável
Contínuas = medidas em 
escala contínua
É uma variável (normalmente representada por X) que tem
um único valor numérico, aleatório, para cada resultado de
um experimento.
A palavra aleatório indica que, em geral, só conhecemos aquele
valor depois do experimento ter acontecido.
Variáveis Aleatórias
Exemplos:
� Número de alunos que comparecem às aulas de
Estatística;
� Quantidade de clientes que chegam a uma agência
bancária por minuto;
� Altura de um adulto, homem, selecionado aleatoriamente;
� Um experimento consiste em selecionar aleatoriamente 7
rapazes de uma turma e contar quantos tem mais que 80kg.
• variável aleatória X: número de rapazes com mais de 80 kg
dentre os 7 escolhidos.
• Resultados possíveis: X = 0,1,2,3,4,5,6,7
Variáveis Aleatórias
Variável aleatória DISCRETA
� Numa amplitude determinada, admite um número
finito de valores, ou
� Tem uma quantidade enumerável de valores
“enumerável se refere ao fato de que pode existir infinitos valores, mas que pode ser
associado a um processo de contagem”
Variável aleatória CONTÍNUA� Pode assumir um número infinito de valores;
� Pode ser associada a uma mensuração em uma
escala contínua, de forma que não há pulos ou
interrupções
Gráfico VA x Probabilidade
Uma companhia aérea A possui 20% de todas as linhas
domésticas de um determinado país
� Suponha que todos os vôos, de qualquer companhia,
tenham a mesma chance de sofrer um acidente;
� Escolhendo 7 acidentes aleatoriamente, as probabilidades
de números de acidentes com esta empresa A (neste grupo
de 7) são*:
0 acidente: 
0,211 
1 acidente: 
0,367
2 acidentes: 
0,275 
3 acidentes: 
0,115
4 acidentes: 
0,0295 
5 acidentes: 
0,004
6 acidentes: 
0,00... 
ou 0+7 
acidentes: 0+
*dados 
previamente 
conhecidos
Gráfico VA x Probabilidade
x P(X=x)
0 0,21
1 0,367
2 0,275
3 0,115
4 0,029
5 0,004
6 0+
7 0+ 0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
1 2 3 4 5 6 7 8
P
r
o
b
a
b
i
l
i
d
a
d
e
 
P
(
X
)
Número de acidentes com a empresa
Histograma de Probabilidade
“Se assemelha ao histograma de frequência relativa, porém a escala vertical apresenta a
probabilidade ao invés das frequências relativas, com base em dados amostrais reais”
Distribuições de Probabilidade
⇒ Quando conhecemos todas os possíveis valores de
uma variável aleatória com suas respectivas
probabilidades de ocorrência, temos uma
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE
⇒ Assim, uma distribuição de probabilidade fornece a
probabilidade de ocorrência de cada valor que uma
variável aleatória pode assumir;
⇒ É frequentemente expressa na forma de um gráfico,
de uma tabela ou de uma fórmula;
Distribuições de Probabilidade
⇒ Observe que distribuição de probabilidade é uma
correspondência que associa probabilidades aos
valores de uma variável aleatória
⇒ Ou seja, é uma FUNÇÃO
⇒ P(X=x) = f(x) = função que relaciona a
probabilidade de ocorrência de um valor da variável
aleatória
“Os diferentes tipos de DP podem ser considerados
como modelos para descrever situações reais que
envolvam resultados gerados pelo acaso”
Requisitos para uma Distribuição de Probabilidade
ΣP(x) = 1 em que x assume todos os valores possíveis (isto 
é, a soma de todas as probabilidades deve ser 1)
0 ≤ P(x) ≤ 1 para todo valor individual de x (isto é, cada valor 
de probabilidade deve estar entre 0 e 1, inclusive.
x P(x)
0 0,2
1 0,5
2 0,4
3 0,3
Probabilidade para uma 
variável aleatória
Esta tabela descreve 
uma distribuição de 
probabilidade?
x P(x)
0 0,04
1 0,16
2 0,80
3 0,16
4 0,04
Um experimento envolve a prole de ervilhas
em grupos de quatro. Um pesquisador
relata que, para um grupo, o número de
ervilhas com flores tem uma DP como a
apresentada abaixo:
Esta tabela descreve 
uma distribuição de 
probabilidade?
x P(x)
0 0,04
1 0,16
2 0,80
3 0,16
4 0,04
Estudo de mortalidade: Para um grupo de
quatro homens, a distribuição de
probabilidade para o número x dos que
viverão durante o próximo ano é como
apresentada na tabela abaixo:
Esta tabela descreve 
uma distribuição de 
probabilidade?
Distribuições de Probabilidade
Ensaios de Bernoulli
Seja uma experiência aleatória única, para qual só podem
existir duas alternativas de resultados: sucesso e fracasso
X1 = 1 com probabilidade p quando o sucesso ocorrer;
X2 = 0 com probabilidade q = (1 - p) quando fracasso
ocorrer,
Logo temos uma distribuição de Bernoulli
Parâmetros da distribuição
E[x] = µx = p V[x] = σ2 = p.q σ = (p.q)1/2
Jacob Bernoulli
(1664-1705)
1( ) x xP X x p q −= = ⋅
Veja: http://www.youtube.com/watch?v=IV4vy1s5HyE
EXEMPLOS
Ex2: Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se
uma bola desta urna. Seja X: número de bolas verdes,
calcular a função de probabilidade, a média e a variância.
Solução: 30 30
50 5
20 21
50 5
q
X
p

→ = =
= 
 → = =

2
5
pµ = = 2 3 6
5 5 25
p qσ = ⋅ = ⋅ =
Ex1: Lançamento de uma moeda ao ar, considerando a
variável aleatória X: número de caras obtidas. 0 → q = ½
1 → p = ½
P(X = x) = 
12 3
5 5
x x−
   
   
   
Distribuições de Probabilidade
Distribuição Geométrica
Consideremos tentativas sucessivas e independentes de um
mesmo experimento aleatório. Cada tentativa admite um
sucesso (p) e um fracasso (q), sendo p + q = 1.
Seja X o número de tentativas necessárias ao aparecimento
do primeiro sucesso, a função de probabilidade é dado por:
Parâmetros da distribuição
E[x] = µx = 1/p V[x] = σ2 = q/p2 σ = (q/p2)1/2
1( ) xP X x q p−= = ⋅
EXEMPLOS
Ex1: A probabilidade de se encontrar aberto um sinal de
trânsito em uma esquina é 0,20. Qual a probabilidade de
que seja necessário passar pelo local 5 vezes para
encontrar o sinal aberto pela primeira vez?
p =
q =
P(X = 5) = (0,80)4 . (0,20) = 0,08192
0,20
0,80
Ex2: Qual a probabilidade de que em um dado deva ser
lançado 15 vezes para que na 15°vez ocorra a face 6 pela
primeira vez?
p =
q =
P(X = 15) = (5/6)14 . (1/6) = 0,01298
1/6
5/6
Distribuição Binomial
Consideramos n tentativas independentes, de um mesmo
experimento aleatório. Cada tentativa admite dois
resultados:
Sucesso com probabilidade p
Fracasso com probabilidade q
p + q = 1
Em uma distribuição binomial deve-se considerar que:
� São realizadas n provas independentes e do mesmo tipo;
� Cada prova admite 2 resultados: sucesso ou fracasso;
�A probabilidade de sucesso é p e de fracasso é q = 1 – p;
�Os resultados das provas são independentes
Veja: http://www.youtube.com/watch?v=oe2NBKv572U&list=UU16yqJc74D2ApBwZ6B3dsqg&index=1&feature=plcp
A probabilidade de ocorrer k sucessos em n tentativas será:
( ) k k n knP X k C p q −= = ⋅ ⋅
!
!( )!
k
n
n nC
k k n k
 
= = 
− 
= Fórmula do Binômio de Newton (p + q)n,
surgindo assim o nome Binomial
Parâmetros da distribuição
E[x] = µx = n.p V[x] = σ2 = n.p.q σ = (n.p.q)1/2
n p q⋅ ⋅
Onde: 
X = variável aleatória
p = probabilidade de sucesso em qualquer tentativa
q = probabilidade de fracasso (q = 1 - p) em qualquer tentativa
n = número de tentativas ou repetições
k = número de sucessos em n tentativas
n-k = número de fracassos
APLICAÇÕES
A mais familiar, provavelmente, é o lançamento de uma
moeda n vezes, por exemplo: n = 20
Cada prova, ou experimento, admite apenas dois resultados:
cara ou coroa!
Outros exemplos de experimentos binomiais:
• Respostas de um teste como diversas questões do tipo V 
ou F;
• Escolha entre um produto bom ou defeituoso;
• Sexo das crianças nascidas em determinada maternidade;
• Atirar em um alvo, atingindo-o ou não;
• Fumantes ou não fumantes em um grupo de adultos;
• Alunos de uma escola vacinados ou não vacinados.
EXEMPLO
Numa criação de coelhos, 40% são machos. Qual a
probabilidade de que nasçam pelo menos 2 coelhos
machos em um dia que nasceram 20 coelhos?
Solução: X = número de coelhos machos (CM)
X = 0, 1, …, 20 → P (CM) = p = 0,40 ⇒ B (20; 0,40)
n, p
P (X ≥ 2) = 1 – P(X < 2) = 1 – {P(X = 0) + P(X = 1)} =
( ) ( ){ }0 0 20 1 1 1920 201 (0,40) (0,60) (0,40) (0,60)C C− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
( )1 (0,00003) (0,00049) 0,99948− + =
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
P
r
o
b
a
b
i
l
i
d
a
d
e
 
P
(
X
 
=
 
x
)
Número de coelhos machos
Distribuição de probabilidade para um número de coelhos machos