[Apostila] - Programação em MatLab - Armando Paulo da Silva

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Elementos Básicos de Programação em MATLAB...
Limites...
Derivadas...
Integrais...
Programação em MatLab
Armando Paulo da Silva
Orientador: Prof. Dr. André Luís Machado Martinez
Seminário - Cálculo 1: Limites, Derivadas e Integrais
Coordenação da Matemática - COMAT
Maio de 2011
Armando Paulo da Silva UTFPR - Campus Cornélio Procópio
Elementos Básicos de Programação em MATLAB...
Limites...
Derivadas...
Integrais...
Sumário
1 Elementos Básicos de Programação em MATLAB...
2 Limites...
3 Derivadas...
4 Integrais...
Armando Paulo da Silva UTFPR - Campus Cornélio Procópio
Elementos Básicos de Programação em MATLAB...
Limites...
Derivadas...
Integrais...
Sumário
1 Elementos Básicos de Programação em MATLAB...
2 Limites...
3 Derivadas...
4 Integrais...
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Elementos Básicos de Programação em MATLAB...
Limites...
Derivadas...
Integrais...
Sumário
1 Elementos Básicos de Programação em MATLAB...
2 Limites...
3 Derivadas...
4 Integrais...
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Elementos Básicos de Programação em MATLAB...
Limites...
Derivadas...
Integrais...
Sumário
1 Elementos Básicos de Programação em MATLAB...
2 Limites...
3 Derivadas...
4 Integrais...
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Elementos Básicos de Programação em MATLAB...
Limites...
Derivadas...
Integrais...
Expressões Simbólicas
Podemos manipular expressões que além de números e
variáveis numéricas, contenha também variáveis
simbólicas
Definindo variáveis simbólicas
Primeiro precisamos dizer ao MATLAB que x é uma variável
simbólica
sym:Cria objeto simbólico
syms:Atalho para criar múltiplos objetos simbólicos
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Limites...
Derivadas...
Integrais...
Expressões Simbólicas
Exemplos
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Limites...
Derivadas...
Integrais...
Expressões Simbólicas
ou
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Limites...
Derivadas...
Integrais...
Expressões Simbólicas
Exemplos
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Limites...
Derivadas...
Integrais...
Expressões Simbólicas
ou
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Limites...
Derivadas...
Integrais...
Expressões Simbólicas
Conversão da forma numérica para a forma simbólica
Sintaxe:
poly2sym(f ,′ var ′)
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Limites...
Derivadas...
Integrais...
Expressões Simbólicas
Conversão da forma numérica para a forma simbólica
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Limites...
Derivadas...
Integrais...
Expressões Simbólicas
Conversão da forma simbólica para a forma numérica
Sintaxe:
sym2poly(f )
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Derivadas...
Integrais...
Expressões Simbólicas
Conversão da forma simbólica para a forma numérica
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Derivadas...
Integrais...
funções trigonométricas
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Limites...
Derivadas...
Integrais...
Limites
Para efetuar um a operação com limites no MATLAB,
o comando que se deve dar é:
limit(funcao, variavel , valor)
limit(f (x), x , a)
ou
limit(funcao, valor)
limit(f (x), a)
onde:
f (x) é a função que se quer achar no limite,
x é a variável e
a é o número no qual o x está tendendo (x–>a).
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Derivadas...
Integrais...
Limites
Exemplos
Achar o limite abaixo:
a) lim
x→0
sen(x)
x
b) lim
x→2
x2 − 4
x − 2
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Derivadas...
Integrais...
Limites
Exemplos
Achar o limite abaixo:
a) lim
x→0
sen(x)
x
b) lim
x→2
x2 − 4
x − 2
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Derivadas...
Integrais...
limites
Exemplo
Achar o limite abaixo:
lim
x→0
sen(k ∗ x)
x
Script do limite trigonométrico fundamental
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limites
Exemplo
Achar o limite abaixo: lim
x→0
sen(k ∗ x)
x
Cálculo do limite trigonométrico fundamental
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Limites
Exercício
Usar mudança de variável e o MATLAB para provar que:
lim
x→+∞(1+
1
x )
x = 2, 718... =exp(1)
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limites
Exemplo
Achar o limite abaixo:
lim
x→0(1+ k ∗ x)
1
x
Script do limite exponencial fundamental
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Derivadas...
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limites
Exemplo
Achar o limite abaixo: lim
x→0(1+ k ∗ x)
1
x
Cálculo do limite exponencial fundamental
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Derivadas...
Integrais...
Limites
Exemplos
Achar o limite abaixo:
a) lim
x→2
1+ x2
1− x2
b) lim
x→−1
x3 − 3x2 + x − 1
x2 − 2x − 4
c) lim
x→27
x − 27
3
√x − 3
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Derivadas...
Integrais...
Limites
Exemplos
Achar o limite abaixo:
a) lim
x→2
1+ x2
1− x2
b) lim
x→−1
x3 − 3x2 + x − 1
x2 − 2x − 4
c) lim
x→27
x − 27
3
√x − 3
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Derivadas...
Integrais...
Limites
Exemplos
Achar o limite abaixo:
a) lim
x→2
1+ x2
1− x2
b) lim
x→−1
x3 − 3x2 + x − 1
x2 − 2x − 4
c) lim
x→27
x − 27
3
√x − 3
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Derivadas...
Integrais...
Limites
Determine os limites abaixo:
a) lim
x→3
x2 − 2x
x + 1
b) lim
x→4
x2 − 16
x − 4
c) lim
x→1
x3 − 4x + 3
x5 − 2x + 1
d) lim
x→−1
x3 − 3x2 + x − 1
x2 − 2x − 4
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Limites
Determine os limites abaixo:
a) lim
x→3
x2 − 2x
x + 1
b) lim
x→4
x2 − 16
x − 4
c) lim
x→1
x3 − 4x + 3
x5 − 2x + 1
d) lim
x→−1
x3 − 3x2 + x − 1
x2 − 2x − 4
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Derivadas...
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Limites
Determine os limites abaixo:
a) lim
x→3
x2 − 2x
x + 1
b) lim
x→4
x2 − 16
x −4
c) lim
x→1
x3 − 4x + 3
x5 − 2x + 1
d) lim
x→−1
x3 − 3x2 + x − 1
x2 − 2x − 4
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Derivadas...
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Limites
Determine os limites abaixo:
a) lim
x→3
x2 − 2x
x + 1
b) lim
x→4
x2 − 16
x − 4
c) lim
x→1
x3 − 4x + 3
x5 − 2x + 1
d) lim
x→−1
x3 − 3x2 + x − 1
x2 − 2x − 4
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Derivadas...
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Limites
Determine os limites abaixo:
a) lim
x→2
√x −√2
x − 2
b) lim
x→2
(x2 − 4) + 3√x3 − 8
x − 2
c) lim
x→2
√
3− x − 1
4− x2
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Derivadas...
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Limites
Determine os limites abaixo:
a) lim
x→2
√x −√2
x − 2
b) lim
x→2
(x2 − 4) + 3√x3 − 8
x − 2
c) lim
x→2
√
3− x − 1
4− x2
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Derivadas...
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Limites
Determine os limites abaixo:
a) lim
x→2
√x −√2
x − 2
b) lim
x→2
(x2 − 4) + 3√x3 − 8
x − 2
c) lim
x→2
√
3− x − 1
4− x2
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Derivadas...
Integrais...
Limites laterais
Determine os limites abaixo:
a) lim
x→9
x3 − 1
2x3 + 4
b) lim
x→−1
x2 + 6x + 5
x2 − 3x − 4
c) lim
x→0
√
x + 4− 2
x
d) lim
h→0+
3√h + 1
h
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Derivadas...
Integrais...
Limites laterais
Determine os limites abaixo:
a) lim
x→9
x3 − 1
2x3 + 4
b) lim
x→−1
x2 + 6x + 5
x2 − 3x − 4
c) lim
x→0
√
x + 4− 2
x
d) lim
h→0+
3√h + 1
h
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Derivadas...
Integrais...
Limites laterais
Determine os limites abaixo:
a) lim
x→9
x3 − 1
2x3 + 4
b) lim
x→−1
x2 + 6x + 5
x2 − 3x − 4
c) lim
x→0
√
x + 4− 2
x
d) lim
h→0+
3√h + 1
h
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Limites laterais
Determine os limites abaixo:
a) lim
x→9
x3 − 1
2x3 + 4
b) lim
x→−1
x2 + 6x + 5
x2 − 3x − 4
c) lim
x→0
√
x + 4− 2
x
d) lim
h→0+
3√h + 1
h
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Limites...
Derivadas...
Integrais...
Limites laterais
Para calcular limites laterais à esquerda e à direita, o
comando é:
limit(f (x), x , a,’left’) e limit(f (x), x , a,’right’)
onde:
’left’ e ’right’ são os comandos para calcular os limites laterais
à esquerda e à direita, respectivamente.
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Limites laterais
Exemplos
Achar os limites abaixo:
a) lim
x→3+
x
x − 3
b) lim
x→1−
x + 1
(x − 3)3
c) lim
x→0−
(1+ 1x )
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Limites laterais
Exemplos
Achar os limites abaixo:
a) lim
x→3+
x
x − 3
b) lim
x→1−
x + 1
(x − 3)3
c) lim
x→0−
(1+ 1x )
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Derivadas...
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Limites laterais
Exemplos
Achar os limites abaixo:
a) lim
x→3+
x
x − 3
b) lim
x→1−
x + 1
(x − 3)3
c) lim
x→0−
(1+ 1x )
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Limites...
Derivadas...
Integrais...
Limites laterais
Determine os limites abaixo:
a) lim
x→1+
x4 − 1
x − 1
b) lim
x→4−
x2
x2 − 16
c) lim
x→4+
2+ x
(x − 4)(x + 2)
d) lim
x→0−
(1+ 1x )
e) lim
x→3+
x
x − 3
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Derivadas...
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Limites laterais
Determine os limites abaixo:
a) lim
x→1+
x4 − 1
x − 1
b) lim
x→4−
x2
x2 − 16
c) lim
x→4+
2+ x
(x − 4)(x + 2)
d) lim
x→0−
(1+ 1x )
e) lim
x→3+
x
x − 3
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Limites laterais
Determine os limites abaixo:
a) lim
x→1+
x4 − 1
x − 1
b) lim
x→4−
x2
x2 − 16
c) lim
x→4+
2+ x
(x − 4)(x + 2)
d) lim
x→0−
(1+ 1x )
e) lim
x→3+
x
x − 3
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Limites laterais
Determine os limites abaixo:
a) lim
x→1+
x4 − 1
x − 1
b) lim
x→4−
x2
x2 − 16
c) lim
x→4+
2+ x
(x − 4)(x + 2)
d) lim
x→0−
(1+ 1x )
e) lim
x→3+
x
x − 3
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Limites...
Derivadas...
Integrais...
Limites laterais
Determine os limites abaixo:
a) lim
x→1+
x4 − 1
x − 1
b) lim
x→4−
x2
x2 − 16
c) lim
x→4+
2+ x
(x − 4)(x + 2)
d) lim
x→0−
(1+ 1x )
e) lim
x→3+
x
x − 3
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Limites...
Derivadas...
Integrais...
Limites no infinito
Determine os limites abaixo:
a) lim
x→+∞
3x + 1
2x − 5
b) lim
x→−∞
√
5x2 − 2
x + 3
c) lim
y→+∞
2+ y√
7+ 6y 2
d) lim
x→+∞
7− 6x5
x + 3
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Limites...
Derivadas...
Integrais...
Limites no infinito
Determine os limites abaixo:
a) lim
x→+∞
3x + 1
2x − 5
b) lim
x→−∞
√
5x2 − 2
x + 3
c) lim
y→+∞
2+ y√
7+ 6y 2
d) lim
x→+∞
7− 6x5
x + 3
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Limites...
Derivadas...
Integrais...
Limites no infinito
Determine os limites abaixo:
a) lim
x→+∞
3x + 1
2x − 5
b) lim
x→−∞
√
5x2 − 2
x + 3
c) lim
y→+∞
2+ y√
7+ 6y 2
d) lim
x→+∞
7− 6x5
x + 3
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Limites...
Derivadas...
Integrais...
Limites no infinito
Determine os limites abaixo:
a) lim
x→+∞
3x + 1
2x − 5
b) lim
x→−∞
√
5x2 − 2
x + 3
c) lim
y→+∞
2+ y√
7+ 6y 2
d) lim
x→+∞
7− 6x5
x + 3
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Derivadas...
Integrais...
Limites no infinito
Determine os limites abaixo:
a) lim
x→−∞
7− 6x5
x + 3
b) lim
x→+∞(1+ 2x − 3x
5)
c) lim
x→+∞
x
5√x5 + 7
d) lim
x→∞(
√
x − 2−√x)
e) lim
x→+∞
√x√
x +
√
x +√x
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Derivadas...
Integrais...
Limites no infinito
Determine os limites abaixo:
a) lim
x→−∞
7− 6x5
x + 3
b) lim
x→+∞(1+ 2x − 3x
5)
c) lim
x→+∞
x
5√x5 + 7
d) lim
x→∞(
√
x − 2−√x)
e) lim
x→+∞
√x√x +
√
x +√x
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Derivadas...
Integrais...
Limites no infinito
Determine os limites abaixo:
a) lim
x→−∞
7− 6x5
x + 3
b) lim
x→+∞(1+ 2x − 3x
5)
c) lim
x→+∞
x
5√x5 + 7
d) lim
x→∞(
√
x − 2−√x)
e) lim
x→+∞
√x√
x +
√
x +√x
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Limites no infinito
Determine os limites abaixo:
a) lim
x→−∞
7− 6x5
x + 3
b) lim
x→+∞(1+ 2x − 3x
5)
c) lim
x→+∞
x
5√x5 + 7
d) lim
x→∞(
√
x − 2−√x)
e) lim
x→+∞
√x√
x +
√
x +√x
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Limites...
Derivadas...
Integrais...
Limites no infinito
Determine os limites abaixo:
a) lim
x→−∞
7− 6x5
x + 3
b) lim
x→+∞(1+ 2x − 3x
5)
c) lim
x→+∞
x
5√x5 + 7
d) lim
x→∞(
√
x − 2−√x)
e) lim
x→+∞
√x√
x +
√
x +√x
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Limites...
Derivadas...
Integrais...
Limites Notáveis
Determine o limite das função dadas, se existir (limites
notáveis):
a) lim
x→+∞ cos
1
x
b) lim
θ→0
θ
cos θ
c) lim
x→0
sen(x)
5x
d) lim
x→pi2
cos(x)
x − pi2
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Derivadas...
Integrais...
Limites Notáveis
Determine o limite das função dadas, se existir (limites
notáveis):
a) lim
x→+∞ cos
1
x
b) lim
θ→0
θ
cos θ
c) lim
x→0
sen(x)
5x
d) lim
x→pi2
cos(x)
x − pi2
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Derivadas...
Integrais...
Limites Notáveis
Determine o limite das função dadas, se existir (limites
notáveis):
a) lim
x→+∞ cos
1
x
b) lim
θ→0
θ
cos θ
c) lim
x→0
sen(x)
5x
d) lim
x→pi2
cos(x)
x − pi2
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Limites...
Derivadas...
Integrais...
Limites Notáveis
Determine o limite das função dadas, se existir (limites
notáveis):
a) lim
x→+∞ cos
1
x
b) lim
θ→0
θ
cos θ
c) lim
x→0
sen(x)
5x
d) lim
x→pi2
cos(x)
x − pi2
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Limites...
Derivadas...
Integrais...
Limites Notáveis
Determine o limite das função dadas, se existir (limites
notáveis):
a) lim
x→pi
sen(x)− sen(pi)
x − pi
b) lim
x→0
sen(x)(1− cos(x))
2x2
c) lim
t→0
sen(3t)
2t
d) lim
x→0
sen(2x)
sen(3x)
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Derivadas...
Integrais...
Limites Notáveis
Determine o limite das função dadas, se existir (limites
notáveis):
a) lim
x→pi
sen(x)− sen(pi)
x − pi
b) lim
x→0
sen(x)(1− cos(x))
2x2
c) lim
t→0
sen(3t)
2t
d) lim
x→0
sen(2x)
sen(3x)
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Derivadas...
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Limites Notáveis
Determine o limite das função dadas, se existir (limites
notáveis):
a) lim
x→pi
sen(x)− sen(pi)
x − pi
b) lim
x→0
sen(x)(1− cos(x))
2x2
c) lim
t→0
sen(3t)
2t
d) lim
x→0
sen(2x)
sen(3x)
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Limites Notáveis
Determine o limite das função dadas, se existir (limites
notáveis):
a) lim
x→pi
sen(x)− sen(pi)
x − pi
b) lim
x→0
sen(x)(1− cos(x))
2x2
c) lim
t→0
sen(3t)
2t
d) lim
x→0
sen(2x)
sen(3x)
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Limites Notáveis
Determine o limite das função dadas, se existir (limites
notáveis):
a) lim
x→0
sen2(x)
x
b) lim
x→0
tg2(x)
x
c) lim
t→pi+
sen(t)
t − pi
d) lim
t→−1
ln(2+ t)
t + 1
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Determine o limite das função dadas, se existir (limites
notáveis):
a) lim
x→0
sen2(x)
x
b) lim
x→0
tg2(x)
x
c) lim
t→pi+
sen(t)
t − pi
d) lim
t→−1
ln(2+ t)
t + 1
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Determine o limite das função dadas, se existir (limites
notáveis):
a) lim
x→0
sen2(x)
x
b) lim
x→0
tg2(x)
x
c) lim
t→pi+
sen(t)
t − pi
d) lim
t→−1
ln(2+ t)
t + 1
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Determine o limite das função dadas, se existir (limites
notáveis):
a) lim
x→0
sen2(x)
x
b) lim
x→0
tg2(x)
x
c) lim
t→pi+
sen(t)
t − pi
d) lim
t→−1
ln(2+ t)
t + 1
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Limites Notáveis
Determine o limite das função dadas, se existir (limites
notáveis):
a) lim
t→−2
ln(3+ t)
t + 2
b) lim
x→0
2x − 1
x
c) lim
x→0
esen(x) − 1
sen(x)
d) lim
x→0
ln(1+ x)2
x
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Determine o limite das função dadas, se existir (limites
notáveis):
a) lim
t→−2
ln(3+ t)
t + 2
b) lim
x→0
2x − 1
x
c) lim
x→0
esen(x) − 1
sen(x)
d) lim
x→0
ln(1+ x)2
x
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Determine o limite das função dadas, se existir (limites
notáveis):
a) lim
t→−2
ln(3+ t)
t + 2
b) lim
x→0
2x − 1
x
c) lim
x→0
esen(x) − 1
sen(x)
d) lim
x→0
ln(1+ x)2
x
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Determine o limite das função dadas, se existir (limites
notáveis):
a) lim
t→−2
ln(3+ t)
t + 2
b) lim
x→0
2x − 1
x
c) lim
x→0
esen(x) − 1
sen(x)
d) lim
x→0
ln(1+ x)2
x
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Limites Notáveis
Determine o limite das função dadas, se existir (limites
notáveis):
a) lim
x→1
ln(x)3
x − 1
b) lim
x→0
tg(x)− sen(x)
x3
c) lim
x→4(
1+ x
5 )
1
x−4
d) lim
x→0
10x − 1
5x − 1
e) lim
x→+∞(1+
2
x )
x
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Determine o limite das função dadas, se existir (limites
notáveis):
a) lim
x→1
ln(x)3
x − 1
b) lim
x→0
tg(x)− sen(x)
x3
c) lim
x→4(
1+ x
5 )
1
x−4
d) lim
x→0
10x − 1
5x − 1
e) lim
x→+∞(1+
2
x )
x
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Determine o limite das função dadas, se existir (limites
notáveis):
a) lim
x→1
ln(x)3
x − 1
b) lim
x→0
tg(x)− sen(x)
x3
c) lim
x→4(
1+ x
5 )
1
x−4
d) lim
x→0
10x − 1
5x − 1
e) lim
x→+∞(1+
2
x )
x
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Limites Notáveis
Determine o limite das função dadas, se existir (limites
notáveis):
a) lim
x→1
ln(x)3
x − 1
b) lim
x→0
tg(x)− sen(x)
x3
c) lim
x→4(
1+ x
5 )
1
x−4
d) lim
x→0
10x − 1
5x − 1
e) lim
x→+∞(1+
2
x )
x
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Limites Notáveis
Determine o limite das função dadas, se existir (limites
notáveis):
a) lim
x→1
ln(x)3
x − 1
b) lim
x→0
tg(x)− sen(x)
x3
c) lim
x→4(
1+ x
5 )
1
x−4
d) lim
x→0
10x − 1
5x − 1
e) lim
x→+∞(1+
2
x )
x
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Aplicações de limites
De acordo com a teoria da relatividade, a massa m de
uma partícula depende de sua velocidade v . Isto é
m = m0√
1− v2c2
onde m0 é a massa quando a partícula
está em repouso e c é a velocidade da luz. Encontre o
limite da massa quando v tende a c−.
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limites laterais
Resolução do Problema
Script do problema da massa
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limites laterais
Resolução do Problema
Cálculo do problema da massa
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Derivadas...
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Aplicações de limites
O custo em milhões de dólares para uma agência
governamental apreender x% de uma droga ilegal é
C = 528x100− x , 0 ≤ x < 100. Encontre o limite de C
quando x → 100−
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Derivadas de um polinômio
A função que determina a derivada do polinômio p é a função:
polyder(p). Serão exibidos os coeficientes do polinômio que
representam a derivada.
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Derivadas de um polinômio
Exemplo
Calcular a derivada da função f (x) = x2 − 5x + 6
Portanto, a derivada é dada por: f ′(x) = 2x − 5
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Derivadas
Para o cálculo de derivadas,o comando no MATLAB é:
diff(funcao,variavel,ordem)
diff(f ):derivada de f em relação a x
diff(f ,s):derivada de f em relação a s
diff(f ,2):derivada de f duas vezes em relação a x
diff(f ,s,2):derivada de f em relação a s duas vezes
Resumidamente, temos: diff(f (x))
onde:
f (x) é a função que se quer determinar a derivada.
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Derivadas
Exemplos
Derivar as funções abaixo:
a) f(x)= 3x + 2x2
b) g(x)= 13− x
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Derivadas
Exemplos
Derivar as funções abaixo:
a) f(x)= 3x + 2x2
b) g(x)= 13− x
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Derivadas Superiores
As derivadas superiores são simples de se calcular no
MATLAB, o comando para tal operação é apresentado
abaixo:
diff(f (x),2)
onde:
f (x) é a função que se quer determinar a derivada e o 2
representa que será obtida a derivada segunda da função f (x),
para determinar a derivada terceira, basta colocar 3 no lugar
do número 2, para calcular a derivada quarta, o número 4 e
assim por diante.
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Derivadas
Exemplos
Calcular a derivada segunda das seguintes funções:
a) f(x)= 13− x
b) g(x)= x − 1x
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Exemplos
Calcular a derivada segunda das seguintes funções:
a) f(x)= 13− x
b) g(x)= x − 1x
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Derivadas Trigonométricas
Exemplos
Derivar as funções abaixo:
a) f(x)= sen(x)
b) f(x)= cos(2x)
c) f(x)= tan(3x + 5)
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Derivadas Trigonométricas
Exemplos
Derivar as funções abaixo:
a) f(x)= sen(x)
b) f(x)= cos(2x)
c) f(x)= tan(3x + 5)
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Derivadas Trigonométricas
Exemplos
Derivar as funções abaixo:
a) f(x)= sen(x)
b) f(x)= cos(2x)
c) f(x)= tan(3x + 5)
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Integral Indefinida
Na integração de funções, o comando que o MATLAB
reconhece para tal operação é:
int(funcao,variavel); determina a integral indefinida
int(f ): é a integral definida da função f em relação a variável
x
int(f ,s):é a integral definida da função f em relação a variável
s
observação:
Pode-se colocar a função dentro dos parênteses, ou então
definir uma função f e simplesmente escrever int(f).
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Integrais Indefinidas
Exemplos
Integrais as funções abaixo:
a)
∫
(1− x)2√xdx
b)
∫ 2x4 − 3x3 + 5
7x2 dx
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Integrais Indefinidas
Exemplos
Integrais as funções abaixo:
a)
∫
(1− x)2√xdx
b)
∫ 2x4 − 3x3 + 5
7x2 dx
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Integrais as funções abaixo:
a)
∫
(x + 3)dx
b)
∫
(2x − 3x2)dx
c)
∫
(x 32 + 2x + 1)dx
d)
∫
3√x2dx
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Integrais as funções abaixo:
a)
∫
(x + 3)dx
b)
∫
(2x − 3x2)dx
c)
∫
(x 32 + 2x + 1)dx
d)
∫
3√x2dx
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Integrais asfunções abaixo:
a)
∫
(x + 3)dx
b)
∫
(2x − 3x2)dx
c)
∫
(x 32 + 2x + 1)dx
d)
∫
3√x2dx
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Integrais as funções abaixo:
a)
∫
(x + 3)dx
b)
∫
(2x − 3x2)dx
c)
∫
(x 32 + 2x + 1)dx
d)
∫
3√x2dx
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Integrais as funções abaixo:
a)
∫ x2 + x + 1√x dx
b)
∫
(x + 1)(3x − 2)dx
c)
∫
y 2√ydy
d)
∫ (2
x + 3e
x
)
dx
e)
∫ 1− 2t3
t3 dt
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Integrais as funções abaixo:
a)
∫ x2 + x + 1√x dx
b)
∫
(x + 1)(3x − 2)dx
c)
∫
y 2√ydy
d)
∫ (2
x + 3e
x
)
dx
e)
∫ 1− 2t3
t3 dt
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Integrais as funções abaixo:
a)
∫ x2 + x + 1√x dx
b)
∫
(x + 1)(3x − 2)dx
c)
∫
y 2√ydy
d)
∫ (2
x + 3e
x
)
dx
e)
∫ 1− 2t3
t3 dt
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Integrais as funções abaixo:
a)
∫ x2 + x + 1√x dx
b)
∫
(x + 1)(3x − 2)dx
c)
∫
y 2√ydy
d)
∫ (2
x + 3e
x
)
dx
e)
∫ 1− 2t3
t3 dt
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Integrais as funções abaixo:
a)
∫ x2 + x + 1√x dx
b)
∫
(x + 1)(3x − 2)dx
c)
∫
y 2√ydy
d)
∫ (2
x + 3e
x
)
dx
e)
∫ 1− 2t3
t3 dt
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Integrais Trigonométricas
Exemplos
Integrais as funções abaixo:
a)
∫
cos(2x)dx
b)
∫
(sen3x + 2)dx
c)
∫
(3 cos pix + cos 3pix)dx
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Integrais Trigonométricas
Exemplos
Integrais as funções abaixo:
a)
∫
cos(2x)dx
b)
∫
(sen3x + 2)dx
c)
∫
(3 cos pix + cos 3pix)dx
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Integrais Trigonométricas
Exemplos
Integrais as funções abaixo:
a)
∫
cos(2x)dx
b)
∫
(sen3x + 2)dx
c)
∫
(3 cos pix + cos 3pix)dx
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Integrais Trigonométricas
Integrais as funções abaixo:
a)
∫
(2senx + 3 cos x)dx
b)
∫
(1− cossect cotgt)dt
c)
∫
(sec2 θ − senθ)dθ
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Integrais Trigonométricas
Integrais as funções abaixo:
a)
∫
(2senx + 3 cos x)dx
b)
∫
(1− cossect cotgt)dt
c)
∫
(sec2 θ − senθ)dθ
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Integrais Trigonométricas
Integrais as funções abaixo:
a)
∫
(2senx + 3 cos x)dx
b)
∫
(1− cossect cotgt)dt
c)
∫
(sec2 θ − senθ)dθ
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Integrais Trigonométricas
Integrais as funções abaixo:
a)
∫
(tg2y + 1)dy
b)
∫ senx
cos2 x dx
c)
∫ dy
cossecy
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Integrais Trigonométricas
Integrais as funções abaixo:
a)
∫
(tg2y + 1)dy
b)
∫ senx
cos2 x dx
c)
∫ dy
cossecy
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Integrais Trigonométricas
Integrais as funções abaixo:
a)
∫
(tg2y + 1)dy
b)
∫ senx
cos2 x dx
c)
∫ dy
cossecy
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Integrais definidas
Para o cálculo da integral definida das funções, o
comando que o MATLAB reconhece para tal operação
é:
int(funcao,variavel,a,b); determina a integral definida
int(f (x), a, b):é a integral definida da função f (x) em relação
a variável x de a até b
onde:
a é o limite inferior e
b é o limite superior da integral.
int(f ,s,a, b):é a integral definida da função f em relação a
variável s de a até b
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Integrais Definidas
Exemplos
Integrais as funções abaixo:
a)
∫ 0
−3
(x2 − 4x + 7)dx
b)
∫ 2
0
2x
(x − 3)2dx
c)
∫ 1
0
(1− 2x − 3x2)dx
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Integrais Definidas
Exemplos
Integrais as funções abaixo:
a)
∫ 0
−3
(x2 − 4x + 7)dx
b)
∫ 2
0
2x
(x − 3)2dx
c)
∫ 1
0
(1− 2x − 3x2)dx
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Integrais Definidas
Exemplos
Integrais as funções abaixo:
a)
∫ 0
−3
(x2 − 4x + 7)dx
b)
∫ 2
0
2x
(x − 3)2dx
c)
∫ 1
0
(1− 2x − 3x2)dx
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Integrais Definidas
Integrais as funções abaixo:
a)
∫ 3
1
1
x2dx
b)
∫ 9
4
2x
√
xdx
c)
∫ pi
2
−pi2
senθdθ
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Integrais Definidas
Integrais as funções abaixo:
a)
∫ 3
1
1
x2dx
b)
∫ 9
4
2x
√
xdx
c)
∫ pi
2
−pi2
senθdθ
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Integrais Definidas
Integrais as funções abaixo:
a)
∫ 3
1
1
x2dx
b)
∫ 9
4
2x
√
xdx
c)
∫ pi
2
−pi2
senθdθ
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Integrais Definidas
Integrais as funções abaixo:
a)
∫ pi
4
−pi4
cos xdx
b)
∫ 3
ln 2
5exdx
c)
∫ 4
1
(
3√
t − 5
√
t − t −32
)
dt
d)
∫ pi
2
pi
6
(
x + 2sen2x
)
dx
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Integrais Definidas
Integrais as funções abaixo:
a)
∫ pi
4
−pi4
cos xdx
b)
∫ 3
ln 2
5exdx
c)
∫ 4
1
(
3√
t − 5
√
t − t −32
)
dt
d)
∫ pi
2
pi
6
(
x + 2sen2x
)
dx
Armando Paulo da Silva UTFPR - Campus Cornélio Procópio
Elementos Básicos de Programaçãoem MATLAB...
Limites...
Derivadas...
Integrais...
Integrais Definidas
Integrais as funções abaixo:
a)
∫ pi
4
−pi4
cos xdx
b)
∫ 3
ln 2
5exdx
c)
∫ 4
1
(
3√
t − 5
√
t − t −32
)
dt
d)
∫ pi
2
pi
6
(
x + 2sen2x
)
dx
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a)
∫ pi
4
−pi4
cos xdx
b)
∫ 3
ln 2
5exdx
c)
∫ 4
1
(
3√
t − 5
√
t − t −32
)
dt
d)
∫ pi
2
pi
6
(
x + 2sen2x
)
dx
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