AD1 EAR 2015 2 gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
1a AD 2015/2 EAR Lic. em Matema´tica NA 1 a NA 4 Gabarito Coord. C. Vinagre & H. Clark
1a Questa˜o - [2 pontos] Mostre indicando detalhadamente seus racioc´ınios que:
(i) [0,5 pt] se x ∈ R \ {−4} e |x− 4| < 1 enta˜o 1/|x+ 4| ≤ 1/7.
(ii) [0,5 pt] se x ∈ R \ {1} e |x+ 3| < 2 enta˜o 1/|x − 1| ≤ 1/2.
(iiii) [1,0 pt] se ǫ ∈ R∗+, x ∈ R e |x− 4| < min {1, ǫ/9} enta˜o |x2 − 16| < ǫ.
Prova: (i) Sendo por hipo´tese x ∈ R, x 6= 4 e |x − 4| < 1 enta˜o −1 < x − 4 < 1. Adicionando
8 a cada membro destas u´ltimas desigualdades, resulta 7 < x + 4 < 9. Da´ı, tem-se que 0 < x + 4 e
assim pode-se afirmar que |x+ 4| = x+ 4 > 7. Como a hipo´tese garante que |x− 4| 6= 0, inverte-se e
conclui-se que 1/|x+ 4| ≤ 1/7
(ii) Sendo por hipo´tese x ∈ R, x 6= 1 e |x + 3| < 2 enta˜o −2 < x + 3 < 2. Da´ı, adicionando -4 a
cada membro destas desigualdades, resulta −6 < x− 1 < −2. Tem-se enta˜o que x− 1 < 0 e portanto
|x− 1| = −(x− 1). Da´ı e do anterior vem que |x− 1| = −(x− 1) > 2. Como por hipo´tese, |x− 1| 6= 0,
inverte-se e conclui-se que 1/|x− 1| ≤ 1/2
(iii) Por hipo´tese, tem-se x, ǫ ∈ R, ǫ > 0 e |x− 4| < min {1, ǫ/9}. Desta u´ltima condic¸a˜o resulta
|x− 4| < 1 e |x− 4| < ǫ
9
. (a)
Tem-se que
|x2 − 16| = |x− 4||x+ 4|. (b)
De |x − 4| < 1 tem-se que −1 < x − 4 < 1, e da´ı obte´m-se 7 < x + 4 < 9. Desta duas u´ltimas
desigualdades tem-se
|x+ 4| = x+ 4 < 9, (c)
dado que x+ 4 > 0. Usando (c) em (b) e em seguida (a)2, isto e´, que |x− 4| < ǫ/9 resulta
|x2 − 16| = |x− 4||x+ 4| < |x− 4| · 9 < ǫ
9
· 9 = ǫ.
2a Questa˜o - [2,0 pontos] Mostre por induc¸a˜o matema´tica que
12 − 22 + 32 + · · · + (−1)n+1n2 = (−1)n+1n(n+ 1)
2
para todo n ∈ N .
Demonstrac¸a˜o - P[n] e´
12 − 22 + 32 + · · ·+ (−1)n+1n2 = (−1)n+1n(n+ 1)
2
.
1
• Quando n = 1 tem-se
(−1)1+112 = 1 e, pelo outro lado, (−1)1+1 1(1 + 1)
2
= 1.
Portanto, P[1] e´ verdade.
• HI- Suponha por hipo´tese, a identidade va´lida para um n qualquer. Ou seja, que
12 − 22 + 32 + · · ·+ (−1)n+1n2 = (−1)n+1n(n+ 1)
2
e´ a hipo´tese indutiva.
Deseja-se provar que
12 − 22 + 32 + · · · + (−1)n+1n2 + (−1)(n+1)+1(n+ 1)2 = (−1)(n+1)+1 (n+ 1)[(n + 1) + 1]
2
,
ou seja,
12 − 22 + 32 + · · ·+ (−1)n+1n2 + (−1)n+2(n+ 1)2 = (−1)n+2 (n+ 1)(n + 2)
2
. (1)
Para isto, desenvolve-se o lado esquerdo da igualdade (2) ate´ chegar ao lado direito - ATENC¸A˜O: esta´
errado desenvolver os dois membros da igualdade ao mesmo tempo, pois para fazer isto, parte-se da
afirmac¸a˜o a qual se pretende provar!!
12 − 22 + 32 + · · · + (−1)n+1n2︸ ︷︷ ︸
a hip. indutiva da´ o valor deste termo
+(−1)n+2(n+ 1)2 =︸︷︷︸
HI
(−1)n+1n(n+ 1)
2
+ (−1)n+2(n+ 1)2
= (−1)n+1
[
n(n+ 1)
2
− (n2 + 2n+ 1)
]
= (−1)n+1
[
n2 + n− 2n2 − 4n − 2
2
]
= (−1)n+1
[
(−1)n
2 + n+ 2n+ 2
2
]
= (−1)n+2
[
n(n+ 1) + 2(n + 1)
2
]
= (−1)n+2
[
(n+ 1)(n + 2)
2
]
.
Assim, obte´m-se a igualdade desejada. Pelas duas etapas acima e pelo PIM, conclui-se que P[n] e´
verdadeira para todo n ∈ N
Questa˜o 3 [2,0 pontos] Seja A =
{
8n
3n+1 ; n ∈ N
}
. Mostre que inf A = 2 e que supA = 8/3, usando
a Definic¸a˜o 2.4.
Demonstrac¸a˜o -
• Mostrando que inf A = 2: Pela Definic¸a˜o 2.4 das NA 2 deve-se mostrar duas afirmac¸o˜es:
2
(I1) 2 e´ uma cota inferior de A: De fato, fixado n ∈ N, tem-se que
1 ≤ n.
∴ 2 ≤ 2n
∴ 6n+ 2 ≤ 6n+ 2n = 8n
∴ 2(3n + 1) ≤ 8n
∴ 2 ≤ 8n
3n+ 1
pois 3n+ 1 > 0.
Assim, para todo n ∈ N vale: 2 ≤ 8n3n+1 . Portanto, 2 e´ uma cota inferior para A.
(I2) 2 e´ a maior das cotas inferiores de A: De fato, como 2 e´ cota inferior de A e 2 = 8.13.1+1 ∈ A
enta˜o pela Observac¸a˜o 2.4 (2) (para o ı´nfimo) das NA 2, tem-se que o inf A = 2. ✷
• Mostrando que supA = 8/3: Pela Definic¸a˜o 2.4 das NA 2 deve-se mostrar 2 afirmac¸o˜es:
(S1) 8/3 e´ uma cota superior para A: De fato, seja n ∈ N fixo
24n ≤ 24n + 8 e´ verdade;
∴ 3.(8n) ≤ 8(3n + 1) ;
∴
8n
3n+ 1
≤ 8
3
pois 3n+ 1 > 0.
Assim, para todo n ∈ N tem-se que 8n/(3n + 1) ≤ 8/3. Portanto, 8/3 e´ uma cota superior para A.
(S2) 8/3 e´ a menor das cotas superiores de A: de fato, pela Definic¸a˜o 2.4 das NA 2 mostrar (S2)
significa mostrar que nenhum nu´mero real a < 8/3 e´ uma cota superior para A. Ou seja, deve-se
considerar:
a ∈ R, a < 8/3 e mostrar que existe pelo menos um 8n0
3n0 + 1
∈ A tal que a < 8n0
3n0 + 1
. (⋆)
Considere-se um nu´mero real a < 8/3. Logo 3a < 8. Portanto, 8− 3a > 0 e enta˜o a
8− 3a ∈ R. Pela
Propriedade Arquimediana tem-se que existe um n0 ∈ N tal que
n0 >
a
8− 3a . (∗)
Da´ı, usando as propriedades alge´bricas de R (e como 8− 3a > 0, ja´ que 3a < 8), tem-se
a < (8− 3a)n0
∴ a < 8n0 − 3n0a
∴ a+ 3n0a < 8n0
∴ (1 + 3n0)a < 8n0 .
∴ a <
8n0
3n0 + 1
pois 3n0 + 1 > 0, ja´ que n0 ≥ 1.
Assim, existe um nu´mero da forma 8n0/(3n0 + 1) ∈ A tal que 8n0/(3n0 + 1) > a. Logo a na˜o e´ cota
superior para A. Portanto, esta´ provado que para todo nu´mero real a < 8/3 tem-se que a na˜o e´ uma
cota superior para A. Logo, das etapas (S1) e (S2) conclui-se que 8/3 = supA.
4a Questa˜o - [2,0 pontos] Fac¸a o que se pede:
(a) [1,0 pts] Seja A := [
√
2, π) ∩Q. Mostre que inf A = √2. Note que √2 /∈ A!
3
(b) [1,0 pts] (a) [1,0 pt] Sejam a ∈ R∗ = R \ {0} e b ∈ R. Mostre que a equac¸a˜o
ax = b. (2)
possui exatamente uma soluc¸a˜o.
Observac¸a˜o: Uma equac¸a˜o e´ uma sentenc¸a matema´tica onde aparece uma igualdade e uma ou mais
varia´veis (ou indeterminadas). Portanto, uma equac¸a˜o na˜o pode dizer ser dita falsa ou verdadeira, pois
nem todos os seus termos sa˜o conhecidos. Uma soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o na varia´vel real x e´ um nu´mero
real que, colocado no lugar de x na equac¸a˜o, fornece uma igualdade verdadeira. Resolver uma equac¸a˜o
em R e´ usar propriedades alge´bricas de R para achar a soluc¸a˜o (ou soluc¸o˜es ) da equac¸a˜o. Observe que o
enunciado acima na˜o pede que se resolva a equac¸a˜o, mas sim, que se exiba uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o, para
garantir existeˆncia de soluc¸a˜o, e que se mostre que a soluc¸a˜o dada e´ u´nica. Pesquise nas Notas de Aula
01 o procedimento adequado para mostrar que um objeto matema´tico satisfazendo certa propriedade e´
u´nico. E tambe´m o procedimento para se exibir um objeto satisfazendo certa propriedade.
Demonstrac¸a˜o -(a) (Note que A e´ limitado inferiomente por
√
2 mas
√
2 /∈ A. Portanto, na˜o se
pode aplicar a Observac¸a˜o 2.4). Sera´ usada a Definic¸a˜o 2.4, como segue.
(i)
√
2 e´ uma cota inferior de A, pois a >
√
2 para todo a ∈ A pela pro´pria definic¸a˜o de A. Isto
comprova a condic¸a˜o (I1) da Definic¸a˜o 2.4.
(ii) Para mostrar a condic¸a˜o (I2) da Definic¸a˜o 2.4, deve-se provar que para cada c ∈ R tal que c > √2
existe a ∈ A tal que a < c.
Seja c ∈ R tal que c > √2. Enta˜o pode-se ter c ≤ π ou c > π.
Suponha inicialmente que c ≤ π (fac¸a um esboc¸o dos pontos na reta real para uma melhor
compreensa˜o). Como c e
√
2 sa˜o nu´meros reais e
√
2 < c enta˜o pelo Teorema da Densidade dos
Racionais (2.1), existe (pelo menos) um a ∈ Q tal que√2 < a < c. Como a ∈ Q e√2 < c < a ≤ π
enta˜o a ∈ A, pela definic¸a˜o de A. Isto comprova a condic¸a˜o (I2) da Definic¸a˜o 2.4 (existe a ∈ A
tal que
√
2 < a < c) no caso em que c ≤ π.
Por outro lado, quando c > π, basta usar o Teorema 2.1 da Densidade dos Racionais para os
reais
√
2 e π. De fato, este teorema garante que existe um a ∈ Q tal que √2 < a < π. Mas da´ı,
tem-se que a ∈ Q e √2 < a < π < c, e portanto, aqui tambe´m, a ∈ A. Assim, tambe´m no caso
em que c > π vale a condic¸a˜o (I2) da Definic¸a˜o 2.4 (existe a ∈ A tal que √2 < a < c).
Assim, em qualquer das duas situac¸o˜es poss´ıveis para c >
√
2, encontrou-se a ∈ A tal que√
2 < a < c. Isto comprova a condic¸a˜o (I2) da Definic¸a˜o2.4.
Logo, dos itens (i) e (ii) tem-se pela Definic¸a˜o 2.4 que
√
2 = inf A. ✷
(b)Existeˆncia: Como a ∈ R e a 6= 0, enta˜o existe 1
a
∈ R. Logo b
a
= 1
a
· b ∈ R e da´ı, substituindo
em (2) vem que
a · (1
a
· b) = (a · 1
a
) · b = 1 · b = b.
Portanto, a equac¸a˜o (2) tem pelo menos uma soluc¸a˜o x = b
a
✷
Unicidade: Suponha que a equac¸a˜o (2) tem uma soluc¸a˜o y ∈ R. Ou seja, ay = b. Como a ∈ R∗
enta˜o 1
a
∈ R e multiplicando ambos os lados da igualdade ay = b por 1/a obte´m-se
1
a
(ay) =
1
a
b ; da´ı (
1
a
a)y =
b
a
de onde segue 1.y = y =
b
a
.
Assim, se y e´ soluc¸a˜o de (2) enta˜o y = b
a
. Portanto, a soluc¸a˜o e´ u´nica. ✷
4
5a Questa˜o - [2,0 pontos] Seja a ∈ R∗ com |a| < 1 uma constante. Mostre pela definic¸a˜o de limite
que:
a sequeˆncia (an)n∈N definida por
an =
√
n−√n− a,
converge para 0.
Demonstrac¸a˜o -Por hipo´tese, a ∈ R∗ com |a| < 1 (isto garante que n − a > 0, para todo n ∈ N, e
que portanto, a sequeˆncia esta´ bem definida).
Seja ǫ > 0. Pela Propriedade Arquimediana, existe n0 ∈ N tal que n0 >
( |a|
ǫ
)2
- e´ preciso fazer um
rascunho para descobrir isto! Fixe-se n ∈ N com n > n0. Enta˜o, para este n,
|√n−√n− a− 0| = |√n−√n− a| |
√
n+
√
n− a|
|√n+√n− a| =
|(√n−√n− a)(√n+√n− a)|
|√n+√n− a|
√
n +
√
n − a > 0
=
=
|n− (n− a)|√
n+
√
n− a =
|a|√
n+
√
n− a
Como
√
n +
√
n− a ≥ √n > 0 enta˜o 1√
n+
√
n− a ≤
1√
n
. Assim, voltando ao racioc´ınio acima,
tem-se
|√n−√n− a− 0| = |a|√
n+
√
n− a ≤
|a|√
n
. (z)
Como n > n0 >
( |a|
ǫ
)2
enta˜o
√
n >
|a|
ǫ
e da´ı |a|/√n < ǫ. Portanto,
|(√n−√n− a)− 0| z≤ |a|√
n
< ǫ .
Como n > n0 foi tomado arbitrariamente (so´ com esta condic¸a˜o), pode-se afirmar que para todo
natural n > n0 tem-se |(
√
n−√n− a)− 0| < ǫ.
Mostrou-se portanto que: para todo nu´mero real ǫ > 0, existe n0 ∈ N tal para todo n ∈ N, se n > n0
enta˜o |(√n−√n− a)− 0| < ǫ. Assim, escreve-se
lim
n→∞
[√
n−√n− a] = 0 .
Ideia do rascunho: procura-se n0 >?? tal que n > n0 implique |an − 0| < ǫ.
Ora:
|an − 0| = |
√
n−√n− a− 0| = |√n−√n− a| |
√
n+
√
n− a|
|√n+√n− a| =
|(√n−√n− a)(√n+√n− a)|
|√n+√n− a|
√
n +
√
n− a > 0
=
=
|n− (n− a)|√
n+
√
n− a =
|a|√
n+
√
n− a
Como
√
n+
√
n− a ≥ √n > 0 enta˜o 1√
n+
√
n− a ≤
1√
n
. Assim, voltando
|√n−√n− a− 0| = |a|√
n+
√
n− a ≤
|a|√
n
.
E |a|√
n
< ǫ⇔ n >
(
|a|
ǫ
)2
. Basta enta˜o tomar n0 >
( |a|
ǫ
)2
5