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Universidade Veiga de Almeida Ciclo Ba´sico das Engenharias Lista de Exerc´ıcios - Limites Professora: Andreia Nogueira Conteu´do: Limites de func¸o˜es alge´bricas, Continuidade de Func¸o˜es, Ass´ıntotas Verticais e Ass´ıntotas Horizontais. 1. Calcule os seguintes limites. (1.1) lim x→7 x2 − 49 x− 7 (1.2) lim x→9 x2 − 81 x− 9 (1.3) lim x→−3/2 4x2 − 9 2x + 3 (1.4) lim x→1/4 4x− 1 16x2 − 1 (1.5) lim x→2 2x2 − 3x− 2 3x2 + x− 14 (1.6) lim x→2 x3 − 8 x− 2 (1.7) lim x→4 √ x− 2 x− 4 (1.8) lim x→2 √ x + 3−√5 x2 − 3x + 2 2. Calcule, caso exista, o limite da func¸a˜o dada. (2.1) f(x) = { 2x + 1, se x < 1; 5x− 2, se x > 1. (2.2) f(x) = { x2 + 2, se x < 2; 8− x, se x ≥ 2. (2.3) f(x) = x− 2, se x < 0;x2 + 1, se 0 ≤ x ≤ 2; x + 4, se x > 2. 1 2 3. Para as func¸o˜es a seguir determine os valores das constantes a e b para os quais lim x→p f(x) existe. (3.1) f(x) = 2x 2, se x < 1; ax− b, se 1 ≤ x ≤ 2; 2x + 5, se x > 2. (a) p = 1 (b) p = 2. (3.2) f(x) = 2x 2 − 3x− 2 x− 2 , se x < 2; x2 − ax + 1, se x ≥ 2. (a) p = 2 4. Considere a func¸a˜o f(x) definida por: f(x) = { x2 + 3, se x ≤ 1; x + 1, se x > 1. Mostre que os limites lim x→1− f(x) e lim x→1+ f(x) existem, mas o limite lim x→1 f(x) na˜o existe. 5. Encontre os nu´meros a e b que tornem a func¸a˜o dada cont´ınua para todo x real. (5.1) f(x) = 3x + 6a, se x < −3;3ax− 7b, se − 3 ≤ x ≤ 3; x− 12b, se x > 3. (5.2) f(x) = x 2, se x < −2; ax + b, se − 2 ≤ x ≤ 2; 2x− 6, se x > 2. 6. Calcule os seguintes limites. (6.1) lim x→1− x + 1 x2 − 1 (6.2) lim x→3− 3 + x (x− 3)2 (6.3) lim x→−∞ 2x + 3 1− 4x (6.4) lim x→+∞ 2x2 − 3x + 5 x2 + 1 (6.5) lim x→−∞ ( 2x− 1 x3 ) (6.6) lim x→+∞ ( 1 x2 + 2x ) (6.7) lim x→+∞ √ x2 + 1 x + 2 (6.8) lim x→−∞ √ x2 + 1 x + 2 3 7. Determine as ass´ıntotas horizontais e verticas das seguintes func¸o˜es. (7.1) f(x) = 2x x2 + 1 (7.2) f(x) = 2 x2 − 4 (x− 1)2 Gabarito 1 1.1) 14 1.2) 18 1.3) -6 1.4) 1/2 1.5) 5/13 1.6) 12 1.7) 1/4 1.8) √ 5/10 2 2.1) lim x→1 f(x) = 3 2.2) lim x→2 f(x) = 6 2.3)(a) Na˜o existe lim x→0 f(x), pois os limites laterais, apesar de existirem, sa˜o diferentes. (b) Na˜o existe lim x→2 f(x), pois os limites laterais, apesar de existirem, sa˜o diferentes. 3 3.1) a = 7 e b = 5 3.2) a = 0 4 O limite de f(x) em 1 na˜o existe porque os limites laterais, apesar de existirem sa˜o distintos. 5 5.1) a = 2 e b = −3 5.2) a = −3 2 e b = 1 4 6 6.1) −∞ 6.2) +∞ 6.3) −1 2 6.4) 2 6.5) −∞ 6.6) +∞ 6.7) 1 6.8) −1 7 7.1) A.H. → y = 0; Na˜o existe A.V.. 7.2) A.H. → y = 2; A.V. → x = 1.
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