Geometria Plana: Construções e Axiomas

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Geometria Plana
Aula 02
Elaine Pimentel
UFRN
20 de Fevereiro de 2014
Pimentel (UFRN) UFRN 20 de Fevereiro de 2014 1 / 15
Motivac¸a˜o
Construc¸o˜es com re´gua e compasso aparecem no se´culo V aC.
Nu´mero era o mesmo que nu´mero natural.
Na˜o havia nu´meros negativos e as frac¸o˜es na˜o eram consideradas
nu´meros, eram apenas razo˜es entre nu´meros.
Os gregos tiveram uma ide´ia engenhosa: representar uma grandeza
qualquer por um segmento de reta.
Esta ide´ia e´ equivalente a dizer que todo nu´mero real positivo esta´
associado a um ponto de uma semirreta graduada.
Por exemplo: calcular a hipotenusa de um triaˆngulo retaˆngulo de
catetos 2 e 3. Hoje: Pita´goras.
Antigamente: construir o triaˆngulo retaˆngulo cujos catetos medem 2
unidades e 3 unidades. Soluc¸a˜o completamente geome´trica.
Calcular = construir!
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Nesta aula
1 A´lgebra x geometria
2 Construc¸o˜es elementares
3 Axiomas de ordem
4 Para casa
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1 A´lgebra x geometria
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Resolvendo a equac¸a˜o ax = bc
Os triaˆngulos OAD e OCP sa˜o congruentes.
Logo
a
b
=
c
x
e portanto ax = bc.
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Trac¸ando perpendiculares
Seja P um ponto dado fora de uma reta r dada.
1 Com centro em P trace uma circunfereˆncia qualquer cortando a reta
r nos pontos A e B
2 Em seguida, desenhamos dois arcos de circunfereˆncia de mesmo raio,
com centros nos pontos A e B, determinando na intersec¸a˜o Q.
3 PQ ⊥ r .
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Provando que sa˜o perpendiculares
1 Primeira circunfereˆncia: PA = PB;
2 as duas seguintes: QA = QB;
3 os pontos P e Q equidistam de A e B;
4 portanto, eles pertencem a` mediatriz do segmento AB que e´ a reta
perpendicular a AB passando pelo seu ponto me´dio.
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Trac¸ando paralelas
Seja P um ponto dado fora de uma reta r dada. Trac¸amos treˆs
circunfereˆncias com mesmo raio:
1 a primeira com centro em P cortando a reta r em A;
2 a segunda com centro em A cortando a reta r em B;
3 a terceira com centro em B cortando a primeira circunfereˆncia em Q.
Justificativa: PABQ ´e um losango e, portanto, seus lados opostos s˜ao
paralelos.
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Axiomas para “esta´ entre”
Escreveremos A ∗ B ∗ C para dizer que o ponto B esta´ entre os pontos A e
C .
AO1 Se A ∗ B ∗ C , enta˜o A,B e C sa˜o pontos distintos de uma mesma
reta e C ∗ B ∗ A.
AO2 Dados treˆs pontos distintos de uma reta, um e apenas um deles esta´
entre os outros dois.
AO3 Dados dois pontos distintos B e D, existem pontos A,C e E
pertencentes a` reta contendo B e D, tais que A ∗ B ∗ D,B ∗ C ∗ D e
B ∗ D ∗ E .
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Segmentos
Def1 Sejam dois pontos distintos A e B, o segmento AB e´ o conjunto de
todos os pontos entre A e B mais os pontos extremos A e B.
Def2 A semi-reta com origem em A e contendo B e´ o conjunto dos pontos
C tais que A ∗ B ∗ C mais o segmento AB, sendo representada por
SAB .
Prop1 Para quaisquer dois pontos A e B tem-se:
a) SAB ∪ SBA = reta determinada por A e B.
b) SAB ∩ SBA = AB.
Prova. Seja m a reta determinada por A e B. Da definic¸a˜o de
semi-reta, segue imediatamente que SAB ∪ SBA ⊂ m. Se C pertence a`
reta m, enta˜o o Axioma de Ordem 2 implica somente uma das treˆs
alternativas: 1) A ∗ C ∗ B; 2) C ∗ A ∗ B; 3) A ∗ B ∗ C . No caso 1, C
pertence ao segmento AB; no caso 2 C pertence a` semi-reta SBA e
no caso 3, C pertence a SAB . Em qualquer caso, C pertence a
SAB ∪ SBA. Ou seja, m ⊂ SAB ∪ SBA.
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Semiplanos
Def3 Seja uma reta m. Dois pontos distintos fora de m, A e B, esta˜o em um
mesmo lado da reta m se o segmento AB na˜o a intercepta, caso contra´rio
dizemos que A e B esta˜o em lados opostos de m. O conjunto dos pontos de
m e dos pontos C tais que A e C esta˜o em um mesmo lado da reta m e´
chamado de semi-plano determinado por m contendo A e sera´ representado
por Pm,A.
AO4 Para toda reta l e para qualquer treˆs pontos A,B,C fora de l , tem-se:
i) Se A e B esta˜o no mesmo lado de l e B e C esta˜o no mesmo lado de l ,
enta˜o A e C esta˜o no mesmo lado de l .
ii) Se A e B esta˜o em lados opostos de l e B e C esta˜o em lados opostos
de l , enta˜o A e C esta˜o no mesmo lado de l .
Cor1 Se A e B esta˜o no mesmo lado de l e B e C esta˜o em lados opostos de l ,
enta˜o A e C esta˜o em lados opostos de l .
Prop2 Toda reta m determina exatamente dois semi- planos distintos cuja
intersec¸a˜o e´ a reta m.
Teor1 Se A,B,C sa˜o pontos distintos na˜o colin- eares e m e´ qualquer reta
interceptando AB em um ponto entre A e B, enta˜o l tambe´m intercepta AC
ou BC . Se C na˜o esta´ em m enta˜o m na˜o intercepta ambos AC e BC .
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Para entregar dia 25/02/2014
Dado um segmento AB descreva o processo de construc¸a˜o de um
triaˆngulo equila´tero ABC e sua altura CM.
Prove a Proposic¸a˜o 1 (b).
Prove o Teorema 1.
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