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Álgebra Linear I Aula 12 570 Ortogonalidade Base

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Aula 12 Álgebra Linear I 1
Apresentação
D ando continuidade ao estudo iniciado na aula 11 (Geometria de espaços euclidianos),trataremos de conjuntos em que todos os seus elementos são ortogonais entre si,chamados conjuntos ortogonais. Depois, desenvolveremos o conceito de projeção
ortogonal para encontrarmos a distância entre um vetor e um subespaço. Em seguida, de-
senvolveremos um método de construção de uma base de um subespaço que tenha somente
vetores ortogonais e usaremos a teoria desenvolvida para encontrar soluções aproximadas
de sistemas lineares.
Como se trata de uma continuação da aula 11, os conceitos nela desenvolvidos deverão
ter sido compreendidos. Dê atenção especial aos conceitos de vetores ortogonais, norma e
distância entre vetores. Eles são essenciais para a compreensão desta aula.
Objetivos
Dois métodos serão dados nesta aula: um para encontrar uma
base ortogonal para um subespaço vetorial dado e outro para en-
contrar uma solução aproximada para um sistema linear. Esses
métodos deverão ser bem compreendidos e você deverá saber
usá-los.
Aula 12 Álgebra Linear I2
Conjuntos ortogonais
Observe o conjunto ���� ��� ��� de vetores do ��, em que �� �
��
�
�
�
�
�
, �� �
��
��
�
�
�
�
 e �� �
��
�
���
����
�
�
. Quando calculamos os produtos internos �� � ��� �� � �� e
�� � ��, encontramos
�� � �� �
�
� � �
�
��
��
�
�
�
�
 � �� � � � � � �,
�� � �� �
�
� � �
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��
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���
����
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 � � �
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� � e
�� � �� �
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�� � �
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��
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����
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 � � �
�
�
�
�
�
� �.
Então, os vetores do conjunto ���� ��� ��� são ortogonais entre si. Quando isso acontece,
dizemos que o conjunto é ortogonal.
Definição – Um conjunto ���� ��� � � � � ��� de vetores em�� é dito um conjunto
ortogonal, se cada par de vetores distintos no conjunto é ortogonal, isto é, se
�� � �� � � sempre que � �� �.
Aula 12 Álgebra Linear I 3
O próximo teorema é uma generalização do Exercício Proposto 4 da aula passada.
Teorema 1
Se � � ���� ��� � � � � ��� é um conjunto ortogonal de vetores não nulos em ��,
então, � é linearmente independente e, portanto, é uma base para o subespaço
gerado por �.
Demonstração
Escrevendo � como combinação linear dos vetores de �,
� � ���� � ���� � � � �� ����,
para escalares ��� ��� � � � � ��. Então,
� � �� � ����� � ���� � � � �� ����� � �� � �
para todo �� � �. Assim,
����� � ��� � ����� � ��� � � � �� ����� � ��� � � � �� ����� � ��� � �.
Como � é ortogonal, temos �� � �� � �, quando � �� �. Logo, ����� � ��� � � e, por ��
ser não nulo, �� � � para cada um dos escalares ��� ��� � � � � ��. Ou seja, � é linearmente
independente.
O Teorema 1 nos inspira a seguinte definição.
Definição – Uma base ortogonal para um subespaço� de �� é uma base de
� que também é um conjunto ortogonal.
Exercício resolvido 1
O conjunto � � ���� ��� ���, no qual �� �
��
�
�
�
�
�
, �� �
��
��
�
�
�
�
 e �� �
��
�
���
����
�
�
, é base ortogonal para ��. Expresse o vetor � �
��
�
�
�
�
�
 como combi-
nação linear dos vetores de �.
1
Aula 12 Álgebra Linear I4
Atividade 1
Solução
Seja � � ���� � ���� � ����. Seguindo a idéia da demonstração do Teorema
1 e fazendo os produtos � � ��� � � �� e � � ��, chegamos a
����� � ���� � ����� � �� � ����� � ���,
����� � ���� � ����� � �� � ����� � ��� e
����� � ���� � ����� � �� � ����� � ���.
Então,
� ��� �
�
� � �
�
��
�
�
�
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� 
 � ����� ���� � ��
�
� � �
�
��
�
�
�
�
�
 � ���	,
� � �� �
�
� � �
�
��
��
�
�
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 � � � ����� � ��� �
��
�
�� � �
�
��
��
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 � �� � � e
� � �� �
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� � �
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��
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����
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�
� ����� � ��� �
��
�
� ��� ����
�
��
�
���
����
�
�
 � �� �
�
�
.
Logo, �� �
	
, �� �
�
�
, �� � ��, ou seja, � �
	
�� �
�
�
�� � ��.
Generalize o Exercício resolvido 1, isto é, resolva-o para uma base ortogonal
qualquer de ��.
Solução
Seja � � ���� � ���� � ����. Seguindo a idéia da demonstração do Teorema
1 e fazendo os produtos � � ��� � � �� e � � ��, chegamos a
����� � ���� � ����� � �� � ����� � ���,
����� � ���� � ����� � �� � ����� � ��� e
����� � ���� � ����� � �� � ����� � ���.
Então,
� ��� �
�
� � �
�
�
���
�
�
�
�
�
��
��� 
 � ����� ���� � ��
�
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�� � ���	,
� � �� �
�
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���
��
�
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��
�� � � � ����� � ��� �
��
�
�� � �
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��
�
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�
��
�� � �� � � e
� � �� �
�
� � �
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�
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����
�
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��
��� �
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� ����� � ��� �
��
�
� ��� ����
�
�
���
�
���
����
�
�
��
�� � �� �
�
�
.
Logo, �� �
	
, �� �
�
�
, �� � ��, ou seja, � �
	
�� �
�
�
�� � ��.
Aula 12 Álgebra Linear I 5
Projeção ortogonal
U m problema comum é o de decompor um vetor não nulo dado na soma de doisvetores ortogonais, sendo que um desses tem uma direção já determinada. Porexemplo, se queremos escrever � como soma de um vetor na direção de � com um
vetor que lhe seja ortogonal (Figura 1), devemos encontrar vetores �� � tais que � � � � �,
� � � � � e � � ��, com � um escalar.
Então, queremos encontrar o valor de � tal que � � �� seja ortogonal a �, ou seja,
��� ��� � � � �� � � � � ��� � �� � �� � �
� � �
� � �
.
Os vetores encontrados � �
�� � �
� � �
�
� e � � ��
�� � �
� � �
�
� são, respectivamente, o
que chamamos projeção ortogonal de � sobre � e componente de � ortogonal a �.
Exercício resolvido 2
Sejam � �
�
�
�
�
e � �
�
��
�
�
. Encontre a projeção ortogonal de � sobre � e a
projeção ortogonal de � sobre �.
Solução
A projeção ortogonal de � sobre � é dada por
�� � �
� � �
�
� �
�
�
� �
�
����
���
�
.A
projeção ortogonal de � sobre � é obtida invertendo-se os papéis de � e �, isto
é,
�� � �
� � �
�
� �
�
�
� �
�
���
���
�
.
Figura 1
1
Solução
A projeção ortogonal de � sobre � é dada por
�� � �
� � �
�
� �
�
�
� �
�
����
���
�
.A
projeção ortogonal de � sobre � é obtida invertendo-se os papéis de � e �, isto
é,
�� � �
� � �
�
� �
�
�
� �
�
���
���
�
.
Aula 12 Álgebra Linear I6
Atividade 2
Repita o Exercício resolvido 2 com � �
�
��
�
�
. Qual a projeção
ortogonal de � sobre �? E, se � �
�
��
�
�
, com � real?
Observe que tomamos na atividade 2 todos os múltiplos do vetor � usado no Exercício
resolvido 2. O resultado que você deve ter verificado é que qualquer que seja o vetor do
subespaço gerado por � �
�
��
�
�
, a projeção ortogonal sobre � não se altera. Isso nos
remete à próxima definição.
Definição – Diz-se que o vetor 	
��� do subespaço vetorial � de �� é a pro-
jeção ortogonal de � sobre � quando �� 	
��� é ortogonal a � .
Exercício resolvido 3
Seja 	� ��� a projeção ortogonal de � �
��
��
��
��
�
�
 sobre o subespaço vetorial do ��
gerado por �� �
��
�
�
�
�
�
 e �� �
��
�
�
�
�
�
. Encontre uma expressão para 	� ���.
Solução
Como o vetor 	� ��� pertence a � , existem escalares �� � tais que 	� ��� �
��� � ���. Assim, o vetor �� ���� � ���� é ortogonal a todos os vetores de
� . Em particular, chamando de 
 a matriz cujas colunas são os vetores �� e
��, temos �� �
�
�� 
�
�
�
��
� �� �
�
�� 
�
�
�
��
� �. Ou seja,
1
Solução
Como o vetor 	�		 ��� pertencea � , existem escalares �� � tais que 	�		 ��� �
��� � ���. Assim, o vetor �� ���� � ���� é ortogonal a todos os vetores de
� . Em particular, chamando de 
 a matriz cujas colunas são os vetores �� e
��, temos �� �
�
�� 
�
�
�
��
� �� �
�
�� 
�
�
�
��
� �. Ou seja,
Aula 12 Álgebra Linear I 7
Atividade 3
 �
�
�� 
�
�
�
��
� �� 
 �
�
�
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 ���
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��
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��
��
��
��
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�
 �
��
��
�
��
�
�
.
Sejam � o subespaço de �� gerado pelos vetores ��� ��� � � � � �� e 
 �
��� �� � � � ��
 a matriz cujas colunas são os vetores ��� ��� � � � � ��. Use
os procedimentos do Exercício Resolvido 3 para mostrar que 	� ��� �
���	�����	�.
1.
su
a 
re
sp
os
ta
 �
�
�� 
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��
� �� 
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��
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��
��
�
�
��
�� �
�
���
��
�
��
�
�
��
��.
Aula 12 Álgebra Linear I8
Método dos mínimos quadrados
Você pode interpretar a projeção ortogonal de um vetor � sobre um subespaço vetorial
� como o vetor que minimiza a distância de � a � , conforme demonstrado no próximo
teorema.
Teorema 2
Seja� um subespaço de �� e seja 	� ��� a projeção ortogonal de � sobre� .
Então, 	� ��� é o ponto de� mais próximo de �, isto é,
 �� 	� ��� 
 � 
 �� � 
para todo � em� diferente de 	� ���.
Demonstração
Seja � pertencente a � diferente de 	� ���. Então, � � 	� ��� também está em � e,
portanto, é ortogonal a � � 	� ���. Como � � � � �� � 	� ���� � �	� ��� � ��, o cálculo
de 
 � � � 
� nos dá 
 � � � 
� � 
 � � 	� ��� 
� � 
 	� ��� � � 
�. O fato de � ser
diferente de 	� ��� nos garante que 
 	� ��� 
� � �. Logo, 
 �� 	� ��� 
� � 
 �� � 
�
� 
 �� 	� ��� 
 � 
 �� � 
.
O Teorema 2 também nos garante que a projeção ortogonal de � sobre � é a melhor
aproximação de � por vetores de � . Isso pode ser traduzido como encontrar a melhor
solução aproximada de um sistema linear. Certos sistemas simplesmente não têm solução
ou são tão trabalhosos que é necessário encontrar uma solução aproximada.
O problema geral de mínimos quadráticos é encontrar um � que torne 
 � � �� 
 o
menor possível. O termo “mínimos quadráticos” vem do fato de que 
 � � �� 
 é a raiz
quadrada de uma soma de quadrados. Pelo Teorema 2, a melhor aproximação de � � ��
é sua projeção ortogonal sobre o subespaço vetorial gerado pelas colunas de �, �����.
Para simplificar a notação, usaremos � � 	��������. Como � pertence a �����, é possível
Figura 2
Aula 12 Álgebra Linear I 9
Atividade 4
encontrar uma solução � para o sistema �� � �. A solução desse novo sistema é a solução
de mínimos quadráticos para �� � �.
Exercício resolvido 4
Encontre a solução de mínimos quadráticos do sistema impossível �� � �, em
que
� �
��
� �
� ��
� �
�
�
 � � �
��
���
�
���
�
�
.
Solução
Estamos procurando a projeção ortogonal � de � sobre o subespaço vetorial
�����. Então, utilizando o desenvolvimento feito no Exercício Resolvido 3,
precisamos encontrar � tal que �� � �, o que equivale a resolver o sistema
�	�� � �	�. Assim, calculamos �	� �
�
� � �
� �� �
�
��
� �
� ��
� �
�
�
 �
�
� �
� �
�
e �	� �
�
� � �
� �� �
�
��
���
�
���
�
�
 �
�
�
�
�
. Com isso, temos o
sistema
�
� �
� �
�
� �
�
�
�
�
� � �
�
�����
����
�
.
Dados os pontos do plano ��� ��,��� ����, ��� ���� e ��� ��, o método dos míni-
mos quadráticos pode ser usado para encontrar a reta que mais se aproxima
deles. Basta verificar que se uma reta passa por todos os pontos, então existem
�� � reais tais que
�����
� �
� �
� �
� �
�
����
�
�
�
�
�
�����
�
���
���
�
�
����
. Assim, se não existe tal reta,
a que passa mais próximo dos pontos dados é aquela dada pelo método dos
mínimos quadráticos. Use-o para determinar a equação dessa reta e faça um
desenho de tal situação.
1
Solução
Estamos procurando a projeção ortogonal � de � sobre o subespaço vetorial
�����. Então, utilizando o desenvolvimento feito no Exercício Resolvido 3,
precisamos encontrar � tal que �� � �, o que equivale a resolver o sistema
�	�� � �	�. Assim, calculamos �	� �
�
� � �
� �� �
�
�
���
� �
� ��
� �
�
�
��
�� �
�
� �
� �
�
e �	� �
�
� � �
� �� �
�
�
���
���
�
���
�
�
��
�� �
�
�
�
�
. Com isso, temos o
sistema
�
� �
� �
�
� �
�
�
�
�
� � �
�
�����
����
�
.
Aula 12 Álgebra Linear I10
O processo de ortogonalização
de Gram-Schmidt
Já usamos o conjunto ���� ��� ��� de vetores do ��, em que �� �
��
�
�
�
�
�
, �� �
��
��
�
�
�
�
 e �� �
��
�
���
����
�
�
,como exemplo de uma base ortogonal. Quaisquer múltiplos
desses vetores continuam formando uma base ortogonal (verifique isso). Dentre todos estes,
o conjunto ���� ��� ���, com �� �
��
 �� 
�
�
�
	
��
�
�
�
�
�
, �� �
��
 �� 
�
�
�
�
��
��
�
�
�
�
 e
�� �
��
 �� 
�
�
�
��
�
���
����
�
�
, merece atenção especial. Além de seus vetores serem
ortogonais, têm norma 1.
Definição – Uma base ortogonal formada por vetores de norma 1 é dita uma
base ortonormal.
É conveniente escrever vetores como combinação de bases ortonormais, já que, dados
o vetor � e uma base ortonormal ���� ��� � � � � ���, os coeficientes de � � ���� � ���� �
� � ������ podem ser determinados por � ��� � ����� ���������� ����� � � ������� ���� �
�� � � � �� � � � � � �� �� � � � � � �� �� � � � ��.
Aula 12 Álgebra Linear I 11
Exercício resolvido 5
Sejam, �� �
�����
�
�
�
�
�
����
, �� �
�����
�
�
�
�
�
�
����
e �� �
�����
�
�
�
�
�
����
. Como esses vetores são
linearmente independentes, formam uma base para um subespaço� de��. Cons-
trua uma base ortonormal para� .
Solução
Queremos encontrar uma base� � ���� ��� ��� para � que tenha vetores or-
togonais com normas 1. Fixemos �� �
��
 �� 
�
�
�
�
�����
�
�
�
�
�
����
. Para encontrar
um vetor ortogonal a ��, consideremos o subespaço vetorial�� gerado por ��
e a projeção ortogonal de �� sobre ��, 	������ �
�
�� � ��
�� � ��
�
�� �
�����
�
�
�
�
�
����
.
Lembre-se de que �� �	������ �
�����
�
�
�
�
�
�
����
é ortogonal a ��. Agora, fazemos
�� �
�� � 	������
 �� � 	������ 
�
�����
�
�
�
�
�
����
.
Falta então encontrar um vetor �� que seja ortogonal ao subspaço vetorial
�� � ���� ��	. Ou seja, �� deve ser ortogonal a �� e a �� simultaneamente
com norma 1. Logo,
�� �
�� � 	������
 �� � 	������ 
. Como 	������ está em ��, existem escalares
�� � tais que
	������ � ���� ���, satisfazendo ���� ����� �������� � � e ���� �����
�������� � �. Disso segue que 	������ � ��� � ����� � ��� � �����. Assim,
como
�� � 	������ �
�����
�
�
�
�
�
����
�
�
�����
������
�
�
�
�
����
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�����
�
�
�
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�
����
	
�����
�
�����
�
�
�
�
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����
, temos �� �
�����
�
�
�
�
�
����
1
Solução
Queremos encontrar uma base� � ���� ��� ��� para � que tenha vetores or-
togonais com normas 1. Fixemos �� �
��
 �� 
�
�
�
�
�
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�
�
�
�
�
�
��
���������
��
. Para encontrar
um vetor ortogonal a ��, consideremos o subespaço vetorial���� gerado por ��
e a projeção ortogonal de �� sobre ���� , 	�		 ��� ���� �
�
�� � ��
�� � ��
�
�� �
�
������������
�
�
�
�
�
�
��
���������
��
.
Lembre-se de que �� �	�		 ��� ���� �
�
������������
�
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�
�
�
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��
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��
é ortogonal a ��. Agora, fazemos
�� �
�� � 	�		 ��� ����
 �� � 	�		 ��� ���� 
�
�
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�
�
�
�
�
�
��
���������
��
.
Falta então encontrar um vetor �� que seja ortogonal ao subspaço vetorial
���� � ���� ��	. Ou seja, �� deve ser ortogonal a �� e a �� simultaneamente
com norma 1. Logo,
�� �
�� � 	�		 ��� ����
 �� � 	�		 ��� ���� 
. Como 	�		 ��� ���� está em ���� , existem escalares
�� � tais que
	�		 ��� ���� � ���� ���, satisfazendo ���� ����� �������� � � e ���� �����
�������� � �. Disso segue que 	�		 ��� ���� � ��� � ����� � ��� � �����. Assim,
como
�� � 	�		 ��� ���� �
�
������������
�
�
�
�
�
�
��
���������
��
�
�
�
��
������������
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������������
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��
���������
��
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������������
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��
	
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��
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��
, temos �� �
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��
���������
��
Aula 12 Álgebra Linear I12
Resumo
No Exercício resolvido 5, seguimos um algoritmo que é chamado de processo de Gram-
Schmidt. Esse processo pode ser aplicado a qualquer base ���� ��� � � � � ��� de um sub-
espaço � para encontrar uma base ortonormal ���� ��� � � � � ��� de � . Suas etapas são
bem definidas e seguem a seguinte seqüência.
Passo 1 – Inicie fazendo �� �
��
 �� 
e considere�� � ���	.
Passo 2 – Calcule �� � 	������ e faça �� �
�� � 	������
 �� � 	������ 
. Considere
�� � ���� ��	.
Passo � – Calcule �� � 	�������� e faça �� �
�� � 	��������
 �� � 	�������� 
. Con-
sidere���� � ���� ��� � � � � ����	.
Começamos definindo conjunto ortogonal como aquele que tem seus elemen-
tos ortogonais entre si. Depois, vimos que um conjunto de vetores ortogonais
é também linearmente independente. Definindo, assim, uma base para um sub-
espaço vetorial. Essa base que é um conjunto ortogonal é chamada de base
ortogonal. Passamos à idéia de projeção ortogonal. O vetor 	� ��� do sub-
espaço vetorial � de�� é a projeção ortogonal de � sobre � quando ��	� ���
é ortogonal a � . Usamos este conceito para encontrar soluções aproximadas
para sistemas lineares através dos mínimos quadráticos. Vimos que esses dão
os vetores mais próximos de uma solução em um subespaço determinado. Por
fim, apresentamos o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt que nos
permite encontrar uma base ortogonal de vetores de norma 1 a partir de qual-
quer base dada.
Algoritmo
É um conjunto das regras 
e procedimentos que 
levam à solução de um 
problema em um número 
finito de etapas
Aula 12 Álgebra Linear I 13
Auto-avaliação
Considere a base de �� � � ���� ��� ��� ���, em que
�� �
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�����
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, �� �
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, �� �
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����
, �� �
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��
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����
.
Dado qualquer vetor � de��, suas coordenadas na base� podem ser encontradas
fazendo-se a multiplicação de matrizes �	�, com
� �
�����
��� ��� ��
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��� ��� ���
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� �
��� ���� � ��
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��� ���� � ���
�
�
�
����
(perceba que as colunas de A são os vetores de B). Esse procedimento funciona
com qualquer base? Por quê?
Encontre o produto �	� usando a matriz do item anterior. Verifique que matrizes
cujas colunas são vetores ortonormais são inversíveis e que suas inversas são suas
transpostas.
No Exercício Resolvido 5, usamos o processo de Gram-Schmidt para encontrar
uma base ortonormal para o subespaço gerado pelos vetores
�� �
�����
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, �� �
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e �� �
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.
Considere a matriz
� �
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� � �
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����
e verifique que � � 
�, em que 
 é a matriz cujas colunas são
�� �
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, �� �
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����
e �� �
�����
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�
����
,
e � é uma matriz triangular superior. Observe que, sempre que as colunas de uma
matriz � forem linearmente independentes, podemos ter a fatoração � � 
�,
como no caso de �.
1
2
3
Aula 12 Álgebra Linear I14
Exercícios propostos
1) Encontre a projeção ortogonal de � sobre o subespaço gerado por �� e �� .
a) � �
�
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, �� �
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, �� �
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b) � �
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, �� �
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��
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, �� �
��
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2) Encontre o ponto mais próximo de � no subespaço gerado por �� e �� , no qual � �
�����
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����
, �� �
�����
�
�
��
�
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����
, �� �
�����
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��
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��
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����
.
3) Nos itens a seguir, encontre uma solução de mínimos quadráticos para �� � �.
a) � �
��
� ��
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, � �
��
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b) � �
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� � ��
� � �
�� � ��
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����
, � �
�����
�
�
	
	
�
����
4) Nos itens a seguir, o conjunto dado é uma base para um subespaço � . Use o processo
de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal para� .
a)
��
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,
��
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��
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b)
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,
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����
,
�����
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����
5) Mostre que se � � 
�, em que 
 tem colunas ortonormais, então, � � 
	�.
Aula 12 Álgebra Linear I 15
Referências
ANDRADE, C. R. L; BEZERRA, J. Q; BIELSCHOWSKY, R. H. Álgebra linear aplicada. Natal,
2005. (Documento a ser publicado.)
LAY, David C. Álgebra linear e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e
Científicos Editora S. A., 1999.
1) a) � � 	 ��� �
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b) 	 ��� �
��
���
����
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 c) � � 	 ��� �
��
	
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2)
�����
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3) a)
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b)
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c)
��
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4) a)
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,
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b)
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,
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��
��
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����
,
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�����
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��
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����
,
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�����
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��
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�
����
5) Se as colunas de 
 são ortogonais, então sua inversa é 
	. Daí, � � 
	�.
Respostas dos Exercícios propostos
Aula 12 Álgebra Linear I16
Anotações

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