Matemática Elementar I

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FICHA TÉCNICA
Governador
Eduardo Braga
Vice-Governador
Omar Aziz
Reitor
Lourenço dos Santos Pereira Braga
Vice-Reitor
Carlos Eduardo S. Gonçalves
Pró-Reitor de Planej. e Administração 
Antônio Dias Couto
Pró-Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários
Ademar R. M. Teixeira
Pró-Reitor de Ensino de Graduação
Carlos Eduardo S. Gonçalves
Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Walmir de Albuquerque Barbosa
Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado)
Carlos Alberto Farias Jennings
NUPROM
Núcleo de Produção de Material
Coordenador Geral
João Batista Gomes
Projeto Gráfico
Mário Lima
Editoração Eletrônica
Helcio Ferreira Junior
Horácio Martins
Mário Lima
Revisão Técnico-gramatical
João Batista Gomes
Costa, Helisângela Ramos da.
C837 Matemática Elementar I / Helisângela Ramos da Costa, Ieda
Maria de Araújo Câmara Costa, Célia Maria Nogueira. Batista –
Manaus/AM: UEA, 2006. – (Licenciatura em Matemática. 1. Pe-
ríodo).
131p.: il. ; 30 cm.
Inclui bibliografia e anexo
1. Matemática – Estudo e ensino. I. Costa, Helisângela Ramos 
da. II. Costa, Ieda Maria de Araújo Câmara. III. Batista, Célia Maria
Nogueira. IV. Título.
CDU (1997): 51 
CDD (19.ed.): 510
SUMÁRIO
Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07
Unidade I – Sistemas de Numeração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09
TEMA 01 – A origem, as antigas civilizações e nosso sistema de numeração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
TEMA 02 – Bases diferentes de 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Unidade II – Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
TEMA 03 – Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Unidade III – Conjuntos dos números naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
TEMA 04 – Representação dos números naturais na reta numérica. Operação: adição . . . . . . . . . . . . . . 23
TEMA 05 – Operação: subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
TEMA 06 – Operação: multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
TEMA 07 – Operação: divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
TEMA 08 – Operações: potenciação e radiciação. Expressões Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
TEMA 09 – Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
TEMA 10 – Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Unidade IV – O Conjunto dos números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
TEMA 11 – A idéia do número inteiro. Representação na reta numérica. Subconjuntos. Módulo ou valor
absoluto de um número inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
TEMA 12 – Operações: adição e subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
TEMA 13 – Operações: multiplicação e divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
TEMA 14 – Operações: potenciação e radiciação. Expressões numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Unidade V – O Conjunto dos números racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
TEMA 15 – O número racional absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
TEMA 16 – O conjunto dos racionais relativos. Representação na reta numérica. Subconjuntos. Módulo
ou valor absoluto de um número racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
TEMA 17 – Operações: adição e subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
TEMA 18 – Operações: multiplicação e divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
TEMA 19 – Operações: potenciação e radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
TEMA 20 – Expressões numéricas e resolução de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
TEMA 21 – Representação de números fracionários na forma decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
TEMA 22 – Operações: multiplicação e divisão. Sistema monetário nacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Unidade VI – Geometria das formas e das medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
TEMA 23 – A geometria de Euclides. Conceitos primitivos. Semi-reta. Segmento de reta. Noções de
Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
TEMA 24 – Unidades de medida de comprimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
TEMA 25 – Curvas abertas e fechadas. Regiões convexas. Ângulos e Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
TEMA 26 – Triângulos e quadriláteros. Perímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
TEMA 27 – Medidas de superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
TEMA 28 – Área de principais figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
TEMA 29 – Volume de sólidos. Medidas de capacidade e massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
TEMA 30 – Sólidos geométricos: prismas e pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
TEMA 31 – Sólidos geométricos: corpos redondos. Circunferência e círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
TEMA 32 – Sólidos geométricos: corpos redondos. Cilindro e cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 
Unidade VII – Proporcionalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
TEMA 33 – Razões e proporções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
TEMA 34 – Regra de três simples e composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
TEMA 35 – Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
TEMA 36 – Juros simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Referências . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Helisângela Ramos da Costa
Bacharela em Matemática – UFAM
Bacharela em Processamento de Dados – UFAM
Especialização em Instrumentação para o Ensino da Matemática (concluindo) (UFF) 
Iêda Maria de Araújo Câmara Costa
Especialista em Ensino de Matemática – UFAM.
Mestranda em Matemática (Geometria Diferencial) – (UFAM)
Célia Maria Nogueira Batista
Especialista em Ensino da Matemática – UFAM
Mestranda em Matemática (Geometria Diferencial) – (UFAM)
PERFIL DOS AUTORES
PALAVRA DO REITOR
A Licenciatura Plena em Matemática pelo Sistema Presencial Mediado vem reforçar o compromisso do
Governo e da Universidade do Estado do Amazonas de avançar com ousadia na área do ensino que valo-
riza os meios tecnológicos. Os recursos utilizados para tal (livro didático, tv e web) são reforçados pela pre-
sença de Professores Assistentes para garantir a qualidade necessária e otimizar os efeitos positivos advin-
dos dessa ousadia.
O grande potencial tecnológico que caracteriza a UEA tem de ser utilizado para a formação de professores,
especialmente daqueles que se encontram no interior do Estado, fazendo-os permanecer no seu local de
origem, dando-lhes formação à altura das necessidades regionais e criando condições dignas de trabalho.
Toda a experiência significativa acumulada em outros projetos vai contribuir para que o curso de Matemática
cumpra a contento o papel de formar professores com visão diferenciada, colocando em prática uma didáti-
ca eficiente, centrada nas necessidades imediatas do homem e do meio que o circunda.
As estratégias de ensino-aprendizagem devem ser focadas no aluno. Em função dele é que se lança mão
de todos os recursos inovadores, estimulando-o à pesquisa e à conquista de uma vida melhor. Assim, a UEA
cumpre a tarefa de formar profissionais autônomos e disciplinados, aptos a absorver e a praticar uma políti-
ca educacional que elevará o Estado do Amazonas à posição de vanguarda no âmbito do ensino que ultra-
passa as barreiras da sala de aula.
Lourenço dos Santos Pereira Braga
Reitor da Universidade do Estado do Amazonas
UNIDADE I
Sistemas de Numeração
TEMA 01
A ORIGEM. AS ANTIGAS CIVILIZAÇÕES.
NOSSO SISTEMA DE NUMERAÇÃO
1. A origem do sistema de numeração
Para entender como surgiram os números, é
preciso ter uma idéia de como o homem, des-
de a época mais remota, vivia e quais eram
suas necessidades. Naquele tempo, o homem,
para alimentar-se, caçava, pescava e colhia
frutos; para morar, usava cavernas; para defen-
der-se, usava paus e pedras. Portanto o ho-
mem precisava contar. Quantos peixes havia?
Quantas espigas de milho? Quantos dias fal-
tavam para a caça de pássaros antes das chu-
vas? Quantas ovelhas havia no rebanho? Es-
sas necessidades de sobrevivência levaram-no
a fazer comparações entre as “coisas” que ti-
nham ou queriam com os dedos das mãos.
Segundo alguns autores, o surgimento da pri-
meira máquina de calcular deve-se às conta-
gens nos dedos das mãos.
Devido ao aumento de posses e à necessida-
de de contar quantidades maiores, o homem
passou a usar objetos pequenos para repre-
sentá-las.
No caso das pedrinhas, cada animal que saía
para o pasto de manhã correspondia a uma
pedra que era guardada em um saco. No fim
do dia, quando os animais voltavam do pasto,
era feita a correspondência inversa: para cada
animal que retornava, era retirada uma pedra
do saco. Se no fim do dia sobrasse alguma
pedra, era porque faltava algum dos animais. E
se algum fosse acrescentado ao rebanho, era
só acrescentar mais uma pedra. A palavra cál-
culo é derivada da palavra latina calculus, que
significa pedras (Figura 1).
Figura 1: Correspondência biunívoca (BIANCHINI, 2002, p. 13).
Nesse caso, quando ocorre a correspondência
um-para-um nos dois sentidos, por exemplo,
uma pedrinha para cada ovelha e uma ovelha
para cada pedrinha, denomina-se correspon-
dência biunívoca (Figura 1).
A correspondência unidade a unidade não era
feita somente com pedras, mas eram usados
também nós em cordas, marcas nas paredes,
talhes em ossos, desenhos nas cavernas e ou-
tros tipos de marcação (Figura 2).
Figura 2: Objetos utilizados para representar
as quantidades (BIACHINI, 2002, p. 12).
Porém um problema surgiu: imagine que uma
pessoa usasse traços para representar cada
ovelha. Por exemplo: um homem tinha 
||||||||||||||||||||||| ovelhas. 
Não seria nada prático, não é mesmo? Talvez a
solução encontrada tenha sido separar grupos
de marcas. 
Um homem tinha ||||||||| ||||||||| |||
ovelhas.
Neste caso, as marcas estão agrupadas de
dez em dez. 
Ainda hoje em dia, nos jogos, é muito comum
contar pontos registrando agrupamentos de 5.
Por exemplo, num jogo:
João fez pontos
Para facilitar o registro dos objetos, surgiu o
ábaco, cerca de 3500 a.C., na Mesopotâmia.
Os mais antigos ábacos eram formados de sul-
cos feitos na areia, nos quais eram colocadas
pedrinhas. Um mesmo número de pedrinhas
colocadas em sulcos diferentes representava
quantidades diferentes. O primeiro sulco, da
direita para a esquerda, corresponde ao sulco
das unidades; o segundo, ao sulco das deze-
nas; o terceiro, ao sulco das centenas, e assim
por diante.
11
Matemática Elementar I – Sistemas de Numeração
Figura 3: Ábaco antigo (BIACHINI, 2002, p. 43).
2. As antigas civilizações
As primeiras grandes civilizações surgiram
nas regiões próximas do Mar Mediterrâneo, há
pouco mais de 5 000 anos. Entre elas, desta-
cou-se a civilização egípcia. A escrita egípcia
era feita por meio de combinações de dese-
nhos e sinais gráficos, chamados hieróglifos. A
seguir, uma lista de sinais convencionais utili-
zados no sistema de numeração egípcio. Sis-
tema de numeração é o conjunto de regras
usadas para tornar possível a leitura e a escri-
ta dos números.
Quadro 1: Sistema de numeração egípcio.
Fonte: http://educar.sc.usp.br/matemática
Observe, no quadro 1, que cada símbolo re-
presenta dez vezes o que o símbolo anterior
representa, justificando o fato de que a base
do sistema de numeração egípcio é 10. Para
representar um determinado número, os egíp-
cios colocavam os símbolos tanto da direita
para a esquerda quanto da esquerda para a
direita ou de cima para baixo. Isto mostra que
o sistema de numeração egípcio não é posicio-
nal. Por exemplo, o número 22 podia ser repre-
sentado por:
Ao contrário de outros povos que criaram sím-
bolos próprios para representar os números,
os romanos buscaram letras do próprio alfabe-
to para representá-los. No quadro 2, tem-se o
sistema de numeração romano e os valores
correspondentes em nosso sistema de nume-
ração.
Quadro 2: Sistema de numeração romano
Na figura 4, tem-se um mostrador de relógio
em que são utilizados algarismos romanos.
Figura 4: Algarismos romanos.
Observa-se que, da mesma forma que os egíp-
cios, os romanos utilizavam base 10:
I→ 1 = 1000, X→ 10 = 101, 
C→ 100 =102, M→ 1000 =103.
A seguir, as principais regras do sistema de
numeração romano:
1) Cada um dos símbolos I, X, C e M pode ser
repetido seguidamente até três vezes. 
2) Um símbolo escrito à esquerda de outro de maior
valor indica uma subtração dos respectivos va-
lores (princípio subtrativo).
Exemplo:
IV→ 5 − 1 = 4; IX→ 10 − 1 = 9; XL→ 50 − 10 = 40;
CD→500 −100 = 400;CM→1000 − 100 = 900.
3) Um símbolo escrito à direita de outro de maior
valor indica uma soma dos respectivos valores
(princípio aditivo).
Exemplo:
VI→ 5 + 1 = 6; XI = 10 + 1 = 11; XV = 10 + 5 = 15;
CX→ 100 + 10 = 110; DC→ 500 + 10 = 600;
MDC → 1.000 + 500 + 100 = 1.600
12
UEA – Licenciatura em Matemática
4) Utiliza-se um traço horizontal acima do símbolo,
indicando que o número abaixo dele deve ser
multiplicadopor mil. Dois traços equivale a multi-
plicá-lo por 1 000 × 1 000 = 1 000 000 (um milhão).
Exemplos:
3. Nosso Sistema de Numeração
O Brasil, assim como a maioria dos países, uti-
liza o sistema de numeração indo-arábico, que
é decimal. A palavra “decimal” origina-se do la-
tim decem, que significa dez, ou seja, os agru-
pamentos são sempre feitos de dez em dez.
Por isso, é usualmente chamado de sistema
numérico decimal. A denominação indo-arábi-
co deve-se ao fato de seus símbolos e suas
regras terem sido inventados pela antiga civi-
lização hindu e aperfeiçoados e divulgados
pelos árabes.
O principal responsável pela divulgação desse
sistema foi o matemático, astrônomo e geógra-
fo muçulmano do século IX, Abu Jafar Moha-
med Ibn Musa Al-Khowarizmi, com a tradu-
ção de seus trabalhos de Aritmética, Álgebra e
Geometria para o latim, penetrando e influen-
ciando o Ocidente. 
A seguir, as principais características desse sis-
tema:
1) Utiliza apenas 10 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8 e 9, com os quais é possível representar qual-
quer número. Esses símbolos são chamados al-
garismos em homenagem à Al-Khowarizmi. Vale
lembrar que os símbolos do nosso sistema de
numeração sofreram várias mudanças sendo
sua padronização possível com a invenção da
imprensa, no século XV. Outro fato é que, os pri-
meiros que chegaram à noção de zero, que indi-
ca uma “casa vazia”, foram os babilônios, povo
que viveu por volta de 2 500 a. C., na Mesopo-
tâmia.
2) Tem base 10, ou seja, os agrupamentos são fei-
tos de dez em dez.
3) É um sistema posicional, isto é, um mesmo sím-
bolo representa valores diferentes dependendo
da posição que ocupa no numeral. 
Exemplo: no número 32 524, o primeiro algaris-
mo “2” (contando a partir da direita) vale vinte
unidades, enquanto o segundo vale duas mil uni-
dades.
4) Obedece aos princípios aditivo e multiplica-
tivo.
O número 235, por exemplo, significa:
200 + 30 + 5 (princípio aditivo)
Ou seja,
2 ×100 + 3 ×10 + 5 ×1 (princípio multiplicativo)
No princípio aditivo, o número é obtido pela adi-
ção dos valores posicionais. 
No princípio multiplicativo, cada algarismo escri-
to imediatamente à esquerda de um outro alga-
rismo vale dez vezes o valor posicional deste. 
Assim, cada grupo de dez unidades forma uma
dezena. Cada grupo de dez dezenas forma
uma centena. Cada grupo de dez centenas
forma um milhar. Cada grupo de dez unidades
de milhar forma uma dezena de milhar. Cada
grupo de dez dezenas de milhar forma uma
centena de milhar. E assim por diante. Dessa
forma, todo número pode ser representado uti-
lizando potências de dez. Este tipo de represen-
tação do número é chamado de notação expo-
nencial.
Observe como o número 809 432 é represen-
tado no ábaco com sua notação exponencial:
13
Matemática Elementar I – Sistemas de Numeração
A partir dos conceitos de valor posicional, têm-
se os conceitos de valor relativo e valor abso-
luto. 
Valor relativo de um algarismo é o valor que ele
assume, dependendo da ordem que ele ocupa
no número, e valor absoluto é o valor isolado
do algarismo, independente da posição ou or-
dem que ele ocupa no número.
No sistema de numeração decimal, os núme-
ros são lidos ou escritos mais facilmente quan-
do os algarismos são separados em grupos de
três, começando pela direita. Cada algaris-
mo que forma um numeral representa uma
ordem e que cada três ordens consecutivas
representa uma classe como se pode obser-
var no quadro 3.
Mas as classes não terminam nos milhões.
Existem as classes dos bilhões, trilhões, etc.
Considere os números que estão colocados
no quadro 3 e a respectiva leitura:
Lê-se: oitocentos e nove mil, quatrocentos e trinta e dois.
Lê-se: sessenta e três milhões, duzentos e oitenta e três
mil, cento e quatro.
Atenção: Quando o número indicar quantia em di-
nheiro, a separação das classes deve ser feita por
um ponto, caso contrário, deve-se usar espaço.
Exemplos:
a) 3 456 b) 34 567 103 c) R$1.200,00 d) R$14.350,50
EXERCÍCIOS
1) Escreva a quantidade que está representada
em cada ábaco.
2) Escrever os numerais em algarismos romanos:
a) 12 b) 19 c) 159 d) 535
e) 1 542 f) 4 415 g) 750
3) Veja o desenho e descubra que número repre-
senta e qual sua notação exponencial.
4) No quadro valor lugar, represente os números
e depois faça a leitura:
a) 3 482
b) 55 980 644
5) Observe o número 3 482 e responda: 
a) Quantas classes e quantas ordens possui o nú-
mero dado?
b) Quantas unidades simples possui?
c) Quantas dezenas possui?
d) Quantas centenas possui?
e) Qual a ordem em que o valor absoluto é igual ao
valor relativo?
14
UEA – Licenciatura em Matemática
Quadro 3: Quadro Valor Lugar
TEMA 02
BASES DIFERENTES DE 10
Quando se precisa contar uma grande quantidade
de coisas, separam-se os objetos em grupos, pois
isto facilita a contagem. Por exemplo, contar as dú-
zias de ovos é uma forma de agrupar: agrupar de
12 em 12. Os fabricantes agrupam um determina-
do número de unidades em cada embalagem. Por
exemplo: as barrinhas de drops vêm com o mes-
mo número de balas, as cartelas dos medicamen-
tos vêm com o mesmo número de comprimidos.
Até a medição do tempo é feita por meio de grupa-
mentos de 60 em 60 – sistema sexagesimal. 
Exemplo: Uma hora tem 60 minutos e um minuto
tem 60 segundos. Dessa forma, tem-se:
a) 1h 20min = 1×601 + 20×600 = 1×60 + 20×1 =
= 60 + 20 = 80min 
b) 2h 20min 40s = 2×602 + 20×601 + 40×600 =
= 2×60×60 + 20×60 + 40×1 =
= (7 200 + 1 200 + 40)s = 8 440s
Portanto é possível usar qualquer número como
base para criar um sistema numérico posicional.
Regra: obtém-se o valor do número, multiplican-
do o valor de cada algarismo pela base elevada
à posição ocupada por ele (a partir da posição
zero), somando-se todas as parcelas.
Outro sistema não decimal bastante utilizado é o
sistema binário – sistema numérico posicional de
base dois que usa apenas os algarismos “um” e
“zero”. A grande maioria dos componentes de cir-
cuitos elétricos podem assumir apenas um dentre
dois estados. Por exemplo: interruptores ou tran-
sistores podem estar fechados ou abertos; capaci-
tores podem estar carregados ou descarregados;
lâmpadas podem estar acesas ou apagadas. Foi
estabelecido que um desses estados representa o
“um” (lâmpada acesa, por exemplo) e que o outro
representa o “zero” (lâmpada apagada, por exem-
plo). O algarismo do sistema binário é chamado de
dígito binário, oriundo do inglês binary digit, cuja
contração produz bit. O bit é a menor unidade de
dado (ou informação) que pode ser armazenada
em um computador.
O processo de conversão das grandezas do
mundo real em quantidades expressas no sistema
binário chama-se “digitalização”.
O sistema binário funciona de modo parecido a um
interruptor, como mostra a Figura 5.
Figura 5: Sistema binário (BIANCHINI, 2002, p. 53).
Se desejar representar, neste sistema numérico, o
número oito mediante um conjunto de lâmpadas,
onde uma lâmpada acesa representa o algarismo
“1” e uma lâmpada apagada o algarismo “0”, tem-
se as 3 lâmpadas da esquerda para direita apa-
gadas e 1 acesa (Figura 6).
Figura 6: Representação do número oito no
sistema binário (BIANCHINI, p. 56).
1 000(dois) = 1×23 + 0×22 + 0×21 + 0×20 = 8
Já foi demonstrado como escrever um número em
uma determinada base para a base 10. Agora, será
demonstrado como fazer o processo inverso. A
maneira mais simples consiste em fazer divisões
sucessivas pela base. As divisões serão feitas
com o número e com cada um dos quocientes
inteiros encontrados. O processo termina quan-
do o quociente for igual a zero. Os restos das
divisões, escritos na ordem inversa em que
aparecem, darão a representação do número na
baseescolhida. Observe como fica transforman-
do o número oito na base 10 para a base 2.
EXERCÍCIOS
1) Escreva a quantidade que está representada
em cada ábaco.
2) Escreva o número (192)dez na base cinco.
15
Matemática Elementar I – Sistemas de Numeração
UNIDADE II
Conjuntos
TEMA 03
CONJUNTOS
Observe os conjuntos a seguir:
Figura 1: Representação dos conjuntos em diagramas.
O conjunto A caracteriza-se por seus elementos
serem figuras geométricas. O conjunto B caracteri-
za-se por seus elementos serem números. Os con-
juntos são representados por letras maiúsculas.
Portanto:
Exemplo: � = {0, 1, 2, 3, 4....}. Esse conjunto é
chamado de conjunto dos números naturais. Cada
número natural possui um outro número natural
denominado sucessor – elemento que vem ime-
diatamente após um número dado (antecessor). 1
é sucessor de 0, e 0 é antecessor de 1.
Os conjuntos podem ser classificados em finito,
infinito, unitário e vazio.
Conjunto finito – É aquele em que se podem con-
tar todos os seus elementos.
Exemplo: M = {0, 1, 2, ... ,718, 719}. M é o conjun-
to dos números naturais menores que 720.
Conjunto infinito – É aquele em que não se con-
segue contar todos os seus elementos. 
Exemplo: Conjunto dos números naturais � = {0,
1, 2, 3, 4, 5,...}.
Observação: cada elemento é escrito uma única
vez no conjunto. 
Conjunto unitário – É o conjunto formado por um
único elemento.
Exemplo: A = {3}
Conjunto vazio – É o conjunto que não tem ele-
mentos.
Exemplo: O conjunto B formado pelos dias da
semana que começam com a letra “p”. Indica-se
por: B = { } ou B = ∅
Relacionando o conjunto B da figura 1 com o con-
junto � , percebe-se que é possível estabelecer
relação entre os conjuntos. A relação pode ser de
pertinência ou de inclusão.
Quadro 1: Relação de pertinência.
Quadro 2: Relação de Inclusão.
1) Em ambas as notações, B é subconjunto de A,
ou seja, todos os elementos de B pertencem
ao conjunto A.
2) O conjunto vazio é subconjunto de qualquer
conjunto, e qualquer conjunto contém o con-
junto vazio. Ou seja:
∅ ⊂ A e A ⊃ ∅
3) Todo conjunto é subconjunto de si mesmo,
pois se A = B, então:
A ⊃ B e B ⊂ A
4) Em ambas as notações, C não é subconjunto
de D, ou seja, nem todos os elementos de C
pertencem ao conjunto D.
Exemplo: Considerando os conjuntos A, B e C
onde A é o conjunto formado pelos números que
representam os ponteiros de um relógio, B pelos
números que aparecem nas teclas de um telefone
e C pelos números naturais.
Relação de inclusão é uma relação entre
conjuntos.
Relação de pertinência é uma relação entre
elementos e conjunto.
Um conjunto é uma coleção de elementos
que têm uma característica em comum, uma
propriedade que os distingue.
19
Matemática Elementar I – Conjuntos
Sendo A = {1, 2, 3,...,12}, B = {0, 1, 2,..., 9} e
C = {0, 1, 2, 3,...}
Eis algumas possibilidades de relaçõs entre eles:
5 ∈ B, 24 ∉ A, B ⊄ A, B ⊂ C, C ⊃ A, A B
Além de relacionar elemento e conjunto, conjunto
e conjunto, podem-se realizar operações entre
conjuntos: união, interseção e diferença entre con-
juntos (quadro 3).
Quadro 3: Operação entre conjuntos.
Exemplo: Considerando os conjuntos da figura 2,
determine:
Figura 2: Operações entre conjuntos.
a) A ∪ B = {1,2,3,5} ∪ {2,4,5,6,7} = {1,2,3,4,5,6,7}
b) A ∩ B = {1,2,3,5} ∩ {2,4,5,6,7} = {2,5}
c) (A − B) ∩ (A ∩ B)
A − B = {1,3}
A ∩ B = {2,5}
(A − B ) ∩ (A ∩ B) = {1, 3} ∩ {2,5} = ∅
EXERCÍCIOS
1) Complete os espaços com os símbolos ∈, ∉, ⊃
ou ⊄.:
a) {c, b, e}.........{a, b, c, d, e, f}
b) 0....... {1, ..., 10, 11,...}
c) {0, 1, 2,...}........{10, 20, 30, 40}
d) {a, e, i, o, u}......{a, u} 
e) 3 .....IN 
f) {2, 4, 6, 8}.......{0, 1, 2, .., 8}
2) Considerando o conjunto A formado pela
idade das pessoas que têm mais de 30 anos, o
conjunto B pela idade das pessoas que têm
menos de 25 anos, o conjunto C pela idade
das pessoas que têm entre 40 e 50 anos, assi-
nale V (verdadeiro) ou F (falso) para as sen-
tenças:
a) A ∪ B = C b) A ∩ C = C
c) C − A = C d) A − (B ∪ C ) = {0,1, 2,..., 30}
20
UEA – Licenciatura em Matemática
UNIDADE III
Conjunto dos Números Naturais
TEMA 04
REPRESENTAÇÃO NA RETA NUMÉRICA.
OPERAÇÃO: ADIÇÃO
O conjunto dos números naturais, representado
pela letra � , é o conjunto:
� = {0,1,2,3,4,5,6,...}, muito utilizado para resolver
problemas de contagem, em que o zero indica a
ausência de objetos.
1. Representação dos números naturais na re-
ta numérica
A seguir, o procedimento para representar es-
ses números sobre uma reta ordenada:
1) Traça-se uma reta, e sobre ela, marca-se um pon-
to “O” (chamado ponto de origem).
2) Escolhe-se uma unidade de comprimento, 1 cen-
tímetro, por exemplo, à direita do ponto O. 
3) Partindo do ponto de origem, coloca-se essa uni-
dade de comprimento repetidas vezes, ao longo
da reta, da esquerda para a direita. Cada ponto
da reta está associado a um número natural.
Note que: 
a) 1 é consecutivo de 0 ou sucessor de 0, porque
0 + 1 = 1
b) 3 é consecutivo de 2, porque 2 + 1 = 3
c) 0 < 1 < 2 < 3 → lê-se: 0 é menor que 1, que é
menor que 2, que é menor que 3. O anteces-
sor é sempre menor que seu sucessor. Esta-
belece-se, assim, a ordem crescente dos nú-
meros naturais.
d) 3 > 2 > 1 > 0 → lê-se: 3 é maior que 2, que é
maior que 1, que é maior que 0. O sucessor
sempre é maior que seu antecessor. Estabele-
ce-se, assim, a ordem decrescente dos núme-
ros naturais. Portanto sempre é possível esta-
belecer uma relação de ordem em � .
2. Operações com números naturais
A Aritmética é o alicerce da Matemática. Essa
palavra vem do grego arithmos, que significa
número.
As operações com os números naturais são
usadas constantemente na vida diária, embora
seja difícil dizer quando e como se aprende a
adicionar, subtrair, multiplicar e dividir. Operar
é agir sobre os objetos e, de alguma manei-
ra, realizar transformações.
Resolver problemas é uma prática que acom-
panha os homens ao longo da história. As ciên-
cias, as sociedades, as artes devem muito do
seu desenvolvimento à eterna resolução de
problema. George Polya (1887-1985) foi um
grande educador matemático que nasceu em
Budapeste, Hungria. Escreveu muitos artigos e
alguns livros extraordinários, como How to
solve it (“A Arte de Resolver Problemas”, em
português).
Figura 1: A Arte de Resolver Problemas
Fonte: www.mercadolivre.com.br/.../25604126_3848.jpg
Procurando organizar um pouco o processo
de resolução de problemas, George Polya divi-
diu-o em quatro etapas. Polya nunca preten-
deu que sua divisão correspondesse a uma se-
qüência de etapas a serem percorridas uma
depois da outra, sem que nunca seja conve-
niente ou necessário voltar atrás, ou que fun-
cionasse como uma porção mágica. 
As quatro etapas para resolução de proble-
mas segundo George Polya: 
1) Compreender o problema. 
! Ler o enunciado. 
! Identificar os dados fornecidos. 
! Identificar as incógnitas (dados desconheci-
dos do problema). 
Aritmética é a parte da Matemática que
estuda as propriedades dos números e
as operações que se podem realizar so-
bre eles.
23
Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais
! Verificar as possíveis relações entre os dados
e as incógnitas. 
! Se possível, criar um esquema que represen-
te a situação. 
! Identificar o que o problema pede.
2) Traçar um plano: Consiste em construir uma es-
tratégia de resolução. 
! Você já resolveu algum problema parecido? 
! É possível resolvê-lo por partes? 
! Quais são as operações matemáticas adequa-
das para resolver a situação? 
! Todos os dados do problema estão envolvidos
no plano?
3) Executar o plano: Consiste em colocar a estra-
tégia de resolução em prática. 
! Tentar responder: o que eu obtenho com esse
passo?! Ao encontrar dificuldades, volte à primeira eta-
pa e reordene as idéias.
4) Comprovar os resultados.
! Ler o enunciado novamente e verificar se o
que foi perguntado é o que foi respondido. 
! Verificar se os argumentos utilizados para
obter o resultado são válidos. 
! Você pode obter a solução de um outro mo-
do? 
A seguir, serão apresentadas as operações
fundamentais: adição, subtração, multiplica-
ção e divisão. Os problemas que as envolvem
serão resolvidos utilizando as etapas de Polya.
2.1 Adição
A operação de adição é associada a duas
idéias: juntar e acrescentar. A seguir, duas
situações que envolvem essas idéias. 
Exemplos:
1) Uma livraria tem 123 lápis e 24 livros. Quantos
objetos há na livraria?
1.a etapa: Compreender o problema.
Dados conhecidos: 123 lápis e 24 livros.
Pede-se: a quantidade de objetos da livraria.
Figura 2: Idéia de juntar
2.a etapa: Traçar um plano.
Idéia de juntar objetos diferentes. Portanto a
operação a ser utilizada é a adição.
3.a etapa: Executar o plano.
Para realizar a soma, será necessário executar
uma seqüência de procedimentos, chamada de
algoritmo. 
Será utilizada a seguinte convenção para os algo-
ritmos das quatro operações:
Figura 3: Convenção utilizada para as quatro operações.
Primeiro, deve-se representar no quadro valor
lugar as parcelas 123 e 24, e depois deve-se jun-
tar os objetos de cada ordem.
Lê-se: “Cento e quarenta e sete”.
4.a etapa: Comprovar os resultados.
Logo, a quantidade de objetos que há na livraria
são 147.
2) No balde, havia 147 peixes. Marina pescou mais
56 peixes e colocou-os no mesmo balde. Quan-
tos peixes há no balde?
Figura 4: Idéia de acrescentar.
24
UEA – Licenciatura em Matemática
1.a etapa – Compreender o problema.
Dados conhecidos: 147 peixes e 56 peixes.
Pede-se: a quantidade de peixes no balde.
2.a etapa – Traçar um plano.
Idéia de acrescentar peixes a uma quantidade de
peixes já existente. Portanto, a operação a ser uti-
lizada é adição.
3.a etapa – Executar o plano.
Deve-se representar no quadro valor de lugar as
parcelas da adição 147 + 56. Depois, trocam-se
dez unidades por uma dezena e transporta-se
para o lugar das dezenas.
Lê-se: “Cento e noventa e três”.
Chama-se de “vai um” o transporte de uma or-
dem para a ordem imediatamente superior, que
aqui significa “vai uma dezena”, pois 7 + 6 = 13,
ou seja, 10 + 3, indicando que restam 3 na or-
dem das unidades. Quando se somam as deze-
nas, o “vai um” significa “vai uma centena”, pois
40 + 50 + 10 = 100. Portanto nada resta na or-
dem das dezenas, representando por 0. Este pro-
cesso é conhecido como “transporte de reserva”.
O resultado da adição é obtido pelos algarismos
que representam a quantidade que restou em
cada ordem. No caso, tem-se 2 centenas, 0
dezena e 3 unidades. Portanto, 147 + 56 = 203.
4.a etapa – Comprovar os resultados.
Propriedades da adição
A adição em � apresenta as seguintes pro-
priedades:
A1) Propriedade do fechamento
Observe o que acontece com a soma 2 + 6:
2 + 6 = 8
Portanto: a soma de dois números naturais
resulta em um número natural. Ou seja, se
a ∈ � , b ∈ � , então a + b ∈ � .
A2) Propriedade comutativa
Observe o que acontece com a soma 4 + 3
e 3 + 4:
Portanto: dados dois números naturais a e b,
tem-se que a + b = b + a.
A3) Propriedade associativa
Observe o que acontece com a soma:
(3 + 2) + 4 e 3 + (2 + 4)
Portanto: dados três números naturais a, b e
c, tem-se que (a + b) + c = a + (b + c).
A4) Existência do elemento neutro
Observe o que acontece com a soma 0+4
e 4+0:
Portanto: quando se soma zero a um núme-
ro natural, a soma não se altera. Por isso, o
zero é o elemento neutro da adição.
25
Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais
EXERCÍCIOS
1) Para estudar para uma prova de Matemá-
tica, Patrícia resolveu, no sábado, 25 exercí-
cios. No domingo, ela fez 7 exercícios a mais.
a) Quantos exercícios Patrícia fez no domingo?
b) Quantos exercícios fez no fim de semana?
2) Foi realizada uma pesquisa entre os estudan-
tes das escolas de um município para verificar
qual o alimento mais consumido (arroz, feijão,
macarrão, carne). Cada estudante só podia es-
colher um único alimento. As respostas foram
tabuladas segundo o quadro:
a) Quantos estudantes escolheram o alimento arroz? 
b) Quantos estudantes do sexo feminino responde-
ram à pesquisa?
c) Quantos estudantes foram pesquisados?
TEMA 05
OPERAÇÃO: SUBTRAÇÃO
2.2 Subtração
Quando uma operação desfaz o que a outra
realizou anteriormente, determinando a volta
ao estado original, diz-se que essa operação é
a inversa da outra. 
Veja alguns exemplos: 
Figura 5: Operações inversas.
Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica
Você observou que a adição e a subtração são
operações inversas. Uma desfaz o que a outra
fez. 
A operação de subtração é associada a três
idéias: retirar, comparar e completar. A se-
guir, três situações que envolvem essas idéias.
Exemplos:
1) Reginaldo tem em sua biblioteca 134 livros e doa-
rá 13 livros para sua escola. Quantos livros fica-
rão na biblioteca de Reginaldo?
Figura 6: Subtração – Idéia de retirada.
1.a etapa – Compreender o problema.
Dados conhecidos: 134 livros de Reginaldo dos
quais 13 livros serão doados para a escola. 
Pede-se: a quantidade de livros que ficará na bi-
blioteca de Reginaldo.
2.a etapa – Traçar um plano.
Idéia de retirar uma quantidade de outra. Portan-
to a operação a ser utilizada é subtração.
26
UEA – Licenciatura em Matemática
3.a etapa – Executar o plano.
Deve-se representar no quadro valor de lugar o
número 134, de forma que se retire 3 unidades e
1 dezena (subtraendo).
Lê-se: “Cento e vinte e um”.
4.a etapa – Comprovar os resultados.
121 + 13 = 134
2) Num engradado onde cabem 57 garrafas, Márcio
tem apenas 29. Quantos faltam para completá-la?
Figura 7: Subtração – Idéia de completar (IMENES, p. 63).
1.a etapa – Compreender o problema.
Dados conhecidos: 57 garrafas cabem no
engradado, e Márcio possui 29 garrafas.
Pede-se: a quantidade de garrafas que faltam
para encher o engradado.
2.a etapa – Traçar um plano.
Idéia de completar uma quantidade para atingir
outra. Portanto a operação a ser utilizada é a sub-
tração.
3.a etapa – Executar o plano
Deve-se representar no quadro valor de lugar o
minuendo da subtração 57 − 29.
a) Registra-se o minuendo.
b) Faz–se o transporte da unidade superior para
a unidade imediatamente inferior.
c) Observe que se trocou uma dezena por dez
unidades. A seguir, retiram-se 9 unidades e
depois 2 dezenas.
Lê-se: “Vinte e oito”.
Normalmente, o “empresta um” chama-se “re-
curso à ordem superior”.
4.a etapa – Comprovar os resultados.
28 + 29 = 57
Logo, a quantidade de garrafas que faltam para
encher o engradado é 28.
3) Marcelo tem 25 anos, sua irmã Carmem tem 9.
Quantos anos Marcelo tem a mais que Carmem?
Figura 8: Subtração – Idéia de comparar
1.a etapa – Compreender o problema.
Dados conhecidos: 25 anos (idade maior) e 9
anos (idade menor). 
Pede-se: a quantidade de anos que Marcelo tem
a mais que Carmem.
2.a etapa – Traçar um plano.
Idéia de comparar duas quantidades. Portanto a
operação a ser utilizada é a subtração.
3.a etapa – Executar o plano.
Deve-se efetuar a subtração 25 – 9.
Como o algarismo das unidades do minuendo é
menor que o do subtraendo, conforme o algorit-
mo da subtração, deve-se transportar a unidade
superior para a unidade imediatamente inferior.
No caso, troca-se uma dezena por dez unidades.
Depois, retiram-se 9 unidades das 15 unidades e
0 dezena de 1 dezena.
27
Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais
4.a etapa– Comprovar os resultados.
9 + 16 = 25
Logo, Marcelo tem 9 anos a mais que Carmem.
Esta relação é conhecida como relação funda-
mental da subtração e pode ser representada da
seguinte forma:
A relação da subtração também pode ser escrita
como:
A soma de três termos de uma subtração é o
dobro do minuendo.
Cálculo do elemento desconhecido numa
igualdade:
Vista a relação fundamental da subtração, ela
será usada para calcular o elemento desconheci-
do numa igualdade.
Exemplo: Calcular o valor de x na igualdade:
x + 7 = 12 (relação fundamental da subtração)
x + 7 − 7 = 2 − 7
Solução:
x + 0 = 12 − 7
x = 5
Vale lembrar que as propriedades fechamento,
comutativa, associativa e elemento neutro não
são válidas para a subtração em N. Observe:
a) 2 ∈ � , 3 ∈ � , mas 2 − 3 ∉ � (não é possível, no
conjunto dos números naturais, retirar 3
unidades de 2 unidades se não possuo a or-
dem das dezenas para fazer o “empréstimo”).
Nesse caso, não é válida a propriedade de
fechamento.
b) 3 − 2 ≠ 2 − 3. Nesse caso, não é válida a pro-
priedade comutativa.
c)
EXERCÍCIOS
1) A leitura de um hidrômetro feita no mês janeiro
indicava 3 456 metros cúbicos, e uma nova
leitura feita no mês de fevereiro seguinte indi-
cava 4 789 metros cúbicos. Quantos metros
cúbicos de água foram consumidos a mais no
mês de fevereiro? 
2) Em uma eleição para prefeito de um município
no 2.O turno, o candidato A obteve um total de
5.789 votos e o candidato B obteve um total de
4.745 votos. Sabendo que houve 165 votos
brancos, 59 votos nulos e que o município tem
11 567 habitantes. Responda: 
a) Quantas pessoas votaram no município? 
b) Quantas pessoas não votaram?
c) Quantos votos a mais obteve o candidato A em
relação ao candidato B? 
3) Calcular o valor do elemento desconhecido:
a) x + 45 = 312
b) 10 + y = 25
c) a − 8 = 19
Nesse caso, não é vá-
lida a propriedade as-
sociativa
Minuendo − subtraendo = diferença ⇔ subtraendo +
+ diferença = minuendo
28
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 06
OPERAÇÃO: MULTIPLICAÇÃO
2.3 Multiplicação
A operação de multiplicação é associada à
idéia de adição de parcelas iguais. A seguir,
três situações que envolvem essas idéias.
Exemplos:
1) Cristina está escolhendo um sorvete de uma 
bola (cupuaçu, buriti, açaí, tucumã) com um tipo
de cobertura (caramelo, chocolate, morango). De
quantas maneiras diferentes pode montar o
sorvete?
1.a etapa – Compreender o problema.
Dados conhecidos: 4 tipos de sorvete: 4 e 3 tipos
de cobertura.
Pede-se: a quantidade de maneiras diferentes de
se montar o sorvete.
Figura 9: Idéia da multiplicação.
2.a etapa – Traçar um plano.
Idéia de parcelas iguais por meio das combina-
ções possíveis de sorvetes. Portanto a operação
a ser utilizada é a multiplicação.
3.a etapa – Executar o plano.
4.a etapa – Comprovar os resultados.
Logo, há 12 maneiras diferentes de montar o
sorvete.
2) Para fazer um copo de leite, utilizam-se 3 colhe-
res de sopa cheias de leite em pó. Quantas co-
lheres de sopa de leite em pó são necessárias
para fazer 12 copos de leite?
1.a etapa – Compreender o problema.
Dados conhecidos: 1 copo de leite corresponde
a 3 colheres de leite em pó.
Pede-se: a quantidade de colheres de leite em pó
para fazer 12 copos de leite.
2.a etapa – Traçar um plano.
Idéia de adição de parcelas iguais por meio da
proporcionalidade entre copo de leite e colheres
de sopa de leite em pó. Portanto a operação a ser
utilizada é a multiplicação.
3.a etapa – Executar o plano.
Registra-se o número 12 e repete-se a configu-
ração pela quantidade de vezes a ser repetida.
Depois, conta-se a quantidade de objetos de ca-
da ordem.
Lê-se: “Trinta e seis”.
4.a etapa – Comprovar os resultados.
Logo, serão necessárias 36 colheres de sopa de
leite em pó para fazer 12 copos de leite.
3) Para viajar de uma cidade A para uma cidade B,
percorrem-se 123 quilômetros. Sabe-se que a
distância para ir da cidade B até a cidade C é o
quádruplo da distância de A até B. Qual é a dis-
tância da cidade B até a cidade C?
1.a etapa – Compreender o problema.
Dados conhecidos: 
! Distância de A até B: 123 quilômetros.
! Distância de B até C: quatro vezes a distância
de A até B.
Pede-se: a distância da cidade B até a cidade C.
29
Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais
2.a etapa – Traçar um plano.
Idéia de adição de parcelas iguais por meio da
proporcionalidade entre a distância de A até B e
a distância de B até C. Portanto a operação a ser
utilizada é a multiplicação.
3.a etapa – Executar o plano.
a) Registra-se o multiplicando e repete-se a con-
figuração pela quantidade de vezes indicada
pelo multiplicador.
b) Trocam-se 10 unidades por uma dezena.
Lê-se: “Quatrocentos e noventa e dois”.
4.a etapa – Comprovar os resultados.
Logo, a distância de B até C é de 492 quilôme-
tros.
Propriedades da multiplicação
M1) Propriedade do fechamento:
Observe o que acontece com o produto 3 × 6:
3 × 6 = 18
Portanto: o produto de dois números natu-
rais resulta em um número natural. Ou seja,
se a ∈ � , b ∈ � , então a × b ∈ � .
M2) Propriedade comutativa:
Observe o que acontece com o produto 2 × 3
e 3 × 2:
Portanto: dados dois números naturais a e b,
tem-se que a × b = b × a.
M3) Propriedade associativa:
Observe o que acontece com o produto
(3 × 5) × 4 e 3 × (5 × 4):
Portanto: dados três números naturais a, b e
c, tem-se que (a × b) × c = a × (b × c).
Esta propriedade da multiplicação, muitas ve-
zes é usada no cálculo mental. Exemplo: Nu-
ma caixa há 80 lápis. Quantos lápis há em 7
caixas?
Figura 10: Multiplicação – propriedade associativa.
O procedimento para resolver o problema po-
de ser interpretado da seguinte forma:
7 × 80 = 7 × (80 × 10) = (7 × 8) × 10 =
= 56 × 10 = 560
M4) Existência do elemento neutro:
Observe o que acontece com o produto
1 × 4 = 4 × 1:
Portanto, quando se multiplica o número um por
qualquer número natural, o produto não se altera.
Por isso, o 1 é o elemento neutro da multipli-
cação.
30
UEA – Licenciatura em Matemática
M5) Propriedade distributiva da multiplicação em
relação à adição:
Exemplo:
Portanto, dados três números naturais a, b,
c, tem-se: a × (b + c) = a × b + a × c
Essa propriedade também é muito utilizada no
cálculo mental.
Exemplo: Um televisor está sendo vendido em
uma loja a R$453,00. Quanto a loja irá arre-
cadar se vender doze televisores? 
453 × 12 = 453 × (10 + 2) = 453 × 10 + 453 × 2 
= 4 530 + 906
= 5 436
Logo, pagarei R$5.436,00 pelas doze televi-
sores.
EXERCÍCIOS
1) Uma cidade A tem 12 624 habitantes. E a cida-
de B tem o triplo de habitantes da cidade A.
Quantos habitantes tem a cidade B?
2) Uma pizzaria oferece 32 tipos de pizza e 9 tipos
de suco. Qual o número de escolhas dife-
rentes que se pode fazer de um tipo de pizza
com um tipo de suco?
TEMA 07
OPERAÇÃO: DIVISÃO
2.4 Divisão
Entre a multiplicação e a divisão, há uma rela-
ção parecida com a que existe entre a adição e
a subtração, já que uma desfaz o que a outra
fez. Veja os exemplos.
A divisão está associada a duas idéias: de
repartir e de medida. 
Idéia de repartir:
Exemplos:
1) Distribuir 10 bolas de futebol entre 4 pessoas.
Não foi exigido que a divisão fosse feita em par-
tes iguais. Portanto há muitas maneiras de fazer a
distribuição: 
! 3 pessoas com 3 bolas e 1 pessoa com 1 bola; 
! 2 pessoas com 2 bolas e 2 pessoas com 3
bolas; 
! as 4 pessoas receberam 2 bolas cada uma e
ficam sobrando 2 bolas, etc;
2) Distribuir 10 bolas de futebol entre 4 pessoas de
modo que:
a) Todas recebam a mesma quantidade de bolas. 
Nesse caso, há 2 possibilidades: cada pessoa
recebe 1 bola e sobram 6 bolasou cada pes-
soa recebe 2 bolas e sobram 2 bolas. 
b) Todas recebam a mesma quantidade de bolas
e sobre o menor número de bolas. Nesse ca-
so, só há um modo de repartir: 2 bolas para
cada pessoa e ficam sobrando 2 bolas.
31
Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais
Idéia de medida:
Exemplos:
1) Deseja-se arrumar 48 livros em pacotes de dois
livros cada. Quantos pacotes serão formados?
1.a etapa – Compreender o problema.
! Quais os dados do problema?
48 livros, e cada pacote deve possuir 2 livros.
! O que é pedido?
A quantidade de pacotes de livros.
2.a etapa – Traçar um plano.
Idéia de medida, pois em cada pacote só cabem
2 livros. Portanto, a operação a ser utilizada é a
divisão.
3.a etapa – Executar o plano.
Será utilizado o algoritmo da divisão:
a) Registra-se o dividendo.
Lê-se: “vinte e quatro”.
4.a etapa – Comprovar os resultados
24 × 2 = 48
Portanto serão formados 24 pacotes com 2 livros
cada.
Esta relação é conhecida como relação funda-
mental da divisão (para divisão exata) e pode
também ser escrita como: q × d = D
Cálculo do termo desconhecido:
Dada a relação fundamental da divisão, ela será
usada para calcular o elemento desconhecido
numa igualdade.
Exemplo: Calcular o valor de x na igualdade:
25x = 175 (relação fundamental da divisão)
Solução:
x = 175 : 25
x = 7
2) O dono de uma loja encomendou 13 caixas pa-
ra colocar 4 latas de refrigerante em cada uma.
Sabendo que há 53 latas, a quantidade de caixas
encomendadas pelo dono da loja é suficiente?
1.a etapa – Compreender o problema.
Dados conhecidos: quantidade total de latas = 53
e quantidade de latas que cabem em cada cai-
xa = 4. 
Pede-se: verificar se a quantidade de caixas
encomendadas pelo dono é suficiente.
2.a etapa – Traçar um plano.
Idéia de medida, pois em cada pacote só cabem
2 livros. Portanto a operação a ser utilizada é a
divisão.
3.a etapa – Executar o plano.
a) Registra-se o número 53.
b) Quando não se podem formar grupos de 4
elementos, devem-se transportar os elemen-
tos de uma ordem para a ordem imediatamen-
te inferior em grupos de dez. Em seguida,
agrupa-se de 4 em 4 e registra-se o resultado.
Lê-se: “Treze”.
4.a etapa – Comprovar os resultados.
13 × 4 + 1 = 52 + 1 = 53
Logo, 13 caixas não são suficientes para colocar
53 latas. O resto da divisão, nesse caso, indica
que ficaria faltando colocar em uma caixa uma
lata de refrigerante. Quando esse fato ocorre, diz-
se que a divisão é não-exata.
Divisão não-exata:
Indica-se por: D = d . Q + r
O maior resto possível é sempre igual a d − 1, isto
é, R ≤ d − 1.
A operação que associa cada par de
números naturais D e d, ao maior número
natural q, que multiplicado por d não supera
D, é chamada divisão não-exata com resto r.
32
UEA – Licenciatura em Matemática
Quanto às propriedades da divisão, assim como
na subtração, não são válidas as propriedades
fechamento, comutativa, associativa e elemento
neutro. Observe:
a) 2 ∈ � , 3 ∈ � , mas 2 : 3 ∉ � (não é possível, no
conjunto dos números naturais, agrupar 3 uni-
dades se só existem 2 unidades, e não há a
ordem das dezenas, para fazer o empréstimo).
Nesse caso, não é válida a propriedade de
fechamento.
b) 6 : 2 ≠ 2 : 6 Nesse caso, não é válida a pro-
priedade comutativa.
c)
Nesse caso, não é válida a propriedade asso-
ciativa.
A seguir, um exemplo de aplicação da proprieda-
de distributiva para a divisão.
Figura 11: Divisão: propriedade distributiva.
Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica
Observe que:
1299 : 3 = (1200 + 90 + 9) : 3 = 1200 : 3 + 90 : 3 +
9 : 3 = 400 + 30 + 3 = 433. 
Considerações importantes quanto ao número
zero na divisão:
1) Quando o zero é dividendo. Exemplo: 0 : 7 = 0,
pois 0 × 7 = 0.
2) Quando o zero é divisor. Exemplo: se 2 : 0 = q,
então q × 0 = 2?
Não existe um número que multiplicado por 0
dê 2, pois todo número multiplicado por 0 dá
0. Tal divisão é impossível.
3) Quando o dividendo e o divisor são iguais a
zero. Se 0 : 0 = q, então q × 0 = 0. Então, have-
ria infinitos quocientes para a divisão de zero
por zero. Mas, para a Matemática, não há inte-
resse algum em ter-se infinitos quocientes pa-
ra uma só divisão. Portanto não se permite a
divisão de zero por zero. O zero nunca pode
ser divisor!
Vale destacar que os conceitos relativos à divisão
no conjunto de números naturais desempenham
papel importante para os conceitos de números
fracionários e dos que se relacionam com o con-
junto de números racionais.
EXERCÍCIOS
1) Para ir a pé de casa para a escola ou da esco-
la para casa, Maria gasta o triplo do tempo que
gastaria se fosse de bicicleta. Ontem, ela foi a
pé da escola até sua casa, pegou a bicicleta e,
imediatamente, voltou para a escola. Tudo isso
demorou 72 minutos. Quantos minutos ela de-
morou no trajeto de casa à escola?
2) Marcos comprou um CD e 5 agendas de mes-
mo preço, gastando ao todo 70 reais. Sabendo
que o CD custou 25 reais, quanto custou cada
agenda?
3) Tenho 150 mudas para plantar. Já plantei 86 e
quero plantar as que faltam em 4 dias, plantan-
do o mesmo número de mudas em cada dia.
Quantas mudas devo plantar por dia?
4) Efetue as seguintes operações:
a) 123 × 78
b) 4 056 × 34
c) 1 809 × 908
d) 1 064 : 2
e) 405 : 68
f) 8 905 : 45
33
Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais
TEMA 08
POTENCIAÇÃO – RADICIAÇÃO –
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
2.5 Potenciação
Na vida cotidiana, existem várias situações em
que são utilizados números muito grandes ou
muito pequenos. Quantos grãos de areia há na
praia? Qual a distância da Terra à Lua? Quanto
pesa nosso planeta? Quantos gigabytes tem o
disco rígido de seu computador? Escrever nú-
meros muito grandes nem sempre é conve-
niente. Portanto, para multiplicações em que
se tem um mesmo fator, criou-se uma quinta
operação, mais econômica: a potenciação. 
Exemplo: Como representar matematicamente
o número de posições do jogo da velha?
Lê-se: “3 elevado ao quadrado”.
Quando o expoente for 3, lê-se “(base) elevado
ao cubo”.
Para os demais expoentes, lê-se: “(base) eleva-
do à (n.o ordinal correspondente: quarta, quin-
ta,...) potência” ou apenas “(base) elevado à
(n.o ordinal correspondente: quarta, quinta,...).
Exemplo: 56 lê-se: “cinco elevado à sexta po-
tência” ou “cinco elevado à sexta”.
Casos especiais da potenciação:
1) Toda potência de base 1 é igual a 1.
Exemplo: 16 = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1
2) Toda potência de expoente 1 é igual à
base.
Exemplo: 51 = 5
3) Toda potência de base 10 e expoente
natural é igual ao número formado pelo
algarismo 1 seguido de tantos zeros
quantos indicar o expoente.
Exemplos: 
a) A velocidade da luz é de trezentos mil quilô-
metros por segundo:
300 000 km/s = 3 × 105 km/s
b) O disco rígido de meu computador tem 20
Gigabytes (Gb)
1 Gb = 1 000 000 000 bytes ou 109 bytes
4) Toda potência de base zero e expoente
diferente de zero é igual a zero.
Exemplo: 04 = 0
Propriedades das potências:
P1) Multiplicação e divisão
Exemplos:
Então: Para efetuar a multiplicação de potên-
cias de bases iguais, deve-se manter a base
e adicionar os expoentes.
am . an = am + n onde m, n ≠ 0
Para efetuar a divisão de potências de bases
iguais, deve-se manter a base e subtrair os
expoentes.
am : an = am − n onde a, m, n ≠ 0
Observação: Quando as bases não são
iguais, calcula-se o valor de cada potência.
A partir da propriedade envolvendo divisão de
potências com bases iguais, tem-se que: 
Toda potência de um número natural dife-
rente de zero com expoente zero é igual a 1.
Dado dois números naturais a e n (n > 1),
a expressão an representa um produto de
n fatores iguais ao número a, ou seja:
an = a . a . a . ...... a
34
UEA – Licenciatura em Matemática
Exemplo: 30 significaum quociente como
24 : 24 = 52 : 52 = 1
P2) Potência de uma potência
Exemplos:
Então: Para efetuar uma ou mais potência de
potência, deve-se repetir a base e multipli-
car os expoentes.
P3) Potência de um produto ou quociente
Exemplos:
a) (3 × 5)2 = 152 = 225 = 9 × 25 = 32 × 52
b) (46 : 23)2 = 22 = 4 = 2116 : 529 = 462 : 232
Então: Para efetuar potência de um produto
(ou quociente) pode-se aplicar a potência
em cada base e multiplicar (ou dividir) os
resultados obtidos.
2.6 Radiciação
Na potenciação, você viu como representar
matematicamente o número de posições do
jogo da velha: 32 = 3 × 3 = 9. Agora, se a per-
gunta fosse: Qual o número de posições em
cada linha (ou coluna) cujo quadrado resulta
no total de posições do jogo da velha?
Chamando “x” o número de posições em cada
linha (ou coluna) de x, deve-se encontrar o
número “x”, elevado ao quadrado resulta em 9.
Portanto é necessário realizar a operação in-
versa, chamada radiciação. 
Observação: quando o índice é 2, não se es-
creve o número 2, apenas quando o índice é
diferente de 2.
Exemplo:
Lê-se: “raiz cúbica de sessenta e quatro é igual
a quatro”.
2.7 Expressões Numéricas
Para resolver corretamente expressões numéri-
cas, é necessário obedecer à ordem em que
as operações devem ser resolvidas. 
1) Potenciações e radiciações, na ordem em
que aparecem. 
2) Divisões e multiplicações, na ordem em
que aparecem.
3) Adições e subtrações, na ordem em que
aparecem. 
No caso dos sinais de associação, eles de-
vem ser eliminados na seguinte ordem: pa-
rênteses, colchetes parênteses, colchetes e
chaves.
Na figura 12, tem-se vários livros distribuídos
em várias prateleiras. Como apresentar duas
expressões numéricas diferentes para que se
obtenha a quantidade de livros existentes na
estante?
Figura 12: Resolução de problemas
utilizando expressões numéricas.
Exemplos:
Nas expressões com chaves, colchetes e pa-
rênteses, eliminam-se primeiro os parênteses,
depois os colchetes e em seguida a chave.
Efetuam-se as operações conforme a ordem
descrita anteriormente.
35
Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais
EXERCÍCIOS
1) Um prédio tem 4 andares. Cada andar tem 4
apartamentos e cada apartamento tem 4 qua-
tro vagas na garagem. Quantas vagas há na
garagem do prédio?
2) Resolva as expressões numéricas:
a) 17 + [ 10 − (15 : 3 + 2) + 4]
b) 6 + { 9 − [(8 − 10 : 2) × 3]}
c) 48 − {28 − 4[3 (40 : 5 − 3) : (17 − 3 × 4)]}
d) 22 + {25 − [34 : (23 + 3 : 3) − ]}
e) 3 × (14 − 3)2 : 33 + [ : 13 + (23 × 21)]
TEMA 09
DIVISIBILIDADE
3. Divisibilidade
Sabe-se que o ano bissexto é aquele que pos-
sui 366 dias, ao contrário do ano comum que
possui 365 dias. Os anos bissextos acontecem
de quatro em quatro anos exemplos: os anos
de 1 600 e 2 000 foram anos bissextos. Estes
números têm uma característica em comum:
são números que, quando divididos por 4, dão
resto zero. Ou seja, a divisão é exata. 
3.1 Conjunto dos divisores de um número na-
tural
Dados dois números naturais, se a divisão do
primeiro pelo segundo é exata, diz-se que:
O primeiro é divisível pelo segundo (ou o pri-
meiro é múltiplo do segundo);
O segundo é divisor do primeiro (ou o segun-
do é fator do primeiro). 
Exemplo: Na operação 1600 : 4 = 400; 1600 é
divisível por 4 ou múltiplo de 4;
4 é divisor de 1600 ou fator de 1600.
Para se obter o conjunto dos divisores de um
número, basta dividir esse número pela
sucessão dos números naturais: 1, 2, 3, 4, 5, ...
e verificar em quais se obteve resto zero.
Exemplo: Determinar o conjunto dos divisores
de 16. Indica-se D(16).
Continuando o processo até o divisor ser igual
a 16, tem-se: D(16) = {1, 2, 4, 8, 16}
3.2 Conjunto dos múltiplos de um número na-
tural
Para se obter o conjunto dos múltiplos de um
número, basta multiplicar esse número pela su-
cessão dos números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
36
UEA – Licenciatura em Matemática
Exemplo: Determinar o conjunto dos múltiplos
de 2, indica-se M(2).
2 × 0 = 0 2 × 1 = 2 2 × 3 = 6 2 × 4 = 8
M(2) = {0, 2, 4, 6, 8...}
Observe que:
O conjunto dos múltiplos diferentes do zero
é infinito;
Zero é múltiplo de qualquer número;
Todo número é múltiplo de si mesmo.
3.3 Critérios da divisibilidade
Para verificar se um número é divisível por
outro, deve-se efetuar a divisão entre eles, po-
rém existem regras que permitem verificar se
um número é divisível por outro sem se efetuar
a divisão. Essas regras são denominadas cri-
térios da divisibilidade.
Divisibilidade por 2: um número será divisí-
vel por 2 quando for par.
Exemplo: 16 é divisível por 2 porque é par.
Divisibilidade por 3: um número será divisí-
vel por 3 quando a soma dos valores abso-
lutos de seus algarismos for divisível por 3.
Exemplo: 27 é divisível por 3 porque 2 + 7 = 9,
que é divisível por 3.
Divisibilidade por 4: um número será divisí-
vel por 4 quando terminar em 00 ou quando
o número formado pelos seus dois últimos
algarismos for divisível por 4.
Exemplos:
a) 400 é divisível por 4 porque termina em 00.
b) 336 é divisível por 4 porque o número 36 é divisí-
vel por 4
Divisibilidade por 5: um número será divisí-
vel por 5 quando terminar em 0 ou 5.
Exemplos:
a) 65 é divisível por 5 porque termina em 5.
b) 30 é divisível por 5 porque termina em 0.
Divisibilidade por 6: um número será divisí-
vel por 6 quando for divisível por 2 e por 3.
Exemplo: 630 é divisível por 6 porque é divisí-
vel por 2 e por 3.
Divisibilidade por 8: um número será divisí-
vel por 8 quando terminar em 000 ou quan-
do o número formado pelos seus três últi-
mos algarismos for divisível por 8.
Exemplos:
a) 1000 é divisível por 8 porque termina em 000.
b) 1744 é divisível por 8 porque 744 é divisível por 8.
Divisibilidade por 9: um número será divisí-
vel por 9 quando a soma dos valores abso-
luto de seus algarismos for divisível por 9.
Exemplo: 2133 é divisível por 9 porque 2 + 1 +
3 + 3 = 9, que é divisível por 9.
Divisibilidade por 10: um número será divisí-
vel por 10 quando terminar em 0.
Exemplos:
a) 40 é divisível por 10 porque termina em 0.
b) 75 não é divisível por 10 porque não termina
em 0.
3.4 Números primos
Desde o sistema de escrita dos egípcios, a
criptografia vem sendo utilizada, tanto para fins
militares como diplomáticos. Um arquiteto do
faraó Amenemhet II construiu alguns monu-
mentos para o faraó, os quais precisavam ser
documentados em tabletes de argila, sem que
caíssem no domínio público. Um escriba teve a
idéia de substituir algumas palavras ou trechos
de texto destes tabletes. Caso o documento
fosse roubado, o ladrão não encontraria o ca-
minho que o levaria ao tesouro. Muitos consi-
deram isto como o primeiro exemplo docu-
mentado da escrita cifrada.
Erastótenes de Cirene, filósofo e geômetra
grego (276 a.C. a 194 a.C.) é conhecido como
criador de um método para identificar números
primos, o crivo de Erastótenes. 
O termo Criptografia surgiu da fusão das pa-
lavras gregas “Kryptós” (oculto) e “gráphein”
(escrever). Trata-se de um conjunto de concei-
tos e técnicas que visam codificar uma infor-
mação de modo que apenas o emissor e o
receptor possam acessá-la e interpretá-la. Um
exemplo simples de código consiste em per-
mutar cada letra do alfabeto usada na men-
sagem pela letra seguinte. Por exemplo, a
palavra “Matemática” seria escrita codificada
como “Nbufnbujdb”. Porém, esse método é
muito simples de ser decifrado.
37
Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais
Durante a 2.a Guerra Mundial, três americanos
desenvolveram um sistema de código secreto,
chamado RSA (Rivest, Shamir and Adleman
Algorithm), em homenagem aos seus criadores
Ron Rivest, Adi Shamir e Len Adleman. Criava-
se umnovo ramo da Criptografia, a ciência dos
códigos, fortemente baseado na Teoria dos
Números e, em particular, nos números pri-
mos. A grande maioria das pessoas não sabe
que a inviolabilidade dos seus dados pessoais,
cartões de crédito e senhas bancárias depen-
de em parte destes números. 
O método RSA é um dos algoritmos mais usa-
dos para transações criptográficas na Internet.
Nesse algoritmo, números primos são utiliza-
dos da seguinte forma: dois números primos
são multiplicados para se obter um terceiro
valor. Porém, descobrir os dois primeiros nú-
meros a partir do terceiro (ou seja, fazer uma
fatoração) é muito trabalhoso, pois é necessá-
rio usar muito processamento para descobri-
los, tornando essa tarefa quase sempre inviá-
vel. 
Observação: é muito importante que além de
se escolher primos p e q muitos grandes, a
diferença | p − q | não pode ser pequena, pois
isso facilitaria a fatoração.
D(2) = {1,2}; D(3) = {1,3}; D(4) = {1,2,4};
D(5) = {1,5}; D(6) = { 1, 2, 3, 6}
São exemplos de números primos 2, 3, 5, 7,
11...
EXERCÍCIOS
1) Quais são os múltiplos do número:
a) 3
b) 4
c) 7
2) Quais são os divisores do número:
a) 35
b) 450
c) 73
3) Dadas as sentenças:
I) 1 339 é múltiplo de 13.
II) Zero é o único múltiplo de 0.
III) 1 414 é divisível por 11.
Podemos afirmar que: 
a) I e II são verdadeiras.
b) I e III são verdadeiras.
c) II e III são verdadeiras.
d) As três são verdadeiras.
4) Dado o conjunto A = {n ∈ N; 10 ≤ n ≤ 20}, de-
terminar os números primos desse conjunto.
Um número é primo quando possui exa-
tamente dois divisores (ele mesmo e a
unidade). Se possuir mais de dois diviso-
res, é chamado número composto.
38
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 10
MÁXIMO DIVISOR COMUM.
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
4. Máximo divisor comum
Analise a seguinte situação: deseja-se dividir 3
toras de madeira, que medem respectivamente
12m, 18m e 24m, em partes iguais e com maior
tamanho possível. Qual comprimento deve
possuir cada uma das partes?
Figura 13: Máximo divisor comum.
Para responder a estas pergunta, devem-se
encontrar os divisores de 12, 18 e 24?
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(18) = {1, 2, 3, 6, 18} 
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
D(12) I M(18) I M(24) = {6} 
Observe que 6 é o maior divisor comum entre
12, 18 e 24. Logo, cada tora deve ser dividida
em 6 partes iguais.
Processos práticos para decomposição de
fatores primos:
I) Decomposição em fatores primos
Para chegar à forma fatorada completa de
um número natural, realiza-se uma opera-
ção denominada decomposição em fatores
primos, que consiste em:
1) dividir, inicialmente, o número dado pelo seu
menor divisor primo;
2) dividir o quociente obtido pelo seu menor divi-
sor primo;
3) repetir este procedimento até obter o quocien-
te igual a 1.
Exemplo: Calcular o m.d.c. entre 48 e 40.
O processo de decomposição em fatores primos
pode ser utilizado para determinar os divisores
de um número, a quantidade de divisores, a
quantidade de divisores pares e ímpares.
Procedimento para determinar os divisores de
um número:
1) Fatora-se o número dado.
2) Traça-se uma barra vertical à direita dos fato-
res primos.
3) Um pouco acima, à direita da barra, escreve-
se o divisor 1.
4) Multiplicam-se os fatores primos pelos núme-
ros que vão ficando à direita da barra.
Observação: Os produtos que se forem repe-
tindo não serão escritos.
Veja a aplicação da regra para o número 60.
Logo, os divisores D(60)= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12,
15, 20, 30, 60}.
Procedimento para determinar a quantidade
de divisores de um número:
1) Decompõe-se o número em fatores primos.
2) Soma-se uma unidade a cada expoente.
3) Multiplicam-se os resultados obtidos.
Exemplo: 60 = 22 × 31 × 51
Logo, o número de divisores de 60 é:
N.D(60) = (2 +1) × (1 +1) × (1 +1) = 3 × 2 × 2 = 12.
Procedimento para determinar a quantidade
de divisores ímpares de um número.
Nesse caso, faz-se o processo anterior apenas
com os expoentes dos fatores primos ímpares.
O m.d.c é o produto dos fatores comuns
elevados ao seu menor expoente. 
Dados dois ou mais números naturais di-
ferentes de zero, denomina-se máximo
divisor comum (m.d.c) o maior de seus
divisores comuns.
39
Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais
Exemplo: 60 = 22 × 31 × 51
Logo, o número de divisores ímpares de 60 é:
N.D.I. (60) = (1 +1) × (1 +1) = 5
Procedimento para determinar a quantidade
de divisores pares de um número:
1) Soma-se uma unidade a cada expoente dos
fatores primos ímpares.
2) Multiplicam-se os resultados encontrados pelo
expoente do fator primo par.
Exemplo: 60 = 22 × 31 × 51
Logo, o número de divisores pares de 60 é:
N.D.P. (60) = 2 × (1 +1) × (1 +1) = 8
II) Divisões sucessivas
O cálculo do m.d.c. de dois números pelo
processo das divisões sucessivas obedece
às seguintes regras:
1) Divide-se o maior número pelo menor.
2) Divide-se o número menor pelo primeiro resto.
3) Divide-se o primeiro resto pelo segundo resto,
e assim sucessivamente, até se obter uma di-
visão exata.
4) O último divisor é o m.d.c. procurado.
Exemplo: Calcular o m.d.c de 78 e 54.
5. Mínimo múltiplo comum
Analise a seguinte situação: três navios fazem
o mesmo percurso entre dois portos: o primei-
ro de 8 em 8 dias. O segundo de 12 em 12 dias
e o terceiro de 16 em 16 dias. Tendo saído jun-
tos em certo dia do mês, após quantos dias
sairão juntos novamente?
Para responder a essa pergunta, devem-se en-
contrar os múltiplos de 8, 12 e 16.
M(8) = {0, 8,16, 24, 32, 40,48, ....}
M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, ...}
M(16) = {0, 16, 32, 48, 64, 80, .... }
M(8) I M(12) I M(16) = {48} 
Logo, após 48 dias esses navios sairão juntos
novamente.
Pode-se observar que o menor múltiplo co-
mum entre 8, 12 e 16 diferente de 0 é o 48.
Processos práticos para o calculo do m.m.c.:
a) Decomposição em fatores primos
O cálculo do m.m.c de dois ou mais números
pela decomposição em fatores primos obedece à
seguinte regra:
Decompõem-se os números em fatores primos.
Exemplo: m.m.c. (36, 120) =
b) Decomposição simultânea
O cálculo do m.m.c. de dois ou mais números
pela decomposição simultânea obedece à se-
guinte regra:
Decompõem-se, simultaneamente, os números
em fatores primos.
Exemplo:
O m.m.c é o produto dos fatores primos
obtidos.
O m.m.c é o produto dos fatores primos
comuns e não-comuns elevados ao seu
maior expoente.
Dados dois ou mais números naturais di-
ferentes de zero, chama-se mínimo múl-
tiplo comum (m.m.c.) o menor de seus
múltiplos comuns diferente de 0.
40
UEA – Licenciatura em Matemática
EXERCÍCIOS
1) De uma estação urbana, partem ônibus para o
bairro A de 18 em 18 minutos; para o bairro B
de 12 em 12 e para o bairro C de 10 em 10 mi-
nutos. Sabendo que às 10h os ônibus das três
linhas partiram juntos, a que horas partirão jun-
tos novamente?
2) Considerando os números a = 27 × 3, b = 24 × 5,
c = 26 × 11 determine:
a) m. d. c. 
b) m. m. c. 
3) Se a = 2 × 32 × 5 e b = 22 × 3 × 5, determine o
m.d.c. (a,b) e o m.m.c.(a,b).
41
Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais
UNIDADE IV
O Conjunto dos Números Inteiros
TEMA 11
A IDÉIA DO NÚMERO INTEIRO.
REPRESENTAÇÃO NA RETA NUMÉRICA.
SUBCONJUNTOS. MÓDULO OU VALOR
ABSOLUTO DE UM NÚMERO INTEIRO
1. A idéia do número inteiro
Durante muito tempo, os povos não conhe-
ciam o número negativo. Os hindus recusa-
vam-se a aceitar que quantidades negativas
pudessem ser expressas pela idéia de núme-
ro. Somente na passagem da Idade Média pa-
ra a Idade Moderna (séculos XIV a XVI) é que
os países da Europa Ocidental sofreram pro-
fundas transformações com o desenvolvimen-
to do comércio e o crescimento das cidades,
surgindo a necessidade de solucionar proble-
mas dodia-a-dia que não poderiam ser resolvi-
dos utilizando números naturais, como perda e
prejuízo. Surge, assim, uma interpretação para
os números negativos, antes chamados de
números falsos ou números absurdos.
Os números negativos estão presentes em vá-
rias situações do nosso dia-a-dia. Veja alguns
exemplos:
1) A temperatura de duas cidades. Considere a
seguinte situação: um termômetro marca uma
temperatura de 10 graus Celsius (10oC) afastado
do zero. Conforme mostra a Figura 1. Tem-se
duas possibilidades de interpretação.
a) Temperatura da cidade A.
b) Temperatura da cidade B.
Figura 1: Temperatura de duas 
cidades (GIOVANI, 2002, p.29)
Observa-se que há dois pontos (A e B) do ter-
mômetro que podem ser tomados como a po-
sição da coluna de mercúrio em relação ao
ponto de origem 0 (zero). Isso mostra que o
número natural 10 não foi suficiente para ex-
pressar o afastamento da coluna de mercúrio
em relação ao ponto de origem 0. Para elimi-
nar a dupla interpretação, convenciona-se:
! o ponto A está 10oC acima de zero. Simbo-
licamente: +10oC; 
! o ponto B está 10oC abaixo de zero. Simbo-
licamente: −10oC.
Figura 2: Representação da temperatura de duas
cidades no mesmo termômetro (GIOVANI,2002, p. 30)
Diz-se que +10 é um número inteiro positivo
(muitas vezes, omite-se o sinal +) e −10 é um
número inteiro negativo.
2) Saldos bancários:
Observe que cada vez que o banco desconta
algum valor do saldo de seu Jorge, aparece o
sinal de menos (−) no valor descontado. Portanto
crédito de R$50,00 (+R$50,00) e débito de
R$120,00 (− R$120,00). 
Ainda hoje, quando uma empresa termina o ano
em prejuízo, diz-se que ela terminou o ano no
vermelho, isto é, seu balanço final indicou mais
despesas (saídas) do que receitas (entradas).
Portanto seu saldo é negativo.
3) Elevadores
Muitos edifícios têm piso abaixo do nível da rua.
Para localizar os andares de um prédio em rela-
ção ao térreo, utilizam-se números inteiros, em
que os números negativos servem para indicar os
pisos abaixo do térreo. O térreo é considerando o
ponto de referência (ou de origem).
Figura 3: Números inteiros no painel do elevador.
45
Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Inteiros
4) Calendários
Os números inteiros são utilizados para diferen-
ciar períodos antes e depois de uma data. Para
os povos cristãos, o calendário tem como refe-
rência o ano de nascimento de Cristo. Veja na
reta numerada como representar as afirmações:
Roma foi fundada no ano 753 a. C. (−753)
Jesus Cristo nasceu no ano 0.
Manaus foi fundada no ano 1 848. (subentende-
se que foi depois de Cristo) (+1 848)
2. Representação dos números inteiros na reta
numérica
Os números negativos são representados na
reta de forma semelhante à representação dos
números naturais. Partindo do ponto de origem
O, coloca-se a unidade de comprimento esco-
lhida repetidas vezes, ao longo da reta, da es-
querda para a direita, determinando o sentido
positivo da reta, e da direita para a esquerda
determinando o sentido negativo da reta. 
Cada ponto associado ao número inteiro é cha-
mado imagem geométrica do número inteiro, 
e cada número inteiro é chamado abscissa do
ponto correspondente.
Exemplo:
O ponto A é a imagem geométrica do número 2.
O número 2 é a abscissa do ponto A.
Nesse contexto, reunindo os números negati-
vos e os números naturais, tem-se o conjunto
dos números inteiros indicado por � .
� = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
3. Subconjuntos
O conjunto dos números inteiros possuem im-
portantes subconjuntos. Veja alguns deles no
quadro 1.
Representação em Diagramas
46
UEA – Licenciatura em Matemática
Quadro 1: Subconjuntos de �� .
4. Módulo ou valor absoluto de um número
inteiro
A reta numérica a seguir indica a posição dos
municípios de Manacapuru e Itacoatiara em re-
lação a Manaus, sendo quilômetros a unidade
de medida adotada.
Observe que o município de Itacoatiara encon-
tra-se a 177 quilômetros a leste de Manaus.
Indica-se por: +177 ou apenas 177.
O município de Manacapuru encontra-se a 79
quilômetros à oeste de Manaus. Indica-se por:
− 79.
Representa-se por |x|.
Exemplos:
O módulo de +177 é 177 e indica-se |+177| =
= 177.
O módulo de − 79 é 79 e indica-se |−79| = 79.
Para determinar a distância entre dois pontos
na reta numerada, devem ser considerados os
módulos das distâncias de cada ponto à
origem e somar (ou subtrair) os resultados
obtidos. 
Exemplos:
1) Quantos quilômetros são percorridos entre Ma-
nacapuru e Itacoatiara passando por Manaus? 
Solução: |−79| + |+177| = 79 + 177 = 256 quilô-
metros em linha reta.
2) Quantos quilômetros são percorridos entre Ita-
coatiara e Maués? 
Solução: |+267| − |+177| = 267 − 177 = 90 quilô-
metros em linha reta.
4.1 Números inteiros opostos ou simétricos
Suponha agora que um posto de saúde encon-
tra-se a 177km a leste de Manaus.
Nesse caso, as distâncias de Itacoatiara e do
posto de saúde a Manaus são as mesmas.
Indica-se: |+177| = |−177|. Os números +177
e −177 são chamados de números inteiros
opostos ou simétricos. Assim, +177 é o oposto
ou simétrico de −177 e vice-versa.
4.2 Comparação entre números inteiros
O módulo de um número inteiro também é
importante para comparar dois números intei-
ros. A comparação de dois números positivos
já foi demonstrada no conjunto dos números
naturais. Entre os negativos, comparando as
distâncias de Humaitá e Manicoré a Manaus,
tem-se que:
−600 < −333, pois |−600| > |−333|
Portanto, entre dois números negativos, o
número que tiver o maior valor em módulo
será o menor.
EXERCÍCIOS
1) Observe a reta numérica inteira a seguir.
Dê a distância de:
a) +6 a 0 d) −6 a −2
b) −2 a 0 e) −3 a +3
c) −3 a +5 f) +5 a −2
2) Uma cidade A encontra-se a 1 200 quilômetros
ao norte da cidade B, e uma cidade C encon-
tra-se a 3 500 quilômetros ao sul da cidade B,
ambas em linha reta. Quantos quilômetros há
entre as cidades B e C em linha reta?
3) Analisando as sentenças:
I) |−7| > |+5|
II) Existe um número inteiro que tem módulo menor
que zero.
III) O valor da expressão |−15| + |−3| − |−41| é 23.
Podemos afirmar que:
a) I e II são falsas.
b) I e III são falsas.
c) II e III são falsas.
d) Todas são falsas.
Chama-se módulo ou valor absoluto de
um número inteiro “x” a distância desse
número até o zero na reta numérica.
47
Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Inteiros
TEMA 12
OPERAÇÕES: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
5. Operações com números inteiros
As operações com os números inteiros são
usadas constantemente no cotidiano em situa-
ções como: 
a) Devo R$50,00 ao banco. Meu pai depositou na
minha conta R$30,00. Quanto ficará o meu sal-
do?
b) A temperatura de uma cidade da Região Sul do
Brasil em um dia foi de 2o C abaixo de zero, e nos
Estados Unidos, foi 3 vezes menor. Qual foi a
temperatura nos Estados Unidos?
5.1 Adição
A reta numérica será utilizada para entender a
adição entre números inteiros.
Procedimento:
1) Partindo do número que indica a 1.a parcela,
caminhe na reta tantas casas quanto indi-
cadas na 2.a parcela.
2) Se o número for positivo, caminhe para a
direita.
3) Se o número for negativo, caminhe para a
esquerda.
1.o Caso: Adição de números de mesmo
sinal:
a) (+1) + (+3)
Partindo de +1, caminhe +3
Tem-se que (+1) + (+3) = +4
b) (−2) + (−4)
Partindo de −2, caminhe −4
Tem-se que (−2) + (−4) = −6
2.o Caso: Adição de números de sinais dife-
rentes:
a) (−2) + (+5)
Partindo de −2, caminhe +5
Tem-se que (−2) + (+5) = −2 + 5 = +3
b) (+2) + (−5)
Partindo de +2, caminhe −5
Tem-se que (+2) + (−5) = −3
A adição de três ou mais parcelas (somas algé-
bricas) pode ser obtida utilizando a proprie-
dade associativa, adicionando-se as parcelas
positivas, depois as parcelas negativas e, final-