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Matemática Elementar III Domingos Anselmo Moura da Silva Genilce Ferreira Oliveira Dário Souza Rocha Manaus 2006 FICHA TÉCNICA Governador Eduardo Braga Vice−Governador Omar Aziz Reitor Lourenço dos Santos Pereira Braga Vice−Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró−Reitor de Planej. e Administração Antônio Dias Couto Pró−Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Ademar R. M. Teixeira Pró−Reitor de Ensino de Graduação Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró−Reitor de Pós−Graduação e Pesquisa Walmir de Albuquerque Barbosa Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Projeto Gráfico Mário Lima Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Revisão Técnico−gramatical João Batista Gomes Silva, Domingos Anselmo Moura da. S586m Matemática elementar III / Domingos Anselmo Moura da Silva, Genilce Ferreira Oliveira, Dario Souza Rocha. – Manaus/AM: UEA, 2006. – (Licenciatura em Matemática. 2. Período) 125 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia 1. Matemática – Estudo e ensino. I. Oliveira, Genilce Ferreira. II. Rocha, Dario Souza. III. Título. CDU (1997): 51 CDD (19.ed.): 510 SUMÁRIO Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07 UNIDADE I – Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09 TEMA 01 – A função e o cotidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 TEMA 02 – Funções injetivas e sobrejetivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 TEMA 03 – Funções inversíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 UNIDADE II – Funções Compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 TEMA 04 – Funções compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 TEMA 05 – Função composta e sua linguagem formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 UNIDADE III – Equações exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 TEMA 06 – Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 TEMA 07 – Potência com expoente natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 TEMA 08 – Equações exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 UNIDADE IV – Funções exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 TEMA 09 – Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 TEMA 10 – Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 TEMA 11 – Inequações exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 UNIDADE V – Funções logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 TEMA 12 – Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 TEMA 13 – Logarítmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 TEMA 14 – Bases Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 TEMA 15 – Mudança de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 TEMA 16 – Propriedades dos logarítmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 TEMA 17 – Função logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 UNIDADE VI – Equações e inequações modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 TEMA 18 – Módulo de um número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 TEMA 19 – Equações modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 TEMA 20 – Inequações modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 UNIDADE VII – Funções modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 TEMA 21 – Função modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 UNIDADE VIII – Seqüências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 TEMA 22 – Seqüências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 TEMA 23 – Seqüência de números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 UNIDADE IX – Progressões aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 TEMA 24 – Progressões aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 TEMA 25 – Fórmula do termo geral de uma PA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 TEMA 26 – PA monótona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 TEMA 27 – Extremos e meios em uma PA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 TEMA 28 – Representação prática dos termos de uma PA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 TEMA 29 – Interpolação aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 TEMA 30 – Soma dos n primeiros termos de uma PA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 UNIDADE X – Progressões geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 TEMA 31 – Progressão geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 TEMA 32 – Fórmula do termo geral da PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 TEMA 33 – Classificação das progressões geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 TEMA 34 – Representação prática de três termos em PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 TEMA 35 – Interpolação geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 TEMA 36 – Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 TEMA 37 – Limite da soma dos infinitos termos de uma PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Domingos Anselmo Moura da Silva Licenciado e Bacharel em Matemática - UFAM Mestre em Matemática - UFAM Genilce Ferreira Oliveira Licenciada em Matemática - UFAM Especialista em Matemática - UFAM Dário Souza Rocha Licenciado e Bacharel em Matemática - UFAM Especialista em Matemática - UFAM PERFIL DOS AUTORES PALAVRA DO REITOR A realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigada à sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do Amazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon- der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em dinamismo técnico−científico. Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere- cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis- tenciais, estimulando−lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando− lhes uma visão multifacetada das maneiras de educar. Os livros−textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a história da educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos- tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi- no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”. A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafios que se impõem hoje. Lourenço dos Santos Pereira Braga Reitor da Universidade do Estado do Amazonas UNIDADE I Funções TEMA 01 A FUNÇÃO E O COTIDIANO Como o homem percebeu que tudo e todos estão relacionados de forma que nenhum efeito tem origem numa única causa? Ao lermos um jornal ou uma revista, diaria- mente nos deparamos com gráficos, tabelas e ilustrações. Estes são instrumentos muito uti- lizados nos meios de comunicação. Um texto com ilustrações é muito mais interessante, chamativo, agradável e de fácil compreensão. Não é só nos jornais ou nas revistas que encontramos gráficos. Os gráficos estão pre- sentes nos exames laboratoriais, nos rótulos de produtos alimentícios, nas informações de composição química de cosméticos, nas bulas de remédios, enfim, em todos os lugares. Ao interpretarmos esses gráficos, verificamos a necessidade dos conceitos de plano carte- siano. O Sistema ABO dos grupos sangüíneos é ex- plicado pela recombinação genética dos alelos (a,b,o), e este é um bom exemplo de uma apli- cação do conceito de produto cartesiano. Uma aplicação prática do conceito de relação é a discussão sobre a interação de neurônios (cé- lulas nervosas do cérebro). Ao relacionarmos espaço em função do tem- po, número do sapato em função do tamanho dos pés, intensidade da fotossíntese realizada por uma planta em função da intensidade de luz a que ela é exposta ou pessoa em função da impressão digital, percebemos quão impor- tantes são os conceitos de funções para com- preendermos as relações entre os fenômenos físicos, biológicos, sociais... Vamos ler um pouco mais. As necessidades do homem, com os mais vari- ados propósitos, fizeram dele, através dos tem- pos, um estudioso dos problemas naturais, bem como das suas causas e dos seus efeitos. Essa busca nos fez perceber que tudo e todos estão relacionados de tal forma que nenhum efeito tem origem numa única causa. Para perceber essa relação, vamos usar como exemplo uma flor, que aos olhos de um admi- rador representa a beleza, o amor e a paz, e aos olhos de um sensível observador, a ima- gem do nosso mundo, com fatores individu- ais, físicos, econômicos, humanos e sociais. Na linguagem do dia−a−dia, é comum ouvir- mos frases como “Uma coisa depende da outra” ou “Uma está em função da outra”. Não é raro também abrirmos revistas ou jornais e encontramos gráficos sobre os mais variados assuntos, mostrando a dependência entre os fatores em estudo. A idéia de um fator variar em função do outro e de se representar essa variação por meio de gráficos, de certa forma, já se tornou familiar em nossos dias. No entanto essa forma de re- presentação não foi sempre assim. O conceito de função sofreu várias interpretações até che- gar ao modernamente utilizado. No século XVIII, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646− 1716) considerou como função as quantidades geométricas variáveis, relacionadas com uma curva. Posteriormente, Leornhard Euler enfatizou me- nos a representação analítica e deixou antever como conceito de função toda variável que dependa de outra, ou seja, se a segunda vari- ar, a primeira também irá variar. Já no século XIX, matemáticos como Dirichlet e Lagrange deram novas contribuições para o estudo das funções. A Idéia de Função O canto dos grilos é um som familiar no campo numa noite quente. O ritmo em que os grilos cantam depende da temperatura: quando está quente, eles cricrilam mais do que em qual- quer outro tempo. A tabela abaixo mostra co- mo o ritmo e a temperatura estão relacionados. (*) A relação entre graus Farenheit (F) e graus Celsius (C) é dada pela equação: F = C x 1,8 + 32 Temperatura em Graus Farenheit (*) 50 60 70 80 Número de cricrilos em 15s 10 20 30 40 11 Matemática Elementar III – Funções Para cada temperatura desta tabela, existe um correspondente número de cricrilos em quinze segundos. Observe que, para cada temperatu- ra, existe um único número correspondente. Um matemático diria que o número de cricrilos em quinze segundos é uma função da temperatura. Uma maneira de representar uma função é com uma tabela exposta acima. Uma outra ma- neira é escrever uma fórmula. Na tabela acima, cada número da segunda linha é o correspon- dente número da primeira linha menos 40. Se chamamos F a temperatura em graus Fahre- nheit e n representa o número de cricrilos em 15 segundos, podemos escrever. n = F − 40 ou F = n + 40 As duas letras nas fórmulas acima são variá- veis. Na primeira, n varia de acordo com a vari- ação de F, isto é, n é função de F. na segunda, F varia de acordo com a variação de n, isto é F é função de n. A fórmula de uma função permite-nos escrever a correspondente tabela. Bastaescrever os números que queremos para a primeira linha e substituí-los na fórmula para achar o número correspondente da segunda linha. Por exemplo, uma fórmula para a temperatura em graus Celsius, C, como uma função do ritmo do canto dos grilos em 15 segundos, n, é C = 0,6n + 4 Para ver isso, basta observar que F = C x 1,8 + 32. Como: F = n + 40, temos: C x 1,8 + 32 = n + 40, ou C x 1,8 = n + 40 − 32 = n + 8, ou ainda: C = 0,6n + 4 (*) Para escrever a tabela dessa função, escolhe- mos alguns números n: 0, 10, 20, 30, 40 e substituímos então esses números na fórmu- la(*) para encontrar os correspondentes nú- meros de segunda linha. Substituindo n = 0, obtemos C = 0,6 x 0 + 4 = 4 Substituindo n = 10, obtemos C = 0,6 x 10 + 14 = 10 Substituindo n = 20, obtemos C = 0,6 x 20 + 14 = 16 Substituindo n = 30, obtemos C = 0,6 x 30 + 4 = 22 Substituindo n = 40, obtemos C = 0,6 x 40 + 4 = 28 A tabela é : Resumindo, se temos dois conjuntos S e T, por uma função ou aplicação de S em T, enten- demos uma correspondência (ou regra, ou mecanismo), que associa para cada elemento S um único elemento de T. O conjunto S é usualmente chamado de domínio da função, e o conjunto T é chamado de contradomínio. Notação e vocabulário Já foram discutidos vários aspectos da teoria dos conjuntos: operações, elementos, etc. Nes- te capítulo, olhamos a teoria dos conjuntos sob um outro ponto de vista. Na verdade, cuidamos de aplicações de um conjunto noutro. Por quê? Por várias razões, como poderemos ver adian- te. É uma noção útil e leva−nos para resultados importantes. Podemos descrever muitos fatos matemáticos como estudo de funções apropri- adas. Em outras palavras, o conceito de apli- cação (ou função) que já estamos a estudar é muito usado e constitui-se num dos pontos mais importante da matemática. A seguir, vamos tratar de alguns conceitos so- bre funções. Para facilitar nossa comunicação, vamos introduzir alguma notação e vocabu- lário. Seja f uma função de um conjunto S para T. Podemos denotar esse fato com a notação: f : S → T Se s é um elemento de S e t ∈ T é o elemento que está associado pela função f a s, denota- mos este fato por: t = f(s). Chamamos t como sendo a imagem de s pela função f. Algumas vezes, dizemos que t é o valor que f assume em s, ou que f leva s em t. Chamamos o conjunto Im f = {t∈T|existe s∈S; f(s) = t} de imagem da função f. Temperatura em Graus Farenheit (*) 0 10 20 30 40 Número de cricrilos em 15 s 4 10 16 22 28 12 UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 02 FUNÇÕES INJETIVAS E SOBREJETIVAS Seja S o conjunto das pessoas que moram na rua A, e seja N o conjunto dos inteiros posi- tivos. Se s é um dos residentes da rua A, defi- nimos f(s) como sendo o número da residência de s na rua A . Portanto, se o Sr. Silva mora na casa de número 25 da rua A, f (Sr. Silva) = 25. Observe que, se Maria é a esposa do Sr. Silva, então f(Maria) = 25. Consideramos o conjunto S das pessoas resi- dentes na rua A e N o conjunto dos inteiros positivos. Suponha que o sistema da identifi- cação da polícia seja perfeito, de modo que cada pessoa tenha sua carteira de identidade com o respectivo número, independente se é homem, mulher, criança. Definimos a função g : S → N por g(s) = número da carteira de identidade da pessoa s. Observe que, quais- quer duas pessoas distintas, s1 e s2, são tais que g(s1) ≠ g(s2). Observe, então, que esta função aqui definida é distinta da função f definida acima, quanto a esse aspecto. Lá, f(Sr. Silva) = f(Maria). Isto é, dois elementos distin- tos de S podem ter a mesma imagem. Aqui, ocorre que elementos distintos de S têm ima- gens distintas. Nesse caso, dizemos, então, que g é injetiva ( ou injetora). Assim, h : S → T é injetiva (ou injetora) se, e somente se, para todo par s1 , s2 ∈ S, com s1 ≠ s2 ⇒ h(s1) ≠ h(s2). Ou, equivalentemente, dizemos que h é injetiva se, e somente se, para todo par s1, s2 ∈ S, com h(s1) = h(s2) ⇒ s1 = s2 Exemplos Exemplo 1: Sejam os conjuntos A= { 0, 1, 2, 3}, B= {2, 4, 6, 8, 10} e f: A → B uma função, definida por f(x) = 2x + 2. Observe, no diagrama de flecha, que elemen- tos distintos do conjunto A estão em corres- pondência com elementos distintos do con- junto B. Então, a função é injetora. Exemplo 2 Mostre que a função polinomial do 1.o grau é injetiva. Solução: Seja f uma função polinomial do 1.o grau, de- finida por f(x) = ax+b, onde, a, b ∈ R e a ≠ 0 Dizemos que f é injetiva ⇔ ∀ x1, x2∈IR, com f(x1) = f(x2) ⇒ x1= x2 Sendo assim, f(x1) = f (x2) ⇒ ax1 + b = ax1 +b ⇒ ax1 = ax2 ⇒ x1 = x2 ∴ f é injetiva Exemplo 3: Sejam N conjunto dos inteiros positivos e T con- juntos dos inteiros positivos ímpares. Definimos f : N → T por f(n) = 2n − 1, para cada n ∈ N. Assim, f(1) = 2.1 − 1 = 2 − 1 = 1 f(10) = 2.10 − 1 = 20 − 1 = 19 f(35) = 2.35 − 1 = 70 − 1 = 69 f define uma função de N em T. Observe que, como no Exemplo 2, f é injetiva, ou seja, ∀n,m ∈ N, se f(n) = f(m), então 2n − 1 = 2m − 1 ⇒ 2n = 2m ⇒ n = m. 13 Matemática Elementar III – Funções Exemplo 4: A função f:IR → IR definida por f(x) = 3x + 2 é injetora, pois sempre que tomamos dois va- lores diferentes para x, obtemos dois valores diferentes para f(x) (Veja o exemplo 2). Exemplo 5: A função f:IR → IR definida por f(x) = x² + 5 não é injetora, pois para x = 1, temos f(1) = 6 e para x = −1, temos f(−1) = 6. Mostraremos, a seguir, que a função f do exemplo 3 possui uma propriedade que a fun- ção do Exemplo 1 não possui. De fato, seja x qualquer inteiro positivo ímpar; podemos es- crever x como sendo x = 2r – 1 para algum inteiro positivo r. Agora, f(r) = 2r − 1 = x. Isso significa dizer que qualquer elemen- to de T aparece como imagem de um elemen- to de N. Esta propriedade de f é muito impor- tante, e dizemos que f é uma função sobrejeti- va (ou sobrejetora). Então, uma função f :S → T é sobrejetiva (ou sobrejetora ) se, para qualquer t ∈ T, existe um elemento s ∈ S tal que, f (s) = t. Equivalentimente,dizemos que f é sobrejetiva se, e somente se, o conjunto imagem da fun- ção f é igual ao contradomínio da função f. Exemplo 6: A função f:IR → IR definida por f(x) = 3x + 2 é sobrejetora, pois todo elemento de IR é ima- gem de um elemento de IR pela função, ou seja, ∀ y ∈ IR existe ∈ IR tal que f(x) = f( ) = y. Exemplo 7: Mostre que a função f: IR → IR+ definida por f(x) = x2 é sobrejetiva. Solução: Basta mostrar que ∀ b ∈ IR+, ∃ a ∈ IR tal que f(a) = b. Tome a = . Sendo assim f(a) = a2 = ( )2 = b, para qualquer b ∈ IR+. Então, concluímos que f é sobrejetiva. Exemplo 8: A função f:IR → IR definida por f(x) = 2x não é sobrejetora, pois o número −1 é elemento do contradomínio IR e não é imagem de nenhum elemento do domínio. Exemplo 9: Para qualquer conjunto não vazio podemos definir i : S → S por i(s) = s, para cada s ∈ S. Esta função aplica cada elemento de S sobre ele próprio. A função i é chamada função iden- tidade. Algumas vezes, notamos a função iden- tidade por id. É fácil ver que a função identidade é injetiva e sobrejetiva. Para refletir Definimos f : Z → N por: (i) f(n) = 1, se n é para todo inteiro negativo. (ii) f(0) = 101 (iii) f(n) = n, se n é inteiro positivo. A função f é injetiva? É sobrejetiva? Reforçando: Dizemos que uma função é sobrejetora (ou sobrejetiva) se, para qualquer t ∈ T, existe um elemento s ∈ S tal que, f (s) = t, equivalente- mente, se o conjunto imagem for igual ao con- junto C(f), ou seja, Im(f) = C(f). 14 UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 03 FUNÇÕES INVERSÍVEIS Dados dois conjuntos S e T não-vazios, pode existir uma função f : S → T tal que f seja inje- tiva e sobrejetiva. Nesse caso, f é chamada uma função bijetiva ou bijetoraou uma bijeção. Essa definição sugere uma certa simetria em relação ao fato de ser bijetiva. Isto é, a defini- ção fala de uma função bijetiva f de S para T. Mas, nesse caso, também existe uma função bijetiva de T para S, e essa função será chama- da de a inversa de f, sendo usualmente deno- tada por f−1. Vamos mostrar, em seguida, que se f : S → T é bijetiva, então existe g : T → S bijetiva. Demonstração: De fato, como f é bijetiva, em particular f é sobrejetiva. Logo, dado qualquer elemento t de T, existe algum s de S tal que f(s) = t. Como f é também injetiva, s é único; isto é, s é o único elemento de S com a propriedade de que f(s) = t. Ou seja, não existe ambigüidade em levar- mos t naquele elemento s tal que t = f(s). Esse elemento s será chamado g(t). Essa regra associa cada elemento de T num único ele- mento de S, em outras palavras, define uma função g: T → S. Esta função é chamada a inversa de f e é comumente denotada por f−1. Exemplos Exemplo 1: Seja g : Z → Z tal que g(s) = s – 6. É fácil ver que g é injetiva e sobrejetiva. Qual é a inversa de g? Solução: Considere t um elemento de Z. Sabemos que g−1(t) = x, tal que g(x) = t. Mas, g(x) = x – 6 = t. Portanto x = t + 6. Assim, g−1(t) = t + 6, para todo t ∈ Z. Exemplo 2: Afirmo que a função f: IR+ → IR+ definida por f(x)= x2 é bijetiva, ou seja, f é injetiva e sobre- jetiva. Solução: De fato, basta mostrar que ∀ a,b ∈ IR+, com a ≠ b ⇒ f(a) ≠ f (b). Sendo a,b ∈ IR+, quaisquer, com a ≠ b. Temos, então, que ou a > b, ou a < b, em qualquer dos casos a2 ≠ b2 ⇒ f(a) ≠ f (b). Logo f é injetiva. Afirmo que f é sobrejetiva. De fato, basta mostrar que ∀ b ∈ IR+, ∃ pelo menos um a ∈ IR+ tal que f(a) = b. Tome a = . Sendo assim, f(a) = a2 = ( )2 = b, para qualquer b ∈ IR+. Assim, concluímos que f é sobrejetiva. Exemplo 3: Na expressão não podemos atribuir o valor 2 para x, pois teríamos que consiste em uma impossibilidade matemática. Assim, para que a fórmula possa repre- sentar uma função, teríamos de eliminar a pos- sibilidade de x vir a ser 2. Desse modo, pode ser definida f : IR – {2} → IR, tal que f(x) = é uma função bem definida. Nesse caso, IR – {2} é o domínio da função, e IR é o contradomínio. A função f definida acima é injetiva? Sim. De fato, para cada x, y ∈ IR – {2}, com x ≠ y, suponha por absurdo que f(x) = f(y), isto significa que = , ou seja, (x + 1).(y − 2) = (x − 2). (y + 1), e portanto 3x = 3y, que resulta em x = y, que é uma con- tradição. Logo, x ≠ y ⇒ f(x) ≠ f(y) , concluímos que a função é injetiva. f é sobrejetiva? Não. Pois não existe s∈IR tal que f(s) = 1. De fato, se 1 = f(s) = teríamos 3 = 0, que é uma contradição. Agora considere g : IR − {2} → IR – {1}, tal que g(x) = . Pelo que vimos acima, g é injeti- va e sobrejetiva. 15 Matemática Elementar III – Funções Sendo assim, temos que a função g tem uma inversa, que vamos denotar por g−1 a qual vamos determinar . Fazendo g(x)= = y, temos = y ⇒ y(x − 2) = x + 1 ⇒ yx − 2 = x + 1 ⇒ yx − x = 1 + 2y ⇒ x(y − 1) = 1 + 2y ⇒ x = Portanto g−1(y) = Para refletir Quando podemos dizer que duas funções f e g são iguais? Duas funções f e g são iguais se, e somente se, f(x) = g(x), para todo x ∈ D(f), D(f) = D(g) e C(f) = C(g). Para refletir Sejam IR+ o conjunto dos números reais posi- tivos e f : IR+ → IR+uma função, tal que f(x) =1/x, para cada x ∈ IR+. A função f é injetiva? É sobrejetiva? 16 UEA – Licenciatura em Matemática UNIDADE II Funções Compostas 19 TEMA 04 FUNÇÕES COMPOSTAS No estudo de funções, há um caso muito inte- ressante que vale a pena estudar pela sua oportunidade de generalização e conseqüente utilidade. Sejam S um conjunto não-vazio e f, g duas fun- ções definidas de S para S, isto é, f,g: S → S. Se s ∈ S, então g(s) ∈ S e, como qualquer ele- mento de S, pode ser aplicado pela função f, resultando no elemento f(g(s)) ∈ S. A partir dessa observação, podemos definir a chama- da função composta, denotada por fog, defini- da como fog: S → S, tal que (fog) (x) = f(g(x)), para cada x ∈ S. Observe o diagrama de flecha abaixo: Sendo h, g e f funções, definimos assim a função h por gof, ou seja, h = gof TEMA 05 FUNÇÃO COMPOSTA E SUA LINGUAGEM FORMAL Considerando as funções f: A → B e g: B → C, temos que a função composta de g com f é a função gof: A → C, sendo (go f) (x) = g (f(x)). Exemplos Exemplo 1: Sejam f,g: IR → IR funções definidas por f(s) = 5s + 6 e g(s) = . Determine fog e gof. Solução: Sendo assim, temos: (f o g) (s) = f(g(s)) = f( ) = 5( )+ 6 = = e (gof)(x) = g(f(x)) = g(5x+6)= = OBSERVAÇÃO: De modo geral, gof ≠ fog, como no exemplo acima, temos: (fog) (0) = f(g(0)) = f(1) = 5.1 + 6 = 11 e (gof) (0) = g(f(0)) = g(6) = Observe que fog ≠ gof, isto é, a composição de funções não comuta. Exemplos 2: Matemática Elementar III – Funções Compostas Dadas as funções f, g, h : IR → IR definidas por: f(x) = x+2, g(x) = x2 – 1 e h(x) = . Determine as funções compostas gof, fog, hof e fof. Solução: a) Vamos determinar gof : (gof)(x) = g(f (x) ) = g(x + 2) = ( x + 2)2 – 1 = x2 + 4x + 4 – 1= x2 + 4x + 3 portanto (gof)(x) = x2 + 4x + 3 b) Vamos determinar fog: (fog)(x) = f(g(x) = (x2 – 1) = x2 – 1 + 2 = x2+1 c) Vamos determinar hof: (hof)(x) = h(f(x)) = h(x + 2) = = d) Vamos determinar f o f: (fof)(x) = f(f(x))= f(x+2) = (x+2) + 2 = x+4 Exemplo 3: Seja f: IR → IR uma função real. Se f (x – 3) = x2 – 4x + 1, determine f(x). Solução: Sendo f (x – 3) = x2 – 4x + 1, faça x – 3 = u → x= u + 3, logo f(u) = (u + 3)2 – 4. (u + 3) +1 = u2 + 6u + 9 – 4u – 12+1 = u2 +2u – 2 Assim, concluímos que f(x) = x2 + 2x – 2 Exemplo 4: Sejam f e g duas funções reais, tais que Imf ⊂ Dg. Se g (f(x))= x2 – x + 1 e g(x) = , determine f(x). Solução: Sendo g(x) = , temos que g(f (x)) = Dessa forma, = x2 – x + 1 ⇒ f(x) – 1 = = 2(x2 – x + 1) ⇒ f(x) – 1 = 2x2 – 2x + 2 ⇒ f(x) = 2x2 – 2x + 3 Exemplo 5: Sejam f e g duas funções reais, tais que Imf ⊂ Dg. Se g(f(x)) = x2 – x – 3 e f(x) = 3 – x, determine g(x). Solução: Sendo f(x) = 3 – x ⇒ x = 3 – f(x). Logo, substituindo x = 3 – f (x) em g(f(x)) = x2 − x − 3, temos g(f(x)) = (3 – f(x))2 – (3 – f(x)) – 3 g(f(x)) = 9 – 6 f(x) + (f(x))2 – 6 + f(x) g(f(x)) = (f(x))2 – 5 f(x) +3 Dessa forma, concluímos que g(x) = x2 – 5x + 3 IMPORTANTE: Sendo f : S → T uma aplicação bijetiva de S sobre T, podemos definir a inversa de f, a qual vamos denotar por f−1, onde f−1 é uma aplicação de T em S (f−1 : T → S), ou seja, f(s) = t ⇔ f−1(t) = s ∀ s ∈ S e ∀ t ∈ T Exemplo 6: Sejam IR+ o conjunto dos números reais posi- tivos e f : IR + → IR + , tal que f(x) = , para cada x ∈ IR+. Temos que f é injetiva e sobreje- tiva. Quem é f−1? Solução: Vamos mostrar um fato surpreendente : f(x) = f−1(x) para cada x de IR+, ou seja, f = f−1. De fato, f−1(x) = s ⇔ f(s) = x. Sendo f(s) = = x, concluímos que S = . Logo, f−1(x) = S = = f(x) De modo geral, se f : S → T é uma função bi- jetiva, onde f−1 é a inversa de f. Pergunta–se: Que função resultará de f−1of e fof−1? Se s ∈ S, então (f−1of)(s) = f−1(f(s)). Entretanto, pela definição de f−1 se t = f(s), então f−1 (t) = s. Em outras palavras, (f−1 o f) (s) = f−1 (f(s)) = f−1 (t) = s. 20 UEA – Licenciatura em Matemática 21 Ou seja: (f−1of)(s) = s, para todo s ∈ S. Isso sig- nifica dizer que (f−1of) =ids, que é a aplicação identidade de S sobre ele próprio. De modo análogo, para cada t ∈ T, (fof−1) (t) = t. Ou seja, f o f−1 = idT, que é a identidade de T sobre T. Essas duas relações, fof−1= idT e f−1of = ids facilitam o entendimento de que f−1: T → S é uma aplicação bijetiva. De fato,suponha que f−1(t1) = f−1(t2), com t1, t2 ∈ T. Aplicando f em cada lado da igualdade, obtemos: f (f−1( t1)) = f (f−1( t2)), que é a mesma coisa de: (fof−1) (t1) = t1 = (fof−1) (t2) = t2 ⇒ t1 = t2 Portanto f−1 é, de fato, injetiva. Por que f−1 é sobrejetiva? Seja s ∈ S, queremos exibir algum elemento t ∈ T tal que s = f−1(t). Para isso, seja t = f(s), então f−1(t) = f−1(f(s)) = (f−1of) (s) = idS(s) = s. Logo, f−1 é sobrejetiva. PARA REFLETIR Sejam f e f−1 duas funções, tais que f−1 seja a inversa de f. Mostre que f é bijetiva se, e somente se, f−1 é bijetiva. PROPRIEDADES IMPORTANTES As aplicações identidades idS, idT têm algumas propriedades algébricas importantes, que comentaremos a seguir. Propriedade 1: Seja f : S → T uma função e seja idT: T → T a aplicação identidade de T. Pelas definições de f e idT, mostre idTof = f Demonstração: Se s ∈ S, então (idTof ) (s) = idT (f (s) ) = f (s). Ou seja, (idTof ) (s) = f(s), para todo s ∈ S. Isto significa que idTof = f. Propriedade 2: Sejam g: S → T e f : T → W duas funções. Nessas condições, podemos definir: fog : S → W. Sendo assim, temos que duas questões po- dem ocorrer naturalmente: (i) Se f e g são injetiva, fog é injetiva? (ii) Se f e g são sobrejetiva, fog e sobrejetiva? Demonstração: A resposta é afirmativa para ambas as questões: (i) Suponha que as funções g : S → T e f: T → W são injetivas. Sejam s1, s2 ∈ S tais que: (fog) (s1) = (fog) (s2). Queremos saber se s1 = s2. Para isso, (fog) (s1) = (fog) (s2) ⇒ f(g (s1)) = f(g (s2)). Como f é injetiva, temos que g (s1) = g(s2). Como g é injetiva, s1 = s2. Logo, fog é in- jetiva. (ii) Suponha que ambas as funções g : S → T e f: T → W são sobrejetivas. Queremos mostrar que dado w ∈ W, existe so ∈ S tal que (fog) (so) = w. De fato, como f é sobrejetiva, existe to ∈ T tal que f(to) = w. Agora, como g: S → T é sobre, existe so ∈ S tal que g(so) = to . Mas, então: (fog) (so) = f(g(so)) = f(to) = W. Portanto, f o g é sobrejetiva. PARA REFLETIR Se g: S → T e f: T → W são ambas bijetivas, então f o g : S → W é bijetiva Matemática Elementar III – Funções Compostas 22 UEA – Licenciatura em Matemática ] OS PRIMEIROS GRÁFICOS Em 476, com a queda do último imperador romano do Ocidente frente aos bárbaros, tem início, na Europa, o período histórico deno- minado Idade Média. Nessa reviravolta, a Igreja Católica foi a única instituição ocidental a permanecer razoavelmente bem-estruturada. Precisando de pessoal para suas fileiras a fim de perpetuar-se, teve de fundar escolas em seus mosteiros, já que o ensino também se desintegrara. Até por volta da metade do sé- culo XI, as escolas dos mosteiros foram as únicas da Europa. O ensino ministrado ali era bastante precário, especialmente nos primei- ros séculos do período medieval. No caso da matemática, por exemplo, apenas alguns rudimentos da Aritmética e Geometria eram estudados. Mas, a partir do século XII, o saber clássico, especialmente o grego, já ha- via sido resgatado substancialmente, e a se- de de conhecimento, gerada em circunstân- cias mais favoráveis, era muito grande. Isso levou à fundação das primeiras universidades – a primeira foi a de Bolonha, em 1088, com uma faculdade de Direito. Várias outras universidades foram fundadas nas décadas seguintes, mas os cursos ofere- cidos não passavam de quatro: Artes Liberais (básico), Direito, Medicina e Teologia. De modo geral, os primeiros mestres dessas universidades escolheram Aristóteles como guia científico infalível. Afinal, ele escrevera sobre quase tudo de maneira bastante con- vincente para os intelectuais da época, ainda não habituados ao método experimental. Mas a obra de Aristóteles não considerava certos aspectos, o que acabou prejudicando o desenvolvimento da ciência. Aristóteles negava, por exemplo, a velocidade instantânea, e isso se tornou um obstáculo à representação matemática dos fenômenos do movimento. É claro que nem todos os intelectuais da épo- ca aceitavam os ensinamentos de Aristóteles cegamente. Entre os que se opunham a eles, o mais eloqüente foi Roger Bacon (1214- 1292), um homem cuja vasta cultura o levava a enfatizar a importância da matemática e do método experimental para o desenvolvimento da ciência. Ele previu, entre outros inventos, o automóvel, o submarino e o avião. Contudo, devido a interesses pessoais e à ignorância, a visão científica de Aristóteles manteve-se pre- ponderante até por volta do século XVII. No fim da Idade Média, porém, verificou−se certa efervescência positiva nas universida- des européias representada, por exemplo, pelas tentativas de transformar as idéias de Aristóteles sobre movimento em resultados quantitativos. Um fruto dessa linha de investigação é a cha- mada Lei da Velocidade Média, enunciada pela primeira vez por William de Hentisbery, do Merton College, de Oxford, no início do sé- culo XIV. Em linguagem moderna, essa lei es- tabelece que, ao fim de um intervalo de tem- po t, a velocidade de um corpo que sai do repouso em movimento uniformemente ace- lerado, com aceleração a, é dada por v = at. Paralelamente, outros intelectuais do Merton College começaram a explorar a idéia de re- presentar a velocidade, bem como outras quantidades variáveis, por meio da Geometria. O mais bem-sucedido nesse intento foi o fran- cês Nicole Orêsme (1325−1382). Formado em teologia pela universidade de Paris, Oresme revelar-se-ia um intelectual versátil e profundo, tendo sido considerado o maior matemático do século XIV e o maior economista do perío- do medieval. Antecipose a Copérnico no que se refere à teoria do movimento da Terra, con- trariando, assim, os ensinamentos de Aristó- teles sobre essa questão. Oresme expôs seu método para representar geometricamente fenômenos de uma variável numa obra publicada em 1350. Sua idéia con- sistia em construir o que ele chamava de con- figuração, ou seja, uma figura geométrica for- mada de um eixo sobre o qual marcava va- lores da variável, que ele chamava de longi- tudes, e uma sucessão de segmentos cons- truídos verticalmente sobre o eixo, cujas medi- das eram chamadas de latitudes, para marcar os valores correspondentes às longitudes. A figura era construída respeitando-se a pro- porcionalidade dos valores envolvidos. Como se nota, as coordenadas atuais, abscissas e 23 ordenadas, têm como antecessores as latitudes e as longitudes de Oresme. Oresme estudou o caso em que a velocidade de um corpo cresce uniformemente com o tempo a partir de um valor AO. Numa situação como essa, as latitudes correspondem aos instantes de tempo, e as longitudes às velocidades. A constatação a que chegou Oresme nesse caso é que as extremidades das latitudes situ- am-se sobre o segmento AB, em que B é a longitude correspondente ao repouso. Isso significa, em linguagem moderna, que o grá- fico é uma linha reta. Oresme chegou a sugerir a extensão de suas idéias para a terceira dimensão. Nesse caso, os gráficos seriam superfícies em vez de retas ou curvas. O mais notável, entretanto, é que ele foi além, insinuando a quarta dimensão, possivelmente pela primeira vez na história da matemática. 1. (ESAL−MG) Se f(x) = x2 + 1, então f(f(x)) é igual a: a) x4 + 2x2 + 2 b) x4 + 2 c) x4 + 1 d) x + 1 e) 1 2. (INATEL−MG) Sendo f(x) = x2 + 2x e g(x) = 3x + 4 a função fog é: a) 9x2 + 20x + 24 b) x2 + 30 x + 24 c) 9 x2 + 30 x + 24 d) x2 + 20 x + 24 e) n.d.a. 3. (FISS−MG) Se f(x) = 2x − 1, então f(f(x)) é igual a: a) 4x − 3 b) 4x − 2 c) 4x2 + 1 d) 4x2 − 1 e) 4x2 − 4x + 1 4. (FEI−SP) Se g(1 + x) = , então g(3) vale: a) 0 b) 3 c) 1/2 d) 3/10 e) 2/5 5. (UNIFENAS) Sendo f(x) = então f(f(x)) vale a) −1 b) 1 c) d) e) x 6. (UEL − PR)Dados os conjuntos A = {0;1; 2}, B {1; 2; 3; 4} e C = {0; 1; 2; 3; 4} sejam as funções f: A → B e g:B → C definidas por f(x) = x + 1 e g(x) = 4 − x. Nessas condições, a função gof é igual a: a) {(0, 2) ; (1, 3) ; (2, 1)} b) {(0, 1) ; (1, 2) ; (2, 3)} c) {(0, 3) ; (1, 2) ; (2, 1)} d) {(0, 3) ; (1, 1) ; (2, 2)} e) {(0, 1) ; (1, 3) ; (2, 2)} 7. (CEFET−PR) Se f(g(x)) = 4 x2 − 8x + 6 e g(x) = 2x − 1, então f(2) é igual a: a) −2 b) −1 c) 3 d) 5 e) 6 8. (FGV−SP) Considere as funções f(x) = 2x + 1 e g(x) = x2 − 1. Então, as raízes da equação f(g(x)) = 0 são: a) inteiras; b) negativas; Matemática Elementar III – Funções Compostas c) racionais não inteira; d) inversas uma da outra; e) opostas. 9. (CESGRANRIO) Sejam A = {1, 2, 3} e f : A → A definida por f(1) = 3, f(2) = 1 e f (3) = 2. O conjunto solução de f(f(x)) = 3 é: a) {1} b) {2} c) {3} d) {1, 2, 3} e) ∅ 10. (UFMG) Sejam A { 0, 1, 2, 3, 4 } e f : A → A uma função dada por f(x) = x + 1 se x ≠ 4 e f( 4) = 1. Determine x ∈ A tal que (fofofof)(x) = 2 é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 24 UEA – Licenciatura em Matemática UNIDADE III Equações Exponenciais 27 TEMA 06 FUNÇÃO EXPONENCIAL Como surgiu a notação exponencial ? A utilização de numerais indo-arábicos como expoentes de uma base nem sempre foi tão óbvia como nos dias de hoje. Hoje, a idéia de se escrever xx = x² ou x.x.x = x³ parece-nos óbvia, mas a utilização de numerais indo-arábicos como expoentes de uma de-terminada base, na forma utilizada hoje, ocorreu somente por volta de 1637, sendo atribuída ao grande matemático francês René Descartes. A história já nos mostrou, várias vezes, que soluções brilhantes dependem de experimen- tos, erros e acertos realizados por outros. Nesse caso, não foi diferente; há registro da utilização de potências aproximadamente em 1000 a.C., em algumas tabelas babilônicas. Por volta de 1360, o bispo francês Nicole Ores- me deixou manuscritos com notações utilizan- do potências com expoentes racionais e irra- cionais e regras sistematizadas para operar com potências. Ainda na França, em 1484, o médi- co Nicolas Chuquet utilizou potências com expoente zero. Além desses, outros matemáticos contribuíram para o desenvolvimento da notação exponen- cial, até que Descartes nos deixasse a notação de potência utilizada hoje. Um sistema de numeração posicional, na sua escrita usual, ‘‘esconde” o que podemos chamar de forma polinômica de um número. No entanto é nela que ele se estrutura, levando em conta a sua base de agrupamento e rea- grupamentos. Observamos que, no sistema indo-arábico, cuja base é 10, 1989 ‘‘esconde” a expressão: 1 . 10³ + 9 . 10¹ + 9 . 10, assim como sua re- presentação no sistema babilônico, de base 60, ‘‘esconde” a expressão 33 . 60¹ + 9 . 60. TEMA 07 POTÊNCIA COM EXPOENTE NATURAL Sejam a um número real e n um número natu- ral. A potência de base a e expoente n é o número an tal que : Dessa definição decorre que: a1 = 1 a2 = a . a a3 = a . a . a De modo geral, para p natural e p ≥ 2, temos que ap é o produto de p fatores iguis a a. Exemplos: 1) 25 = 2.2.2.2.2 = 32 2) 32 = 3.3.3 = 32 3) 52 = 5.5 = 25 4) 106 = 10.10.10.10.10.10 = 1000000 5) 43 = 4.4.4 = 64 PROPRIEDADES DA PÔTENCIA Se a∈IR, b∈IR, m∈IN e n∈IR, então valem as seguintes propriedades: i) am . an = am+n ii) am : an = am−n iii) (am)n = am.n iv) (a/b)m = am/bm, onde b ≠ 0 v) a−m = 1/am, onde a ≠ 0 Matemática Elementar III – Equações exponenciais TEMA 08 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS Equações exponenciais são, simplesmente, equações com incógnita no expoente. Exemplos: 1) 3x = 81 (a solução é x = 4) 2) 2x − 5 = 16 (a solução é x = 9) 3) 16x − 42x − 1 − 10 = 22x − 1 (a solução é x = 1) 4) 32x − 1 − 3x − 3x − 1 + 1 = 0 (as soluções são x’ = 0 e x’’ = 1) Os dois métodos fundamentais utilizados na resolução de equações exponenciais são: • Método de redução a uma base comum. • Método que utiliza o conceito e as pro- priedades de logaritmos. Trataremos aqui apenas do primeiro método. Método de redução a uma base comum Este método, como o próprio nome diz, con- siste no uso de técnicas que permitam, por meio de transformações baseadas nas pro- priedades de potências, reduzir ambos os membros de uma equação a uma potência de mes-ma base. É claro que o método só poderá ser utilizado caso seja possível a redução. Sendo assim, teremos que ab = ac ⇔ b = c (0 < a ≠ 1), ou seja, que potências iguais e de mesma base têm expoentes iguais. Resolva as equações. 1. 2. 8x2 − 1 = 4x + 1 ⇒ (23)x2 − x= (22)x + 1 ⇒ 23(x2 − x) = 22(x + 1) ⇒ 3(x2 − x) = 2(x + 1) ⇒ 3x2 − 3x = 2x + 2 ⇒ 3x2 − 3x − 2x − 2 = 0 ⇒ 3x2 − 5x − 2 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, vem: 3. 3x − 1 − 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 306 Colocando 3x − 1 em evidência, teremos 3x − 1(1 − 3 + 32 + 33) = 306 ⇒ 3x − 1. 34 = 306 ⇒ ⇒ 3x − 1 = 9 ⇒ 3x − 1 = 32 ⇒ x − 1 = 2 ⇒ x = 3 4. 4x − 20 . 2x + 64 = 0 ⇒ (22)x − 20 . 2x + 64 = 0 ⇒ (2x)2 − 20 . 2x + 64 = 0 Fazendo y = 2x obtemos: Substituindo y1 e y2 na equação acima, temos que: x = 2 e x = 4 5. 4x + 2 . 14x = 3 . 49x Dividindo por 49x, temos: Fazendo , vem: y2 + 2y − 3 = 0 ⇒ y1 = 1 e y2 = −3 (não con- vém. Por quê?) = 1 ⇒ x = 0 S = {0} 28 UEA – Licenciatura em Matemática 29 6. 3x = 81 Como 3x = 81, podemos escrever 3x = 34 ⇒ x = 4. 7. 9x = 1 9x = 1 ⇒ 9x = 90 ⇒ x = 0. 8. 23x − 1 = 322x 23x − 1 = 322x ⇒ 23x − 1 = (25)2x ⇒ 23x − 1 = 210x ⇒ 3x − 1 = 10x ⇒ 7x − 1 ⇒ x = 9. Resolva a equação 32x − 6 . 3x − 27 = 0. Vamos resolver esta equação por meio de uma transformação: 32x − 6 . 3x − 27 = 0 ⇒ (3x)2 − 6 . 3x − 27 = 0 Fazendo 3x = y, obtemos: y2 − 6y − 27 = 0; aplicando Bhaskara, encon- tramos y’= −3 e y’’ = 9 Para achar o x, devemos voltar os valores para a equação auxiliar 3x = y: y’ = −3 ⇒ 3x’ = −3 ⇒ não existe x’, pois potên- cia de base positiva é positiva y’’ = 9 ⇒ 3x’’ = 9 ⇒ 3x’’ = 32 ⇒ x’’=2 Portanto a solução é x = 2 10. 3x − 1 = 81 Vamos transformar a equação dada numa igual- dade de porências de mesma base: 3x − 1 = 81 ⇒ 3x − 1 = 34 Igualando as expoentes, temos: x − 1 = 4 ⇒ x = 5 Logo, a soloção x igual a 5. 1. Determinar os valores de x para os quais 2x = 32. 2. Determinar os valores de x para os quais 2x = 1. 3. Resolver a equação 27x = 243. 4. Resolver a equação 625x = 25. 5. Determinar o valor de x para o qual . 6. Determinar o valor de x para o qual 7. Qual é o conjunto-solução da equação expo- nencial 5x + 2 = 125x? 8. Determinar o conjunto-solução de 2x = 5x. 9. Qual é o conjunto-solução de 73x − 9 − 49 = 0? 10. Determinar o conjunto-solução da equação 4x + 3(2x + 1) = 16. 11. Determinar o conjunto-solução da equação 22x − 12 . 2x = −32 12. Se é a raiz quadrada de 3, obter o conjun- to-solução da equação ( )x + 1 = 243. 13. Determinar o conjunto-solução da equação 3x . 7x = (441)1/4. 14. Determinar o conjunto-solução da equação 3x − 34 − x = 24 15. Determinar o conjunto-solução do sistema com as duas equações exponenciais: 3x + y = 81 e 3x − y = 1 16. Determine o conjunto-solução do sistema de equações: 32x + y = 4 e 2x + y 17. Resolver o sistema de equações: 18. Determinar o conjunto-solução para a equação 5x = 625. 19. Obter o conjunto-solução para a equação . 20. Determinar o conjunto-solução para a equação 22x + 3 = 16. 21. Determinar as soluções para a equação 3x 2 − 5x + 6 = 1. 22. Determinar todas as soluções para a equação 4x 4 − 13x2 + 36 = 1. 3 3 Matemática Elementar III – Equações exponenciais 30 UEA – Licenciatura em Matemática HISTÓRIA E IDÉIAS DE APLICAÇÕES Conta a lenda que um rei solicitouaos seus súditos que lhe inventassem um novo jogo, a fim de diminuir o seu tédio. O inventor do mel- hor jogo teria direito a realizar qualquer dese- jo. Um dos seus súditos inventou, então, o jogo de xadrez. O Rei ficou maravilhado com o jogo e viu-se obrigado a cumprir a sua promessa. Chamou, então, o inventor do jogo e disse que ele po- deria pedir o que desejasse. O astuto inventor pediu então que as 64 casas do tabuleiro do jogo de xadrez fossem preenchidas com moedas de ouro, seguindo a seguinte condição: na primeira casa, seria colocada uma moeda e em cada casa seguinte seria colocado o dobro de moedas que havia na casa anterior. O Rei considerou o pedido fácil de ser aten- dido e ordenou que providenciassem o pagamento. Tal foi sua surpresa quando os tesoureiros do reino lhe apresentaram a suposta conta, o que corresponde a aproxi- madamente 9 223 300 000 000 000 000 = 9,2233.1018 moedas de ouro. O rei estava falido! A lenda apresenta-nos uma aplicação de funções exponenciais, especialmente da função y = 2x. As funções exponenciais são aquelas que crescem ou decrescem muito rapidamente. Elas desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras. Um exemplo de aplicação da teoria das expo- nenciais é encontrado no estudo de taxas de juros e aplicações financeiras, em que elas desempenham um importante papel. 23. (CESGRANRIO − RJ) Se 8x = 32, então x é igual a: a) 5/2 b) 5/3 c) 3/5 d) 2/5 e) 4 24. (UEPG−PR) Se 8x − 9 = 16x/2, então é igual a: a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) n.d.a. 25. (PUC−SP) O valor de x que satisfaz a equação 33x − 1 . 92x+3 = 273 − x é: a) 1 b) 3 c) 5/2 d) 1/3 e) 2/5 26. (FUVEST−SP) Sendo x = (22)3, y = 223 e z = 232, calcule x . y . z : a) 221 b) 210 c) 223 d) 24 e) 220 27. (VUNESP−SP) Se , então: a) m = 0,1 b) m = (0,1)2 c) m = (0,1)3 d) m = (0,1)4 e) m = (0,1)5 31 28. (UFRN) Se 2x = 2048, então, x vale : a) 7 b) 11 c) 13 d) 17 e) 19 29. (PUC−SP) Se , então os valores de x são: a) 1 e 3 b) 2 e 3 c) 1 e 2 d) 1 e 4 e) 2 e 4 30. (FCC−BA) A solução da equação 0,52x = 0,251 − x é um número x, tal que: a) 0 < x < 1 b) 1 < x < 2 c) 2 < x < 3 d) x > 3 e) x < 0 31. (CEFET−PR) Se (73)−x + 2 = , x1/2 valerá: a) b) −9 c) 49 d) e) 1 32. (UEL−PR) Se 2x = u e 3−x = t, o valor da expressão 12x + 18−x é: a) b) c) d) u2 + t2 e) u3 + t3 33. (UFMG) A soma das raízes da equação é: a) 0 b) −1 c) 1 d) 7 e) 8 34. (UFPA) A raiz da equação é um número: a) irracional negativo; b) irracional positivo; c) par; d) inteiro negativo; e) inteiro positivo. 35. (PUC−RS) Se 3x − 32 − x = 23, então 15 − x2 vale: a) 16 b) 15 c) 14 d) 11 e) 6 36. (UFBA) O conjunto-solução da equação 2x − 2−x = 5 (1 − 2−x) é: a) {1; 4} b) {1 ; 2} c) {0; 1} d) {0; 2} e) ∅ 37. (UEPG−PR) A soma das raízes da equação 32x − 12 . 3x + 27 = 0 pertence ao intervalo: a) [10, 12] b) [0, 3] c) [1, 2] d) (10, 12) e) (1, 3) 3 Matemática Elementar III – Equações exponenciais 32 UEA – Licenciatura em Matemática 38. (UFPR) Se 2x + 2−x = 3, então o valor de 8x + 8−x é: a) 12 b) 18 c) 21 d) 24 e) 27 39. (FUVEST−SP) Se 416 . 525 = x . 10n, com 1 ≤ x < 10, então n é igual a: a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28 40. (FGV−SP) A equação 4x + 6x = 2.9x tem como solução o conjunto: a) {1} b) {2} c) {3} d) {0} e) n.d.a. 41. (UECE) Se 7m − 32n = 1672 e − 3n = 22, então mn é igual a: a) 16 b) 64 c) 128 d) 256 e) n.d.a. 42. (PUC − MG) A expressão é igual a: a) 2x b) 2−x c) 2−3 d) 7 e) 8 43. (UFCE) A soma das raízes da equação xf(x) = 1, em que f(x) = x2 − 7x + 12, é igual a: a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10 44. (CESGRANRIO−RJ) Os números inteiros x e y satisfazem 2x + 1 + 2x = 3y + 2 − 3y . Então, x é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 UNIDADE IV Funções Exponenciais 35 TEMA 09 FUNÇÃO EXPONENCIAL Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente. Definição: A função f:IR → IR+ definida por f(x)=ax, com a IR+ e a1, é chamada função exponencial de base a. O domínio dessa fun- ção é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais, maiores que zero). Observações e propriedades A função exponencial é definida somente para base a positiva, uma vez que se a é negativo, teremos valores da imagem ax não pertencente ao conjunto dos números reais. Por exemplo, para a = −2 e x = 1/2, ax é igual à raiz quadra- da de −2, que pertence ao conjunto dos nú- meros complexos, contradizendo a definição da função exponencial. A base também tem de ser diferente de 1 porque para todo x real teríamos como ima- gem, sempre, o valor 1, uma vez que 1 eleva- do a x é igual a 1 para qualquer que seja o x. Em outras palavras, a imagem seria o conjunto unitário {1}, o que também contradiz a defi- nição. E a não pode ser zero, pois teríamos uma indeterminação para x = 0. A função obtida acima é denominada de fun- ção constante, f(x) = c, x real, em que c = 1. Qualquer que seja a função exponencial, temos que: para x = 0 => f(0) = a0 = 1. Ou seja, o par ordenado (0, 1) pertence à função para todo a no conjunto dos reais positivos diferente de 1. Isto significa que o gráfico carte- siano da função exponencial corta o eixo y no ponto de ordenada 1. Definição: Uma função f é dita crescente se dados x1 < x2 pertencentes ao seu domínio, então as imagens correspondentes obedecem à relação f(x1) < f(x2). Definição: Uma função f é dita descrescente se x1 < x2 então f(x1) > f(x2). No caso da função exponencial ela é cres- cente se, e sómente se, a > 1. E descres- cente se, e somente se, 0 < a < 1. A demons- tração da propriedade não será feita aqui. A função exponencial é injetora, pois para todo par x1 e x2 ∈IR com x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2). Esta propriedade é decorrência direta da pro- priedade acima. Como a base a é maior que zero, temos que ax > 0 para todo x real. Daqui segue que o conjunto-imagem da função exponencial é o conjunto dos números reais positivos,sendo assim temos que a função exponencial é sobrejetiva. E portanto a função exponencial e bijetiva, logo, admite inversa. Sendo o conjunto imagem IR+, conclui-se que a curva representativa (gráfico) da função está toda acima do eixo dos x. Gráfico da Função Exponencial A função exponencial f:IR → IR+ definida por f(x)=ax, com a∈IR+ e a ≠ 1 tem como represen- tação gráfica as seguintes curvas: Exponencial crescente: base a > 1 Exponencial decrescente: base 0 < a < 1 Matemática Elementar III – Funções exponenciais 36 UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 10 TEOREMAS Principais Teoremas sobre as Funções Exponenciais. Teorema 1. Dados a e x pertencentes ao con- junto dos reais, a > 1, então: ax > 1 ⇔ x > 0 Não será apresentada a demonstração que depende de outros fatos não tratados aqui. Teorema 2. Dados a, x1 e x2 pertencentes ao conjunto dos reais, a > 1, então: ax1 > ax2 ⇔ x1 > x2 Demonstração: Daqui, pelo teorema 1, temos: x1 − x2 > 0 ⇔ x1 > x2 Teorema 3. Dados a e x pertencentes ao con- junto dos reais, 0 < a < 1, então: ax > 1 ⇔ x < 0 Demonstração: Como 0 < a < 1, então > 1 Pelo teorema 1, vem que: Teorema 4. Dados a, x1 e x2 pertencentes aos conjunto dos reais, 0 < a < 1, então: ax1 > ax2 ⇔ x1 < x2 A demonstração deste teorema leitor fica a cargo do leitor. Exemplo: A partir do gráfico da função f(x) = 2x, e sendo g(x)=2x + 2 e h(x) = 2−x, descreva, grafica-mente, o que ocorre com g = g(x) e h = h(x) em relação a f = f(x). Para refletir 1. Observe o gráfico das funções f(x) = 2x, f1(x) = 2x + 1, f2(x) = 2x + 2 e f3(x) = 2x+3. O que ocorre com f1(x), f2(x), f3(x) em relação a f(x) = 2x? 2. Sejam as funções f(x) = 2x e g(x) = (1/2)x ilustradas abaixo. Em cada caso, escolha uma das opções apre- sentadas. a) Se a variável x é positiva e assume valores crescentes muito grandes, a função f(x) = 2x admite valores: muito próximo de zero ou muito grandes. b) Se a variável x é negativa e assume valores absolutos crescentes muito grandes, a fun- ção f(x) = 2x admite valores: muito próximo de zero ou muito grandes. c) Se a variável x é positiva e assume valores crescentes muito grandes, a função g(x) = 2−x admite valores: muito próximo de zero ou muito grandes. d) Se a variável x é negativa e assume valores absolutos crescentes muito grandes, a fun- ção g(x) = 2−x admite valores: muito próxi- mo de zero ou muito grandes. TEMA 11 INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS Chamamos de inequações exponenciais toda inequação em que a incógnita aparece em expoente. Exemplos de inequações exponenciais: 1) 3x > 81 (a solução é x > 4). 2) 22x − 2 ≤ 2x2 − 1 (que é satisfeita para todo x real). 3) (que é satisfeita para x ≤ −3). 4) 25x − 150 . 5x + 3125 < 0 (que é satisfeita para todo x real). Resolvendo Inequações Para resolver inequações exponenciais, deve- mos realizar dois passos importantes: 1.o redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base; 2.o aplicação da propriedade: a > 1 am > an ⇒ m > n(am ≥ an ⇒ m ≥ n) (as desigualdades têm mesmo sentido). 0 < a < 1 am > an m < n(am ≥ an ⇒ m ≤ n) (as desigualdades têm sentidos diferentes). 1. 4x − 1 + 4x − 4x + 1 > Resolução: A inequação pode ser escrita assim: Multiplicando ambos os lados por 4, temos: 4x + 4 . 4x − 16 . 4x > −11, ou seja: (1 + 4 − 16) . 4x > −11 ⇒ −11 . 4x > −11 e daí, 4x < 1. Porém 4x < 1 ⇒ 4x < 40. Como a base (4) é maior que 1, obtemos: 4x < 40 ⇒ x < 0. Portanto S = IR− (reais negativos). 2. Determinar o conjunto solução para a desigualdade 25x − 7 > 8. Resolução: A inequação 25x − 7 > 8 pode ser escrita como 25x − 7 > 23 ⇒ 5x − 7 > 3 ⇒ 5x > 10 Portanto temos S = {x∈IR| x > 2}. 1. (UFCE) Se f(x) = 161+1/x, então f(−1) + f(−2) + f(−4) é igual a: a) 11; b) 13; c) 15; d) 17; e) n.d.a. 2. (UFMG) Se , então f(0) − f (3/2) é igual a: a) 5/2; b) 5/3; c) 1/3; d) −1/2; e) −2/3. 3. (PUC−SP) Se y = 10x é um número entre 1000 e 100 000, então x está entre: a) −1 e 0; b) 2 e 3; c) 3 e 5; d) 5 e 10; e) 10 e 100. 37 Matemática Elementar III – Funções exponenciais 38 UEA – Licenciatura em Matemática 4. (PUC−MG) Seja a função f(x) = ax. É correto afirmar que : a) ela é crescente se x > 0; b) ela é crescente se a > 0; c) ela é crescente se a > 1; d) ela é decrescente se a ≠ 1; e) ela é decrescente se 0 < x < 1. 5. (FGV−SP) Assinale a afirmação correta: a) (0,57)2 > (0,57)3 b) (0,57)7 < (0,57)8 c) (0,57)4 > (0,57)3 d) (0,57)0,57 > (0,57)0,50 e) (0,57)−2 < 1 6. (UEL − PR) Os números reais x são soluções da inequações 251 − x < 1/5 se, e somente se: a) x > −3/2; b) x > 3/2; c) −3/2 < x < 3/2; d) x < 3/2; e) x < −3/2. 7. (PUC−RS) Seja a função f: IR → IR definida por f(x) = 2x . Então, f(a+1) − f (a) é igual a: a) 2; b) 1; c) f(a); d) f(1); e) 2 f(a). 8. (PUC−MG) Os valores de a IR que tornam a função exponencial f(x) = (a − 3)x decrescente são: a) 0 < a < 3; b) 3 < a < 4; c) a < 3 e a ≠ 0; d) a > 3 e a ≠ 4; e) a < 3. 9. (FATEC−SP) Seja f IR → IR onde f(x)=2x/2. O conjunto de valores de x para os quais f(x) < 1/8 é: a) (3, 8); b) (∞, −1/3 ); c) (∞, −6); d) (−1/3, 0); e) IR − { 0, 8 }. 10. (PUC−MG) Se f(x) = 4x + 1 e g(x) = 4x, a solução da inequação f(x) > g(2 − x) é: a) x > 0; b) x > 0,5; c) x > 1; d) x > 1,5; e) x > 2 11. (FGV−SP) A solução da inequação é: a) x ≤ 0 b) −5 ≤ x ≤ 0 c) 0 ≤ x d) x ≤ −5 ou 0 ≤ x e) n.d.a. 12. (MACK−SP) Assinale a única afirmação corre- ta: a) 0,212 > 0,213 b) 0,210,21 > 0,210,20 c) 0,217 < 0,218 d) 0,214 > 0,213 e) 0,21−2 < 1 UNIDADE V Funções Logarítmicas 41 TEMA 12 INTRODUÇÃO A Matemática, por ser uma ciência de base, apresenta inúmeras aplicações em outros cam- pos de estudo e em outras ciências. Qualquer que seja o ramo do conhecimento humano ao qual direcionemos nossas habilidades, iremos defrontar-nos, cedo ou tarde, com a Matemá- tica e os seus “mistérios”. Os logaritmos são bons exemplos desta aplicabilidade da Mate- mática. Eles surgiram a partir da necessidade humana de resolver problemas com números muito grandes, como os que temos ao estudar astronomia, ou números muito pequenos, como os que aparecem no estudo das molé- culas. A fim de facilitar operações de multipli- cação e divisão entre os números, foram de- senvolvidas as teorias sobre logaritmos. Neste desenvolvimento, merece destaque o mate- mático Jonh Napier (1550−1617), que, após vinte anos de trabalho, publicou as obras Descrição das normas dos logaritmos maravi- lhosos e Cálculo das normas dos logaritmos maravilhosos. Na atualidade, com o advento das calculado- ras e dos computadores, os logaritmos perder- am muito da sua utilidade inicial. No entanto muitas aplicações foram desenvolvidas com base na teoria dos logaritmos. Entre elas, po- demos destacar o cálculo do nível de intensi- dade sonora, a escala Richter, para avaliar a intensidade de terremotos, e os cálculos de ph e poh na Química. O princípio dos logaritmos baseia-se no fato de algumas operações serem mais acessíveis do que outras. Desse modo, com a utilização dos logaritmos, podemos transformar multiplica- ções em somas, divisões em subtrações e potências em multiplicações. TEMA 13 LOGARITMO Definição Chamamos de logaritmo de a, na base b, ao número real c, com a > 0 e 0 ≤ b ≠ 1 , ou seja, logb a = c. Onde: a = logaritmando; b = base; c = logaritmo. Uma observação importante sobre o estudo dos logaritmos diz respeito ao seu domínio ou campo de existência. Só existem logaritmos de números positivos, com bases também positi- vas e diferentes de 1. Ou seja, para calcular o logb a = c é necessário que a > 0 e 0 ≤ b ≠ 1. Sendo assim, dizemos que logba = c ⇒ a = bc Exemplos 1. Determine log6 36 Resolução: Faça log6 36 = x ⇒ 6x = 36 ⇒ 62 = 6x ⇒ x = 2 2. O domínio da função f(x) = log3 (x − 5) é restrito pela sua condição de existência. A base 3 já é positiva e diferente de 1, deve- mos então ver a restrição imposta ao loga- ritmando, ou seja: x – 5 > 0 –> x > 5, assim: D = {x IR| x > 5} 3. Determine log2 4 Resolução: Faça log2 4 = x ⇒ 4 = 2x ⇒ 22 = 2x ⇒ x = 2 4. Determine log3 90 Resolução: Faça log3 9 = x ⇒ 9 = 3x ⇒ 32 = 3x ⇒ x = 2 Matemática Elementar III – Funções Logarítmicas 42 UEA – Licenciatura em Matemática 5) Calcular x na igualdade log5 (x –1) = log5 7 Resolução: CE: x –1 > 0 ⇒ x > 1 Como as bases são iguais, os logaritman- dos devem ser iguais; logo: log5 (x – 1) = log5 7 ⇒ x – 1 = 7 ⇒ x = 8 Resposta: x = 8 ALGUNS LOGARITMOS ESPECIAIS: 1. O logaritmo da unidade, em qualquer base, é nulo, ou seja, loga 1 = 0. 2. O logaritmo de um valor, na mesma base, é sempre igual a 1, ou seja, loga a = 1. 3. O logaritmo de uma potência, cuja base seja igual à base do logaritmo, será igual ao expoente da potência. loga an = n. 4. Se loga n = loga m ⇒ n = m. Esta pro- priedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo equações nas quais aparecem logaritmos (equações logarítmi- cas). 5. b elevado ao logaritmo m na base b é igual a m, ou seja, blogb m = m. TEMA 14 BASESESPECIAIS Entre as bases de logaritmos, duas destacam- se, tanto pela sua aplicabilidade prática quan- to pela sua importância no trato com logarit- mos. Estas duas bases são a base dez e a base e. Quando um logaritmo apresenta a base dez, dizemos que se trata de um logaritmo decimal. A base dez, por convenção, não precisa ser escrita. Exemplos: a) log10 8 = log 8. b) log10 5 = log 5. O número e, é conhecido como número de Euler e vale aproximadamente 2,718... Quando um logaritmo possui base e, ele é chamado de logaritmo neperiano, e represen- tado por ln. Desse modo: loge b = ln b. 43 TEMA 15 MUDANÇA DE BASE Em algumas situações, podemos encontrar no cálculo vários logaritmos em bases diferentes. Como as propriedades logarítmicas só valem para logaritmos numa mesma base, é neces- sário fazer, antes, a conversão dos logaritmos de bases diferentes para uma única base con- veniente. Essa conversão chama-se mudança de base. Para fazer a mudança de uma base a para uma outra base b,usa−se: onde a, b, x ∈IR*+ com a ≠ 1, b ≠ 1. Exemplo: Se log2 x = a e log2 z = b, com a ≠ 0, então o valor do logx z é? Resolução: Como log2 x = a e log2 z = b estão na base 2, vamos passar logx z para a base 2. Sendo assim, temos: TEMA 16 PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS Foi dito, no início deste texto, que os logarit- mos permitem transformar multiplicações em somas e subtrações em divisões, entre outras alterações que visam facilitar o trato dos números. Essas transformações são possíveis com a uti- lização das propriedades dos logaritmos, as quais veremos a seguir. 1. Logaritmo do produto: (a > 0, a ≠ 1, x > 0 e y>0) Loga (x . y) = loga x + loga y 2. Logaritmo do quociente: (a > 0, a ≠ 1, x > 0 e y > 0) 3. Logaritmo da potência: (a > 0, a ≠ 1, x > 0 e m ∈ IR) Loga xm = m . loga x Caso particular: Exemplos: 1. Calcular o valor de log3 (9 . 27) Resolução: Aplicando a propriedade do logaritmo do produto, temos: log3 (9 . 27) = log3 9 + log3 27 = log3 32+ log3 33 = 2 + 3 = 5 Resposta: 5. 2. Sendo log 2 = x e log 3 = y, calcular: a) log 24 b) log 72 Resolução: a) log 24 = log (23 . 3) = log 23 + log 3 = 3 log 2 + log 3 = 3x + y b) log 72 = log 9.8 = log 9 + log 8 = log 32 + log 23 = 2 log 3 + 3 . log 2 = 2y + 3x Respostas: a) 3x + y b) 2y + 3x Matemática Elementar III – Funções Logarítmicas 44 UEA – Licenciatura em Matemática 3. Sendo log 2 = 0,3 e log 3 = 0,4, calcular log2 6 Resolução: Como log 2 e log 3 estão na base 10, va- mos passar log2 6 para a base 10: Resposta: 4. Resolva o sistema: Resolução: Condições de existência: x > 0 e y > 0 Da primeira equação, temos: log x + log y = 7 ⇒ log y = 7 − log x Substituindo log y na segunda equação, temos: 3.log x − 2.(7 − log x) = 1 ⇒ 3.log x −14 + 2.log x = 1 ⇒ 5.log x = 15 ⇒ log x = 3 ⇒ x = 103 Substituindo x = 103 em log y = 7 − log x temos: log y = 7 − log 103 ⇒ log y = 7 − 3 ⇒ log y = 4 ⇒ y=104. Como essas raízes satisfazem as condições de existência, então o conjunto-solução é S ={(103; 104)}. Outra forma de resolução: log x = 3 ⇒ x = 103 substituindo log x = 3 e, log x + log y = 7, temos que 3 + log y = 7 ⇒ log y = 4 ⇒ y=104 TEMA 17 FUNÇÃO LOGARÍTMICA A função f:IR+ → IR definida por f(x)=logax, onde a ∈IR com a ≠ 1 e a > 0, é chamada função logarítmica de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR+ (reais positivos, maio- res que zero), e o contradomínio é IR (reais). Construindo Gráfico GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA Temos 2 casos a considerar: • quando a > 1; • quando 0 < a < 1. Caso 1: a > 1 ƒ é crescente, pois, para quaisquer x1, x2 com x1 < x2 ⇒ ƒ(x1) < ƒ(x2). Caso 2: 0 < a < 1 ƒ é decrescente, pois, para quaisquer x1, x2 com x1 < x2 ⇒ ƒ(x1) > ƒ(x2). 45 Exemplos: 1. Esboce o gráfico das funções abaixo: f(x) = log2 x f(x) = log1/2 x Nos dois exemplos, podemos observar que a) O gráfico nunca intercepta o eixo vertical. b) O gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1, 0); a raiz da função é x=1. c) y assume todos os valores reais, portanto o conjunto-imagem é Im(f)=IR. Além disso, podemos estabelecer o seguinte: a > 1 Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2 > x1 ⇒ y2 > y1 (as desigualdades têm o mesmo sentido). 0 < a< 1 Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2 > x1 ⇒ y2 < y1 (as desigualdades têm sentidos diferentes). Como conseqüência da definição de função lo- garítimica e da análise dos gráficos, podemos concluir que: • O gráfico da função logarítmica passa pelo ponto (1,0), ou seja f(1) = 0. • O gráfico nunca toca o eixo y e não ocupa pontos dos quadrantes II e III. • Quando a > 1, a função logarítmica é cres- cente. • Quando 0 < a < 1, a função logarítmica é decrescente. • Se a > 1, os números reais maiores que 1 têm logaritmo positivo, e os números reais comprieendidos entre 0 e 1 têm logaritmo negativo. • Se 0 < a < 1, os números reais maiores que 1 têm logaritmo negativo, e os números reais compreendidos entre 0 e 1 têm loga- ritmo positivo. • A função logarítmica é injetiva e sobrejetiva; sendo assim, temos que ela é bijetiva. Relação importante entre a função exponencial e a função logarítmica Seja f:IR → IR+ definida por f(x) = ax, onde a∈IR com a1 e a > 0, a função exponencial de base a e seja g:IR+ → IR definida por g(x) = logax, onde a∈IR com a1 e a > 0, a função logarítmica de base a. Sendo o contra-domínio da função exponen- cial igual ao domínio da função logarítmica, então a função composta g o f = idIR. Matemática Elementar III – Funções Logarítmicas De fato temos que (g o f)(x) = g(f(x)) = g(ax) = loga ax = x Portanto g o f = idIR. Sendo o contradomínio da função logarítmica igual ao domínio da função exponencial, então a função composta f o g = idIR+. De fato, temos que (f o g)(x) = f(g(x)) = f(loga x) = aloga x = x Portanto f o g = idIR+. Donde se conclui que a função exponencial é a função inversa da função logarítmica, e vice- versa. LOGARITMOS – INTRODUÇÃO 1. (MACK–SP) Se log3 1/27 = x, então o valor de x é: a) −9; b) −3; c) −1/3; d) 1/3; e) 3. 2. (UDESCO–SC) Na base decimal, log 1000, log 10 e log 0,01 valem respectivamente: a) 2, 1 e −3 b) 1, 0 e −2 c) 3, 1 e −2 d) 4, −2 e −3 e) 3, 0 e −2 3. (UFPA) A expressão mais simples para alogax é: a) a b) x (x > 0) c) logax d) logxa e) ax 4. (CESGRANRIO–RJ) Se log (2x − 5) = 0, então x vale: a) 5; b) 4; c) 3; d) 7/3; e) 5/2. 5. (FV–RJ) O valor de log9 27 é igual a: a) 2/3; b) 3/2; c) 2; d) 3. e) 4. 6. (PUC–SP) Se , então x + y é igual a: a) 5/3;; b) 10/9; c) 8/9; d) 2/3; e) 5/9. 7. (UPF–RS) O valor numérico real da expressão é: a) −5; b) 4; c) 5; d) 8; e) impossível. 8. (ULBRA) Se log16 N = −1/2, o valor de 4N é: a) 1; b) 4; c) 1/4; d) 16; e) 1/16. 9. (FEMPAR–PR) Se 2x − y = 1 e x − 3y = −7, log4 (xy+8y) é igual a: a) 0,5; b) 2,5; c) 2,0; d) 1,5; e) 1,0. 10. (UNESP–SP) Em que base o logaritmo de um número natural n, n > 1 coincide com o pró- prio número n? a) nn b) 1/n c) n2 d) n e) n1/n 11. (UFSM–RS) Seja K a solução da equação log4 ( log2 x ) = −1. O valor de k4 é: a) 1/8; b) 1/2; c) 1; d) 4; e) 2. 46 UEA – Licenciatura em Matemática 47 12. (UEBA) O número real x, tal que logx (9/4) = 1/2 é: a) 81/16; b) −3/2; c) 1/2; d) 3/2; e) −81/16. 13. (UFMG) Seja loga 8 = − 3/4, a > 0. O valor da base a é: a) 1/16 b) 1/8 c) 2 d) 10 e) 16 14. (PUC−PR) O logaritmo de na base 1/625 é igual a: a) 7; b) 5; c) 1/7; d) −1/28; e) n.d.a. 15. (UERJ) O valor de 4log29 é: a) 81; b) 64; c) 48; d) 36; e) 9. 16. (PUC−SP) Se x +y = 20 e x − y = 5, então log (x2 − y2) é igual a: a) 100; b) 2; c) 25; d) 12,5; e) 15. 17. (UEPG−PR) A solução da equação log2 0,5 + log2 x − log2 = 2 está contida no intervalo: a) [10, 12]; b) [5, 7]; c) [2, 4]; d) [0, 1]; e) [8, 9]. 18. (UFRN) Se a equação x2 + 8x + 2 log a = 0 possui duas raízes reais e iguais, então, a é igual a: a) 10 b) 102 c) 104 d) 106 e) 108 19. (UECE) Se , então 5k + 5−k é igual a: a) 6; b) 8; c) 12; d) 16; e) 18. 20. (FATEC–SP) Se x, y IR são tais que e logy−1 4 = 2, então x + y é: a) 0; b) −1; c) −2; d) 1 ou −4; e) −6 ou –2. LOGARITMOS − PROPRIEDADES 1. (UEPG−PR) Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, então log 60 vale: a) 1,77; b) 1,41; c) 1,041; d) 2,141; e) 0,141. 2. (FURG−RS) Sendo log x = a e log y = b, então log é igual a: a) a + b/2 b) b/2a c) − a d) e) /a 3. (UFRJ) Considerando que log 2 = 0,3010300, log 125 é: a) 376,29000; b) 188,15000; c) 1,9030900; d) 2,9818000; e) 3,0969100. 4. (UFPR) Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual será o valor de log 28? a) 1,146; b) 1,447; c) 1,690; d) 2,107; e) 1,107. Matemática Elementar III – Funções Logarítmicas 48 UEA – Licenciatura em Matemática 5. (PUC−SP) Se log 2 = 0,3010, então log 5 é igual a: a) 0,6990; b) 0,6880; c) 0,6500; d) 0,6770; e) 0,6440. 6. (FUVEST−SP) Se log2 b − log2 a = 5, então o quociente b/a vale: a) 10 b) 25 c) 32 d) 64 e) 128 7. (FURG–RS) Qual é o valor de m na expressão , sendo log a = 2,16172, log b = 0,15172 e log t = 0,10448. a) m = 100; b) m = 10; c) m = −20; d) m = − 10; e) m = 1000. 8. (FAAP−SP) Sabendo-se que log2 y = log2 3 + log2 6 − 3log2 4, o valor de y real é: a) −3; b) 9/8; c) 3/2; d) 9/32; e) 9/16. 9. (ACAFE−SC) Dado o sistema temos x + y igual a: a) −2; b) 1; c) 2; d) 3; e) 4. 10. (UM–SP) Sendo log3 ( −2) = a, então o valor de log3 ( + 2 ) é igual a: a) 2 − a; b) 2 + a; c) 1 − a; d) 1 + a; e) 3 − a. 11. (FUVEST–SP) Sendo loga 2 = 0,69 e loga 3 = 1,10, o valor de loga é: a) 0,62; b) 0,31; c) −0,48; d) 0,15; e) 0,14. 12. (FCMSC–SP) Usando a tabela, o valor de log 75 é: a) 1,147; b) 1,3011; c) 1,5564; d) 1,6818; e) 1,8752. 13. (PUC–SP) Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, então log é igual a: a) 0,12; b) 0,22; c) 0,32; d) 0,42; e) 0,52. 14. (UFCE) Utilizando-se a tabela abaixo, conclui- se que o valor de log é: a) 0,3 b) 1,26 c) 1,58 d) 1,99 e) 2,51 15. (UFBA) Sendo log 2 = 0,301 e x = 53. , então o valor de log x é: a) 2,997; b) 3,898; c) 3,633; d) 4,398; e) 5,097. 16. (PUCCAMP–SP) Se log 5 = 3n, log 3 = m e , então x vale: a) m + n b) c) d) e) 3n + m N log N 1,26 0,1 1,58 0,2 1,99 0,3 2,51 0,4 3,16 0,5 x log x 2 0,3010 6 0,7782 49 Matemática Elementar III – Funções Logarítmicas 17. (UFRS) O valor de log (217,2) − log (21,72) é: a) −1; b) 0; c) log(217,2 − 21,72); d) . 18. (FMU-SP) O valor de 3 . log 3 + log 5 é: a) log 30; b) log 135; c) log 14; d) log 24; e) log 45. 19. (UEL–PR) Dado log 4 = 0, 602, o valor de log 325 é: a) 15,050; b) 13,725; c) 11,050; d) 9,675; e) 7,525. 20. (FCC–SP) Se log 5 = 0,70, o valor de log 250 é: a) 2,40; b) 2,70; c) 2,80; d) 3,40; e) 3,80 X. 21. (FATEC–SP) Se log 2 = r e log 3 = s, então log (23 . 34 . 52) é igual a: a) r − 2s b) r3 + s4 c) 3r + 4s − 2 d) 2 + r + 4s e) r3 + s4 + 2 (r + s) 22. (PUC–SP) Se log 2 = x e log 3 = y, então log 375 é: a) y + 3x b) y + 5x c) y − x + 3 d) y − 3x + 3 e) 3(y + x) 23. (UEL–PR) Dados os números reais x e y tais que log x − log y = 4, é verdade que: a) x = 104 . y b) x = 4y c) x = d) x2 = y e) x = 104 + y 24. (UEPG–PR) A expressão log1/381 + log 0,001 + log vale: a) −4/3; b) 4/3; c) −20/3; d) −21/3; e) −19/3. 25. (PUC–BA) A expressão log 2/3 + log 3/4 + log 4/5 − log 14/55 é equivalente a: a) log 77; b) log 18; c) log 7; d) log 4; e) log (11/7). LOGARITMOS – EQUAÇÕES 1. (CESGRANRIO–RJ) Se log (2x − 5) = 0, então x vale: a) 5; b) 4; c) 3; d) 7/3; e) 5/2. 2. (FGV–SP) A equação logx (2x +3) = 2 apre- senta o seguinte conjunto-solução: a) {−1, 3}; b) {−1}; c) {3}; d) {1, 3}; e) n.d.a. 3. (UEL–PR) É correto afirmar que no universo IR o conjunto solução da equação log3 (−x2 −10x) = 2: a) é ∅; b) é unitário; c) tem dois elementos irracionais; d) tem dois elementos inteiros; e) tem dois elementos racionais e não inteiros. 4. (ESAL–MG) O valor de x tal que log648 = x é: a) 2; b) 3; c) 2/3; d) 1/2; e) 3/2. 5. (PUC–SP) Quanto à solução da equação (logx)2 − 3. log x + 2 = 0, é verdade que: a) só uma delas é real; b) a maior delas é 1000; c) a menor delas é 100; d) a menor delas é 10; e) a maior delas é 1. 6. (UEPG–PR) Sendo (log2 x)2 − 3 log2 x − 4 = 0, então o produto entre as raízes da equação vale: a) −8; b) 16; c) −1/4; d) 4; e) 8. 7. (CONSART–SP) A solução da equação log8x + log8 (3x−2) = 1 é dada por: a) −4/3; b) 1/2; c) −2; d) 2; e) n.d.a. 8. (PUC–SP) O conjunto verdade da equação 2. log x = log 4 + log (x + 3) é: a) {−2, 6}; b) {−2}; c) {2, −6}; d) ∅; e) {6}. 9. (CEFET–PR) A soma das raízes da equação log2x − logx4 = 0 é: a) 1000; b) 1001; c) 101; d) 10001; e) 11. 10. (UFSC) Indica-se por log x o logaritmo decimal do número x. Se 4 + log x = 4 . log 4, então x é igual a: a) 16; b) 2,56; c) 0,4; d) 0,256; e) 0,0256. 11. (UNIMEP–SP) O logaritmo na base 2, do nú- mero x2 − x é igual a 1. O valor de x que satis- faz a sentença é: a) 2 ou −1; b) −1 ou 0; c) 1; d) 0; e) 3. 12. (PUC–SP) Aumentando um número x de 16 unidades, seu logaritmo na base 3 aumenta de 2 unidades. Então x é: a) 2; b) 1; c) 3; d) 4; e) 5. 13. (UEBA) No universo IR, a solução da equação log2 x + log2 (x +1) = 1 é um número: a) ímpar; b) entre 0 e 1; c) maior que 3; d) múltiplo de 3; e) divisível por 5. 14. (UECE) O conjunto solução da equação log2 4x − log4 2 = 0 é: a) { /4}; b) { /2}; c) { }; d) {2 }; e) n.d.a. 15. (CEFET–PR) Se então b2 é igual a: a) 1; b) 4; c) 8; d) 3; e) 9. 16. (UEPG–PR) Se log2 x + log8 x = 1, então x vale: a) ; b) ; c) ; d) ; e) n.d.a. 17. (MACK–SP) Se loga (a2 . x) = 1, a > 0, a 1, então o valor de x é: a) a b) 1/a c) a2 d) 1/a2 e) 50 UEA – Licenciatura em Matemática 51 18. (FGV–SP) A solução da equação é: a) x= log2 (12/5) b) x = log2 (5/12) c) x = log5/12 2 d) x = log12/5 2 e) x = log12 5 19. (CEFETR–PR) Se log2 x − log4 x = −1/2, então xx é igual a: a) 1/4; b) 4; c) ; d) 1/2; e) . 20. (PUC–PR) A solução da equação , em módulo, é: a) 2; b) −2; c) 4; d) 0; e) 6. 21. (FUVEST−SP) O conjunto solução da equação x . (log5 3x + log5 21) + log5 (3/7)x = 0 é: a) ∅; b) {0}; b) {1}; d) {0, 2}; e) {0, −2}. LOGARITMOS – INEQUAÇÕES 1. (PUC–MG) A desigualdade log2 (5x − 3) < log27 é verdadeira para: a) x > 0; b) x > 2; c) x < 3/5; d) 3/5 < x < 2; e) 0 < x < 3/5. 2. (UFPA) Qual o valor de x na inequação log1/2 x > log1/2 2? a) x > 1/2; b) x < 1/2; c) x > 2; d) x < 2 e x > 0; e) x = 2. 3. (PUC–RS) Se log1/3 (5x − 2) > 0, então x per- tence ao intervalo: a) (0, 1); b) (0, 1); c) (2/5, 3/5); d) (2/5, ∞); e) (4, 3/5). 4. (FGV–SP) A solução da inequação log1/3(x2 − 9) > 0 é: a) x < − 3 ou x > 3; b) −2 < x < 2; c) −2 < x < 2; d) −2 < x < −1 ou 0< x < 2; e) x < −2 ou x > 2. 5. (UECE) O domínio da função real log2x x é: a) x < −1 ou x > 1; b) 0 < x ≠ 1; c) 1 < x; d) −3x < −1; e) n.d.a. 6. (VUNESP–SP) O par ordenado de números reais que não corresponde a um ponto do grá- fico de y = log x é: a) (9, 2 log
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