Provas e testes anteriores de Algebra linear

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A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es
Notas de Aula
Petronio Pulino

1 3 4
3 1 0
4 0 1
 = Q

−4
1
6
Qt
QtQ =
 1 1
1

sqPULINUS
A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es
Notas de Aula
Petronio Pulino
Departamento de Matema´tica Aplicada
Instituto de Matema´tica, Estat´ıstica e Computac¸a˜o Cient´ıfica
Universidade Estadual de Campinas
E–mail: pulino@ime.unicamp.br
www.ime.unicamp.br/∼pulino/ALESA/
Janeiro de 2012
Conteu´do
A Provas e Avaliac¸o˜es 1
A.1 Segundo Semestre de 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
A.1.1 Primeiro Teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
A.1.2 Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
A.1.3 Segundo Teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
A.1.4 Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
A.1.5 Segunda Chamada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
A.1.6 Exame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
A.2 Segundo Semestre de 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
A.2.1 Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
A.2.2 Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
A.2.3 Terceira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
A.2.4 Segunda Chamada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
A.2.5 Exame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
A.3 Primeiro Semestre de 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
A.3.1 Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
A.3.2 Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
A.3.3 Terceira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
A.3.4 Segunda Chamada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
A.3.5 Exame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
A.4 Segundo Semestre de 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
A.4.1 Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
A.4.2 Primeira Prova (Substitutiva) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
A.4.3 Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
A.4.4 Terceira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
A.4.5 Segunda Chamada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
A.4.6 Exame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
i
ii CONTEU´DO
A.5 Segundo Semestre de 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
A.5.1 Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
A.5.2 Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
A.5.3 Terceira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
A.5.4 Segunda Chamada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
A.5.5 Exame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
A.6 Segundo Semestre de 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
A.6.1 Primeiro Teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
A.6.2 Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
A.6.3 Segundo Teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
A.6.4 Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
A.6.5 Exame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
A.7 Segundo Semestre de 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
A.7.1 Primeiro Teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
A.7.2 Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
A.7.3 Segundo Teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
A.7.4 Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
A.7.5 Exame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
B Gabarito das Avaliac¸o˜es 61
B.1 Segundo Semestre de 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
B.1.1 Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
B.1.2 Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
B.1.3 Terceira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
B.1.4 Segunda Chamada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
B.1.5 Exame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
B.2 Primeiro Semestre de 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
B.2.1 Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
B.2.2 Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
B.2.3 Terceira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
B.2.4 Segunda Chamada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
B.2.5 Exame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
c©Petronio Pulino, 2011 DMA – IMECC – UNICAMP
A
Provas e Avaliac¸o˜es
Conteu´do
A.1 Segundo Semestre de 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
A.2 Segundo Semestre de 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
A.3 Primeiro Semestre de 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
A.4 Segundo Semestre de 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
A.5 Segundo Semestre de 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
A.6 Segundo Semestre de 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
A.7 Segundo Semestre de 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1
2 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
A.1 Segundo Semestre de 2008
A.1.1 Primeiro Teste
No Teste temos quatro questo˜es enumeradas, 0, 1, 2 e 3. O aluno deve fazer
uma questa˜o cujo nu´mero e´ o resto da divisa˜o por 4 da soma dos algarismos
de seu RA. Exemplo: RA 0314468, 0+3+1+4+4+6+8 = 26. Como o resto
da divisa˜o de 26 por 4 e´ 2, o aluno com esse RA deve fazer a Questa˜o 2.
Problema:
(1) Mostre que o subconjunto W ⊂ IR4 e´ um subespac¸o vetorial de IR4.
(2) Verifique se os elementos v1, v2, v3, v4 sa˜o linearmente dependentes em IR
4.
(3) Encontre um sistema de geradores para cada um dos subespac¸os U ∩W e U +W .
Questa˜o 0. W = { (x, y, z, t) ∈ IR4 / 2x − y + 3z + 4t = 0 }
v1 = (1, 2, 0, 0) , v2 = (−5,−3, 1, 1) , v3 = (0, 7, 1, 1) e v4 = (1, 0, 1, 0)
U = [(0, 3, 1, 0), (1, 0, 1, 0), (−4, 6, 2, 2)]
Questa˜o 1. W = { (x, y, z, t) ∈ IR4 / 3x + y − z + 6t = 0 }
v1 = (1, 1, 10, 1) , v2 = (0, 2,−4,−1) , v3 = (2, 12, 0,−3) e v4 = (1, 1, 0, 1)
U = [(1, 1, 4, 0), (1, 1, 0, 1), (2, 3, 3,−1)]
Questa˜o 2. W = { (x, y, z, t) ∈ IR4 / 2x + 2y + z − t = 0 }
v1 = (1, 1, 0, 4) , v2 = (0, 1, 1, 3) , v3 = (3,−1,−4, 0) e v4 = (1, 0, 1, 1)
U = [(2,−2, 3, 3), (1, 0, 1, 1), (1, 2,−2, 4)]
Questa˜o 3. W = { (x, y, z, t) ∈ IR4 / x − 3y − 2z − t = 0 }
v1 = (1, 1,−1, 0) , v2 = (6, 1, 1, 1) , v3 = (5, 0, 2, 1) e v4 = (0, 1, 0, 1)
U = [(−4, 0,−3, 2), (0, 1, 0, 1), (12, 3, 1, 1)]
Petronio Pulino 3
A.1.2 Primeira Prova
Questa˜o 1. (2.5 Pontos)
Considere o subconjunto U do espac¸o vetorial real P3(IR) definido da forma:
U = { p(x) ∈ P3(IR) / p(−1) + p′(−1) = 0 e p(1) = 0 } .
onde p′ indica a derivada de p. Verifique se o subconjunto U e´ um subespac¸o vetorial
de P3(IR). Em caso afirmativo, determine uma base para o subespac¸o U .
Questa˜o 2. (2.0 Pontos)
Considere o subespac¸o W do espac¸o vetorial real IR4 gerado pelos elementos do conjunto
S definido por:
S = { (1, 0, 1, 2), (2, 1, 1, 2), (1,−1,2, 4) } .
Determine um subespac¸o U de IR4 de modo que IR4 = W ⊕ U .
Questa˜o 3. (2.5 Pontos)
Sejam V um espac¸o vetorial real e γ = { v1 , v2 , v3 } uma base ordenada de V .
(a) Mostre que β = { v1 + v3 , v2 + v3 , v1 + v2 + v3 } e´ uma base de V .
(b) Se o elemento v ∈ V tem como matriz de coordenadas [v]γ dada por:
[v]γ =
31
2
 ,
determine a matriz de coordenadas do elemento v em relac¸a˜o a` base ordenada β.
Questa˜o 4. (3.0 Pontos)
Considere a transformac¸a˜o linear T : IR3 −→ P3(IR) definida por:
T (1, 0, 1) = 2 + x2 + x3 , T (0, 1, 0) = 1 + x2 e T (0, 0, 1) = x2 − x3 .
(a) Calcule T (a, b, c) para a transformac¸a˜o linear T .
(b) Determine uma base para o subespac¸o Im(T ).
(c) A transformac¸a˜o linear T e´ injetora ?
4 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
A.1.3 Segundo Teste
No Teste temos quatro questo˜es enumeradas, 0, 1, 2 e 3. O aluno deve fazer
uma questa˜o cujo nu´mero e´ o resto da divisa˜o por 4 do u´ltimo algarismo de
seu RA. Exemplo: RA 0314468, que tem 8 como u´ltimo algarismo. Como
o resto da divisa˜o de 8 por 4 e´ 0, o aluno com esse RA deve fazer a Questa˜o 0.
Questa˜o 0. Considere a transformac¸a˜o linear T : IR2 −→ P1(IR) tal que
[T ]βγ =
[
1 1
0 1
]
,
onde β = { (0, 1) , (1, 1) } e´ a base ordenada para IR2 e γ = { 1 + t , t− 1 } e´ a base
ordenada para P1(IR).
(a) Determine o elemento (a, b) ∈ IR2 de modo que T (a, b) = 1 + t.
(b) Determine explicitamente a expressa˜o de T (a, b).
(c) Verifique se T e´ um isomorfismo de IR2 em P1(IR). Em caso afirmativo, determine
o isomorfismo inverso T−1 : P1(IR) −→ IR2.
Questa˜o 1. Considere a transformac¸a˜o linear T : IR2 −→ P1(IR) tal que
[T ]βγ =
[
1 1
0 −1
]
,
onde β = { (1, 1) , (0, 1) } e´ a base ordenada para IR2 e γ = { 1 , t − 1 } e´ a base
ordenada para P1(IR).
(a) Determine o elemento (a, b) ∈ IR2 de modo que T (a, b) = t− 1.
(b) Determine explicitamente a expressa˜o de T (a, b).
(c) Verifique se T e´ um isomorfismo de IR2 em P1(IR). Em caso afirmativo, determine
o isomorfismo inverso T−1 : P1(IR) −→ IR2.
Petronio Pulino 5
Questa˜o 2. Considere a transformac¸a˜o linear T : IR2 −→ P1(IR) tal que
[T ]βγ =
[
1 0
−1 1
]
,
onde β = { (1,−1) , (1, 1) } e´ a base ordenada para IR2 e γ = { 2t − 1 , 1 + t } e´ a
base ordenada para P1(IR).
(a) Determine o elemento (a, b) ∈ IR2 de modo que T (a, b) = 1 + t.
(b) Determine explicitamente a expressa˜o de T (a, b).
(c) Verifique se T e´ um isomorfismo de IR2 em P1(IR). Em caso afirmativo, determine
o isomorfismo inverso T−1 : P1(IR) −→ IR2.
Questa˜o 3. Considere a transformac¸a˜o linear T : IR2 −→ P1(IR) tal que
[T ]βγ =
[
1 1
0 −1
]
,
onde β = { (−1,−1) , (0, 1) } e´ a base ordenada para IR2 e γ = { t , 2t− 1 } e´ a base
ordenada para P1(IR).
(a) Determine o elemento (a, b) ∈ IR2 de modo que T (a, b) = t.
(b) Determine explicitamente a expressa˜o de T (a, b).
(c) Verifique se T e´ um isomorfismo de IR2 em P1(IR). Em caso afirmativo, determine
o isomorfismo inverso T−1 : P1(IR) −→ IR2.
6 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
A.1.4 Segunda Prova
Questa˜o 1. (3.0 Pontos)
Considere a transformac¸a˜o linear T : IR4 −→ IR3 definida por:
T (x, y, z, t) = (x − 2y + t , 2x + y − z , 5y − z − 2t) .
(a) Determine uma base para o subespac¸o Ker(T ).
(b) Determine uma base para o subespac¸o Im(T ).
(c) Determine uma base γ para o espac¸o vetorial IR4 contendo uma base de Ker(T ).
(d) Determine a matriz [T ]γβ , onde β e´ a base ordenada de IR
3 dada por:
β = { (1, 0, 0) , (1, 1, 0) , (0, 1, 1) } .
Questa˜o 2. (2.0 Pontos)
Considere T : IR2 −→ P1(IR) a transformac¸a˜o linear tal que
T (1, 1) = 1 − x e T (1,−1) = 1 + 3x .
Mostre que T e´ um isomorfismo de IR2 em P1(IR). Determine explicitamente a
expressa˜o do isomorfismo inverso T−1(a0 + a1x).
Questa˜o 3. (2.5 Pontos)
Considere o espac¸o vetorial real IR3 munido com o seguinte produto interno
〈u , v 〉 = 2x1x2 + y1y2 + 4z1z2 ,
onde u = (x1 , y1 , z1) e v = (x2 , y2 , z2). Dados os elementos
w1 = (1, 0, 1) e w2 = (1, 1, 1) ,
determine dois elementos v1, v2 ∈ IR3 de modo que
w2 = v1 + v2 ,
com { v1 , w1 } um conjunto linearmente dependente e { v2 , w1 } um conjunto ortogonal
com relac¸a˜o ao produto interno definido acima.
Petronio Pulino 7
Questa˜o 4. (2.5 Pontos)
Considere o seguinte subespac¸o vetorial W do espac¸o vetorial real IR4 dado por:
W = { (x, y, z, t) ∈ IR4 / z + t = 0 e x − y = 0 } .
Utilizando o Processo de Ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt, determine uma base
ortogonal para o espac¸o vetorial real IR4 contendo uma base ortogonal do subespac¸o W ,
com relac¸a˜o ao produto interno canoˆnico de IR4.
8 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
A.1.5 Segunda Chamada
Questa˜o 1. (4.0 Pontos)
Considere o espac¸o vetorial real P2(IR) e o subconjunto U definido por:
U =
{
p(x) ∈ P2(IR) /
∫ 1
−1
p(x)dx + 2 p′(0) = 0IR
}
.
(a) Mostre que o subconjunto U e´ um subespac¸o vetorial de P2(IR).
(b) Determine uma base para o subespac¸o U .
(c) Determine um subespac¸o W de P2(IR) de modo que P2(IR) = U ⊕W .
(d) Dado o polinoˆmio p(x) = 2 − x, determine um polinoˆmio q(x) ∈ U e um
polinoˆmio r(x) ∈ W de modo que p(x) = q(x) + r(x).
Questa˜o 2. (3.0 Pontos)
Seja T : IR2 −→ IR3 a transformac¸a˜o linear tal que
T (1, 2) = (1, 0, 1) e T (2, 1) = (1, 1, 0) .
(a) Mostre que T e´ uma transformac¸a˜o linear injetora.
(b) Determine a matriz [T ]βγ , onde β = { (1, 2) , (2, 1) } e´ a base ordenada de IR2 e
γ e´ a base canoˆnica de IR3.
(c) Exiba uma transformac¸a˜o linear P : IR3 −→ IR2 tal que Ker(P ) = Im(T ).
Questa˜o 3. (3.0 Pontos)
(a) Mostre que a aplicac¸a˜o 〈 · , · 〉 : P2(IR)× P2(IR) −→ IR dada por:
〈 p , q 〉 = p(−1)q(−1) + p(0)q(0) + p(1)q(1)
define um produto interno no espac¸o vetorial real P2(IR).
(b) Determine uma base para o complemento ortogonal do subespac¸o U = [1 + x] em
P2(IR) com relac¸a˜o ao produto interno 〈 · , · 〉 definido acima.
(c) Utilizando o Processo de Ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt, determine uma
base ortogonal para o espac¸o vetorial real P2(IR) com relac¸a˜o ao produto interno
〈 · , · 〉 definido acima.
Petronio Pulino 9
A.1.6 Exame
Questa˜o 1. (2.5 Pontos)
Considere o subconjunto U do espac¸o vetorial real IMn(IR) dado por:
U = { A ∈ IMn(IR) / At = A e tr(A) = 0 } .
(a) Mostre que U e´ um subespac¸o vetorial de IMn(IR).
(b) Considerando o espac¸o vetorial IM3(IR), exiba uma base para o subespac¸o U .
Questa˜o 2. (2.5 Pontos)
Considere os subespac¸os W1 e W2 do espac¸o vetorial real IR
3 dados por:
W1 = { (x, y, z) / 3x − 2y + z = 0 } e W2 = { (x, y, z) / 2x + y − 4z = 0}.
(a) Determine a dimensa˜o dos subespac¸os W1 + W2 e W1 ∩ W2.
(b) Encontre uma base de IR3 que contenha uma base do subespac¸o W1 e tambe´m
uma base do subespac¸o W2.
Questa˜o 3. (2.5 Pontos)
Considere o operador linear T : P1(IR) −→ P1(IR) dado por:
T (p(x)) = p′(x) + (x + 1)p(1) .
Sejam β = { 1, 7− 4x } e γ = { q(x), 2x− 1 } bases para P1(IR) tais que
[T ]βγ =
 3 s
−1 1
 .
(a) Determine o polinoˆmio q(x) e o paraˆmetro s ∈ IR.
(b) T e´ um automorfismo? Em caso afirmativo, determine o automorfismo inverso.
Questa˜o 4. (2.5 Pontos)
Seja W o subespac¸o de IR4 dado por:
W = { (x, y, z, t) ∈ IR4 / x + y = 0 e 2x − y + z = 0 } .
Determine uma base ortogonal para cada um dos subespac¸os W e W⊥, com relac¸a˜o ao
produto interno usual de IR4.
10 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
A.2 Segundo Semestre de 2006
A.2.1 Primeira Prova
Questa˜o 1. (2.5 Pontos)
Considere o espac¸o vetorial real IR2 e os seguinte subespac¸os
U =
{
(x, y) ∈ IR2 / y = 3x } e W = { (x, y) ∈ IR2 / y = −2x } .
Verifique se o seguinte subconjunto
U ∪ W = { (x, y) ∈ IR2 / (x,y) ∈ U ou (x, y) ∈ W }
e´ um subespac¸o vetorial de IR2.
Questa˜o 2. (2.5 Pontos)
Sejam V um espac¸o vetorial sobre o corpo IF e u, v, w elementos distintos de V .
Prove que o conjunto {u, v, w } e´ linearmente independente em V se, e somente se, o
conjunto {u + v, u + w, v + w } e´ linearmente independente em V .
Questa˜o 3. (2.5 Pontos)
Considere o espac¸o vetorial real IM2(IR) e os seguintes subespac¸os
U =
{ [
a b
c a
]
; a , b , c ∈ IR
}
e W =
{ [
0 a
−a b
]
; a , b ∈ IR
}
.
(a) Determine uma base para cada um dos seguintes subespac¸os:
U , W , U ∩ W e U + W .
(b) IM2(IR) = U ⊕ W ? Justifique sua resposta.
Questa˜o 4. (2.5 Pontos)
Considere o espac¸o vetorial IR2. A matriz de mudanc¸a da base ordenada γ = {u1, u2 } ,
onde u1 = (1, 1) e u2 = (−2, 2), para a base ordenada α = { v1, v2 } e´ dada por:
[I]γα =
[
1 0
4 −2
]
.
(a) Determine a base ordenada α.
(b) Determine o elemento u ∈ IR2 tal que [u]α =
[
1
2
]
.
Petronio Pulino 11
A.2.2 Segunda Prova
Questa˜o 1. (3.0 Pontos)
Determine explicitamente a expressa˜o de uma transformac¸a˜o linear T : P2(IR) −→ IR3
satisfazendo simultaneamente as seguintes condic¸o˜es:
(a) O elemento p(x) = ( 1 + x ) ∈ Ker(T ).
(b) O elemento q(x) = x 6∈ Ker(T ).
(c) Im(T ) = [(1, 1, 1)].
Questa˜o 2. (3.0 Pontos)
Sejam T um operador linear sobre IR4, γ = { v1, v2, v3, v4 } uma base ordenada para
o espac¸o vetorial real IR4 e o subespac¸o S = [v1, v2, v3]. Pede–se:
(a) Sabendo que T (v) = v para todo v ∈ S e T (v4) = v1 + v3 , determine [T ]γγ .
(b) Sabendo que
[I]βγ =

0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
1 0 0 0
 ,
onde β = { e1, e2, e3, e4 } e´ a base canoˆnica de IR4, determine [T (e1)]γ .
Questa˜o 3. (3.0 Pontos)
Considere o operador linear T sobre P2(IR) , definido por: T (p(x)) = p′(x) + p(x) , e a
transformac¸a˜o linear P : P2(IR) −→ IR3 definida por: P (a+bx+cx2) = (a+b, c, a−b).
(a) Determine a transformac¸a˜o linear P ◦ T : P2(IR) −→ IR3.
(b) Determine a matriz [P ◦ T ]βγ , onde β e´ a base canoˆnica de P2(IR) e γ e´ a base
canoˆnica de IR3.
(c) Verifique se P e´ um isomorfismo de P2(IR) em IR3. Em caso afirmativo,
determine o isomorfismo inverso P−1 : IR3 −→ P2(IR).
12 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
Questa˜o 4. (2.0 Pontos)
Sejam V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita, com dim(V ) = n, e T um operador
linear sobre V tal que Im(T ) = Ker(T ). Pede–se:
(a) Mostre que n e´ par.
(b) Considerando V = IR4, determine um operador linear T sobre V com essas
propriedades.
Petronio Pulino 13
A.2.3 Terceira Prova
Questa˜o 1. (2.0 Pontos)
Sejam V um espac¸o vetorial sobre o corpo IF , T um operador linear sobre V , λ ∈ IF
e Eλ o subconjunto de V definido por:
Eλ = { v ∈ V / T (v) = λv } .
Prove que T (Eλ) ⊂ Eλ .
Questa˜o 2. (3.0 Pontos)
Sejam V um espac¸o vetorial de dimensa˜o n sobre o corpo IF e T um operador linear
sobre V . Pede–se:
(a) Se v ∈ V e´ um autovetor de T , quantos autovalores associados a v podem
existir, no ma´ximo? Justifique sua resposta.
(b) Se λ = 0 e´ um autovalor de T , podemos afirmar que T na˜o e´ um operador
injetor? A rec´ıproca e´ verdadeira? Justifique suas respostas.
(c) Se o operador linear T possui somente dois autovalores distintos λ1 e λ2 com
dim(Vλ1) = n − 1, prove que T e´ um operador diagonaliza´vel.
Questa˜o 3. (3.0 Pontos)
Seja T : IR2 −→ IR2 um operador linear definido por T (x, y) = (5x− 6y , x). Pede–se:
(a) Calcule os autovalores e os autovetores do operador T .
(b) Exiba uma base para cada um dos autoespac¸os do operador T .
(c) Utilizando o resultado do item (a), calcule os valores de a, b, c, d ∈ IR, tais que
T 8(x, y) = (ax+ by , cx+ dy) ,
onde T n : IR2 −→ IR2 e´ o operador linear definido por:
T 0 = I e T n = T n−1 ◦ T para todo natural n ≥ 1 .
14 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
Questa˜o 4. (3.0 Pontos)
Determine explicitamente a expressa˜o do operador linear T sobre IR4, diagonaliza´vel,
satisfazendo simultaneamente as seguintes condic¸o˜es:
(a) Ker(T ) = { (x, y, z, t) ∈ IR4 / x+ y − z + t = 0 e z − t = 0 }.
(b) T (0, 0, 1, 0) = (0, 0, 2, 0).
(c) (0, 1, 0, 0) ∈ Im(T ).
(d) λ = −3 e´ um autovalor do operador T .
Petronio Pulino 15
A.2.4 Segunda Chamada
Questa˜o 1. (2.5 Pontos)
Diga se e´ Falsa ou Verdadeira cada uma das afirmac¸o˜es abaixo, justificando sua resposta.
(a) Existe uma transformac¸a˜o linear T : IR4 −→ IR3 que e´ injetora.
(b) Existe uma transformac¸a˜o linear T : IR4 −→ P2(IR) que e´ sobrejetora.
(c) Subconjuntos de um conjunto linearmente dependente sa˜o linearmente dependentes.
(d) Os espac¸os vetoriais P4(IR) e IM2(IR) sa˜o isomorfos.
(e) Sejam V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita com dim(V ) = n, U e W
subespac¸os de V com dim(U) >
n
2
e dim(W ) >
n
2
. Enta˜o, U ∩W = { 0V } .
Questa˜o 2. (2.5 Pontos)
Considere o subconjunto U do espac¸o vetorial real IMn(IR) definido por:
U = { A ∈ IMn(IR) / At = A e tr(A) = 0 }
(a) Mostre que U e´ um subespac¸o vetorial de IMn(IR).
(b) Considerando o espac¸o vetorial IM3(IR), exiba uma base para o subespac¸o U .
Questa˜o 3. (2.5 Pontos)
Considere a transformac¸a˜o linear T : IR2 −→ IR3 tal que
[T ]βγ =
 1 −10 1
−2 3
 ,
onde β e´ a base canoˆnica de IR2 e γ = { (1, 0, 1), (−1, 0, 1), (0, 1, 0) } e´ uma base
ordenada de IR3. Pede–se
(a) Determine T (1, 0) e T (0, 1).
(b) Determine uma base para Im(T ).
(c) A transformac¸a˜o T e´ injetora? Justifique sua resposta.
16 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
Questa˜o 4. (2.5 Pontos)
Considere o operador linear T sobre P2(IR) definido por:
T (a + bx + cx2) = (3a + 2b + c) + (b − c)x + 2cx2 .
Determine os autovalores e os autovetores do operador linear T , exibindo uma base para
cada um dos autoespac¸os de T . O operador T e´ diagonaliza´vel? Justifique sua resposta.
Petronio Pulino 17
A.2.5 Exame
Questa˜o 1. (3.0 Pontos)
Considere o espac¸o vetorial real IR4 e os seguintes subespac¸os
U = { (x, y, z, t) ∈ IR4 / x+ y − z + t = 0 e z − t = 0 }
W = { (x, y, z, t) ∈ IR4 / x+ y + z = 0 }
(a) Determine uma base para o subespac¸o U +W .
(b) O subespac¸o U +W e´ uma soma direta dos subespac¸os U e W? Justifique.
(c) Determine uma base para o subespac¸o U ∩W .
(d) Determine o operador linear T sobre IR4 tal que Im(T ) = U∩W e Ker(T ) = W .
Questa˜o 2. (2.0 Pontos)
Considere o espac¸o vetorial real P3(IR) e o subconjunto U definido por:
U = { p(x) ∈ P3(IR) / p(1) + p(−1) = 0 } .
O subconjunto U e´ um subespac¸o vetorial de P3(IR)? Justifique sua resposta. Em caso
afirmativo, determine uma base para U .
Questa˜o 3. (3.0 Pontos)
Considere o operador linear T sobre IR2 tal que
[T ]αγ =
[
−1 −1
0 −1
]
,
onde α = { (0, 1) , (1, 0) } e γ = { (−1, 0) , (0,−1) } sa˜o bases ordenadas de IR2.
(a) Determine T (1, 0) e T (0, 1).
(b) Determine a matriz [I]αγ .
(c) Determine explicitamente a expressa˜o do operador linear T .
(d) O operador linear T 2 e´ diagonaliza´vel? Justifique.
18 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
Questa˜o 4. (3.0 Pontos)
Sejam A e B matrizes similares de ordem n. Pede–se:
(a) Mostre que A e B possuem os mesmos autovalores.
(b) Determine a relac¸a˜o entre os autovetores das matrizes A e B.
(c) Mostre que se A e´ diagonaliza´vel, enta˜o B e´ diagonaliza´vel.
Petronio Pulino 19
A.3 Primeiro Semestre de 2006
A.3.1 Primeira Prova
Questa˜o 1. (2.0 Pontos)
Considere o espac¸o vetorial real C([−1, 1]). Deˆ exemplo de um subconjunto S de C([−1, 1])
que e´ fechado com relac¸a˜o a` operac¸a˜o de adic¸a˜o de elementos, mas que na˜o e´ fechado com
relac¸a˜o a` operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o por escalar. Justifique sua resposta.
Questa˜o 2. (2.0 Pontos)
Considere V um espac¸ovetorial sobre o corpo IF . Sejam S = { v1, v2, v3, v4 } um
conjunto linearmente independente em V e um elemento u ∈ V , na˜o nulo. Mostre que
o conjunto { v1, v2, v3, v4, u } e´ linearmente dependente se, e somente se, o elemento u
pertence ao subespac¸o gerado pelos elementos do conjunto S, isto e´, u ∈ [v1, v2, v3, v4].
Questa˜o 3. (2.0 Pontos)
Considere os seguintes subespac¸os vetoriais de IR3
U = { (x, y, z) ∈ IR3 / 2x − 4y + 6z = 0 }
W = [(1, 0, 1), (1, 1, 3)]
Determine um sistema de geradores para cada um dos subespac¸os U + W e U ∩ W .
O subespac¸o U +W e´ uma soma direta dos subespac¸os U e W ? Justifique sua resposta.
Questa˜o 4. (2.0 Pontos)
Considere o espac¸o vetorial real P3(IR). Determine uma base para o subespac¸o vetorial
de P3(IR) definido por:
S = { p(x) ∈ P3(IR) / p(−1) + p′(−1) = 0 e p(1) = 0 } .
Questa˜o 5. (2.0 Pontos)
Considere o espac¸o vetorial real IR4. Seja W o subespac¸o de IR4 gerado pelos elementos
do conjunto S = { (1, 0, 1, 2), (2,−1, 1, 3), (−1, 1, 0,−1) }. Determine uma base de IR4
contendo uma base do subespac¸o W .
20 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
A.3.2 Segunda Prova
Questa˜o 1. (2.0 Pontos)
A matriz de mudanc¸a da base ordenada α = { p1(x), p2(x), p3(x) } de P2(IR), onde
p1(x) = 1 − x , p2(x) = 1 + x e p3(x) = 1 − x2 ,
para uma base ordenada γ = { q1(x), q2(x), q3(x) } de P2(IR) e´ dada por:
[I]αγ =
1 2 01 1 0
0 0 1
 .
Determine a base ordenada γ. Dado o polinoˆmio p(x) = 3 − x + 2x2 determine seu
vetor de coordenadas [p(x)]α , com relac¸a˜o a` base ordenada α.
Questa˜o 2. (2.0 Pontos)
Determine explicitamente a expressa˜o de uma transformac¸a˜o linear T de P2(IR) em
IM2(IR) satisfazendo simultaneamente as seguintes condic¸o˜es:
(a) O elemento p(x) = ( 1 + x2 ) ∈ Ker(T ).
(b) O elemento q(x) = 1 6∈ Ker(T ).
(c) O elemento A =
[
2 0
0 1
]
∈ Im(T ).
Questa˜o 3. (2.0 Pontos)
Sejam V e W espac¸os vetoriais sobre o corpo IF e T : V −→ W uma transformac¸a˜o
linear injetora. Mostre que se { v1, · · · , vm } e´ linearmente independente em V , enta˜o
{T (v1), · · · , T (vm) } e´ linearmente independente em W .
Questa˜o 4. (2.0 Pontos)
Diga se e´ Falsa ou Verdadeira cada uma das afirmac¸o˜es abaixo, justificando sua resposta.
(a) Existe uma transformac¸a˜o linear T : IR4 −→ IR3 que e´ injetora.
(b) Existe uma transformac¸a˜o linear T : IR4 −→ P2(IR) que e´ sobrejetora.
(c) Existe uma transformac¸a˜o linear T : IR2 −→ P2(IR) que e´ bijetora.
Petronio Pulino 21
Questa˜o 5. (2.0 Pontos)
Considere T : IR2 −→ P1(IR) a transformac¸a˜o linear tal que
T (1,−1) = 2 + x e T (0, 1) = x − 1 .
Mostre que T e´ um isomorfismo de IR2 em P1(IR). Determine o isomorfismo inverso
T−1 de P1(IR) em IR2.
22 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
A.3.3 Terceira Prova
Questa˜o 1. (2.0 Pontos)
Seja U um subespac¸o de P3(IR) tendo como base β = { x−x2+x3, 1+x+x2 }. Considere
a transformac¸a˜o linear T : U −→ P2(IR) dada por: T (p(x)) = p′(x) + (x + 1)p(0) .
Considere que [T ]βγ =
1 12 1
1 2
, onde γ e´ uma base para P2(IR). Pede–se:
(a) Determine [p(x)]β sabendo que [T (p(x))]γ =
13
0
.
(b) Se γ = { x− 1, p1(x), p2(x) }, determine o polinoˆmio q(x) = p1(x) − p2(x).
Questa˜o 2. (2.0 Pontos)
Considere o espac¸o vetorial real C10([0, 1]), isto e´,
C10([0, 1]) = { f ∈ C1([0, 1]) / f(1) = 0 } .
Verifique se cada uma das aplicac¸o˜es
(a) 〈 f , g 〉 =
∫ 1
0
f ′(x)g(x)dx (b) 〈 f , g 〉 =
∫ 1
0
f ′(x)g′(x)dx
define um produto interno no espac¸o vetorial C10([0, 1]). Justifique sua resposta.
Questa˜o 3. (2.0 Pontos)
Sejam V um espac¸o vetorial real munido do produto interno 〈 · , · 〉 e ‖ · ‖2 a norma
Euclidiana. Pede–se:
(a) Mostre que se θ e´ o aˆngulo entre os elementos u, v ∈ V , na˜o nulos, enta˜o
‖ u + v ‖22 = ‖ u ‖22 + ‖ v ‖22 + 2 ‖ u ‖2 ‖ v ‖2 cos(θ) .
(b) Mostre que se β = { q1, · · · , qn } e´ um conjunto ortonormal em V , enta˜o β e´
um conjunto linearmente independente em V .
Petronio Pulino 23
Questa˜o 4. (2.0 Pontos)
Considere o espac¸o vetorial real P2(IR) munido do produto interno
〈 p , q 〉 =
∫ 1
−1
x2p(x)q(x)dx ; ∀ p, q ∈ P2(IR) .
Determine uma base para o complemento ortogonal do subespac¸o S = [1 + x] em
P2(IR) com relac¸a˜o ao produto interno 〈 · , · 〉 definido acima.
Questa˜o 5. (2.0 Pontos)
Considere o espac¸o vetorial real P2(IR) com o produto interno
〈 p , q 〉 =
∫ 1
0
p(x)q(x)dx ; ∀ p, q ∈ P2(IR) .
Determine a melhor aproximac¸a˜o do polinoˆmio q(x) = 1 − x2 no subespac¸o P1(IR).
24 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
A.3.4 Segunda Chamada
Questa˜o 1. (2.0 Pontos)
Considere o espac¸o vetorial real P2(IR) e a base β = { 1, x, x2 }. Dada a matriz
P =
1 0 21 1 2
0 0 1
 .
Pede–se:
(a) Determine uma base γ = { p1(x), p2(x), p3(x) } de modo que P = [I]γβ .
(b) Dado o polinoˆmio q(x) = −3 − 2x + 2x2 , determine [q(x)]γ .
Questa˜o 2. (2.0 Pontos)
Considere o espac¸o vetorial real IR3 com o produto interno usual 〈 · , · 〉 e S o
subespac¸o definido por:
S = { (x, y, z) ∈ IR3 / x + y + z = 0 } .
Determine um operador linear T : IR3 −→ IR3 tal que Im(T ) = S e Ker(T ) = S⊥.
Questa˜o 3. (2.0 Pontos)
Seja T : IR2 −→ IR2 o operador linear definido por:
T (x, y) = (3x − 2y, −2x + 3y) .
Pede–se:
(a) Determine uma base para cada um dos seguintes subespac¸os:
U1 = { (x, y) ∈ IR2 / T (x, y) = 5(x, y) }
U2 = { (x, y) ∈ IR2 / T (x, y) = (x, y) }
(b) Mostre que o conjunto β = β1 ∪ β2 , onde β1 e´ uma base para U1 e β2 e´ uma
base para U2 , e´ uma base para IR
2 e determine [T ]ββ.
Petronio Pulino 25
Questa˜o 4. (2.0 Pontos)
Considere o espac¸o vetorial real IR3 munido do produto interno usual 〈 · , · 〉 . Dados os
elementos u = (1, 1, 1) e v = (3, 2, 1). Pede–se:
(a) Determine os elementos w1 e w2 tais que v = w1 + w2 , de modo que w1 seja
ortogonal ao elemento u e que o conjunto {w2, u } seja linearmente dependente.
(b) Decompor o elemento w = (1,−1, 2) como a soma de um elemento no subespac¸o
S = [u,w1] e outro no subespac¸o S
⊥.
Questa˜o 5. (2.0 Pontos)
Considere o espac¸o vetorial real IR4 munido do produto interno usual. Seja U o
subespac¸o gerado pelos elementos u1 = (1, 1, 1, 1) e u2 = (−1, 1,−1, 1). Pede–se:
(a) Determine a melhor aproximac¸a˜o do elemento v = (2, 1, 3, 1) no subespac¸o U .
(b) Determine um subespac¸o W de modo que IR4 = U ⊕ W . Justifique sua resposta.
26 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
A.3.5 Exame
Questa˜o 1. (2.0 Pontos)
Considere o espac¸o vetorial real P2(IR) e o subconjunto U definido por:
U =
{
p ∈ P2(IR) /
∫ 1
−1
p(x)dx + p′(0) = 0
}
.
O subconjunto U e´ um subespac¸o vetorial de P2(IR) ? Justifique sua resposta. Em caso
afirmativo, determine uma base para U .
Questa˜o 2. (2.0 Pontos)
Considere V um espac¸o vetorial real e β = {u1, u2, u3 } uma base ordenada de V .
Seja γ = {w1, w2, w3 } cujos elementos esta˜o relacionados com os elementos da base
β da seguinte forma: 
w1 = u1 − u2 − u3
w2 = 2u2 + 3u3
w3 = 3u1 + u3
(a) Mostre que γ e´ uma base para V .
(b) Determine a matriz de mudanc¸a de base [I]γβ .
(c) Se um elemento v ∈ V tem por vetor de coordenadas, em relac¸a˜o a` base γ,
[v]γ =
−12
1
 ,
qual e´ o seu vetor de coordenadas com relac¸a˜o a` base ordenada β ?
Questa˜o 3. (2.0 Pontos)
Sejam U e W subespac¸os vetoriais de IR3 definidos por:
U = { (x, y, z) ∈ IR3 / x + y + z = 0 }
W = [(1, 0, 1), (0,−1, 1)]
Determine um operador linear T sobre IR3 tal que Im(T ) = U e Ker(T ) = U ∩W .
Petronio Pulino 27
Questa˜o 4. (2.0 Pontos)
Considere o operador linear T : P3(IR) −→ P3(IR) definido por:
T (p(x)) = p(x) + (1 + x)p′(x) .
Verifique se T e´ um automorfismo de P3(IR) e determine a matriz [T ]ββ , onde β e´ a
base canoˆnica de P3(IR).Questa˜o 5. (2.0 Pontos)
Considere o espac¸o vetorial real P2(IR) com o produto interno
〈 p , q 〉 =
∫ 1
−1
p(x)q(x)dx ; ∀ p, q ∈ P2(IR) .
Determine uma base para o complemento ortogonal do subespac¸o S = [1 + x, 1 − x2]
em P2(IR) com relac¸a˜o ao produto interno 〈 · , · 〉 definido acima.
28 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
A.4 Segundo Semestre de 2005
A.4.1 Primeira Prova
Questa˜o 1. (2.0 Pontos)
Considere o espac¸o vetorial real V = { (x, y) / x, y ∈ IR }, com as operac¸o˜es:
• adic¸a˜o de elementos: (x1, y1)⊕ (x2, y2) = (x1 + x2 + 5, y1 + y2)
• multiplicac¸a˜o por escalar: α� (x, y) = (αx+ 5(α− 1), α y) para α ∈ IR.
(a) Exiba o elemento neutro da adic¸a˜o desse espac¸o.
(b) Exiba o elemento sime´trico aditivo do elemento (x, y) ∈ V .
(c) Verifique se W = { (x, y) ∈ V / x = −5 } e´ um subespac¸o vetorial de V .
Questa˜o 2. (2.0 Pontos)
Diga se e´ Falsa ou Verdadeira cada uma das afirmac¸o˜es, justificando sua resposta.
(a) Seja V um espac¸o vetorial real. Se { v1, v2, v3 } e´ LI em V , enta˜o o conjunto
{ v1 − v2 , v2 + v3 , v1 + v3 } e´ LI em V .
(b) O subconjunto W = {A ∈ IM2(IR) / A2 = A } e´ um subespac¸o de IM2(IR).
(c) O subconjunto S = { f ∈ C([−a, a]) / f(−x) = f(x) ; x ∈ [−a, a] } e´ um
subespac¸o de C([−a, a]).
Questa˜o 3. (2.0 Pontos)
Considere o sistema linear homogeˆneo
2x + 4y + z = 0
x + y + 2z = 0
x + 3y − z = 0
.
Pede–se:
(a) Mostre que o conjunto soluc¸a˜o S e´ um subespac¸o vetorial de IR3 e determine
uma base para esse subespac¸o.
(b) Dado o subespac¸o vetorial U = { (x, y, z) ∈ IR3 / x− y + z = 0 }, determine o
subespac¸o U ∩ S e uma base para esse subespac¸o.
(c) Determine o subespac¸o vetorial U + S e uma base para esse subespac¸o.
Petronio Pulino 29
Questa˜o 4. (2.0 Pontos)
Considere o espac¸o vetorial real P2(IR). Pede–se:
(a) Mostre que o subconjunto W = { p ∈ P2(IR) / p(2) = 0 } e´ um subespac¸o vetorial
de P2(IR).
(b) Exiba uma base β para o subespac¸o W .
(c) Encontre as coordenadas do polinoˆmio p(x) = 6− 5x+ x2 com relac¸a˜o a` base β.
Questa˜o 5. (2.0 Pontos)
Considere o subespac¸o
V = { (x, y, z) ∈ IR3 / x+ 2y + z = 0 e − x+ 3y + 2z = 0 }
do espac¸o vetorial real IR3. Determine um subespac¸o W do IR3 tal que IR3 = V ⊕W .
30 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
A.4.2 Primeira Prova (Substitutiva)
Questa˜o 1. (2.0 Pontos)
Considere o espac¸o vetorial real (V,⊕,�), onde V = { (x, y) ∈ IR2 / x > 0 e y > 0 }
munido com as operac¸o˜es
• adic¸a˜o de elementos: (x1, y1)⊕ (x2, y2) = (x1x2, y1y2), ∀ (x1, y1), (x2, y2) ∈ V.
• multiplicac¸a˜o por escalar: α� (x, y) = (xα, yα), ∀ α ∈ IR e ∀ (x, y) ∈ V.
Pede–se:
(a) Exiba o elemento neutro da adic¸a˜o desse espac¸o.
(b) Exiba o elemento sime´trico aditivo do elemento u = (x, y) ∈ V .
(c) Mostre que (α + β)� u = α� u ⊕ β � u , u = (x, y) ∈ V e α, β ∈ IR.
(d) W = { (x, y) ∈ V / y = 2x } e´ um subespac¸o vetorial de V ?
Questa˜o 2. (2.0 Pontos)
Considere os seguintes subconjuntos do espac¸o vetorial real IMn(IR)
U = { A ∈ IMn(IR) / At = A } e W = { A ∈ IMn(IR) / At = −A }
Mostre que U e W sa˜o subespac¸os vetoriais de IMn(IR) e que IMn(IR) = U ⊕W .
Considerando o espac¸o vetorial IM3(IR), exiba uma base para os subespac¸os U e W .
Questa˜o 3. (2.0 Pontos)
Considere o espac¸o vetorial real P3(IR) e os elementos p(x) = −3 − 5x − 2x2 + x3 e
q(x) = −9 − 4x − 5x2 + 3x3. Mostre que o elemento r(x) = −6 + 12x − 2x2 + 2x3
pode ser escrito como uma combinac¸a˜o linear dos elementos p e q, mas que o elemento
s(x) = 8 + 7x − 2x2 + 3x3 na˜o pode.
Questa˜o 4. (2.0 Pontos)
Seja (V,+, ·) um espac¸o vetorial real. Se { v1, v2, v3 } e´ linearmente independente em
V , mostre que { v1 + v2 + v3 , v2 + v3 , v1 + v3 } e´ linearmente independente em V .
Petronio Pulino 31
Questa˜o 5. (2.0 Pontos)
Considere o seguinte subconjunto do espac¸o vetorial real IMn(IR)
U = { A ∈ IMn(IR) / At = A e tr(A) = 0 }
Mostre que U e´ um subespac¸o vetorial de IMn(IR). Considerando o espac¸o vetorial
IM3(IR), exiba uma base para o subespac¸o U .
32 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
A.4.3 Segunda Prova
Questa˜o 1. (2.0 Pontos)
Seja V um espac¸o vetorial real e γ = { v1, v2, v3 } uma base para V . Pede–se:
(a) Mostre que β = { v1, v1 + v2, v1 + v2 + v3 } e´ uma base para V .
(b) Determine a matriz de mudanc¸a da base β para a base γ.
(c) Se o elemento v ∈ V tem como vetor de coordenadas em relac¸a˜o a` base γ
[v]γ =
12
1

determine seu vetor de coordenadas [v]β.
Questa˜o 2. (2.0 Pontos)
Considere os seguintes subespac¸os de IR4
U = [(1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1)]
W = { (x, y, z, t) ∈ IR4 / x + y = 0 e z + t = 0 }
Determine um operador linear T sobre IR4 tal que Ker(T ) = W e Im(T ) = U .
Questa˜o 3. (3.0 Pontos)
Diga se e´ Falsa ou Verdadeira cada uma das afirmac¸o˜es, justificando sua resposta.
(a) D : IM2(IR) −→ IR com D(A) = det(A) e´ uma transformac¸a˜o linear.
(b) Na˜o existe transformac¸a˜o linear T : IR4 −→ IR3 que e´ injetora.
(c) Existe uma transformac¸a˜o linear T : IR4 −→ P2(IR) que e´ sobrejetora.
(d) Existe transformac¸a˜o linear T : IRm −→ IRn, com m < n, que e´ bijetora.
Questa˜o 4. (2.0 Pontos)
Considere as transformac¸o˜es lineares T : IR2 −→ IR3 e P : IR3 −→ IR2 dadas por:
T (x, y) = ( 2x , x − y , y ) e P (x, y, z) = ( y − z , z − x ). Determine a matriz
[T ◦ P ]ββ , onde β e´ a base canoˆnica do IR3, e determine uma base para o subespac¸o
Im( T ◦P ). O operador linear T ◦P e´ um automorfismo de IR3 ? Justifique sua resposta.
Petronio Pulino 33
Questa˜o 5. (2.0 Pontos)
Considere a transformac¸a˜o linear T : P2(IR) −→ P1(IR) dada por:
T (p(x)) = ap(0) − p′(x)
com
[T ]αβ =
[
3 −3 b
3 −3 −2
]
,
considerando α = { 1, cx + 1, x2 } a base para P2(IR) e β = { 1 − x, x } a base
para P1(IR). Pede–se:
(a) Determine os paraˆmetros a, b, c ∈ IR.
(b) Determine [T (q(x))]β e [T (q(x))]γ, com γ = { 1, x } a base canoˆnica de
P1(IR), sabendo que
[q(x)]α =
 1−1
2
 .
34 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
A.4.4 Terceira Prova
Questa˜o 1. (2.0 Pontos)
Seja V um espac¸o vetorial real munido do produto interno 〈 · , · 〉 e T um automorfismo
de V . Mostre que a aplicac¸a˜o
f(·, ·) : V × V −→ IR
(u, v) −→ f(u, v) = 〈T (u) , T (v) 〉
define um produto interno em V . Deˆ um exemplo considerando V = IR3 munido do
produto interno usual.
Questa˜o 2. (2.0 Pontos)
(a) Sejam a e b reais positivos e os elementos u = (
√
a,
√
b), v = (
√
b,
√
a) ∈ IR2.
Utilize a desigualdade de Cauchy–Schwarz para comparar a me´dia aritme´tica
a + b
2
com a me´dia geome´trica
√
a b.
(b) Seja V um espac¸o vetorial real munido do produto interno 〈 · , · 〉 e ‖ · ‖2 a
norma Euclidiana. Mostre que os elementos (u − v), (u + v) ∈ V sa˜o ortogonais
se, e somente se, ‖u ‖2 = ‖ v ‖2.
Questa˜o 3. (2.0 Pontos)
Considere o espac¸o vetorial P2(IR) munido do produto interno
〈 p , q 〉 =
∫ 1
−1
t2p(t)q(t)dt .
A partir da base canoˆnica β = { 1, t, t2 } do espac¸o P2(IR), construir uma base
ortogonal γ = {P1, P2, P3 } para o espac¸o P2(IR).
Questa˜o 4. (2.0 Pontos)
Considere o espac¸o vetorial IR4 munido do produto interno usual. Seja U o subespac¸o
gerado pelos elementos u1 = (1, −1, 1, 1) e u2 = (1, 2, 0, 1). Pede–se:
(a) Determine uma base para o subespac¸o U⊥.
(b) Calcule a projec¸a˜o ortogonal do elemento u = (2, 1, 1, −1) no subespac¸o U .
(c) Considere o operador linear P : IR4 −→ IR4 que representa a projec¸a˜o ortogonal
sobre o subespac¸o U . Mostre que Ker(I − P ) = U .
Petronio Pulino 35
Questa˜o 5. (2.0 Pontos)
Seja V um espac¸o vetorial real munido do produto interno 〈 · , · 〉 e ‖ · ‖2 a norma
Euclidiana. Considerando os elementos u, v ∈ V , com v 6= 0V , determine o elemento
w∗ do conjunto S = { w ∈ V / w = u − tv, t ∈ IR } que possui a menor norma
Euclidiana. Deˆ uma interpretac¸a˜o geome´trica para o elemento w∗.
36 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
A.4.5 Segunda Chamada
Questa˜o 1. (2.0 Pontos)
Seja V um espac¸o vetorial real e γ = { v1, v2, v3, v4 } uma base ordenada de V . Pede–se:
(a) Mostre que β = { v1 , v1 + v2 , v1 + v2 + v3 , v1 + v2 + v3 + v4 } e´ uma base de V .
(b) Se o elemento v ∈ V tem como vetor de coordenadas
[v]γ =

4
3
1
2

determine seu vetor de coordenadas [v]β.
Questa˜o 2. (2.0 Pontos)
Considere os seguintes elementos do espac¸o vetorial IR4
v1 = (1, −1, 2, 3) , v2 = (2, 1, −1, −2) e v3 = (3, 3, −4, −7) .
Sejam U e V subespac¸os do IR4 tais que dim(U) = 3 e U ∩ V = [v1, v2, v3].
Determine as poss´ıveis dimenso˜es dos subespac¸os V e U + V .
Questa˜o 3. (2.0 Pontos)
Seja V o subespac¸o de IM2(IR) das matrizes sime´tricas. Considere a transformac¸a˜o
linear T : V −→ P2(IR) dada por:
T
( [
a b
b c
] )
= (a + b) − b x + (c − a + b)x2 .
Mostre que T e´ um isomorfismo. Considerando a base canoˆnica γ para o P2(IR) e a
base canoˆnica β para o subespac¸o V , determine a matriz [T ]βγ .
Questa˜o 4. (2.0 Pontos)
Mostre que a aplicac¸a˜o 〈 · , · 〉 : P2(IR)× P2(IR) −→ IR dada por:
〈 p , q 〉 = p(−1)q(−1) + p(0)q(0) + p(1)q(1)
define um produto interno no espac¸o vetorial P2(IR). Determine uma base para o com-
plemento ortogonal do subespac¸o U = [2 − x] em P2(IR) com relac¸a˜o ao produto
interno 〈 · , · 〉 definido acima.
Petronio Pulino 37
Questa˜o 5. (2.0 Pontos)
Considere o espac¸o vetorial real C([−1, 1]) munido do produto interno usual. Determine
o polinoˆmio p(x) = a + bx, a, b ∈ IR, mais pro´ximo da func¸a˜o f(x) = sin(pix),
x ∈ [−1, 1], com relac¸a˜o a` norma Euclidiana. Deˆ uma interpretac¸a˜o geome´trica para o
polinoˆmio p(x).
38 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
A.4.6 Exame
Questa˜o 1. (2.0 Pontos)
Considere os elementos u1 = (−1, 2, 1, 1) e u2 = (2, 1,−1, 1) do IR4. Pede–se:
(a) Encontre o complemento ortogonal do subespac¸o W = [u1, u2] em IR
4 com relac¸a˜o
ao produto interno usual.
(b) Encontre dois elementos u3, u4 ∈ IR4 tais que β = { u1, u2, u3, u4} seja uma
base para IR4.
(c) Determine a projec¸a˜o ortogonal do elemento v = (1, 2,−1, 0) ∈ IR4 sobre W .
Questa˜o 2. (2.0 Pontos)
Considere o seguinte subconjunto do espac¸o vetorial real IMn(IR)
U = { A ∈ IMn(IR) / At = A e tr(A) = 0 } .
Pede–se:
(a) Mostre que U e´ um subespac¸o vetorial de IMn(IR).
(b) Considerando o espac¸o vetorial IM3(IR), exiba uma base para o subespac¸o U .
Questa˜o 3. (2.0 Pontos)
Seja T : IR2 −→ IR3 a transformac¸a˜o linear tal que
T (2, 1) = (3, 0, 2) e T (1, 2) = (1, 1, 0) .
Pede–se:
(a) Mostre que T e´ injetora.
(b) Exiba uma transformac¸a˜o linear P : IR3 −→ IR2 tal que Ker(P ) = Im(T ).
Petronio Pulino 39
Questa˜o 4. (2.0 Pontos)
Considere o operador linear T : P1(IR) −→ P1(IR) dado por:
T (p(x)) = p′(x) + (x + 1)p(0) .
Sejam β = { 1, 1− x } e γ = { q(x), 1− x } bases para P1(IR) tais que
[T ]βγ =
[
2 1
1 s
]
.
Pede–se:
(a) Determine o polinoˆmio q(x) e a constante s ∈ IR.
(b) T e´ um isomorfismo ? Justifique sua resposta.
Questa˜o 5. (2.0 Pontos)
(a) Seja V um espac¸o vetorial real munido do produto interno 〈 · , · 〉 e T um operador
linear sobre V . Se 〈T (u) , T (v) 〉 = 〈u , v 〉 para todo u, v ∈ V , enta˜o T e´ um
operador injetor.
(b) Considere o espac¸o vetorial IRn munido do produto interno usual 〈x , y 〉 = ytx.
Se A ∈ IMn(IR) e´ uma matriz sime´trica, enta˜o 〈Ax , y 〉 = 〈x , Ay 〉 para todo
x, y ∈ IRn.
40 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
A.5 Segundo Semestre de 2004
A.5.1 Primeira Prova
Questa˜o 1. (2.0 Pontos)
Considere o espac¸o vetorial real V = { (x, y) ∈ IR2 / x > 0 } com as operac¸o˜es:
Adic¸a˜o de Elementos: (x1, y1)⊕ (x2, y2) = (x1 x2, y1 + y2)
Multiplicac¸a˜o por Escalar: α� (x, y) = (xα, α y) , α ∈ IR
Pede–se:
(a) Exiba o elemento neutro da operac¸a˜o ⊕ .
(b) Exiba o inverso aditivo do elemento v = (x, y) ∈ V .
(c) Mostre que α� (u ⊕ v) = α� u ⊕ α� v , u, v ∈ V e α ∈ IR.
(d) Verifique se W = { (x, y) ∈ V / x = 1 } e´ um subespac¸o vetorial de V .
Questa˜o 2. (2.0 Pontos)
Considere os seguintes subespac¸os de IR4
W = { (x, y, z, t) ∈ IR4 / x − y − z = 0 e x − 3y + t = 0 }
U = [(1, 2, 1, 3), (3, 1, −1, 4)]
Determine uma base para os subespac¸os U + W e U ∩ W . O subespac¸o U + W e´
uma soma direta dos subespac¸os U e W ? Justifique sua resposta.
Questa˜o 3. (2.0 Pontos)
Considere o seguinte subespac¸o S de P3(IR) definido da seguinte forma:
S = { p ∈ P3(IR) / p(−1) = 0 e p′(1) = 0 } .
Qual e´ a dimensa˜o de S ? Encontre uma base para S.
Petronio Pulino 41
Questa˜o 4. (2.0 Pontos)
Seja Γ = { v1, v2, v3 } uma base para o espac¸o vetorial real V . Pede–se:
(a) Mostre que β = { v1, v1 + v2, −v1 + v2 + v3 } e´ tambe´m uma base para V .
(b) Se o elemento v ∈ V tem como vetor de coordenadas
[v]Γ =
 2−1
1

em relac¸a˜o a` base Γ, quais sa˜o as suas coordenadas em relac¸a˜o a` base β ?
Questa˜o 5. (2.0 Pontos)
Seja V um espac¸o vetorial sobre o corpo IF , com dim(V ) = 9. Sejam U e W
subespac¸os vetoriais de V tais que dim(U) = 6 e dim(W ) = 5. Mostre que
2 ≤ dim(U ∩W ) ≤ 5.
42 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
A.5.2 Segunda Prova
Questa˜o 1. (2.0 Pontos)
Considere o operador linear
T : P4(IR) −→ P4(IR)
p −→ q = T (p)
com q(x) = T (p)(x) = x2 p′′(x) ; x ∈ IR. Pede–se:
(a) Determine a representac¸a˜o matricial de T com relac¸a˜o a` base canoˆnica.
(b) Determine o nu´cleo e a imagem do operador T .
(c) T e´ um operador linear injetor ? Justifique.
Questa˜o 2. (2.0 Pontos)
(a) Exiba uma transformac¸a˜o linear T : IR3 −→ P2(IR) tal que dim(Ker(T ) ) = 1 .
(b) A transformac¸a˜o linear T e´ sobrejetora ? Justifique.
Questa˜o 3. (2.0 Pontos)
Sejam F e G operadores lineares de um espac¸o V , tais que G ◦ F = F ◦ G. Mostre
que Ker(F ) + Ker(G) ⊂ Ker(F ◦G).
Questa˜o 4. (2.0 Pontos)
Sejam V e W espac¸os vetoriais sobre o corpo IR e 〈 · , · 〉 um produto interno em W .
Se T : V −→ W e´ uma transformac¸a˜o linear injetora, enta˜o a aplicac¸a˜o f(·, ·) dada
por:
f(u, v) = 〈T (u) , T (v) 〉 para todo u, v ∈ V
define um produto interno em V .
Questa˜o 5. (2.0 Pontos)
Sejam a1, · · ·, an nu´meros reais estritamente positivos. Aplicando a desigualdade de
Cauchy-Schwarz, em dois elementos u, v ∈ IRn escolhidos adequadamente, mostre que
( a1 + · · · + an )
(
1
a1
+ · · · + 1
an
)
≥ n2
Petronio Pulino 43
A.5.3 Terceira Prova
Questa˜o 1. (2.0 Pontos)
Seja W o subespac¸o de IR5 gerado pelos vetores u = (1, 2, 3, −1, 2) e
v = (2, 4, 7, 2, −1). Encontre uma base ortogonal para o complemento ortogonal W⊥
de W em IR5 com relac¸a˜o ao produto interno usual de IR5.
Questa˜o 2. (2.0 Pontos)
Determine todos os valores dos paraˆmetros a e b de modo que a matriz A dada abaixo
seja diagonaliza´vel. Para estes valores de a e b , determine uma matriz invers´ıvel P e
a matriz diagonal D de modo que P−1AP = D.
A =
 1 0 0a 2 0
0 b 2
 .
Questa˜o 3. (2.0 Pontos)
Determinar e classificar os pontos cr´ıticos das func¸o˜es F : IR2 −→ IR, dadas abaixo,
atrave´s da ana´lise dos autovalores da matriz Hessiana, justificando sua resposta.
(a) F (x, y) = 2x2 − xy − 3y2 − 3x + 7y
(b) F (x, y) = x3 + y3 − 3xy
Questa˜o 4. (2.0 Pontos)
Se B ∈ IMn(IR) e´ similar a matriz A ∈ IMn(IR) auto–reflexiva, mostre que B e´ uma
matriz auto–reflexiva. Estabelec¸a a relac¸a˜o entre os autovetores de A e B.
Questa˜o 5. (2.0 Pontos)
Considere o operador linear T : P3(IR) −→ P3(IR) dado por:
T (p)(x) = x2p′′(x) + p′(x) + p(x) ; x ∈ IR .
(a) Determine a matriz [T ]ββ onde β e´ a base canoˆnica de P3(IR).
(b) Determine os autovalores e osautovetores do operador T .
(c) Para cada um dos autovalores do operador T , diga qual e´ o subespac¸o associado.
(d) Diga qual e´ a multiplicidade alge´brica e geome´trica de cada um dos autovalores do
operador T . Justifique sua resposta.
(e) O operador T e´ diagonaliza´vel ? Justifique sua resposta.
44 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
A.5.4 Segunda Chamada
ATENC¸A˜O: Fac¸a as 2 (duas) questo˜es relativas a` prova que voceˆ faltou e resolva mais
3 (treˆs) questo˜es, dentre as outras 4 (quatro). Leia as questo˜es com atenc¸a˜o.
Questa˜o 1. – P1 (2.0 Pontos)
Sejam U e V subespac¸os de IR4 tais que dim(U) = 3 e dim(V ) = 3 e o subespac¸o
U ∩ V = [(1, 1, 1, 1), (1,−3, 4,−2), (2,−2, 5,−1)]. Pede–se
(a) Qual e´ a dimensa˜o do subespac¸o U + V ? Justifique.
(b) Exiba uma base do IR4 que contenha uma base do subespac¸o V , sabendo que o
elemento (0, 0, 0, 1) ∈ V .
Questa˜o 2. – P1 (2.0 Pontos)
Seja Γ = { v1 , v2 , v3 , v4 } uma base para o espac¸o vetorial real (E, +, ·) .
(a) Mostre que β = { v1 , v1 + v2 , v1 + v2 + v3 , v1 + v2 + v3 + v4 } e´ tambe´m uma
base para E.
(b) Se o elemento v ∈ E tem como vetor de coordenadas
[v]Γ =

1
1
−1
0

em relac¸a˜o a` base Γ , quais sa˜o as suas coordenadas em relac¸a˜o a` base β ?
Questa˜o 3. – P2 (2.0 Pontos)
Seja V o subespac¸o de IM2(IR) das matrizes triangulares superiores. Pede–se:
(a) Exiba uma base para V .
(b) Seja T : V −→ P2(IR) a transformac¸a˜o linear dada por:
T
( [
a b
0 c
] )
= (a + b) + b x + (c − a − b)x2 .
Mostre que T e´ uma transformac¸a˜o invers´ıvel.
Petronio Pulino 45
Questa˜o 4. – P2 (2.0 Pontos)
Sejam (V, +, ·) e (W, +, ·) espac¸os vetoriais reais e T : V −→ W uma transformac¸a˜o
linear. Mostre que:
(a) Ker(T ) = { 0V } se, e somente se, T e´ injetora.
(b) Se T e´ injetora e { v1, v2, . . . , vm } e´ linearmente independente em V , enta˜o
{ T (v1), T (v2), . . . , T (vm) } e´ linearmente independente em W .
Questa˜o 5. – P3 (2.0 Pontos)
Seja W o subespac¸o de IR4 dado por
W = { (a+ c, b+ c, −b, −a) ∈ IR4 / a, b, c ∈ R } .
Encontre uma base ortonormal para o subespac¸o W com relac¸a˜o ao produto interno
usual de IR4.
Questa˜o 6. – P3 (2.0 Pontos)
Seja T : IR3 −→ IR3 o operador linear dado por
T (x, y, z) = (3x− 2y − 4z, 4x− 3y − 4z, −z) . Pede–se :
(a) Encontre A = [T ]ββ onde β e´ a base canoˆnica de IR
3
(b) Encontre os autovalores e os autovetores A
(c) Calcule A9 de uma forma eficiente.
46 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
A.5.5 Exame
Questa˜o 1. (2.0 Pontos)
Considere um subespac¸o vetorial W de P2(IR) com base β = { 1 + t, 1 − t2 }.
Sabemos que a matriz de mudanc¸a da base β para a base γ e´ dada por:
[I]βγ =
[
1 2
1 −1
]
Determine a base γ do subespac¸o W .
Questa˜o 2. (2.0 Pontos)
(a) Sejam U e V espac¸os vetoriais sobre o corpo IF e T uma transformac¸a˜o linear
de U em V . Se dim(U) > dim(V ), prove que existe um elemento na˜o nulo
u ∈ U tal que T (u) = 0V .
(b) Considerando U = IR3 e V = P1(IR), deˆ um exemplo de uma transformac¸a˜o
linear T de U em V que seja sobrejetora.
Questa˜o 3. (2.0 Pontos)
Seja W o subespac¸o de IR4 dado por:
W = { (x, y, z, t) ∈ IR4 / x + y = 0 e 2x − y + z = 0 } .
Determine uma base ortogonal para cada um dos subespac¸os W e W⊥.
Questa˜o 4. (2.0 Pontos)
Seja A ∈ IMn(IR) uma matriz sime´trica. Pede–se:
(a) Considere o espac¸o vetorial IRn com o produto interno usual 〈 · , · 〉 . Mostre que
para todo x, y ∈ IRn temos que
〈Ax , y 〉 = 〈x , A y 〉 .
(b) Mostre que os autovalores de A sa˜o reais.
(c) Mostre que autovetores de A associados a autovalores distintos sa˜o ortogonais.
(d) Mostre que se a matriz B ∈ IMn(IR) e´ ortogonalmente similar a` matriz A, isto
e´, existe uma matriz ortogonal Q ∈ IMn(IR) tal que B = QtAQ, enta˜o B e´
uma matriz sime´trica.
Petronio Pulino 47
Questa˜o 5. (2.0 Pontos)
Considere o operador linear T : IM2(IR) −→ IM2(IR) definido da seguinte forma:
T
( [
a b
c d
] )
=
[
2a+ b 2b
2c 3d
]
.
T e´ um operador linear diagonaliza´vel ? Justifique.
48 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
A.6 Segundo Semestre de 1999
A.6.1 Primeiro Teste
Questa˜o 1. (5.0 Pontos)
(a) Seja V um espac¸o vetorial e sejam U e W subespac¸os vetoriais de V . Mostre
que o subconjunto de V dado por
U + W = { v ∈ V / v = u + w ; u ∈ U e w ∈ W }
e´ tambe´m um subespac¸o vetorial de V .
(b) Dado o subespac¸o W = { (x, y, z) ∈ IR3 / x + 2y + z = 0 } determine um
subespac¸o U do IR3 tal que IR3 = U ⊕ W . Justifique sua resposta.
Questa˜o 2. (5.0 Pontos)
(a) Mostre que o subconjunto W de IM3(IR) definido por
W = { A ∈ IM3(IR) / At = −A }
e´ um subespac¸o vetorial de IM3(IR) .
(b) Encontre uma base para o subespac¸o W . Qual a dimensa˜o do subespac¸o W ?
Justifique suas respostas.
Petronio Pulino 49
A.6.2 Primeira Prova
Questa˜o 1. (3.0 Pontos)
Seja Γ = { v1, v2, v3 } uma base para o espac¸o vetorial (E, +, ·). Pede–se:
(a) Mostre que β = { v1, v1 + v2, −v1 + v2 + v3 } e´ tambe´m uma base para E.
(b) Se o elemento v ∈ E tem coordenadas [v]Γ = (2, −1, 1) em relac¸a˜o a` base Γ ,
quais sa˜o as suas coordenadas em relac¸a˜o a` base β ?
Questa˜o 2. (2.0 Pontos)
Considere o espac¸o vetorial real
C?([a, b]) = { f ∈ C1([a, b]) / f(a) = f(b) } .
A aplicac¸a˜o F : C?([a, b])× C?([a, b]) −→ IR dada por
F (f, g) =
∫ b
a
f ′(x)g′(x)dx ,
define um produto interno em C?([a, b]) ? Justifique sua resposta.
Questa˜o 3. (2.0 Pontos)
Seja (E, +, ·) um espac¸o vetorial e S um subconjunto de E com um nu´mero finito de
elementos. Nas afirmac¸o˜es abaixo, demonstre se for verdadeira ou deˆ um contra–exemplo
se for falsa:
(a) Se S e´ linearmente independente, enta˜o qualquer subconjunto de S e´ tambe´m
linearmente independente;
(b) Se S e´ linearmente dependente, enta˜o qualquer subconjunto de S e´ tambe´m
linearmente dependente.
Questa˜o 4. (3.0 Pontos)
Sejam U e W subespac¸os vetoriais de dimensa˜o 3 de IR4 e seja
U ∩ W = [ (1, 2, 1, 0), (−1, 1, 0, 1), (1, 5, 2, 1) ] .
Pede-se:
(a) IR4 = U + W ? Justifique sua resposta;
(b) Determine uma base ortonormal para o subespac¸o U ∩ W ;
(c) Determine a projec¸a˜o do elemento u = (1, 1, 1, 1) no subespac¸o U ∩ W .
50 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
A.6.3 Segundo Teste
Questa˜o 1. (5.0 Pontos)
Considere o espac¸o vetorial real IM3(IR) munido do produto interno usual. Seja S o
subespac¸o dado por: S = { D ∈ IM3(IR) / D e´ uma matriz diagonal }. Determine
o subespac¸o S⊥ , isto e´, o complemento ortogonal de S. Encontre uma base para o
subespac¸o S⊥.
Questa˜o 2. (5.0 Pontos)
Considere a seguinte transformac¸a˜o linear T : IR2 −→ IR3 dada por:
T (x, y) = (2x, x − y, y) .
Pede–se:
(a) Determine a representac¸a˜o matricial de T com relac¸a˜o a`s bases canoˆnicas.
(b) Determine uma base para a imagem da transformac¸a˜o T .
(c) T e´ uma transformac¸a˜o linear injetora ? Justifique.
(d) T e´ uma transformac¸a˜o linear sobrejetora ? Justifique.
Petronio Pulino 51
A.6.4 Segunda Prova
Questa˜o 1. (2.5 Pontos)
Considere a transformac¸a˜o linear T : P3(IR) −→ P3(IR) dada por:
T (p)(x) = xp′′(x) + p(x) ; x ∈ IR.
(a) Determine a matriz [T ]ββ onde β e´ a base canoˆnica de P3(IR).
(b) Determine o nu´cleo e a imagem da transformac¸a˜o T .
(c) T e´ um isomorfismo ? Justifique.
Questa˜o 2. (2.5 Pontos)
Sejam A , B ∈ IMn(IR) duas matrizes similares, isto e´, existe uma matriz invers´ıvel
P ∈ IMn(IR) tal que A = P−1 B P . Estabelec¸a a relac¸a˜o entre os autopares de A e
B.
Questa˜o 3. (2.5 Pontos)
(a) Seja A ∈ IMn(IR) invers´ıvel. Estabelec¸a a relac¸a˜o entre os autopares de A e
A−1 .
(b) Seja A ∈ IMn(IR) . Mostre que as matrizes A e At possuem os mesmos autova-
lores. Sugesta˜o:utilize o polinoˆmio caracter´ıstico.
Questa˜o 4. (2.5 Pontos)
Determine todos os valores dos paraˆmetros a e b de modo que a matriz A dada abaixo
seja diagonaliza´vel. Para estes valores de a e b determine uma matriz invers´ıvel P e
a matriz diagonal D de modo que P−1AP = D.
A =
 1 0 0a 2 0
0 b 2
 .
52 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
A.6.5 Exame
Questa˜o 1. (2.0 Pontos)
Considere o seguinte subespac¸o de P3([−1, 1])
S = { p ∈ P3([−1, 1]) / p(−1) = 0 e p′(1) = 0 }.
Qual e´ a dimensa˜o de S ? Encontre uma base para S.
Questa˜o 2. (2.0 Pontos)
Seja (E, +, ·) um espac¸o vetorial real munido do produto interno 〈 . , . 〉. Considere
a func¸a˜o J : IR −→ IR definida da seguinte forma: dados os elementos u , v ∈ E,
na˜o nulos, seja
J(α) = ‖ v − αu ‖2 ; α ∈ IR ,
onde ‖ · ‖ e´ a norma proveniente do produto interno.
(a) Mostre que a func¸a˜o J possui um u´nico ponto de mı´nimo α∗.
(b) Deˆ uma interpretac¸a˜o para o elemento α∗u .
Questa˜o 3. (2.0 Pontos)
Considere a transformac¸a˜o linear T : P2(IR) −→ IR3 definida da seguinte forma
T ( a0 + a1t+ a2t
2 ) = ( a0 + a1 + a2 , a0 + a1 , a0 + a2 ) .
(a) Determine a matriz [T ]Γβ onde Γ e´ a base canoˆnica de P2(IR) e β e´ a base
canoˆnica de IR3 .
(b) Mostre que T e´ um isomorfismo e determine a expressa˜o da transformac¸a˜o linear
T−1( x , y , z ) para todo ( x , y , z ) ∈ IR3 .
Questa˜o 4. (2.0 Pontos)
Utilize a forma diagonal da matriz A para calcular eficientemente An, n ∈ IN .
A =
(
3 −5
1 −3
)
.
Questa˜o 5. (2.0 Pontos)
Considere (E, +, ·) um espac¸o vetorial munido do produto interno 〈 · , · 〉 e um operador
linear auto-adjunto T : E −→ E , isto e´, 〈 T (v) , u 〉 = 〈 v , T (u) 〉 para todo
u, v ∈ E . Sejam λ1 e λ2 autovalores distintos de T e v1 e v2 os autovetores
associados a λ1 e λ2 , respectivamente. Enta˜o, v1 e v2 sa˜o ortogonais.
Petronio Pulino 53
A.7 Segundo Semestre de 1998
A.7.1 Primeiro Teste
Questa˜o 1. (5.0 Pontos)
Considere o espac¸o vetorial real IM2(IR). Dadas as seguintes matrizes:
A1 =
(
1 0
0 0
)
A2 =
(
0 0
0 1
)
A3 =
(
0 1
1 0
)
identificar o subespac¸o gerado pelos elementos do conjunto S = { A1, A2, A3 } .
Questa˜o 2. (5.0 Pontos)
Seja E um espac¸o vetorial sobre um corpo IF . Mostre que, se U e W sa˜o subespac¸os
vetoriais de E , enta˜o U + W tambe´m e´ um subespac¸o vetorial de E.
Questa˜o 3. (5.0 Pontos)
Considere o sistema linear homogeˆneo

2x + 4y + z = 0
x + y + 2z = 0
x + 3y − z = 0
Mostre que
S = { ( x, y, z ) ∈ IR3 / ( x, y, z ) e´ soluc¸a˜o do sistema linear homogeˆneo }
e´ um subespac¸o do IR3. Encontre os vetores geradores do subespac¸o S.
54 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
A.7.2 Primeira Prova
Questa˜o 1. (2.0 Pontos)
Seja V um espac¸o vetorial sobre o corpo F . Mostre que se { v1, v2, v3 } e´ linearmente
independente, enta˜o { v1+v2, v1+v3, v2+v3 } tambe´m e´ linearmente independente em V .
Questa˜o 2. (2.0 Pontos)
Considere o subespac¸o W de IR3 gerado pelos elementos
w1 = (1,−1, 0, 0) , w2 = (0, 0, 1, 1) , w3 = (−2, 2, 1, 1) e w4 = (1, 0, 1, 0) .
Pede–se:
(a) Determine uma base para W .
(b) O elemento u = (2,−3, 2, 2) ∈ W ?
Questa˜o 3. (2.0 Pontos)
(a) Dado o subespac¸o S = { (x, y, z) ∈ IR3 / x + 2y + z = 0 } do IR3. Determine
um subespac¸o W do IR3 tal que IR3 = S ⊕W .
(b) Deˆ exemplos de dois subespac¸os, S e W , de dimensa˜o dois em IR3 tais que
IR3 = S + W . Temos uma soma direta ?
(c) Ilustre com um exemplo a seguinte proposic¸a˜o:
“Se S e W sa˜o dois subespac¸os de um espac¸o vetorial V de dimensa˜o finita,
enta˜o dim(S +W ) = dim(S) + dim(W ) − dim(S ∩W )”.
Questa˜o 4. (2.0 Pontos)
Considere o seguinte subconjunto do IR3
γ = { (1, 0, 2), (0, 1,−1), (1, 0, 1) } .
Pede–se:
(a) Mostre que γ e´ uma base para IR3 e determine a matriz de mudanc¸a da base γ
para a base canoˆnica β.
(b) Dado o elemento u = (1, 1, 1). Determine o vetor de coordenadas [u]γ.
Petronio Pulino 55
Questa˜o 5. (2.0 Pontos)
Considere o espac¸o vetorial real IM2(IR) munido do produto interno usual, isto e´,
〈A , B 〉 = tr(BtA). Seja S o subespac¸o de IM2(IR) gerado pelo elemento
A =
[
1 0
2 1
]
.
Pede–se:
(a) Dada a matriz
B =
[
2 3
0 −1
]
.
Determine sua projec¸a˜o ortogonal sobre o subespac¸o S.
(b) Determine uma matriz C ∈ IM2(IR) tal que 〈A , C 〉 = 0.
56 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
A.7.3 Segundo Teste
Questa˜o 1. (5.0 Pontos)
Considere o espac¸o vetorial IR3 munido do produto interno usual. Seja S o subespac¸o
gerado pelo vetor u = ( −1, 1, −1 ) . Pede–se:
(a) Determine o complemento ortogonal de S , isto e´, o subespac¸o S⊥ .
(b) Determine uma base ortogonal para o subespac¸o S⊥ .
(c) Dado o vetor v = ( 3, 1, −1 ) calcule sua projec¸a˜o no subespac¸o S⊥ .
Questa˜o 2. (5.0 Pontos)
Considere a seguinte transformac¸a˜o linear T : IR3 −→ IR3 dada por:
T (x, y, z) = ( x− y + z , x+ y + 2z , x+ 5y + 4z) .
Pede–se:
(a) Determine a representac¸a˜o matricial de T com relac¸a˜o a` base canoˆnica.
(b) Determine Ker(T ) , dim(Ker(T )) , Im(T ) e dim(Im(T )) .
(c) T e´ uma transformac¸a˜o linear injetora ?
(d) Determine o complemento ortogonal de Im(T ) .
Petronio Pulino 57
A.7.4 Segunda Prova
Questa˜o 1. (2.5 Pontos)
Considere a seguinte transformac¸a˜o linear T : IR3 −→ IR3 dada por:
T (x, y, z) = ( y + z , x+ z , x+ y + 2z ) ,
e as seguintes bases para o espac¸o IR3
β = { ( 1, 0, 0 ), ( 0, 1, 0 ), (0, 0, 1) }
Γ = { ( 1, 0, 1), ( 0, 1, 1), ( 0, 0, 1 ) }
Pede–se:
(a) Determine [T ]ββ e [T ]
Γ
β .
(b) Determine Ker(T ) , dim(Ker(T )) , Im(T ) e dim(Im(T )).
(c) Encontre os autovalores e autovetores da transformac¸a˜o T .
(d) Encontre uma base α para o IR3 de modo que [T ]αα seja uma matriz diagonal.
(e) Dado o vetor v = ( 1, 1, −1 ) calcule sua projec¸a˜o no subespac¸o Im(T ) .
Questa˜o 2. (2.5 Pontos)
Para quais valores do paraˆmetro a as matrizes abaixo sa˜o diagonaliza´veis ?
(a) A =
(
1 1
0 a
)
(b) B =
(
1 a
0 1
)
.
Questa˜o 3. (2.5 Pontos)
Mostre que a matriz A =
(
1 2
3 2
)
e´ semelhante a` matriz D =
(
4 0
0 −1
)
.
Calcule de maneira eficiente An para n ∈ IN .
Questa˜o 4. (2.5 Pontos)
Provar que se λ e´ um autovalor de A com o autovetor associado v , enta˜o λn e´ um
autovalor de An com o autovetor associado v.
58 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
A.7.5 Exame
Questa˜o 1. (2.0 Pontos)
Seja E um espac¸o vetorial sobre um corpo IF . Mostre que, se { v1 , v2 , v3 } e´ um
conjunto linearmente independente em E, enta˜o { v1 + v2 , v1 + v3 , v2 + v3 }
tambe´m e´ um conjunto linearmente independente em E.
Questa˜o 2. (2.0 Pontos)
Considere os seguintes subespac¸os de IR4
U = { (x, y, z, t) ∈ IR4 / x − y − z + t = 0 }
W = { (x, y, z, t) ∈ IR4 / x + y = 0 e z − t = 0 }
Pede–se:
(a) Determine uma base para o subespac¸o U ∩ W .
(b) Determine uma base para o subespac¸o U + W .
(c) Determine uma base ortogonal para o subespac¸o U .
(d) IR4 = U ⊕ W ? Justifique sua resposta.
(e) Calcule a projec¸a˜o ortogonal de v = ( 3, 1, −1, 2 ) no subespac¸o U ∩ W .
Questa˜o 3. (2.0 Pontos)
Considere o espac¸o Euclidiano IR4 munido do produto interno usual. Seja S o subespac¸o
gerado pelos elementos do seguinte subconjunto:
β = { ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , −1 , 1 , 1 ) } ⊂ IR4 .
Determine uma base ortogonal para S⊥, atrave´s do processo de Gram-Schmidt.
Questa˜o 4. (2.0 Pontos)
Considere a transformac¸a˜o linear T : IR3 −→ IR3 dada por:
T (x, y, z) = ( y + z , x+ z , x+ y + 2z ) ,
e as seguintes bases para o espac¸o IR3
β = { (1, 0, 0 ), (0, 1, 0), (0, 0, 1) } e Γ = { (1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1) } .
Petronio Pulino 59
Pede–se:
(a) Determine [T ]ββ e [T]
β
Γ.
(b) Determine Ker(T ) , dim(Ker(T )) , Im(T ) e dim(Im(T )).
(c) Encontre os autovalores e autovetores da transformac¸a˜o T .
(d) Encontre uma base α para o IR3 de modo que [T ]αα seja uma matriz diagonal
e exiba a matriz [T ]αα . Justifique sua resposta.
Questa˜o 5. (2.0 Pontos)
Estudar quanto a` possibilidade de diagonalizac¸a˜o das matrizes dadas abaixo. Determine
a matriz invers´ıvel P e a matriz diagonal D de modo que P−1AP = D .
(a) A =
 1 0 0a 2 0
0 b 2
 (b) A = ( 1 1
0 a
)
.
60 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
c©Petronio Pulino, 2011 DMA – IMECC – UNICAMP
B
Gabarito das Avaliac¸o˜es
Conteu´do
B.1 Segundo Semestre de 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
B.2 Primeiro Semestre de 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
61
62 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
B.1 Segundo Semestre de 2006
B.1.1 Primeira Prova
Questa˜o 1.
Vamos verificar se o elemento neutro da adic¸a˜o 0IR2 pertence ao subconjunto U ∪ W
e se o subconjunto U ∪ W e´ fechado com relac¸a˜o a` operac¸a˜o de adic¸a˜o de elementos e
com relac¸a˜o a` operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o por escalar.
Como U e W sa˜o subespac¸os vetoriais de IR2, temos que 0IR2 pertence tanto a U
quanto a W . Logo, 0IR2 ∈ U ∪ W . Note que, U ∩ W = { 0IR2 }.
Considere um elemento v ∈ U ∪ W , isto e´, v ∈ U ou v ∈ W . Assim, para qualquer
λ ∈ IR temos que λv ∈ U ∪ W , pois λv ∈ U ou λv ∈ W .
Finalmente, tomando os elementos v1, v2 ∈ U ∪ W , temos treˆs possibilidades.
A primeira, consideramos que v1, v2 ∈ U . Como U e´ um subespac¸o vetorial de IR2,
temos que v1 + v2 ∈ U . Logo, v1 + v2 ∈ U ∪ W .
A segunda, consideramos que v1, v2 ∈ W . Como W e´ um subespac¸o vetorial de IR2,
temos que v1 + v2 ∈ W . Logo, v1 + v2 ∈ U ∪ W .
A terceira, consideramos que v1 ∈ U e v2 ∈ W . Assim, temos que
v1 = (x1 , 3x1) e v2 = (x2 , −2x2) .
Logo, v1 + v2 = (x1 + x2 , 3x1 − 2x2). Portanto, temos que
v1 + v2 6∈ U e v1 + v2 6∈ W .
Desse modo, v1 + v2 6∈ U ∪ W . Assim, mostramos que U ∪ W na˜o e´ um subespac¸o
vetorial de IR2, pois o subconjunto U ∪ W na˜o e´ fechado com relac¸a˜o a` operac¸a˜o de
adic¸a˜o de elementos.
Petronio Pulino 63
Questa˜o 2.
Inicialmente vamos provar que
{u, v, w } LI =⇒ {u+ v, u+ w, v + w } LI .
Tomando a combinac¸a˜o linear nula
a (u + v) + b (u + w) + c (v + w) = 0V
obtemos
(a + b)u + (a + c)v + (b + c)w = 0V .
Utilizando a hipo´tese que o conjunto {u, v, w } e´ linearmente independente, obtemos o
seguinte sistema linear homogeˆneo
a + b = 0
a + c = 0
b + c = 0
que possui somente a soluc¸a˜o trivial a = b = c = 0. Portanto, provamos que o conjunto
{u+ v, u+ w, v + w } e´ linearmente independente.
64 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
Finalmente, vamos provar que
{u+ v, u+ w, v + w } LI =⇒ {u, v, w } LI .
Equivalentemente, podemos provar que
{u, v, w } LD =⇒ {u+ v, u+ w, v + w } LD .
Tomando a combinac¸a˜o linear nula
a (u + v) + b (u + w) + c (v + w) = 0V
obtemos
(a + b)u + (a + c)v + (b + c)w = 0V .
Utilizando a hipo´tese que o conjunto {u, v, w } e´ linearmente dependente, temos que os
coeficientes da combinac¸a˜o linear acima na˜o sa˜o todos nulos, isto e´,
(a + b) , (a + c) e (b + c)
na˜o sa˜o todos nulos. Assim, existem escalares a, b, c ∈ IF na˜o todos nulos tais que
a (u + v) + b (u + w) + c (v + w) = 0V .
Portanto, mostramos que o conjunto {u+ v, u+ w, v + w } e´ linearmente dependente.
Assim, provamos que
{u+ v, u+ w, v + w } LI =⇒ {u, v, w } LI .
completando a resoluc¸a˜o da questa˜o.
Petronio Pulino 65
Questa˜o 3.
(a)
Vamos determinar uma base para o subespac¸o U . Note que, toda matriz A ∈ U e´
escrita da seguinte forma:
A = a
[
1 0
0 1
]
+ b
[
0 1
0 0
]
+ c
[
0 0
1 0
]
para a, b, c ∈ IR .
Tomando a combinac¸a˜o linear nula
a
[
1 0
0 1
]
+ b
[
0 1
0 0
]
+ c
[
0 0
1 0
]
=
[
0 0
0 0
]
obtemos que a = b = c = 0, sa˜o os u´nicos escalares que satisfazem o sistema acima.
Assim, mostramos que o conjunto{ [
1 0
0 1
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
] }
e´ uma base para o subespac¸o U , pois gera o subespac¸o U e e´ linearmente independente.
Logo, temos que dim(U) = 3.
Vamos determinar uma base para o subespac¸o W . Note que, toda matriz A ∈ W e´
escrita da seguinte forma:
A = a
[
0 1
−1 0
]
+ b
[
0 0
0 1
]
para a, b ∈ IR .
Tomando a combinac¸a˜o linear nula
a
[
0 1
−1 0
]
+ b
[
0 0
0 1
]
=
[
0 0
0 0
]
obtemos que a = b = 0, sa˜o os u´nicos escalares que satisfazem o sistema acima. Assim,
mostramos que o conjunto { [
0 1
−1 0
]
,
[
0 0
0 1
] }
e´ uma base para o subespac¸o W , pois gera o subespac¸o W e e´ linearmente independente.
Logo, temos que dim(U) = 2.
66 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
Agora, vamos determinar uma base para o subespac¸o U ∩ W . Considere uma matriz
A ∈ U ∩ W , isto e´, A ∈ U e A ∈ W . Assim, temos que A e´ escrita como:
A = a
[
1 0
0 1
]
+ b
[
0 1
0 0
]
+ c
[
0 0
1 0
]
= d
[
0 1
−1 0
]
+ e
[
0 0
0 1
]
para a, b, c, d, e ∈ IR.
Desse modo, obtemos o seguinte sistema linear
a = 0
b = d
c = −d
a = e
cuja soluc¸a˜o e´ a = 0 , b = d , c = −d e e = 0. Portanto, toda matriz A ∈ U ∩W
e´ escrita como
A = d
[
0 1
−1 0
]
para d ∈ IR .
Assim, temos que { [
0 1
−1 0
] }
e´ uma base para o subespac¸o U ∩ W . Logo, dim(U ∩ W ) = 1.
Finalmente, vamos determinar uma base para o subespac¸o U + W . Pelos resultados
obtidos acima, sabemos que
dim(U + W ) = dim(U) + dim(W ) − dim(U ∩ W ) = 4 ,
e que o subespac¸o U + W tem por um sistema de geradores o seguinte conjunto{ [
1 0
0 1
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 1
−1 0
]
,
[
0 0
0 1
] }
.
Podemos observar que [
0 1
−1 0
]
=
[
0 1
0 0
]
−
[
0 0
1 0
]
.
Petronio Pulino 67
Portanto, temos que o conjunto{ [
1 0
0 1
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
] }
e´ uma base para o subespac¸o U + W .
(b)
Como U + W e´ um subespac¸o de IM2(IR) e dim(U + W ) = dim(IM2(IR)), temos
que U + W = IM2(IR), entretanto, na˜o como soma direta, pois U ∩ W 6=
{
0IM2(IR)
}
.
68 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
Questa˜o 4.
(a)
Conhecendo a matriz de mudanc¸a de base [I]γα , temos que u1 = v1 + 4v2u2 = − 2v2
Resolvendo o sistema acima, obtemos
v1 = u1 + 2u2
v2 = − 1
2
u2
Logo, v1 = (−3, 5) e v2 = (1,−1), que sa˜o os elementos da base ordenada α.
(b)
Conhecendo a matriz de mudanc¸a de base [I]γα e o vetor de coordenadas [u]α , temos
que
[u]α = [I]
γ
α [u]γ.
Chamando [u]γ =
[
a
b
]
, obtemos o seguinte sistema linear
[
1 0
4 −2
][
a
b
]
=
[
1
2
]
,
cuja u´nica soluc¸a˜o e´ a = b = 1. Portanto, temos que
u = a u1 + b u2 = u1 + u2 = (−1, 3) .
Observe que podemos obter o elemento u a partir do vetor de coordenadas [u]α =
[
1
2
]
e da base ordenada α obtida no item (a). Desse modo, temos que
u = v1 + 2v2 = (−1, 3) .
Petronio Pulino 69
B.1.2 Segunda Prova
Questa˜o 1.
Da condic¸a˜o (a), temos que T (1 + x) = (0, 0, 0).
Da condic¸a˜o (b), isto e´, q(x) = x 6∈ Ker(T ), implica que o elemento r(x) = 1 na˜o
pode pertencer ao Ker(T ), pois podemos escrever q(x) = p(x) − r(x). Claramente, se
o elemento r(x) ∈ Ker(T ), enta˜o q(x) ∈ Ker(T ), o que contradiz a hipo´tese.
Da condic¸a˜o (c), isto e´, Im(T ) = [(1, 1, 1)], temos que dim( Im(T ) ) = 1.
Logo, pelo Teorema do Nu´cleo e da Imagem, devemos ter dim(Ker(T ) ) = 2, poisdim(P2(IR) ) = 3.
Assim, podemos considerar T : P2(IR) −→ IR3, com { 1 + x , x2 } uma base ordenada
para Ker(T ), definida da seguinte forma:
T (1 + x) = (0, 0, 0) , T (x2) = (0, 0, 0) , T (x) = (1, 1, 1) ,
onde estamos escolhendo γ = { 1 + x , x2 , x } uma base ordenada para P2(IR), que foi
obtida completando a base do Ker(T ).
Finalmente, vamos determinar a expressa˜o da transformac¸a˜o linear T definida acima.
Para isso, tomamos um elemento gene´rico p(x) = a + bx + cx2 ∈ P2(IR) que e´
representado com relac¸a˜o a` base ordenada γ de P2(IR) da seguinte forma:
p(x) = d1( 1 + x ) + d2x
2 + d3x
= d1 + (d1 + d3)x + d2x
2 ,
obtendo o seguinte sistema linear
d1 = a
d1 + d3 = b
d2 = c ,
que possui somente a soluc¸a˜o d1 = a , d2 = c e d3 = b − a. Desse modo, temos que
p(x) = a( 1 + x ) + cx2 + (b − a)x .
70 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
Agora, fazendo T (p(x)) = T (a + bx + cx2), obtemos
T (a + bx + cx2) = a T (1 + x) + c T (x2) + (b− a)T (x) = (b− a)(1, 1, 1) .
Assim, encontramos uma transformac¸a˜o linear T com as propriedades pedidas.
Petronio Pulino 71
Questa˜o 2.
(a) Sabendo que T (v) = v para todo v ∈ S e que T (v4) = v1 + v3 , obtemos
T (v1) = v1 = 1v1 + 0v2 + 0v3 + 0v4
T (v2) = v2 = 0v1 + 1v2 + 0v3 + 0v4
T (v3) = v3 = 0v1 + 0v2 + 1v3 + 0v4
T (v4) = v1 + v3 = 1v1 + 0v2 + 1v3 + 0v4 .
Portanto, temos que
[T ]γγ =

1 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 0 0
 .
(b) Conhecemos as matrizes [I]βγ e [T ]
γ
γ . Assim, para obter [T (e1)]γ , vamos
determinar inicialmente [e1]γ da seguinte forma:
[e1]γ = [I]
β
γ [e1]β =⇒ [e1]γ =

0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
1 0 0 0


1
0
0
0
 =

0
0
0
1
 .
Finalmente, vamos calcular
[T (e1)]γ = [T ]
γ
γ [e1]γ =⇒ [T (e1)]γ =

1 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 0 0


0
0
0
1
 =

1
0
1
0
 ,
o que completa a resoluc¸a˜o da questa˜o.
72 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
Questa˜o 3.
(a) Dado um polinoˆmio p(x) = a + bx + cx2 ∈ P2(IR), vamos calcular
T (p(x)) = p′(x) + p(x) = (b+ a) + (b+ 2c)x + cx2 ,
para em seguida calcular
(P ◦ T )(p(x)) = P (T (p(x)) = P ( (b+ a) + (b+ 2c)x + cx2) )
= ( a+ 2b+ 2c , c , a− 2c ) .
Portanto, a transformac¸a˜o linear P ◦ T : P2(IR) −→ IR3 e´ dada por:
(P ◦ T )(p(x)) = ( a+ 2b+ 2c , c , a− 2c )
para todo p(x) = a + bx + cx2 ∈ P2(IR).
(b) Considerando β = { 1 , x , x2 } a base canoˆnica de P2(IR) e γ = { e1, e2, e3 } a
base canoˆnica de IR3, vamos determinar a matriz [P ◦ T ]βγ .
Para isso, vamos calcular
(P ◦ T )(1) = (1, 0, 1) = 1e1 + 0e2 + 1e3
(P ◦ T )(x) = (2, 0, 0) = 2e1 + 0e2 + 0e3
(P ◦ T )(x2) = (2, 1,−2) = 2e1 + 1e2 − 2e3 .
Portanto, obtemos
[P ◦ T ]βγ =
1 2 20 0 1
1 0 −2
 .
Petronio Pulino 73
(c) Vamos verifique se P e´ um isomorfismo de P2(IR) em IR3.
Para isso, basta verificar se Ker(P ) = { 0P2(IR) }.
Tomando um elemento p(x) = a + bx + cx2 ∈ Ker(P ), isto e´,
P (a + bx + cx2) = (a+ b , c , a− b) = (0, 0, 0) ,
obtemos o seguinte sistema linear homogeˆneo
a + b = 0
c = 0
a − c = 0 ,
que possui somente a soluc¸a˜o trivial a = b = c = 0. Logo, Ker(P ) = { 0P2(IR) }.
Portanto, temos que P e´ um isomorfismo de P2(IR) em IR3.
Vamos determinar o isomorfismo inverso. Dado um elemento (a, b, c) ∈ IR3 tal que
P−1(a, b, c) = d1 + d2x + d3x2 ,
temos que
P (d1 + d2x + d3x
2) = (a, b, c) =⇒ ( d1 + d2 , d3 , d1 − d2 ) = (a, b, c) .
Assim, obtemos o seguinte sistema linear
d1 + d2 = a
d3 = b
d1 − d2 = c ,
que possui somente a soluc¸a˜o
d1 =
a+ c
2
, d2 =
a− c
2
e d3 = b .
Portanto, obtemos
P−1(a, b, c) =
(
a+ c
2
)
+
(
a− c
2
)
x + bx2 ,
o que completa a resoluc¸a˜o da questa˜o.
74 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
Questa˜o 4.
(a) Sabemos que dim(V ) = n e que Im(T ) = Ker(T ).
Assim, podemos afirmar que dim( Im(T ) ) = dim(Ker(T ) ) = m.
Pelo Teorema do Nu´cleo e da Imagem, temos que
dim( Im(T ) ) + dim(Ker(T ) ) = dim(V ) .
Portanto, temos que n = 2m. Logo, podemos concluir que n e´ par e que m =
n
2
.
(b) Considerando V = IR4, temos que dim( Im(T ) ) = dim(Ker(T ) ) = 2.
Tomando a base canoˆnica β = { e1, e2, e3, e4 } para IR4, vamos definir um operador
linear T sobre IR4, com as propriedades acima, da seguinte forma:
T (e1) = (0, 0, 0, 0) = 0IR4
T (e2) = (0, 0, 0, 0) = 0IR4
T (e3) = (1, 0, 0, 0) = e1
T (e4) = (0, 1, 0, 0) = e2 .
Podemos observar facilmente que { e1, e2 } e´ uma base para o subespac¸o Ker(T ) e
tambe´m para o subespac¸o Im(T ). Logo, temos que
dim(Ker(T ) ) = dim( Im(T ) ) = 2 e Ker(T ) = Im(T ) .
Portanto, o operador linear T , definido acima, possui as propriedades desejadas. Podemos
verificar facilmente que
T (x, y, z, t) = (z, t, 0, 0) para todo (x, y, z, t) ∈ IR4 .
Petronio Pulino 75
B.1.3 Terceira Prova
Questa˜o 1.
Seja w ∈ T (Eλ), isto e´, existe um elemento v ∈ Eλ tal que w = T (v). Como
v ∈ Eλ, temos que w = T (v) = λv. Logo, w = λv.
Aplicando o operador T no elemento w, obtemos T (w) = λT (v).
Como w = T (v), temos que T (w) = λw. Assim, podemos concluir que w ∈ Eλ.
Portanto, provamos que T (Eλ) ⊂ Eλ.
76 A´lgebra Linear e suas Aplicac¸o˜es: Notas de Aula
Questa˜o 2.
(a) Temos somente um autovalor λ associado ao autovetor v. Podemos observar
que o autovalor λ e´ unicamente determinado pelo operador T e pelo autovetor v. De
fato, considere que λ e λ′ sa˜o autovalores do operador T associados ao autovetor v,
isto e´,
T (v) = λ v e T (v) = λ′ v .
Assim, temos que
λ v − λ′ v = 0V =⇒ (λ − λ′ ) v = 0V =⇒ (λ − λ′ ) = 0 =⇒ λ = λ′ ,
pois v 6= 0V .
(b) Sim. De fato, se λ = 0 e´ um autovalor de T e v um autovetor associado, temos
que v ∈ Ker(T ), pois T (v) = λ v = 0V . Logo, como v 6= 0V , Ker(T ) 6= { 0V }.
Portanto, T na˜o e´ um operador injetor.
Reciprocamente, se T na˜o e´ um operador injetor, sabemos que Ker(T ) 6= { 0V }.
Logo, os elementos na˜o nulos v ∈ Ker(T ) sa˜o autovetores do operador T associados
ao autovalor λ = 0, pois T (v) = 0V = λ v.
(c) Seja { v1 , · · · , vn−1 } uma base para o subespac¸o Vλ1 , desde que dim(Vλ1) = n− 1.
Sabemos que cada elemento vj e´ um autovetor de T associado ao autovalor λ1, pois
T (vj) = λ1 vj para j = 1 , · · · , (n− 1) .
Assim, temos (n − 1) autovetores T linearmente independentes. Tomando vn o
autovetor de T associado ao autovalor λ2, temos que o conjunto { v1 , · · · , vn−1 , vn }
tambe´m e´ linearmente independente, pois o autovetor vn 6∈ Vλ1 .
Desse modo, temos uma base ordenada γ = { v1 , · · · , vn−1 , vn } de autovetores de T
para o espac¸o vetorial V . Assim, sabemos que [T ]γγ = diag(λ1, λ1, · · ·λ1, λ2). Logo,
T e´ um operador diagonaliza´vel.
Petronio Pulino 77
Questa˜o 3.
(a) Com relac¸a˜o a` base canoˆnica β = { (1, 0) , (0, 1) } de IR2, temos que
[T ]ββ =
[
5 −6
1 0
]
.
Sabemos que o polinoˆmio caracter´ıstico do operador T e´ o polinoˆmio caracter´ıstico da
matriz A = [T ]ββ que e´ dado por:
p(λ) = det(A − λ I ) = −λ(5 − λ) + 6 = λ2 − 5λ + 6 .
Portanto, λ1 = 2 e λ2 = 3 sa˜o os autovalores do operador T .
Vamos determinar os autovetores de T associados ao autovalor λ1 = 2. Desse modo,
temos que encontrar os elementos na˜o nulos do nu´cleo do operador T − λ1 I.
Assim, obtemos o seguinte sistema linear homogeˆneo{
3x − 6y = 0
x − 2y = 0 ⇐⇒ x − 2y = 0
que possui como soluc¸a˜o x = 2y para y ∈ IR na˜o nulo.
Desse modo, os autovetores do operator T associados ao autovalor λ1 = 2 sa˜o do tipo
v = (2y, y) para y ∈ IR na˜o nulo. Assim, podemos escolher v1 = (2, 1) o autovetor
de T associado ao autovalor λ1 = 2.
De modo ana´logo, para determinar os autovetores de