EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Aula 01

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Aula 1: Conceitos Fundamentais
Definição
Equação Diferencial é toda equação em que aparece pelo menos uma derivada ou diferencial da função incógnita
Exemplos:
Equações Diferenciais Ordinárias e Parciais
Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) envolve funções de uma variável e suas derivadas, enquanto uma Equação Diferencial Parcial (EDP) envolve funções de muitas variáveis e suas derivadas.
Exemplos:
	EDO
	EDP
Ordem de uma Equação Diferencial
A ordem de uma equação diferencial corresponde à ordem da mais alta derivada da equação. 
Grau de uma Equação Diferencial
O grau de uma equação diferencial é o maior expoente da derivada de mais alta ordem da função incógnita que aparece na equação.
Solução de uma Equação Diferencial
Considere uma equação diferencial de ordem n: 
Chama-se solução da equação diferencial (1) toda função definida em um intervalo aberto (a,b), juntamente com suas derivadas sucessivas até a ordem n inclusive, de tal forma que, ao fazermos a substituição de y por na equação (1), esta equação se converte em uma identidade em relação a x no intervalo (a, b).
Solução de uma Equação Diferencial
Exemplo:
Consideremos a equação diferencial Será que é solução para a equação diferencial dada?
Precisamos determinar a segunda derivada e substituir na equação diferencial, verificando se realmente será uma identidade. 
Solução de uma Equação Diferencial
Substituindo em 
Realmente, é solução. 
Tipos de Solução de uma Equação Diferencial
SOLUÇÃO GERAL – é a solução que contém tantas constantes arbitrárias quantas são as unidades da ordem da equação.
 
SOLUÇÃO PARTICULAR – é toda solução obtida da solução geral, quando atribuímos valores particulares às constantes.
 
SOLUÇÃO SINGULAR – é toda solução que não pode ser obtida a partir da solução geral atribuindo-se às constantes valores particulares.
Gráfico da Solução Geral
O gráfico da solução geral de uma equação diferencial representa uma família de curvas chamadas curvas integrais. Esta solução denomina-se primitiva ou integral da equação diferencial. 
Assim, a solução geral de uma equação diferencial ordinária de ordem n em um intervalo I é uma família de soluções y(t) no intervalo I, que depende de n constantes arbitrárias, de tal forma que qualquer solução particular pode ser obtida da solução geral, atribuindo-se valores às constantes.
Exemplo: 
A solução geral da equação diferencial é o conjunto de todas as primitivas da função .
Isto é : 
A solução apresentada deve ser válida para todo
Esta Equação Diferencial possui:
Solução geral: 
Gráfico: família de parábolas
Problema de Valor Inicial
Um problema de valor inicial para uma equação diferencial de ordem n:
F( x, y’, y’’ ,y’’’, ..., ) = 0, consiste da equação diferencial e mais n condições do tipo
(*)
Onde são números reais conhecidos.
Exemplo:
Consideremos o Problema de Valor Inicial (PVI)
 
Resolvendo a integral encontramos a solução geral:
Equação diferencial
Em matemática, uma equação diferencial é uma equação cuja incógnita é uma função que aparece na equação sob a forma das respectivas derivadas. Dada uma variável x, função de uma variável y, a equação diferencial envolve, x, y, derivadas de ye eventualmente também derivadas de x.[1] Por exemplo:
{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{d
Se y é uma função de x, e n é um inteiro positivo, então uma relação de igualdade (que não se reduz a uma identidade) que envolva x, y, y', y'', ...,y(n)   é chamada uma equação diferencial de ordem n.
 
	DEFINIÇÃO: Equação diferencial é uma equação que apresenta derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida (a incógnita da equação).
 
CLASSIFICAÇÃO
EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA (EDO): Envolve derivadas de uma função de uma só variável independente.
 
EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL (EDP): Envolve derivadas parciais de uma função de mais de uma variável independente.
  
ORDEM: é a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.
Exemplos:
	y' = 2x
	tem ordem 1 e grau 1
	y"+x2(y')3 - 40y = 0
	tem ordem 2 e grau 3
	y"'+x2y3 = x.tanx
	tem ordem 3 e grau 3
RESOLUÇÃO
A solução de uma equação diferencial é uma função que não contém derivadas nem diferenciais e que satisfaz a equação dada (ou seja, a função que, substituída na equação dada, a transforma em uma identidade).
Ex: Equação diferencial ordinária:  = 3x2 - 4x + 1
dy = (3x2 - 4x + 1) dx
dy = 3  x2dx - 4 xdx + dx + C
y = x3 - 2x2 + x + C  (solução geral)
 
Uma solução particular pode ser obtida da geral através, por exemplo, da condição y(-1) = 3
(condição inicial)
    3 = -1 - 2 - 1 + C C = 7  y = x3 - 2x2 + x + 7 (solução particular)
Observação: Em qualquer dos dois casos, a prova pode ser feita derivando a solução e, com isso, voltando à equação dada.
As soluções se classificam em:
Solução geral - apresenta n constantes independentes entre si (n = ordem da EDO). Essas constantes, de acordo com a conveniência, podem ser escritas C, 2C, C2, lnC, 
Solução Particular - Obtida da geral, mediante condições dadas (chamadas condições iniciais ou condições de contorno).
EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEAS, 2ª ORDEM
FORMA : y'' + a1 y' + a0 y = 0                          (a0, a1 constantes)
Ex: y = 
Então y' =    e      y'' = 
Substituindo na equação dada:    ou   () = 0
 
 0 para todo x, logo devemos ter  = 0, que é uma equação do segundo grau na variável , chamada EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA.
   
    A solução da equação diferencial linear irá depender da raízes 1 e 2.
 1, 2 números reais e distintos  C1 e C2 são soluções particulares da EDO e a solução geral é y = C1 + C2
1 = 2 =  (números reais e iguais)  a solução geral da EDO é y = C1 + C2x
1 = a + bi, 2  = a - bi (complexos conjugados: a, b reais)  a solução geral é y = C1 + C2
Ex:    y'' - 2y' - 15y = 0
Equação característica: - 2 - 15 = 0 cujas raízes são: 1 = 5, 2= -3
 
Solução geral: y = 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM N
Uma equação diferencial linear de ordem n é da forma:
fn(x)y(n) + fn-1(x) y(n-1) +...+ f2(x) y'' + f1(x)y' + f0(x)y = k(x)
onde k(x) e os coeficientes fi (x) são funções de x.
 
CLASSIFICAÇÕES:
Equação linear homogênea (k(x) = 0),  ou equação linear não-homogênea (k(x) 0).
Equação linear: de coeficientes constantes ( f0, f1, f2, ..., fn constantes)
                            de coeficientes variáveis (pelo menos um fi  variável)
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS
Se P e Q têm derivadas parciais contínuas, então:
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0
é uma equação diferencial exata se e somente se
Ex: (3x² - 2y³ + 3)dx + (x³ - 6xy² + 2y)dy = 0
P(x,y) = 3x²y - 2y³ + 3  e  Q(x,y) = x³ - 6xy² + 2y
   e  
logo Px = Qx e a equação diferencial é exata.
 
TEOREMA: A equação diferencial linear de primeira ordem y' + P(x)y = Q(x) pode ser transformada em uma equação diferencial de variáveis separáveis multiplicando-se ambos os membros pelo fator integrante .
Ex: 
Solução: A equação tem a forma do teorema onde, P(x) = -3x² e Q(x) = x²
Pelo teorema: 
Multiplicando todos os termos pelo fator integrante: 
  - 3x²y = x²   ou      =  x²dx =   + C
A multiplicação por  dá a solução: