GNE111_-_14_-_Hiperestaticidade_-_Metodo_de_Cross

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Aprendemos a calcular os momentos de uma viga
hiperestática e traçar o respectivo diagrama.
A partir dos valores de momentos calculados, determina-se os
valores dos esforços cortantes e das reações dos apoios.
GNE 111 – Método de Cross
2
Esforços cortantes nas extremidades das barras
Os valores dos esforços cortantes são determinados a partir
de uma composição de parcelas devidas a:
-momentos de extremidade;
- e aos carregamentos aplicados nos tramos.
GNE 111 – Método de Cross
2
3
Para um tramo A-B, as parcelas dos esforços cortantes
devidos aos momentos de extremidade são dados por:
E as parcelas devidas ao carregamento são obtidas facilmente
como se o tramo fosse isostático, dependendo do tipo de
carregamento.
Vejamos o exemplo feito em sala de aula:
GNE 111 – Método de Cross
l
BAAB
BAAB
M M 
 V V +==
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Exemplo de cálculo:
Determinar os diagramas de esforços internos e as reações da
viga para o carregamento dado, sabendo que E e I são
constantes para toda a estrutura.
GNE 111 – Método de Cross
1 42 3
1,5 kN/m
7 kN
6m 6m 3m 5m
3
5GNE 111 – Método de Cross
1 42 3
0,427 0,573
0 0,5
0,573 0,427
0,5 0,5
0 - 675 450 - 450 820 - 492
- 212 -158-106 - 79
141 1900 95
- 54 - 41
- 20-27
12 15 7
- 4 - 3
- 1- 2
1 1
0
- 521 521
- 618 618
- 592
0
A partir dos valores obtidos no esquema acima foi traçado o
diagrama de momentos fletores:
- 592
6GNE 111 – Método de Cross
0
- 521
- 618
67
5
67
5
13
13
Diagrama de momentos fletores, valores em kNcm.
4
7
Continuando o preenchimento das colunas dispostas abaixo
das vigas, calculamos os esforços cortantes.
Para fins didáticos, parte do desenvolvimento não é mostrada
para melhor visualização da técnica.
GNE 111 – Método de Cross
8GNE 111 – Método de Cross
1 42 3
7
- 4 - 3
- 1- 2
1 1
0
- 521 521
- 618 618
- 592
A primeira parte do cálculo dos esforços corresponde à
parcela devida aos momentos nas extremidades dos tramos.
M
kNcm
5
9GNE 111 – Método de Cross
1 42 3
7
- 4 - 3
- 1- 2
1 1
0
- 521 521
- 618 618
- 592
Temos então para o tramo 1-2:
kN 0,87- 521 - 0 M M V V 21122112 ==
+
== 600l
M
kNcm
V
kN
10GNE 111 – Método de Cross
1 42 3
7
- 4 - 3
- 1- 2
1 1
0
- 521 521
- 618 618
- 592
Temos então para o tramo 1-2:
kN 0,87- 521 - 0 M M V V 21122112 ==
+
== 600l
M
kNcm
V
kN -0,87 -0,87
6
11GNE 111 – Método de Cross
1 42 3
7
- 4 - 3
- 1- 2
1 1
0
- 521 521
- 618 618
- 592
Para o tramo 2-3:
kN 0,16- 618 - 521 M M V V 32233223 ==
+
== 600l
M
kNcm
V
kN -0,87 -0,87
12GNE 111 – Método de Cross
1 42 3
7
- 4 - 3
- 1- 2
1 1
0
- 521 521
- 618 618
- 592
Para o tramo 2-3:
kN 0,16- 618 - 521 M M V V 32233223 ==
+
== 600l
M
kNcm
V
kN -0,87 -0,87 -0,16 -0,16
7
13GNE 111 – Método de Cross
1 42 3
7
- 4 - 3
- 1- 2
1 1
0
- 521 521
- 618 618
- 592
Para o tramo 3-4:
kN 0,03 592 - 618 M M V V 43344334 ==
+
== 800l
M
kNcm
V
kN -0,87 -0,87 -0,16 -0,16 0,03 0,03
14GNE 111 – Método de Cross
1 42 3
7
- 4 - 3
- 1- 2
1 1
0
- 521 521
- 618 618
- 592
As demais parcelas são devidas aos carregamentos como se
a viga fosse isostática:
M
kNcm
V
kN -0,87 -0,87 -0,16 -0,16 0,03 0,03
8
15GNE 111 – Método de Cross
1 42 3
7
- 4 - 3
- 1- 2
1 1
0
- 521 521
- 618 618
- 592
Para o tramo 1-2, o carregamento é distribuído, e já sabemos
que do lado esquerdo a cortante vale (+ pL/2) e do lado direito
ela vale (- pL/2). Assim:
M
kNcm
V
kN -0,87 -0,87 -0,16 -0,16 0,03 0,03
16GNE 111 – Método de Cross
1 42 3
7
- 4 - 3
- 1- 2
1 1
0
- 521 521
- 618 618
- 592
Tramo 1-2:
M
kNcm
V
kN -0,87 -0,87 -0,16 -0,16 0,03 0,03
kN 4,5 
2
6 . 1,5
 
2
 p
 V12 ===
l kN 4,5- 
2
6 . 1,5
- 
2
 p
 - V21 ===
l
9
17GNE 111 – Método de Cross
1 42 3
7
- 4 - 3
- 1- 2
1 1
0
- 521 521
- 618 618
- 592
Tramo 1-2:
M
kNcm
V
kN -0,87 -0,87 -0,16 -0,16 0,03 0,03
kN 4,5 
2
6 . 1,5
 
2
 p
 V12 ===
l kN 4,5- 
2
6 . 1,5
- 
2
 p
 - V21 ===
l
4,5 - 4,5
18GNE 111 – Método de Cross
1 42 3
7
- 4 - 3
- 1- 2
1 1
0
- 521 521
- 618 618
- 592
Tramo 2-3:
M
kNcm
V
kN -0,87 -0,87 -0,16 -0,16 0,03 0,03
kN 4,5 
2
6 . 1,5
 
2
 p
 V23 ===
l kN 4,5- 
2
6 . 1,5
- 
2
 p
 - V32 ===
l
4,5 - 4,5 4,5 - 4,5
10
19GNE 111 – Método de Cross
1 42 3
7
- 4 - 3
- 1- 2
1 1
0
- 521 521
- 618 618
- 592
Tramo 3-4, carregamento concentrado:
M
kNcm
V
kN -0,87 -0,87 -0,16 -0,16 0,03 0,03
kN 4,38 
8
5 . 7
 
 P.
 V34 ===
l
b
kN 2,63- 
8
3 . 7
- 
 P.
 - V43 ===
l
a
4,5 - 4,5 4,5 - 4,5
20GNE 111 – Método de Cross
1 42 3
7
- 4 - 3
- 1- 2
1 1
0
- 521 521
- 618 618
- 592
Tramo 3-4, carregamento concentrado:
M
kNcm
V
kN -0,87 -0,87 -0,16 -0,16 0,03 0,03
kN 4,38 
8
5 . 7
 
 P.
 V34 ===
l
b
kN 2,63- 
8
3 . 7
- 
 P.
 - V43 ===
l
a
4,5 - 4,5 4,5 - 4,5 4,38 -2,63
11
21GNE 111 – Método de Cross
1 42 3
7
- 4 - 3
- 1- 2
1 1
0
- 521 521
- 618 618
- 592
E, finalmente, soma-se os valores dispostos verticalmente,
obtendo-se os esforços cortantes.
M
kNcm
V
kN -0,87 -0,87 -0,16 -0,16 0,03 0,03
4,5 - 4,5 4,5 - 4,5 4,38 -2,63
22GNE 111 – Método de Cross
1 42 3
7
- 4 - 3
- 1- 2
1 1
0
- 521 521
- 618 618
- 592
E, finalmente, soma-se os valores dispostos verticalmente,
obtendo-se os esforços cortantes.
M
kNcm
V
kN
-0,87 -0,87 -0,16 -0,16 0,03 0,03
4,5 - 4,5 4,5 - 4,5 4,38 -2,63
3,63 -5,37 4,34 -4,66 4,41 -2,60
12
23GNE 111 – Método de Cross
Diagrama de esforços cortantes (V), valores em kN.
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1) Exercício: determinar o diagrama de momentos fletores
para a viga carregada da figura, sabendo que E e I são
constantes para toda a estrutura.
GNE 111 – Método de Cross
1 42 3
2kN/m
4 kN
1m 4m 2m2m
13
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1) Resposta
GNE 111 – Método de Cross
Diagrama de momentos fletores (M), valores em kNcm.
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1) Resposta
GNE 111 – Método de Cross
Diagrama de esforços cortantes (V), valores em kN.
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2) Determinar o diagrama de momentos fletores e esforços
cortantes para a viga carregada da figura, sabendo que E e I
são constantes para toda a estrutura.
GNE 111 – Método de Cross
1 42 3
1kN/m 5 kN
5m 2m 2m3m
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2) Diagrama de momentos fletores (M), valores em kNcm.
GNE 111 – Método de Cross
Atenção para o valor do momento positivo no tramo 1-2: o valor mostrado
na resposta, 147 kNcm, difere do valor do método de Cross, que é
calculado no meio do vão.
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2) Diagrama de esforços cortantes (V), valores em kN.
GNE 111 – Método de Cross