3M.1 Ex compressao tracao e flexocompressao a resolver

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FACULDADE MERIDIONAL IMED CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
Disciplina: Estruturas de madeira Prof. Msc. Eng˚Marinês Silvani Novello 
1 
 
Compressão e tração em Estruturas de Madeira 
Exercício 01: 
Uma tesoura está sujeita a combinações normais de ações. Após a 
determinação dos esforços solicitantes para estas combinações de 
ações, verifica-se os elementos da treliça atendem os critérios de 
segurança no estado limite último. 
Determinar a tensão e a carga resistente de cálculo de projeto à 
tração paralela às fibras ftd, sabendo-se que será utilizada madeira 
serrada de pinho-do-paraná nas condições de umidade padrão, 
sendo que o local da construção tem umidade relativa do ar média 
igual a 80% sendo a classificação visual da madeira do tipo 
“densa”, classe SE-D 
Considere: 
• ft0 média (resistência a tração média paralela as fibras) = 
93,10 MPa. 
• Seção transversal da madeira retangular de largura 
(60mmx120mm) e uma carga solicitante à tração de 150KN. 
__________________________________________________ 
 
Solução: 
1.1 Cálculo da resistência característica (fk): 
Conforme item 4.4.7 NBR 7190:2011 e item 5.2.6 tabela 9 NBR 
7190:2011, pode-se admitir a seguinte relação entre a resistência 
característica e média fwm,12 correspondente a um coeficiente de 
variação da resistência de 18%. 
12,12, 70,0 wmwk ff = 
wmf = resistência média wkf = resistência média característica 
12,wkf = resistência média característica a 12% de umidade padrão. 
MPaMPafwk 17,6510,93.70,012, == 
 
1.2 Cálculo da resistência de cálculo: item 5.2.6 NBR 7190:2011 
sendofKf
w
wk
wd ,.mod γ
=
 
 
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2 
 
Kmod = coeficiente de modificação que leva em conta influências 
da classe de carregamento e o tipo de material empregado, a classe 
da umidade e a categoria da madeira. 
3mod2mod1modmod .. KKKK = 
 
γw = coeficiente de minoração das propriedades da madeira 
 
 
Coeficiente de modificação 1modK 
Leva em conta a classe de carregamento e o tipo de material 
empregado. 
Sendo a treliça em análise submetida a combinações normais, então 
a treliça estará sujeita a um carregamento de longa duração. 
Por ser carregamento de longa duração tabela 04 NBR 7190/2011 
e madeira serrada: = 70,01mod =K 
 
Coeficiente de modificação 2modK 
Leva em conta a classe de umidade e o tipo de madeira empregada. 
Sendo umidade relativa do ar do local de construção igual a 80%: 
Tabela 1 NBR 7190/2011: classe 3 
Tabela 5 NBR 7190/2011: para classe 3 e madeira serrada: 
8,02mod =K 
 
Coeficiente de modificação 3modK : 
Leva em conta se a madeira é de 1ª ou 2ª categoria. Geralmente são 
classificadas como 2ª categoria. 
Não se pode classificar madeiras como 1ª categoria somente pelo 
aspecto visual. 
Conforme item 4.4.4.3 NBR 7190/2011, para madeira conífera (pinho 
do paraná - Anexo E classe SE-D), conforme tabela 6 NBR 7190/2011, 
com classificação visual: 
70,03mod =K 
 
Então: resistência de cálculo de projeto à tração paralela as fibras 
ftd: 
 
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3 
 
w
wk
dto
fKf
γ
.mod, = 
w
wk
dto
fKKKf
γ3mod.2mod.1mod,
.=
 
wγ = coeficiente de minoração das propriedades da madeira 
Pela tabela 9 NBR 7190/2011: valores usuais para carregamento de 
longa duração, madeira serrada e classe de umidade 3: 8,1=wtγ 
2
,
/19,1419,14
8,1
17,65
.70,0.80,0.70,0 mmNMPaf dto === 
 
1.3 Cálculo da carga de cálculo resistente a tração 
dto
sd
sd fA
N
,
<=σ
 A
Nf dRtdto ,, = 
AfN dtodRt .,, = 
KNNmmmmxmmNN dRt 17,102102168)12060.(/19,14 2, === 
 
1.4 Verificação da carga de cálculo resistente x carga solicitante 
dtosdt NN ,, ≤ AtendeNãoKN ...17,102150 > 
A seção transversal não atende à resistência de cálculo à tração. 
 
É necessário: 
• Aumentar a seção transversal ou; 
• Aumentar a resistência da madeira ou conseguir madeira com 
característica que reduzam menos o coeficiente final de 
modificação e consequências a resistências à tração. 
 
1.5 Verificação da área mínima: 
Àrea mínima da estrutura principal “tesoura”; 
Amínima = 50 cm2 60mm.120mm=7200mm=72cm2 
72cm2 > 50 cm2 , Ok Atende. 
 
Seção mínima = 50mm 60mm > 50mm , Ok, Atende 
 
 
 
 
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Exercício 02: 
Uma estrutura será construída com madeira de louro pardo 
(dicotiledônea), cujas propriedades mecânicas médias referidas ao 
grau de umidade de 15% são: 
MPaf co 61= - compressão paralela as fibras 
MPaf to 123= - tração paralela as fibras 
MPaf vo 4,11= - cisalhamento paralelo as fibras 
 
Será utilizado madeira serrada classificada visualmente de 2ª 
categoria, classe S2 e o local da construção tem umidade relativa 
do ar média igual a 70% 
Determinar as tensões e cargas resistentes à tração e a compressão 
paralelas às fibras, à compressão normal as fibras e ao cisalhamento 
paralelo às fibras em vigas para uma combinação normal de ações. 
Considere: 
• Seção transversal da madeira retangular de largura 
(70mmx150mm) 
__________________________________________________ 
 
Solução: 
2.1 Cálculo das resistências médias à compressão normal às 
fibras (fc90,d) – para umidade padrão de 12%: 
Item 5.2.6 NBR 7190/2011 e tabela 09 
ndcodc ff α,,90 25,0= ncoc ff α25,090 = 
αn = 1,0 (item 5.2.4 NBR 7190/2011): os esforços resistentes 
correspondentes à compressão normal as fibras são determinadas 
com hipótese de comportamento elastoplástico da madeira, 
devendo ser levada em conta a extensão (a) do carregamento, 
medida paralelamente à direção das fibras. Se força estiver aplicada 
a menos de 7,5cm da extremidade da peça, admite-se αn = 1,0. 
Então: 
nmcoc ff α,90 25,0= MPaf c 25,150,1.61.25,090 == 
 
 
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Como a umidade citada no exercício não é de 12% (padrão da 
norma), é necessário correção das resistências – item 4.2.1 NBR 
7190/2011 ; 
( )



 −
+=
100
%)12%31.12
Uff uw 
 
( ) MPaf c 49,66100
%)12%1531.6112, =


 −
+=
 
 
( ) MPaf c 62,16100
%)12%1531.25,1512,90, =


 −
+=
 
 
( ) MPaf c 07,134100
%)12%1531.12312,90, =


 −
+=
 
 
( ) MPaf v 43,12100
%)12%1531.40,1112, =


 −
+=
 
 
2.2 Cálculo das resistências características médias: 
Conforme item 5.2.6 tabela 9 NBR 7190/2011 e item 4.4.5 NBR 
7190/2011 
MPaff mckc 54,4649.66.70,070,0 12,,12,, === 
MPaff mckc 63,1162,16.70,070,0 12,,9012,,90 === 
MPaff mtkt 85,9307,134.70,070,0 12,,12,, === 
MPaff mvkv 71,643,12.54,054,0 12,,12,, === 
 
 
2.3 Resistências de cálculo “projeto”: 
Cálculo do Kmod: 3mod2mod1modmod .. KKKK = 
70,01mod =K Tabela 4 item 4.4.4.1 NBR 7190/2011para 
carregamento normal de longa duração. 
 
90,02mod =K -, classe de umidade do ambiente = 2 (U = 70%) 
Conforme tabela 5 NBR 7190/2011, item 4.4.4.2 e 
Tabela 5 para classe 2 e madeira serrada 90,02mod =K 
 
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3modK Madeira classificada visual classe S-2 pela tabela 7 NBR 
7190/2011: 80,03mod =K 
 
Cálculo da resistência de cálculo “projeto”: item 5.2.6 tabela 9 
NBR 7190:2011 
sendo
f
Kf
w
wk
wd ,.
12,
mod γ
=
 
Kmod = coeficientede modificação que leva em conta influências 
da classe de carregamento e o tipo de material empregado, a classe 
da umidade e a categoria da madeira. 
3mod2mod1modmod .. KKKK = 
γw = coeficiente de minoração das propriedades da madeira 
γwc = 1,4 γwt = 1,8 γwv = 1,8 
 
Resistência de cálculo de projeto fwd: 
w
wk
wd
f
Kf
γ
12,
mod .= 
Compressão paralela as fibras: 
MPa
f
Kf
c
kc
dco 62,164,1
54,46
.50,0. 12,,mod, === γ 
Compressão normal as fibras: 
MPa
f
Kf
c
kc
dc 15,44,1
63,11
.50,0. 12,,90mod,90 === γ 
Tração paralela as fibras: 
MPa
f
Kf
c
kt
dto 07,268,1
85,93
.50,0. 12,,mod, === γ 
Cisalhamento paralela as fibras: 
MPa
f
Kf
c
kv
dvo 86,18,1
71,6
.50,0. 12,,mod, === γ 
Ou 
MPaff dcodvo 66,162,16.10,010,0 ,, === 
Os dois resultados estão corretos. Adotarei o menor valor para estar 
a favor da segurança. MPaf dvo 66,1, = 
 
 
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2.4 Verificação das cargas de cálculo resistentes 
dwo
sd
sd fA
N
,
<=σ
 Rdsd NN ≤ 
A
Nf Rddwo =, AfN dwoRd .,= 
 
KNNmmmmAfN dtodRt 74,273273735)150.70.(07,26.,, ==== 
KNNmmmmAfN dcodRc 51,174174510)150.70.(62,16.,, ==== 
KNNmmmmAfN dcdR 58,4343575)150.70.(15,4.,90,90 ==== 
dvo
d
d fA
V
,2
3 ≤=τ
 A
Vf dRodv ,, 5,1= 
AfV dvod .5,1 ,= KNNVd 62,11116205,1
150.70.66,1
===
 
KNV dR 62,11, = 
 
Após isso é necessário comparar essas cargas resistentes com as 
solicitantes do elemento. Nesse exercício não foi dado a carga 
solicitante. 
 
2.5 Verificação da área mínima: 
Àrea mínima da estrutura principal “treliça”; 
Amínima = 50 cm2 70mm.150mm=10500mm=10,5cm2 
10,5cm2 > 50 cm2 , Ok Atende. 
 
Seção mínima = 50mm 70mm > 50mm , Ok, Atende 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Flexo-compressão e flexo-tração em Estruturas de Madeira 
 
Exercício 03: 
Dimensionar um elemento da estrutura principal solicitado a 
compressão perpendicular as fibras sendo: 
Comprimento do elemento = 750mm 
Esforço de compressão de cálculo perpendicular as fibras: Ns,d = 
15 KN 
Seção transversal a ser adotada: retangular sendo base de 70mm e 
altura de 140mm 
Tipo de madeira: serrada conífera com classe de resistência C25, 
madeira de 2ª categoria, classe de umidade 1, classificação visual 
densa S1-D. 
Umidade de equilíbrio da madeira = 12% 
Condição de projeto: estrutura prevista para carregamento normal 
 
 
Solução: 
3.1 Cálculo dos coeficientes de modificação 
Kmod = coeficiente de modificação que leva em conta influências 
da classe de carregamento e o tipo de material empregado, a classe 
da umidade e a categoria da madeira. 
3mod2mod1modmod .. KKKK = 
γw = coeficiente de minoração das propriedades da madeira 
 
 
Coeficiente de modificação 1modK 
Leva em conta a classe de carregamento e o tipo de material 
empregado. 
Sendo a treliça em análise submetida a combinações normais, então 
a treliça estará sujeita a um carregamento de longa duração. 
Por ser carregamento de longa duração Item 4.4.4.1 tabela 04 NBR 
7190/2011 e madeira serrada: = 70,01mod =K 
 
 
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Coeficiente de modificação 2modK 
Leva em conta a classe de umidade e o tipo de madeira empregada. 
Sendo classe de umidade 1 e madeira serrada: item 4.4.4.2, Tabela 
5 NBR 7190/2011: 0,12mod =K 
 
Coeficiente de modificação 3modK : 
Leva em conta se a madeira é de 1ª ou 2ª categoria. 
Conforme item 4.4.4.3 NBR 7190/2011, para madeira classe C25 
“conífera” com classificação visual de 2ª categoria S1-D pela tabela 6 
NBR 7190/2011: 
60,03mod =K 
 
Item 4.4.4: 3mod2mod1modmod .. KKKK =
42,060,0.0,1.70,0mod ==K 
 
 
3.2 Cálculo da resistência de cálculo à compressão 
perpendicular as fibras – item 5.2.6 NBR 7190:2011: 
sendo
f
Kf
w
wk
wd ,.
12,
mod γ
= , γw = coeficiente pela tabela 9 NBR 
7190:2011 
ndcodc ff α.,,90 25,0= 
w
wk
dco
fKf
γ
.mod, = kcowk ff ,= sendo para classe C25, tabela 2 = 
25MPa 
2
,
/5,75,7
4,1
25
.42,0 mmNMPaf dco === 
22
,,90 /88,10,1./5,7.25,0..25,0 mmNmmNff ndcodc === α 
αn = 1,0 (item 5.2.4 NBR 7190/2011): Posição da força aplicada 
em relação à extremidade. 
os esforços resistentes correspondentes à compressão normal as 
fibras são determinadas com hipótese de comportamento 
elastoplástico da madeira, devendo ser levada em conta a extensão 
(a) do carregamento, medida paralelamente à direção das fibras. Se 
 
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força estiver aplicada a menos de 7,5cm da extremidade da peça, 
admite-se αn = 1,0. 
 
Cálculo do módulo de elasticidade: 
Na direção paralela as fibras: item 5.5.3 
Eco,m = tabela 2 NBR 7190/2011 para Classe C-25 = 8500MPa 
22
,05,0 /5950/8500.7,07,0 mmNmmNEE mco === 
Na direção perpendicular as fibras: item 4.1.4 e item 4.3.4 
22
,05,0 /5950/8500.7,07,0 mmNmmNEE mco === 
22
05,0,90 /5,297/5950.20
1
20
1
mmNmmNEE mc === 
 
3.3 Cálculo das propriedades geométricas: 
29800140.70. mmhbÁrea ===
 
Momento de inércia seção retangular: 12
.
3hbI =
 
4
33
67,666.006.16
12
140.70
12
.
mm
hbI x === 
4
33
67,666.001.4
12
70.140
12
.
mm
hbI y === 
 
Raios de giração: 
mm
mm
mm
A
I
r xx 41,409800
67,16006666
2
4
===
 
mm
mm
mm
A
I
r
y
y 21,209800
67,4001666
2
4
===
 
 
 
Cálculo do índice de esbeltez da seção transversal – Item 5.5.2 
NBR 7190/2011 
x
o
y
o
x
r
L
A
I
L
==λ
 
L0 = comprimento de flambagem: Lo = Ke.L 
Ke = coeficiente de flambagem = 1,0 = comprimento destravado 
 
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0,1=eK mmL 750= mmLKL eo 750750.0,1. === 
Item 5.5.5 – peças sujeitas a compressão e flexo-compressão 
independente da direção devem ter 140≤λ 
OK
r
L
A
I
L
x
o
x
o
x ...14056,1841,40
750
<====λ
 
OK
r
L
A
I
L
y
o
y
o
y ...14011,3721,20
750
<====λ
 
 
3.4 Verificação da esbeltez relativa “esbeltez mecânica” devido 
à flexão – item 5.5.3 NBR 7190/2011 
86,0
50,297
0,1.25.25,056,18
,90
,90
,
===
pipi
λλ
mc
kc
xrel E
f
x
 
71,1
5,297
0,1.25.25,011,37
,90
,90
,
===
pipi
λ
λ
mc
kc
yrel E
fy
 
 
3.5 - Verificação à estabilidade de peças flexocomprimidas – 
item 5.5.4 NBR 7190:2011 
3,0
,
≤xrelλ 3,086,0 ≥ 
3,0
,
≤yrelλ 3,071,1 ≥ 
Sendo assim se enquadra entre “em todos os casos, as tensões 
devem satisfazer as seguintes equações – item 5.5.4” ou seja, é 
necessário verificar a estabilidade da peça comprimida através das 
equações abaixo: 
 
 
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1
.
,90
,
,90
,
,90
,90 ≤++
dc
dMy
M
dc
dMx
dccx
dc
fKffK
σσσ
 
 
e 
1
.
,90
,
,90
,
,90
,90 ≤++
dco
dMy
dco
dMx
M
dcocy
dco
ffkfK
σσσ
 
 
σc = tensão normal de compressão perpendicular as fibras 
σM = tensão normal de flexão devidoàs forças laterais ou 
excentricidades na aplicação das forças axiais: 
KM =0,7 seção retangular item 5.3.4 NBR 7190:2011 
Se fosse outro tipo de seção transversal KM = 1,0 
 
 
Coeficientes Kcx e kcy – item 5.5.4 NBR 7190:2011 
( ) ( )2
,
2
1
xrelxx
cx
KK
K
λ−+
=
 
( ) ( )[ ]2
,,
3,015,0 xrelxrelcxK λλβ +−+= 
( ) ( )[ ] 93,086,03,086,02,015,0 2 =+−+=xK 
βc= 0,2 para peças maciças serradas – item 5.5.4(a) NBR 
7190:2011 
93,0=xK 
 
( ) ( )2
,
2
1
yrelyy
cy
KK
K
λ−+
=
 
( ) ( )[ ]2
,,
3,015,0 yrelyrelcyK λλβ +−+= 
( ) ( )[ ] 10,271,13,071,12,015,0 2 =+−+=xK 
10,2=yK 
 
Coeficientes Kcx e kcy: 
( ) ( )2
,
2
1
xrelxx
cx
KK
K
λ−+
=
 
 
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( ) ( ) 78,028,1
1
86,093,093,0
1
22
==
−+
=cxK
 
 
 
 
 
 
( ) ( )2
,
2
1
yrelyy
cy
KK
K
λ−+
=
 
( ) ( ) 30,032,3
1
71,110,210,2
1
22
==
−+
=cyK
 
 
22
,
,
53,1
9800
15000
mm
N
mm
N
A
N csd
dco ===σ 
 
22
,
,
53,1
9800
15000
mm
N
mm
N
A
N csd
dco ===σ 
 
x
xd
dMx W
M
=
,
σ
 
eNM dcydx .,, = 
e = excentricidade mínima = L/300 nos dois eixos x e y 
mmLe 5,2300/750300/ ===
 
mmNmmNeNM csdydx .375005,2.15000.,, === 
 
dydx MM ,, = , pois “e = excentricidade” pode ocorrer em x ou em y 
Módulo resistente seção retangular: 6
.
2hbW =
 
3
22
67,666.228
6
140.70
6
.
mm
hbWx === 
3
22
33,333.114
6
70.140
6
.
mm
hbW y === 
x
xd
dMx W
M
=
,
σ
 
16,0
67,666.228
.37500
,
==
mmN
dMxσ 
 
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MPammN
mm
mmN
W
M
y
yd
dMy 33,0/33,033,114333
.37500 2
3, ====σ 
 
 
1
.
,90
,
,90
,
,90
,90 ≤++
dco
dMy
M
dco
dMx
dcocx
dco
fKffK
σσσ
 
1
88,1
33,07,0
88,1
16,0
88,1.78,0
/53,1 2 ≤++mmN
 
125,1 >
 Não verifica 
KM = 0,7 seções retangulares conforme item 5.3.4 NBR 7190/2011 
 
e 
1
.
,90
,
,90
,
,90
,90 ≤++
dco
dMy
dco
dMx
M
dcocy
dco
ffkfK
σσσ
 
KM = 0,7 seções retangulares conforme item 5.3.4 NBR 7190/2011 
1
88,1
33,0
88,1
/16,07,0
88,1.30,0
53,1 2 ≤++ mmN
 
195,2 >
 Não verifica 
 
dcdc f ,90,90 ≤σ 22 /88,1/53,1 mmNmmN < , Ok, atende. 
 
dRsd NN ,≤ dwosdsd fA
N
,
<=σ
 A
Nf dRcdc ,90,90 = 
AfN dcdRc .,90,90 = 
KNNmmmmxmmNN dRc 4,1818424)14070.(/88,1 2,,90 === 
dRcsdc NN 90≤ KNKN 4,1815 < , OK Atende 
 
 
Neste caso como a seção transversal adotada nãoa tende os critérios 
de flexo-compressão, temos as seguintes alternativas: 
• Utilizar tipo de madeira mais resistente; 
• Aumentar a seção transversal da peça para aumentar o 
momento de inércia e o módulo resistente; 
 
 
 
FACULDADE MERIDIONAL IMED CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
Disciplina: Estruturas de madeira Prof. Msc. Eng˚Marinês Silvani Novello 
15 
 
 
 
3.6 Verificação da seção transversal mínima do elemento: 
Item 8.2 NBR 7190/2011 – peça isolada 
É um elemento de tesouras (banzo superior = estrutura principal) 
Segundo item 8.2 NBR 7190:2011, diz que: 
Área mínima = 50 cm2 Seção mínima = 50mm 
Então: 
A = 70.140 = 9800mm2 = 98 cm2 > 50cm2, Ok, atende 
Espessura menor da seção transversal = 70mm > 50mm, Ok, 
atende. 
 
3.7 Verificação à flexocompressão – item 5.3.6 NBR 7190:2011 
Como 3,0
,
>xrelλ e 3,0, >yrelλ , não é necessário verificar esse item, 
mas faremos igual a verificação conforme dados abaixo: 
3,0
,
≤xrelλ 3,086,0 ≥ 
3,0
,
≤yrelλ 3,071,1 ≥ 
1
,90
,
,90
,
2
,90
, ≤++






dco
dMy
M
dco
dMx
dco
dNc
fKff
σσσ
 e 
 
1
88,1
33,07,0
88,1
16,0
88,1
53,1 2 ≤++





 
OK...187,0 ≤
 
 
 
1
,90
,
,90
,
2
,90
. ≤++





dco
dMy
dco
dMx
M
dco
dNc
ffkf
σσσ
 
 
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Disciplina: Estruturas de madeira Prof. Msc. Eng˚Marinês Silvani Novello 
16 
 
 
1
88,1
33,0
88,1
16,07,0
88,1
53,1 2 ≤++





 
OK...190,0 ≤
 
 
A seção transversal adotada não atende pois verifica somente a 
compressão e flexo-compressão conforme item 5.5.4 devido 
3,0
,
>xrelλ e 3,0, >yrelλ . 
 
 
 
 
Exercício 04: 
Dimensionar uma coluna de madeira solicitado a compressão 
paralela as fibras sendo: 
Comprimento da coluna = 3000mm 
Esforço de compressão de cálculo paralelo as fibras: Ns,d = 10 KN 
Seção transversal a ser adotada: quadrada sendo base de 100mm e 
altura de 100mm 
Tipo de madeira: serrada conífera com classe de resistência C25, 
Umidade de equilíbrio da madeira = 12% 
Considere Kmod = 0,50 
 
 
Exercício 05: 
Dimensionar um elemento de tesoura em madeira solicitado a 
compressão paralela as fibras sendo: 
Comprimento do elemento = 1460mm 
Esforço de compressão de cálculo paralelo às fibras: Nsd = 97 KN 
Seção transversal a ser adotada: retangular sendo base de 100mm e 
altura de 200mm 
Tipo de madeira: serrada conífera com classe de resistência C30, 
Madeira de 1ª categoria, classe de umidade “1” e classe de 
classificação visual: densa S1-D 
Umidade de equilíbrio da madeira = 12% 
Estrutura prevista para carregamento normal