Pilares

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL 
ESCOLA DE ENGENHARIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VERIFICAÇÃO DA ESTABILIDADE 
DE PILARES ESBELTOS DE 
CONCRETO ARMADO 
 
 
 
 
 
AMÉRICO CAMPOS FILHO 
 
 
 
 
 
 
 
2014 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
1 - FUNDAMENTOS ............................................................................................................................... 1 
1.1 - Instabilidade na compressão axial – flambagem ................................................................................ 1 
1.2 - Instabilidade na flexão composta ............................................................................................ ........... 2 
2 - PROCEDIMENTOS PARA A VERIFICAÇÃO DE PILARES ............................................................ 4 
2.1 - Recomendações da norma brasileira sobre pilares ............................................................................. 4 
2.2 - Verificação da estabilidade de um pilar pelo método do equilíbrio ................................................... .. 5 
2.3 - Determinação dos deslocamentos pela analogia de Mohr .................................................................. 7 
2.4 - Determinação das curvaturas das seções a partir do momento fletor e do esforço normal atuante ....... 9 
2.5 - Instabilidade na flexão composta oblíqua ........................................................................................ .. 14 
2.5.1 - Deformações do eixo da barra ....................................................................................... ................. 14 
2.5.2 – Curvaturas .................................................................................................................. .................. 15 
2.5.3 - Verificação da estabilidade de um pilar pelo método do equilíbrio .................................................. 17 
2.6 - Observações gerais .......................................................................................................... .................. 17 
2.6.1 – Princípios básicos de cálculo ......................................................................................................... 17 
2.6.2 - Consideração da fluência .................................................................................................... ........... 17 
3 - PROGRAMA PARA VERIFICAÇÃO DE PILARES ESBELTOS DE CONCRETO ARMADO 
SUBMETIDOS À FLEXO-COMPRESSÃO NORMAL ............................................................................ 
 
19 
3.1 – Abrangência do programa ................................................................................................................ 19 
3.2 - Primeiro exemplo de utilização do programa .................................................................................. .. 19 
3.3 - Segundo exemplo de utilização do programa ..................................................................................... 22 
3.4 - Terceiro exemplo de utilização do programa .................................................................................. ... 25 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................................................... 28 
____________________________________________________________________________________________________ 
Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 1 
 
 
 
 
 
 
1 - FUNDAMENTOS 
 
 
 
 
1.1 - Instabilidade na compressão axial - flambagem 
Tomando-se uma barra reta, axialmente comprimida, de comportamento elástico-linear, verifica-se 
experimentalmente que, sob ação de carregamentos crescentes, atinge-se um estado no qual a forma reta de 
equilíbrio é instável. A carga correspondente a este estado é dita carga crítica ou carga de flambagem. 
O fenômeno de instabilidade das barras retas axialmente comprimidas é caracterizado pela presença do 
ponto de bifurcação do equilíbrio, no diagrama que relaciona a carga F aplicada com o máximo deslocamento a 
da barra. 
 
Figura 1.1 - Barra reta, de comportamento elástico-linear, axialmente comprimida 
A carga crítica ou carga de flambagem é dada por 
F
EI
crit
e

 2
2
 (1.1) 
onde e é o comprimento de flambagem da barra, que depende de sua vinculação e de seu comprimento. 
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Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 2 
Figura 1.2 - Comprimento de flambagem das barras 
Para os materiais estruturais, como o concreto e o aço, a situação de flambagem é um estado limite 
último. Para cargas pouco superiores à carga crítica, a flecha já é igual a uma fração apreciável do comprimento 
da barra, levando a barra a ruptura por flexão composta. Em outros materiais, a barra pode resistir a cargas 
sensivelmente superiores à carga de flambagem, pelo que o estado limite de flambagem deixa de ser um estado 
limite último. 
Se o material analisado tem um comportamento linear apenas para tensões menores que um dado limite 
de proporcionalidade, observa-se uma mudança da forma de equilíbrio, para cargas críticas superiores a este 
limite. Neste caso, para cargas superiores a carga crítica, a forma reta de equilíbrio é instável e a forma fletida é 
impossível. 
 
Figura 1.3 - Barra reta, de comportamento não-linear, axialmente comprimida 
 
1.2 - Instabilidade na flexão composta 
Determinando-se a flecha de uma barra reta, de comportamento elástico-linear, submetida à flexão 
composta, chega-se aos resultados apresentados na Fig. 1.4. Conclui-se, desta forma, que enquanto o material 
permanecer no regime elástico, não existe problema de instabilidade na flexão composta, pois sempre haverá 
uma configuração de equilíbrio estável. 
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Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 3 
 
Figura 1.4 - Barra reta, de comportamento elástico-linear, submetida à flexão composta 
 
Caso o material apresente um comportamento não-linear, a resposta da estrutura vai ser do tipo 
mostrado na Fig. 1.5. Nesta situação, o equilíbrio é impossível para uma carga maior que a carga crítica. O ponto 
B não corresponde a uma mudança da configuração de equilíbrio estável, mas sim a uma reversão do andamento 
das deformações. Antes de se atingir este ponto, isto é, para uma carga inferior à carga crítica, a um aumento de 
F corresponde um aumento da flecha a. Pelo contrário, após ser atingido o ponto B, não só é impossível 
aumentar a carga, como a própria manutenção do equilíbrio somente será possível com um sistema de 
deformação controlada, pois o aumento das flechas corresponde a uma diminuição das cargas. 
 
Figura 1.5 - Barra reta, de comportamento não-linear, submetida à flexão composta 
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Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 4 
 
 
 
 
 
 
 
2 - PROCEDIMENTOS PARA A VERIFICAÇÃO DE PILARES 
 
 
 
 
2.1 - Recomendações da norma brasileira sobre pilares 
Conforme a NBR-6118, o tipo de verificação a ser feita em pilares depende do índice de esbeltez que o 
pilar apresenta. O índice de esbeltez  é definido por 
 
e
i
 (2.1) 
onde e é o comprimento de flambagem do pilar e i é o raio de giração mínimo da seção de concreto, calculado 
por 
i
Jc
Ac

 (2.2) 
sendo Ac a área e Jc o momento principal central de inércia mínimo da seção transversal do pilar. 
As exigências da NBR-6118, relativas aospilares, podem ser resumidas na Tabela 2.1. 
Neste trabalho, apresenta-se um procedimento “exato” para a verificação da estabilidade de pilares de 
concreto armado, com índice de esbeltez até 200. O que caracteriza este procedimento “exato” é a determinação 
das curvaturas das seções, a partir das solicitações, utilizando os diagramas tensão-deformação dos materiais 
recomendados pela norma. O procedimento apresentado é bastante geral, abrangendo a análise de pilares de 
seção transversal qualquer e variável ao longo da altura do pilar. 
 
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Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 5 
Tabela 2.1 - Exigências da NBR-6118 relativas à verificação da segurança de pilares 
 f 
Consideração 
dos efeitos de 
2
a
 ordem 
PROCESSO DE CÁLCULO 
Consideração 
da fluência 
Exato 
Aproximado 
(diagramas 
M, N, 1/r) 
Simplificado 
 1 
1,4 
dispensável - - - - 
 90 
obrigatória 
dispensável permitido 
permitido dispensável 
140 
não 
permitido 
obrigatória 
200 1,4+0,01(λ – 140) obrigatório 
não 
permitido 
NÃO É PERMITIDO EMPREGAR  > 200 
 
 
2.2 - Verificação da estabilidade de um pilar pelo método do equilíbrio 
A idéia básica do método do equilíbrio é realizar a verificação da segurança de um pilar, frente ao 
estado limite de instabilidade, sem a necessidade da determinação da carga crítica do mesmo. Ou seja, o método 
do equilíbrio consiste em verificar-se que, sob a ação do carregamento de cálculo Fd, tem-se uma flecha a em 
uma seção de referência do pilar, e que tal situação corresponde a uma configuração estável de equilíbrio. 
Fd
aref
equlíbrio estável
F
a
 
Figura 2.1 - Verificação da estabilidade pelo método do equilíbrio 
 
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Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 6 
Desta forma, calcula-se apenas um ponto do diagrama carga-deslocamento do pilar. Na Fig. 2.2, 
apresenta-se, esquematicamente, o procedimento de verificação da estabilidade de um pilar, usando o método do 
equilíbrio. Na primeira etapa, determina-se o deslocamento a1, calculando-se as solicitações considerando-se a 
configuração indeformada do pilar. Qualquer que seja o tipo de carregamento ou de variação da seção 
transversal, calcula-se a flecha a1 a partir das relações momento fletor-esforço normal-curvatura. Na segunda 
etapa, determinam-se as solicitações, considerando-se a configuração da barra com os deslocamentos calculados 
na etapa anterior e assim sucessivamente. 
ei
Fd
eia1
Fd
an-1
Fd
ei
1a. etapa 2a. etapa na. etapa
a2
an
a1
. . .
Fd
a
F
curva desconhecida
único ponto calculado
 
Figura 2.2 - Procedimento do método do equilíbrio 
 
As flechas calculadas a1, a2, a3, ..., an-1, an constituem-se numa seqüência que, quando convergente, 
comprova a estabilidade da configuração de equilíbrio. A convergência da seqüência pode ser constatada 
numericamente. Quando ela ocorre, sabe-se que a carga Fd está abaixo da carga crítica. 
Desta forma, para aplicação do método do equilíbrio, precisa-se, em cada uma das etapas, do seguinte 
 calcular as solicitações ao longo do eixo do pilar, a partir de uma configuração deformada; 
 conhecidas as solicitações de uma seção, calcular a curvatura correspondente; 
 integrar as curvaturas das diferentes seções, ao longo do eixo do pilar, para obter os deslocamentos. 
Apresentam-se, nos itens que seguem, os procedimentos para realizar estas tarefas. 
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Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 7 
 
2.3 - Determinação dos deslocamentos pela analogia de Mohr 
Para a determinação dos deslocamentos dos pilares, é necessário integrar as curvaturas das diversas 
seções ao longo do eixo do pilar. Isto pode ser feito através da analogia de Mohr, conforme foi empregado por 
Hoffmann (1980) 
Considerando-se a semelhança que existe entre as expressões 
d y
dx r r
M
E J
d M
dx
p
dM
dx
V
2
2
2
2
1 1
 
 
;
;
 (2.3) 
pode-se imaginar a determinação da deformada y(x), calculando-se os momentos fletores M*(x), devido a um 
carregamento imaginário p*(x)=1/r(x). O sistema equivalente de Mohr é o sistema sobre o qual se aplica o 
carregamento p*(x), com condições de apoio escolhidas de acordo com as condições de deformação da barra. 
y
x
y(x)=?
p(x)
A B

M*(x)=y(x)
p*(x)=1/r
A B

 
Figura 2.3 - Sistema equivalente de Mohr para uma barra bi-rotulada 
Para uma barra bi-rotulada, Fig. 2.3, tem-se 
BARRA REAL SISTEMA EQUIVALENTE DE MOHR 
yA = yB = 0 M*A = M*B = 0 
A  0 V*A  0 
B  0 V*B  0 
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Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 8 
y
x
y(x)=?
p(x)
A
B

M*(x)=y(x)
A B

p*(x)=1/r
 
Figura 2.4 - Sistema equivalente de Mohr para uma barra engastada livre 
Já para uma barra engastada-livre, Fig. 2.4, tem-se 
BARRA REAL SISTEMA EQUIVALENTE DE MOHR 
yA = 0 M*A = 0 
A = 0 V*A = 0 
yB  0 M*B  0 
B  0 V*B  0 
 
Pelo processo proposto por Hoffmann (1980), deve-se dividir a barra em n partes iguais, com um 
comprimento x. Assim 
x
n


 (2.4) 
Supondo-se que as curvaturas tenham uma variação parabólica, ao longo do comprimento da barra, 
determinam-se os pesos wk. Os pesos wk são forças fictícias, aplicadas nos pontos k, equivalentes ao 
“carregamento” p*(x) das curvaturas. A força fictícia wk do diagrama de curvaturas é dada por 
w
r
dxk
k x
k x








1
1( )
 (2.5) 
Considerando esta distribuição, os pesos w, nos pontos k valem: 
- para o extremo superior da barra 
w
x
r r r
0
0 1 212
3 5
1
3
1
0 5
1






 





 















, ,
 (2.6) 
 
 
____________________________________________________________________________________________________ 
Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 9 
- para um ponto intermediário k 
w
x
r r r
k
k k k






 





 













 

12
1
10
1 1
1 1
 (2.7) 
- para o extremo inferior da barra 
w
x
r r r
n
n n n






 





 













 

12
3 5
1
3
1
0 5
1
1 2
, ,
 (2.8) 
O mesmo processo pode ser utilizado para outra vinculação da barra. 
Desta forma, o roteiro do método do equilíbrio, usando a analogia de Mohr, pode ser resumido no 
seguinte roteiro: 
(a) Dividir o comprimento da barra em n partes iguais. 
(b) Calcular os esforços solicitantes de primeira ordem em cada um dos (n+1) pontos. 
(c) Escolher o sistema equivalente de Mohr. 
(d) Calcular as curvaturas (1/r)k (k=0,n), verificando se nenhum estado limite foi excedido. 
(e) Determinar os pesos wk. 
(f) Considerar o sistema equivalente carregado pelas cargas concentradas wk, nos pontos k, e determinar os 
valores de M*k, que devido a analogia de Mohr são os yk. 
(g) Verificar a convergência 
y
y
tolerancia
k
i
n
k
i
n
2
0
2
0
1
2

















 (2.9) 
(h) Caso a condição anterior seja verdadeira, seguir para o passo (j), senão ir para o passo (i). 
(i) Determinar os momentos fletores Mk no sistema deformado e voltar para (d). 
(j) Final do processo, se houver convergência a configuração deformada obtida é de equilíbrio estável. 
 
2.4 - Determinação das curvaturas das seções a partir do momento fletor e do esforço normal atuante 
Na análise da estabilidade de uma estrutura de concreto armado, é necessária a obtenção da 
configuração deformada de uma seção, para uma determinada combinação de esforços que a solicitam abaixo do 
seu limite de resistência. Apresenta-se, neste item, um procedimento geral para a determinação desta 
configuração deformada para uma seção de concreto armado, definida por uma poligonal fechada. 
 
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Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 10 
O problema pode ser definido da seguinte forma: 
 conhecidos: 
 a geometria da seção de concreto armado (coordenadas dos vértices da poligonal fechada, 
coordenadas das barras e suas respectivas percentagens em relação à área total de armadura; 
 as resistências características do aço e do concreto (fyk e fck); 
 a área total de armadura As. 
 deseja-se determinar: 
 a combinação única de parâmetros , b, c (inclinação da linha neutra, curvatura e deformação do 
centróide da seção), que corresponda a esforços resistentes em equilíbrio com os esforços atuantes 
fornecidos, desde que as deformações extremas superior e inferior da seção de concreto armado, S e 
I, não ultrapassem os valores estabelecidos pela NBR-6118 (-3,5‰ na fibra mais comprimida da 
seção e 10‰ na fibra mais tracionada). 
X
Y
x
y


LINHA NEUTRA
C

S

I

I

S

 
Figura 2.5 - Distribuição de deformações em uma seção de concreto armado 
 
 
 
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Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 11 
Na situação mais geral, correspondente à flexo-compressão oblíqua, deve-se resolver um sistema de três 
equações não-lineares com três incógnitas: 
f b c MR b c MA
g b c MR b c MA
h b c NR b c NA
x x
y y
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
 
 
 
  
  
  





0
0
0
 (2.10) 
onde MRx, MRy e NR são os esforços resistentes, funções dos parâmetros , b, c, e MAx, MAy e NA são os 
esforços atuantes. 
Na flexo-compressão reta ou normal, bastaria resolver um sistema de duas equações não-lineares com 
duas incógnitas ( = valor conhecido) 
f b c MR b c MA
g b c NR b c NA
x x( , ) ( , )
( , ) ( , )
  
  



0
0
 (2.11) 
Para resolver o sistema formado pela Eqs. (2.10), utilizando-se o método de Newton-Raphson, deve-se 
resolver uma série de sistemas de três equações lineares com três incógnitas, do tipo 
 K u u pi i i({ } ) { } { } 
 (2.12) 
sendo que, para i-ésima iteração, tem-se 
{u}i - é o vetor com os parâmetros , b, c a serem ajustados; 
{u}i - é o vetor incremental de {u}i; 
{p}i - é o vetor de diferenças entre os esforços atuantes e os esforços resistentes, correspondentes aos valores de 
, b, c da i-ésima iteração. 
A matriz [K({u}i)] contém as derivadas parciais dos esforços resistentes em relação aos parâmetros de 
ajuste. Desta forma, pode se escrever a Eq.(2.12), por extenso, do seguinte modo 



















MR MR
b
MR
c
MR MR
b
MR
c
NR NR
b
NR
c
b
c
MA MR
MA MR
NA NR
x x x
y y y
x x
y y













































 (2.13) 
 O algoritmo para a determinação da deformada de uma seção, uma vez estabelecidas a geometria da 
seção de concreto armado (coordenadas dos vértices da poligonal fechada, coordenadas das barras e suas 
respectivas percentagens em relação à área total de armadura), as resistências características do aço e do concreto 
(fyk e fck) e a área total de armadura As, é o seguinte: 
 (a) arbitram-se, inicialmente, os parâmetros , b e c a serem ajustados; 
(b) por integração das tensões, obtêm-se os esforços resistentes MRx, MRy e NR e os elementos da matriz de 
derivadas parciais [K], correspondentes aos valores de , b e c; da i-ésima iteração; 
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Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 12 
(c) calcula-se o vetor de desequilíbrio pela diferença entre esforços atuantes conhecidos e os esforços resistentes 
obtidos no item anterior 
{ }



p
M
M
N
MA MR
MA MR
NA NR
i
x
y
x x
y y
























 (2.14) 
(d) verifica-se a convergência por 
  M M N
MA MA NA
tolerância
x y
x y
2 2 2
2 2 2
1
2 
 









 (2.15) 
(e) caso a condição acima seja satisfeita, vai-se para o item (i), senão segue-se para (f); 
(f) resolve-se o sistema de equações lineares 
{ } [ ] { } u K pi i 1
 (2.16) 
(g) determinam-se , b e c a partir da expressão 
{ }u b
c
b
c
b
c
i
i i



































1
1
  


 (2.17) 
(h) retorna-se ao item (b); 
(i) o processo iterativo é encerrado e a deformada da seção é obtida. 
Através deste procedimento são obtidos a inclinação da linha neutra , a curvatura da seção b e a 
deformação c do centróide da seção de concreto, correspondentes à área total de armadura As preestabelecida, de 
tal forma que as deformações extremas superior e inferior da seção, S e I, não ultrapassem os limites prescritos 
na NBR6118. 
As derivadas parciais dos esforços resistentes, em relação aos parâmetros , b e c, são obtidas conforme 
apresentados por Campos Filho (1996) e têm as expressões dadas a seguir 
 derivadas parciais dos esforços resistentes em relação à inclinação da linha neutra  






MR
MR
MR
MR
NR
x
y
y
x
 

 0
 (2.18) 
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Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 13 
 derivadas parciais dos esforços resistentes em relação à curvatura da seção b 
 para a seção de concreto: 
 
 
 


  


  


  


MR
b
G G
MR
b
G G
NR
b
G G
cd
i
n
cd
i
n
cd
i
n
 
  
 



1 02 2 03
1
1 11 2 12
1
1 01 2 02
1
 (2.19) 
onde 
ba2
ca2a
22
211




 (2.20) 
 para a seção de aço: 


  


  


 




MR
b
A E
MR
b
A E
NR
b
A E
j s T j
j
m
j
j s T j
j
m
j j
j s T j j
j
m
 
  
 



. . ( ).
. . ( ).
. . ( ).
.
1
2
1
1
 (2.21) 
Finalmente, tem-se 
















 
 
MR
b
MR
b
MR
b
MR
b
MR
b
MR
b
x
y
 
 
cos sen
sen cos(2.22) 
 derivadas parciais dos esforços resistentes em relação à deformação no centróide da seção c 
 para a seção de concreto: 
 
 
 


  


  


  


MR
c
G G
MR
c
G G
NR
c
G G
cd
i
n
cd
i
n
cd
i
n
 
  
 



1 01 2 02
1
1 10 2 11
1
1 00 2 01
1
 (2.23) 
____________________________________________________________________________________________________ 
Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 14 
 para a seção de aço: 


  


  


 


MR
c
A E
MR
c
A E
NR
c
A E
j s T j
j
m
j
j s T j
j
m
j
j s T j
j
m
 
  
 



. . ( ).
. . ( ).
. . ( )
1
1
1
 (2.24) 
Finalmente, tem-se 
















 
 
MR
c
MR
c
MR
c
MR
c
MR
c
MR
c
x
y
 
 
cos sen
sen cos
 (2.25) 
 
2.5 - Instabilidade na flexão composta oblíqua 
2.5.1 - Deformações do eixo da barra 
Seja uma barra submetida a um carregamento que produz flexão composta oblíqua em suas seções 
transversais (Fig. 2.6). Sob ação do carregamento aplicado, o eixo da barra sofre deformações. No caso de barras 
esbeltas, os deslocamentos transversais criam as excentricidades e2 de segunda ordem, as quais não podem ser 
ignoradas no estudo da peça. 
 
 
Figura 2.6 - Barra reta submetida à flexo-compressão oblíqua 
____________________________________________________________________________________________________ 
Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 15 
O eixo deformado do pilar é uma curva reversa, já que o plano de flexão é variável, de seção para seção, 
em virtude da própria deformação da barra. A deformada do pilar só vai ser uma curva plana, se a linha neutra de 
todas as seções tiver sempre a mesma direção, fato este que não pode acontecer, quando o plano de flexão varia 
de seção para seção. 
 
2.5.2 - Curvaturas 
Seja uma seção retangular submetida a flexo-compressão oblíqua, conforme aparece na Fig. 2.7. As 
conclusões estabelecidas a seguir são válidas para seções de forma qualquer, embora determinadas a partir de 
uma seção retangular. 
A partir da Fig. 2.7, pode-se escrever 
1 2 1 3 4
r h hx x x



    (2.26) 
1 2 3 1 4
r h hy y y



   
 (2.27) 
e 
1 2 4
r h 
 


 (2.28) 
Mas 
( ) ( )     2 3 3 4 2 4    
 (2.29) 
e, portanto 
h
r
h
r
h
r
y
y
x
x
 


 (2.30) 
Por outro lado, tem-se que 
h h hx y   sen cos
 (2.31) 
Desta forma, pode-se escrever que 
h
r
h
r
h h
r
y
y
x
x
x y
 
sen cos 

 (2.32) 
ou 
h
r r
h
r r
x
x
y
y
1 1
0





  







 
sen cos 
 
 (2.33) 
____________________________________________________________________________________________________ 
Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 16 
Para que a condição expressa pela Eq.(2.30) seja satisfeita, para quaisquer valores de hx e de hy, as 
igualdades seguintes devem ser verificadas 
1 1
1 1
r r
r r
x
y






sen
cos
 (2.34) 
 
 
x
 y
 
 
12
3 4
hy
hx
 2
h
 4
LN
 
Figura 2.7 - Curvaturas em uma seção submetida à flexo-compressão oblíqua 
____________________________________________________________________________________________________ 
Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 17 
2.5.3 - Verificação da estabilidade de um pilar pelo método do equilíbrio 
A verificação da estabilidade de um pilar, submetido a flexo-compressão oblíqua, é feita pelos mesmos 
procedimentos empregados nos casos de flexo-compressão normal, com as devidas adaptações para a 
consideração tanto da existência de dois momentos fletores, quanto da variação da posição da linha neutra. 
O procedimento, no caso da flexo-compressão oblíqua, tem os seguintes passos 
 determinam-se os momentos fletores de primeira ordem; 
 determinam-se a distribuição de curvaturas 1/r e as diferentes inclinações das linhas neutras  ao longo do 
eixo do pilar; 
 calculam-se as curvaturas nas direções x e y (1/rx e 1/ry) a partir dos valores de 1/r e  para cada seção; 
 integram-se as curvaturas ao longo do eixo do pilar separadamente para as direções x e y e determinam-se os 
deslocamentos; 
 calculam-se os novos momentos fletores, considerando a configuração deformada; 
 reinicia-se o ciclo iterativo com o cálculo de novas curvaturas e direções das linhas neutras para as diversas 
seções; 
 o processo iterativo se encerra quando a série de deslocamento converge (pilar estável) ou quando se chega a 
ruptura de uma das seções. 
 
2.6 - Observações gerais 
2.6.1 – Princípios básicos de cálculo 
 Conforme a NBR6118, a análise estrutural com efeitos de 2
ª
 ordem deve assegurar que, para as 
combinações mais desfavoráveis das ações de cálculo, não ocorra perda da estabilidade nem esgotamento da 
capacidade resistente de cálculo. A não-linearidade física, presente nas estruturas de concreto armado, deve ser 
obrigatoriamente considerada. A deformabilidade dos elementos deve ser calculada com base nos diagramas 
tensão-deformação dos materiais. A tensão de pico do concreto deve ser igual a 1,10 fcd, já incluído o efeito de 
carga mantida (Rüsch), e a do aço igual a fyd, com os valores de z e c utilizados para o estado limite último. Os 
valores característicos das ações devem ser majorados por um fator f / 1,10. 
 
2.6.2 - Consideração da fluência 
Conforme a NBR6118, na avaliação da segurança dos pilares com índice de esbeltez acima de noventa, 
quando houver cargas de longa duração, deverão ser consideradas, obrigatoriamente, as deformações por fluência 
do concreto. 
 
____________________________________________________________________________________________________ 
Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 18 
1,10 fcd
c
(1+f)c
c fc c2 cu (1+f)c2 (1+f)cu
c
c
f = 0 f = 2
 
Figura 2.8 - Diagrama tensão-deformação do concreto com a consideração da fluência 
Assim 
 f 
  
cc c
c total c cc

 ,
 (2.35) 
onde 
c - é a deformação imediata do concreto; 
cc - é a deformação por fluência do concreto; 
c,total - é a deformação total do concreto; 
f - é o coeficiente de fluência. 
Desta forma, o diagrama tensão-deformação do concreto sofre uma transformação, conforme aparece na 
Fig. 2.8. 
Nas análises em que coexistirem cargas de curta e longa duração, recomenda-se a utilização do método 
da função equivalente de fluência. De acordo com este método aproximado, realiza-se o cálculo como se toda a 
carga fosse de longa duração, adotando-se para o coeficiente de fluência o valor efetivo dado por 
f   fef t t ( , )0
 (2.36) 
onde 
 - é a fração do esforço normal que produz fluência; 
 - é a fração do momento fletor de primeira ordem que produz fluência; 
f(t,t0) - é o coeficiente de fluência real do problema. 
Este método é bastante geral, podendo ser aplicado inclusive nos casos de pilares muito esbeltos ou de 
seção transversal variável. 
 
____________________________________________________________________________________________________ 
Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 19 
 
 
 
 
 
3 - PROGRAMA PARA VERIFICAÇÃODE PILARES ESBELTOS DE CONCRETO ARMADO 
SUBMETIDOS À FLEXO-COMPRESSÃO NORMAL 
 
 
 
 
3.1 – Abrangência do programa 
 Apresenta-se, neste capítulo, a utilização de um programa, para a verificação de pilares de concreto 
armado submetidos à flexo-compressão normal, através do método do equilíbrio. Este programa segue os 
procedimentos apresentados no capítulo 2. 
 
3.2 - Primeiro exemplo de utilização do programa 
 No primeiro exemplo, é feita a verificação do pilar bi-rotulado, apresentado na Figura 3.1. 
 
Figura 3.1 - Pilar verificado no exemplo 1 
 
____________________________________________________________________________________________________ 
Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 20 
 O arquivo de entrada de dados utilizado é o seguinte 
 2 15 700 0 valor indicando pilar bi-rotulado 
 número seções analisadas 
 comprimento total do pilar 
 coeficiente de fluência 
 "A" 50 21000 2.5 tipo de aço, fyk, Es, fck 
 5 2 seção 1: 
 número vértices seção de concreto 
 número de barras de armadura 
 400 -70 800 0.1500 Pv(x), Ph(x), M(x), p(x) 
 -15 -12.5 uma linha para cada vértice da 
 15 -12.5 poligonal fechada, indicando 
 15 12.5 suas coordenadas 
 -15 12.5 
 -15 -12.5 
 0 -10.23 14.78 uma linha para cada barra, 
 0 10.23 14.78 indicando suas coordenadas 
 5 2 seção 2 
 0 0 0 0.1607 
 -18 -12.5 
 18 -12.5 
 18 12.5 
 -18 12.5 
 -18 -12.5 
 0 -10.23 17.73 
 0 10.23 17.73 
 5 2 seção 3 
 0 0 0 0.1714 
 -21 -12.5 
 21 -12.5 
 21 12.5 
 -21 12.5 
 -21 -12.5 
 0 -10.23 20.69 
 0 10.23 20.69 
 5 2 seção 4 
 0 0 0 0.1821 
 -24 -12.5 
 24 -12.5 
 24 12.5 
 -24 12.5 
 -24 -12.5 
 0 -10.23 23.64 
 0 10.23 23.64 
 5 2 seção 5 
 0 0 0 0.1929 
 -27 -12.5 
 27 -12.5 
 27 12.5 
 -27 12.5 
 -27 -12.5 
 0 -10.23 26.60 
 0 10.23 26.60 
 5 2 seção 6 
 0 0 0 0.2036 
 -30 -12.5 
 30 -12.5 
 30 12.5 
 -30 12.5 
 -30 -12.5 
 0 -10.23 29.55 
____________________________________________________________________________________________________ 
Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 21 
 0 10.23 29.55 
 5 2 seção 7 
 0 0 0 0.2143 
 -30 -12.5 
 30 -12.5 
 30 12.5 
 -30 12.5 
 -30 -12.5 
 0 -10.23 29.55 
 0 10.23 29.55 
 5 2 seção 8 
 0 0 0 0.2250 
 -30 -12.5 
 30 -12.5 
 30 12.5 
 -30 12.5 
 -30 -12.5 
 0 -10.23 29.55 
 0 10.23 29.55 
 5 2 seção 9 
 0 0 0 0.2357 
 -30 -12.5 
 30 -12.5 
 30 12.5 
 -30 12.5 
 -30 -12.5 
 0 -10.23 29.55 
 0 10.23 29.55 
 5 2 seção 10 
 0 0 0 0.2464 
 -30 -12.5 
 30 -12.5 
 30 12.5 
 -30 12.5 
 -30 -12.5 
 0 -10.23 29.55 
 0 10.23 29.55 
 5 2 seção 11 
 0 0 0 0.2571 
 -27 -12.5 
 27 -12.5 
 27 12.5 
 -27 12.5 
 -27 -12.5 
 0 -10.23 26.60 
 0 10.23 26.60 
 5 2 seção 12 
 0 0 0 0.2679 
 -24 -12.5 
 24 -12.5 
 24 12.5 
 -24 12.5 
 -24 -12.5 
 0 -10.23 23.64 
 0 10.23 23.64 
 5 2 seção 13 
 0 0 0 0.2786 
 -21 -12.5 
 21 -12.5 
 21 12.5 
 -21 12.5 
 -21 -12.5 
____________________________________________________________________________________________________ 
Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 22 
 0 -10.23 20.69 
 0 10.23 20.69 
 5 2 seção 14 
 0 0 0 0.2893 
 -18 -12.5 
 18 -12.5 
 18 12.5 
 -18 12.5 
 -18 -12.5 
 0 -10.23 17.73 
 0 10.23 17.73 
 5 2 seção 15 
 0 0 0 0.3000 
 -15 -12.5 
 15 -12.5 
 15 12.5 
 -15 12.5 
 -15 -12.5 
 0 -10.23 14.78 
 0 10.23 14.78 
 
 As unidades dos dados fornecidos devem ser coerentes. No exemplo. foram usados kN como unidade de 
força e cm como unidade de comprimento. Os valores, em cada linha, devem ser separados por espaços em 
branco. O texto em itálico, colocado ao final de cada linha, é apenas comentário e não deve aparecer no arquivo 
de entrada de dados. 
 Ao rodar o programa, aparecerá, na tela do computador, a saída de resultados da forma seguinte 
resultados da iteracao 13 
 x y(x) N(x) V(x) M(x) b(x) 
 1 0,0 0,00 -400,00 70,00 800,00 0,00000597 
 2 50,0 1,14 -400,00 62,23 4563,74 0,00003283 
 3 100,0 2,20 -400,00 53,93 7893,24 0,00005567 
 4 150,0 3,12 -400,00 45,09 10739,29 0,00006989 
 5 200,0 3,87 -400,00 35,72 13060,71 0,00007749 
 6 250,0 4,42 -400,00 25,81 14822,85 0,00008018 
 7 300,0 4,77 -400,00 15,36 15995,42 0,00008741 
 8 350,0 4,91 -400,00 4,38 16545,15 0,00009081 
 9 400,0 4,82 -400,00 -7,14 16441,91 0,00009017 
 10 450,0 4,50 -400,00 -19,20 15659,61 0,00008533 
 11 500,0 3,97 -400,00 -31,78 14175,58 0,00008512 
 12 550,0 3,23 -400,00 -44,91 11964,12 0,00007927 
 13 600,0 2,29 -400,00 -58,57 9004,35 0,00006526 
 14 650,0 1,20 -400,00 -72,77 5283,79 0,00003965 
 15 700,0 0,00 -400,00 -87,50 801,00 0,00000597 
 
3.3 - Segundo exemplo de utilização do programa 
 No segundo exemplo, é feita a verificação do pilar engastado-livre, conforme apresentado na Figura 3.2. 
____________________________________________________________________________________________________ 
Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 23 
 
Figura 3.2 - Pilar verificado no exemplo 2 
 O arquivo de entrada de dados utilizado é o seguinte 
 1 9 8000 valor para pilar engastado-livre 
 número seções analisadas 
 comprimento total do pilar 
 coeficiente de fluência 
 "A" 50 21000 2.5 tipo de aço, fyk, Es, fck 
 5 2 seção 1: 
 número vértices seção de concreto 
 número de barras de armadura 
 1000 -20 40000 0 Pv(x), Ph(x), M(x), p(x) 
 -30 -30 uma linha para cada vértice da 
 30 -30 poligonal fechada, indicando 
 30 30 suas coordenadas 
 -30 30 
 -30 -30 
 0 -24.55 21.24 
 0 24.55 21.24 
 5 2 seção 2 
 0 0 0 0 
 -33.75 -30 
 33.75 -30 
 33.75 30 
 -33.75 30 
 -33.75 -30 
 0 -24.55 23.90 
 0 24.55 23.90 
 5 2 seção 3 
 0 0 0 0 
 -37.50 -30 
 37.50 -30 
 37.50 30 
 -37.50 30 
 -37.50 -30 
____________________________________________________________________________________________________ 
Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 24 
 0 -24.55 26.55 
 0 24.55 26.55 
 5 2 seção 4 
 0 0 0 0 
 -41.25 -30 
 41.25 -30 
 41.25 30 
 -41.25 30 
 -41.25 -30 
 0 -24.55 29.21 
 0 24.55 29.21 
 5 2 seção 5 
 0 0 0 0 
 -45.00 -30 
 45.00 -30 
 45.00 30 
 -45.00 30 
 -45.00 -30 
 0 -24.55 31.86 
 0 24.55 31.86 
 5 2 seção 6 
 0 0 0 0 
 -48.75 -30 
 48.75 -30 
 48.75 30 
 -48.75 30 
 -48.75 -30 
 0 -24.55 34.52 
 0 24.55 34.52 
 5 2 seção 7 
 0 0 0 0 
 -52.50 -30 
 52.50 -30 
 52.50 30 
 -52.50 30 
 -52.50 -30 
 0 -24.55 37.17 
 0 24.55 37.17 
 5 2 seção 8 
 0 0 0 0 
 -56.25 -30 
 56.25 -30 
 56.25 30 
 -56.25 30 
 -56.25 -30 
 0 -24.55 39.83 
 0 24.55 39.83 
 5 2 seção 9 
 0 0 0 0 
 -60 -30 
 60 -30 
 60 30 
 -60 30 
 -60 -30 
 0 -24.55 42.48 
 0 24.55 42.48 
 
 Ao rodar o programa, aparecerá, na tela do computador, a saída de resultados da forma seguinte 
resultados da iteracao 15 
 x y(x) N(x) V(x) M(x) b(x) 
____________________________________________________________________________________________________ 
Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 25 
 1 0,0 -10,27 -1000,00 20,00 40000,00 0,00003148 
 2 100,0 -7,84 -1000,00 20,00 44425,88 0,00003243 
 3 200,0 -5,74 -1000,00 20,00 48527,86 0,00003292 
 4 300,0 -3,97 -1000,00 20,00 52300,97 0,00003305 
 5 400,0 -2,53 -1000,00 20,00 55743,83 0,00003291 
 6 500,0 -1,41 -1000,00 20,00 58857,78 0,00003255 
 7 600,0 -0,62 -1000,00 20,00 61646,32 0,00003204 
 8 700,0 -0,15 -1000,00 20,00 64114,59 0,00003139 
 9 800,0 0,00 -1000,00 20,00 66269,07 0,00003064 
 
3.4 - Terceiro exemplo de utilização do programa 
 No terceiro exemplo, é feita a verificação de outro pilar engastado-livre, conforme apresentado na Fig. 
3.3. 
 
Figura 3.3 - Pilar verificado no exemplo 3 
 
 O arquivo de entrada de dados utilizado é o seguinte 
 1 9 800 0 
 "A" 50 21000 3.5 
 5 2 
 160 -35 0 0 
 -20 -10 
 20 -10 
 20 10 
 -20 10 
 -20 -10 
 0 -8.18 13.55 
 0 8.18 13.55 
 5 2 
 0 0 0 0 
 -20 -10 
____________________________________________________________________________________________________ 
Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 26 
 20 -10 
 20 10 
 -20 10 
 -20 -10 
 0 -8.18 13.55 
 0 8.18 13.55 
 5 2 
 480 -3.9 3200 0 
 -20 -10 
 20 -10 
 20 10 
 -20 10 
 -20 -10 
 0 -8.18 13.55 
 0 8.18 13.55 
 5 2 
 0 0 0 0 
 -20 -20 
 20 -20 
 20 20 
 -20 20 
 -20 -20 
 0 -16.36 27.10 
 0 16.36 27.10 
 5 2 
 0 0 0 0 
 -20 -20 
 20 -20 
 20 20 
 -20 20 
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 0 -16.36 27.10 
 0 16.36 27.10 
 5 2 
 0 0 0 0 
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 20 20 
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 0 -16.36 27.10 
 0 16.36 27.10 
 5 2 
 0 0 0 0 
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 0 0 0 0 
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 5 2 
 0 0 0 0 
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Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 27 
 -20 -20 
 20 -20 
 20 20 
 -20 20 
 -20 -20 
 0 -16.36 27.10 
 0 16.36 27.10 
 
 Ao rodar o programa, aparecerá, na tela do computador, a saída de resultados da forma seguinte 
resultados da iteracao 20 
 x y(x) N(x) V(x) M(x) b(x) 
 1 0,0 -24,51 -160,00 35,00 0,00 0,00000000 
 2 100,0 -18,42 -160,00 35,00 4474,75 0,00007251 
 3 200,0 -13,10 -640,00 38,90 12026,18 0,00019976 
 4 300,0 -9,53 -640,00 38,90 18200,63 0,00003230 
 5 400,0 -6,44 -640,00 38,90 24071,61 0,00004627 
 6 500,0 -3,80 -640,00 38,90 29646,66 0,00005987 
 7 600,0 -1,77 -640,00 38,90 34838,94 0,00007279 
 8 700,0 -0,46 -640,0038,90 39565,82 0,00008480 
 9 800,0 0,00 -640,00 38,90 43750,61 0,00009564 
 
 
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Curso de Especialização em Estruturas de Concreto/UFRGS 28 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
 
 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto: NBR6118. 
Rio de Janeiro, 2014. 
 CAMPOS FILHO, A. Dimensionamento e verificação de seções poligonais de concreto armado submetidas à 
flexão oblíqua composta. Porto Alegre, PPGEC/UFRGS. 2014. 
 COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. Manual of Buckling and Instability. Paris, 1978 (Bulletin 
d’Information, 123). 
 COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. Codes of Practice for Structures, 1978. Volume I: Common 
unified rules for different types of construction and materials. Volume II: CEB-FIP Model Code for Concrete 
Structures. Paris, 1978 (Bulletin d’Information, 124/125). 
 COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. Bending and Compression. Paris, 1981 (Bulletin 
d’Information, 141). 
 COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. Buckling and Instability. Paris, 1983 (Bulletin 
d’Information, 155). 
 COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. Model Code 1990. Lausane, 1991 (Bulletin d’Information, 
203/204/205). 
 DUMONT, N.A. & MUSSO JR., F. Dimensionamento e verificação de seções de concreto armado e 
protendido e verificações da estabilidade de vigas-colunas no estado limite último com o uso de 
microcomputadores. Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil da PUC/RJ, 1987. 
 FUSCO, P.B. Estruturas de concreto: solicitações normais. Rio de Janeiro, Guanabara Dois, 1981. 
 HOFFMANN, J.R. Pilares esbeltos de concreto armado: método exato. Porto Alegre, Curso de Pós-
Graduação em Engenharia Civil, UFRGS, CT-18. 1980.