Resumo - Aula 01

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Álgebra Linear 
Centro Universitário Estácio de Sá 
Igor Soares 
Revisão para AV1 | Brasília - 2017 
 
A = 
Aula 1 – Matrizes; Operações e Determinantes 
 
 Uma matriz pode ser vista como uma planilha de dados da qual 
podemos extrair ou incluir informações relativas a problemas da 
natureza prática. 
 Formalmente definimos uma matriz como uma disposição retangular 
de números ou funções do tipo 
 
 
 
 
 
 
 
 Diagonal principal da matriz quadrada A: é formada pelos 
elementos aij, tais que i=j 
 Matriz nula: possui todos os elementos iguais a zero. 
 Matriz triangular superior: é uma matriz quadrada cujos elementos 
situados abaixo da diagonal principal são iguais a zero. 
 Matriz triangular inferior: é uma matriz quadrada cujos elementos 
situados acima da diagonal principal são iguais a zero 
 Matriz diagonal: é uma matriz quadrada cujos elementos fora da 
diagonal principal são iguais a zero. 
 Matriz identidade: denotada por In, é uma matriz diagonal cujos 
elementos da diagonal principal são aij = 1 
 Matriz linha: é a matriz que possui apenas uma linha 
 Matriz coluna: é a matriz que possui apenas uma coluna 
 Matriz transposta da Matriz A=(aij): denotada por A
t, é tal que o 
elemento situado na linha i e coluna j de A passa a ser o elemento 
da linha j e coluna i de At. 
 Matriz simétrica: é uma matriz tal que A = At 
 Matriz antissimétrica: é uma matriz tal que A = - At 
 A soma de matrizes só pode ser realizada quando são de mesma 
ordem, sendo a soma de cada elemento correspondente. 
 A multiplicação por escalar é obtida multiplicando-se cada elemento 
pelo escalar em questão. 
a11 a12 --- a1n 
a21 a22 --- a2n 
 --- --- aij --- 
am1 am2 --- amm 
Quando a matriz tem o mesmo 
número de linhas e colunas, 
chamamos de 
Matriz Quadrada 
 aij é a linha i e coluna j 
 
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 Produto de matrizes: é necessário que o número de colunas da 
primeira matriz (A) seja igual ao número de linhas da segunda (B), ex: 
A (m x p) + B (p x n) = C (p x p) 
 Para definir cada elemento de C é preciso: 
 Selecionar a linha i na matriz A 
 Selecionar a coluna j da matriz B 
 Efetuar a soma dos produtos dos elementos da linha i pelos da 
coluna j, da seguinte forma: 
cij = ai1*b1j + ai2*b2j + ... + ain*bnj, para todo i e j. 
 As potências matriz de uma matriz quadrada de ordem (n x n) são: 
A2 = A*A; An = A*A*...*A (n vezes) 
 Determinante de uma matriz: denotado por det (A) ou │A│, é um 
número que está associado a essa matriz calculado da seguinte forma: 
 Caso 1: A (a) det (A) = a; 
 Caso 2: A det (A) = ad – BC 
 
 
 Caso 3: A det (A) 
 
Repetimos as duas primeiras colunas após a terceira coluna, traçamos 3 
diagonais em cada sentido, sendo as linhas vermelhas com sinal negativo 
e as verdes com sinal positivo: 
 
 
 
 
1 2 3 4 5 6 
 
1 = - c*e*g 4 = + a*e*i 
2 = - a*f*h 5 = + b*f*g 
3 = - b*d*i 6 = + c*d*h 
 
 
 
O det (A) será a somatória dos produtos indicados. 
det (A) = aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi 
 Cofator: denotado por Δij, é definido por Δij = (-1)
i+j
 * det (Aij), onde Aij 
denota a matriz obtida da matriz A suprimindo-se a linha i e a coluna j. 
 
a b 
c d 
a b c 
d e f 
g h i 
a b c a b 
d e f d e 
g h i g h 
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 Regra de Laplace: 
 Escolher uma linha ou coluna 
 Se a linha i da matriz for escolhida, então: 
det (A) = ai1* Δi1 + ai2* Δi2 + ... + ain* Δin 
 Propriedades do determinante: 
 Sejam A e B matrizes quadradas na ordem n. 
 det (A
t
) = det (A) 
 det (k*A) = k
n
*det (A), sendo k um número real 
 det (A*B) = det (A) * det (B) 
 Se A possui linhas (colunas) iguais ou proporcionais, então det 
(A) = 0 
 Se trocarmos as posições de duas linhas (colunas) de A, o seu 
determinante fica multiplicado por (-1). 
 Se A é uma matriz triangular seu determinante é o produto dos 
elementos da diagonal principal. 
 Se somarmos a uma linha (ou coluna) de A um múltiplo de outra 
linha (ou coluna), o determinante da nova matriz é igual ao de A.