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Adm. FLÁVIO VIEIRA - (MSc) MATEMÁTICA FINANCEIRA métodos quantitativos financeiros UNIDADE II ( - juros compostos ( - TAXAS DE JUROS ( Taxa Nominal ( Taxa Efetiva ( Taxa Equivalente ( - EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS ( Capitais Equivalentes ( Valor Atual de um Conjunto de Capitais ( Conjuntos Equivalentes de Capitais ( JUROS COMPOSTOS Definição: Os juros de cada período são calculados em função do saldo existente no final do período anterior Exemplo; Seja um capital de $.100,00, aplicado à taxa de 10% ao ano. Mostrar o crescimento deste capital ao longo dos próximos 3 anos: Crescimento de $.100,00 a 10% a.a durante 3 anos FINAL DO - ES CA LA SALDO NO INÍCIO DO ANO - ( $) JUROS DE CADA ANO ($) SALDO NO FINAL DO ANO ($) - 0 - - 100,00 1°. ANO 1 100,00 100,00 x 0,10 =10.00 110,00 2°.ANO 2 110,00 110,00 x 0,10 =11,00 121,00 3°.ANO 3 121.00 121,00 x 0.10 =12.10 133,10 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA: S $ Exponencial 133,10 - 121,00 - 110,00 - 100,00 - = 0 1 2 3 (ano) ( ( ( (período) 1º ano 2º ano 3º ano (período) (período) (período) ( Conclusão: ( O dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos; ( A juros compostos o dinheiro cresce exponencialmente ao longo do tempo; (A juros compostos o dinheiro cresce em progressão geométrica; EXPRESSÃO DO MONTANTE, VALOR FUTURO OU VALOR NOMINAL (S): Fator Que Dado "P" Achar - “S" - (FPS) Montante, Valor de resgate, Valor Futuro, Valor Capitalizado, Valor acumulado ou qualquer outra denominação que nos indique de forma clara e sem qualquer dúvida que se trata de dinheiro disponível em determinada data no futuro, ou tratar-se da liquidação de uma divida ou de um retorno. Inclui principal e juros; Diagrama do Fluxo de Caixa: Do exemplo temos: Dados: P = $.100,00; i = 10% a.a; n = 3 anos S = $.133,10 ( 0 1 2 3 (ano) ( P = $.100,00 ( - Cálculo do Montante "S" no Final do 1°. Ano: ( - Juros do 1°. ano: J1 = 100,00 x 0,10 ( J1 = $.10,00 ou J1 = P x i ( - Montante "S" no final do 1°. ano: S1 = 100,00 + 10.00 ( S1 = $.110,00 ou S1 = P + J ( S1 = P + P x i ( S1 = P (1 + i) ( - Cálculo do Montante "S" no Final do 2°. Ano: ( - Juros do 2°. ano: J2 = 110,00 x 0,10 ( J2 = $.11,00 ou J2 = P (1 + i) x i ( - Montante "S" no final do 2°. ano: S2 = 110,00 + 11,00 ( S2 = $.121,00 ou S2 = P (1 + i) + P (1+i) x i ( S2 = P (1 + i) (1 + i) ( S2 = P (1+i)2 ( - Calculo do Montante "S" no Final do 3°. Ano; S3 = 100,00 (1 + 0.10)3 ( S3 = $.133,10 ou S3 = P (1 + i)3 Generalizando, temos: Fórmula Geral: ( Onde: é (FPSi ; n) Então: Exemplo: Qual o montante produzido por um capital de $.425,00, aplicado pelo prazo de 4 meses, à taxa de 15% ao mês, no regime de juros compostos? Dados: S = $.? S = P (1 + i)n ( S = 425,00 (1 + 0,15 )4 P = $.425,00 S = 425.00 (1,15)4 ( S = 425,00 (1,74901) i = 15% a.m n = 4 meses S = $.743.33 ou S = P (FPSi ; n) ( S = 425,00 (1.74901) ( S = $.743,33 Exercício: 01) - Qual o montante acumulado em 6 bimestres a uma taxa de juros de 8% ao bimestre, no regime de juros compostos, sabendo-se que $.200,00 foi o capital aplicado? Resp. S= $.317,37 02) - Qual a taxa de juros composta que devo exigir, se tem um capital de $.30.000,00 e desejo formar um montante $.43.076,55, no final de 5 meses? Resp. i = 7,5% a.m 03) - Por uma aplicação de $.22.000,00 a taxa de 12% ao semestre, recebi a importância de $.30.908,42. Quanto tempo ficou o capital aplicado? Resp. n = 3 semestres ( EXPRESSÃO DO PRINCIPAL. VALOR PRESENTE. (P): Fator Que Dado "S" Achar “P" - (FSP) Principal, Capital Inicial, Valor de Aplicação, Valor Atuai, Valor Presente, Investimento Inicial etc, ou qualquer outra denominação que nos indique de forma clara e indubitável que se trata de dinheiro disponível hoje, ou valores inicialmente cedidos, emprestados ou aplicados. Diagrama do Fluxo de Caixa: S ( 0 1 2 3 n - 1 n (períodos) ( P Sendo: S = P (1 + i)n Então: Fórmula Geral: ( Onde: é Então Exemplo: Qual o principal que deve ser aplicado hoje para formar um montante e $.1.200,00, ao final de 3 meses, a taxa de 12% ao mês, no regime de juros compostos? Dados: P = $.? S 1.200,00 1.200,00 S = $.1.200,00 P = ------------- ( P = ---------------- ( P = --------------- n = 3 meses ( 1 + i )n (1 + 0.12)3 1,40493 i = 12% a.m P = $.854,14 Ou ainda: P = S (FSPi ; n) ( P = 1.200,00 (0.71178) ( P = $. 854.14 Exercício: Um título deverá ser resgatado por $.10.000,00 daqui a 7 meses. Sabendo-se que a taxa de juros corrente no mercado é de 13% ao mês, qual o seu valor atual? Resp. P = $.4.250,61 ( CALCULO DO JURO - (J) É o rendimento de uma aplicação no final do período. Sendo: J = S - P e S = P (1+i)n Então: J = P ( 1+i )n - P ( ou Exemplo: Qual o juro produzido por um capital de $.2.500,00, aplicado à taxa de 3% ao trimestre. no regime de juros compostos e pelo prazo de 5 trimestres? Dados: J=$.? J = P [(1 + i)n -1 )] ( J = 2.500,00 [(1 + 0,03)5 -1 ] P = $.2.500.00 i = 3% a.m J = 2.500,00 [(1,03)5-!] ( J = 2.500,00 [1.15927 -1] n = 5 meses J = 2.500,00 [0,15927] ( J = $.398.18 Ou J = P [( FPSi;n ) -1] ( J = 2.500,00 [(1,15927-1)] J = 2.500.00 [0.15927] ( J = $.398.18 Exercício: Quanto receberei de juros se aplicar determinado capital pelo prazo de 5 semestres, no regime de juros compostos, se recebi no final desse prazo a importância de $.17.000,00, sendo a taxa de juros contratada de 4% ao semestre? Resp. J = $.3.027,24 Comentando: FATOR QUE DADO "P" ACHAR "S" (FPS) E FATOR QUE DADO "S" ACHAR "P" (FSP) (FSP) S (((((((((( ( n (períodos) 0 1 2 3 n -1 n ( (((((((((( P (FPS) NOTA: Esses fatores, desde que somente usados como multiplicadores, tem as seguintes finalidades: ( O fator que dado "P" achar "S" - (FPS) - serve para "empurrar" grandezas para frente; ( O fator que dado "S" achar "P" - (FSP) - serve para "puxar" grandezas para traz; Como o dinheiro deve crescer ao longo do tempo pela capitalização dos juros, podemos afirmar que: ( O fator (FPSi;n), é sempre maior que 1. Normalmente é conhecido como "Fator de Capitalização", pelo fato de "capitalizar" as grandezas presentes ao "empurrá-las" para o futuro; ( O fator (FSPi;n), é sempre menor que 1. Normalmente é conhecido como "Fator de Desconto", pelo fato de "descontar" grandezas futuras ou "puxá-las" para o presente; ( TAXAS DE JUROS ( TAXA EFETIVA: Definição: É aquela em que a unidade de referência do seu tempo coincide com a unidade de referência dos períodos de capitalização. Exemplo: 12% ao ano, capitalizados anualmente; 15% ao trimestre,capitalizados trimestralmente. SIMBOLOGIA: if ( Taxa Efetiva Fórmula Geral; ou Exemplo: 01) - Qual a taxa efetiva cobrada num empréstimo de $.100,00, sabendo-se que o pagamento no final de 1 ano foi de $.120,00? Dados: if = ? if = [(S / P) - 1] x 100 ( if = [(120,00 / 100,00) -1] x 100 P = $.100,00 S = $.120,00 if = [1,2 -1] x 100 ( if = 0,2 x 100 ( if = 20% a.a n = 1 ano 02) - Tendo aplicado hoje a importância de $.300,00, durante 2 meses e recebido de juros $.75,00, qual a taxa de remunerou meu capital? Dados? P = $.300,00 if = (J / P) x 100 ( if = (75,00 / 300) x 100 n = 2 meses = 1 bimestre if = 0,25 x 100 ( if = 25% a 2 meses ou J = $.75.00 if = 25% ao Bimestre Íf=? Exercício: 01) - Qual a taxa de juros cobrada por uma instituição financeira de empresta $.2.400,00, pelo prazo de 6 meses, sabendo-se que o tomador deverá pagar no final desse prazo $.2.645,00? Resp. i = 1,63% a.m 02) - Uma pessoa aplicou hoje a importância de $.800,00, recebendo no final de 3 meses $.150,00 de juros. Qual a taxa recebida pela aplicação? Resp. i = 5,90% a.m ( TAXA NOMINAL: Definição: É aquela em que a unidade de referência de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. Exemplo. 60% Ao Ano, capitalizados mensalmente; 24% Ao Ano, capitalizados, trimestralmente; SIMBOLOGIA: in ( Taxa Nominal n ( Número de períodos de capitalização que se refere à taxa nominal. Então: ou NOTA: ( A "taxa nominal" é bastante utilizada no mercado, entretanto o seu valor nunca é usado nos cálculos por não representar uma taxa efetiva. O que realmente interessa é a taxa efetiva embutida na taxa nominal, pois ela é que será efetivamente aplicada em cada período de capitalização. Exemplo: 01) - Qual a taxa efetiva mensal dada uma taxa nominal de 120% ao ano, com capitalização mensal? Dados: in 120 if = ? if = ---------- ( if = ----------- ( if = 10% a. m in =120%a.a n 12 n = 12 meses 02) - Sendo a taxa efetiva de 1% ao mês e o prazo da aplicação de 12 meses, qual a taxa nominal? Dados: if = 1% ao mês in = if x n ( in = 1 x 12 n = 12 meses in = ? in = 12% ao ano com capitalização mensal. Exercício: 01) - Sendo uma taxa de 54% ao ano, com capitalização trimestral, qual é a taxa efetiva? Resp. i = 13,5% a.t 02) - Qual a taxa nominal anual, dado uma taxa efetiva de 4% ao semestre? Resp. i = 8% a.a com capitalizados semestralmente ( TAXAS EQUIVALENTES: Definição: Duas ou mais taxas são ditas equivalentes, se considerados os mesmos prazos de aplicação e o mesmo capital, for indiferente aplicar em uma ou outra. De outro modo, considerando-se um mesmo capital aplicado por um mesmo intervalo de tempo a cada uma das taxas, ambas produzirão um mesmo montante no final desse prazo, se forem equivalentes, no regime de juros compostos. Exemplo1: Qual o montante acumulado ao final de 12 meses, a partir de um principal de $.100, 00, aplicado a taxa de 1% ao mês, no regime de juros composto? Dados: S = $.? S = P ( 1+i )n ( S = 100,00 (1 + 0,01 )12 P = $.100,00 n = 12 meses S = $.112,68 I = 1% a.m Exemplo2: Qual o montante acumulado ao final de 1 ano, a partir de um principal de $.400,00, aplicado a taxa de 12,68% ao ano, no regime de juros compostos? Dados: S = $. ? S = P (1 + i)n ( S = 100.00 (1 + 0,1268)1 P =$.100,00 n == 1 ano S = $.112,68 i =12,68% a.a Resumindo, temos: S1 = Pi (1 + im)12 e S2 = P (1 + ia) Como: S1 = S2 e P1 = P2 Então: (1 + im)12 = (1 + ia) Generalizando, temos; Fórmula Geral: Onde: id ( Taxa de juros ao dia em fração decimal; im ( Taxa de juros ao mês em fração decimal; ib ( Taxa de juros ao bimestre em fração decimal; it ( Taxa de juros ao trimestre em fração decimal; iq ( Taxa de juros ao quadrimestre em fração decimal; is ( Taxa de juros ao semestre em fração decimal; ia ( Taxa de juros ao ano em fração decimal. "NOTA RESUMO" q ( Tempo em dias da taxa que quero. t ( Tempo, em dias, da taxa que tenho. Exemplo: 01) - Qual a taxa equivalente anual à taxa de 3% ao trimestre? ia = ? i = 3 % a. t (1+ it)4 = (1 + ia) ( (1 + 0,03)4 = (1 + ia) ( 1,12551 = (1 + ia) ia = 1,12551 -1 ( ia = 0,12551 ou i = 12.55% a.a Ou ainda: iq = [(1 + it) q/t - 1] x 100 ( iq = [(1 + 0.03)4 - 1] x 100 iq = [(1,03)4 - 1] x 100 ( iq = [1,1255 - 1] x 100 iq = 0,1255 ou i = 12,55% a.a 02) - Calcular a taxa bimestral equivalente a 6,12% ao semestre? ib = ? i = 6,12% a.s (1 + ib)6 = (1 + is)2 ( (1 + ib)6 = (1 + 0.0612)2 (1 + ib)6 = (1,0612)2 ( (1 + ib)6 = 1,12615 1 + ib = (1,12615)1/6 ( 1 + ib = 1,02 ib = 1,02 - 1 ( i = 2% a.b Ou ainda: iq = [(1 + it)q/t - 1] x 100 ( ib = [(1 + 0,0612)2/6 - 1 ] x 100 it = (1,0612)1/3 -1] x 100 ( ib = (1,0612)0,33333 -1] x 100 ib = [1,02 - 1] x 100 ( ib = 0.02 x 100 00 ( i = 2% a.b Exercício: 01) - Calcular a taxa mensal equivalente a 34.49% ao ano? Reap. i = 2,5% a.m 02) - Calcular a taxa quadrimestral equivalente a 5,3% ao trimestre? Resp. i = 7,13% a.q ( EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NOTA: "DATA FOCAL": É a data que se considera como base para comparação dos valores referidos a diferentes datas. Data Focal = Data de Avaliação = Data de Referência ( CAPITAIS EQUIVALENTES: Definição: Dois ou mais capitais, com datas de vencimento determinado, são equivalentes, quando levados para uma determinada "data focal" a uma determinada taxa de juros, tiverem valores iguais. Seja o conjunto de valores nominais e suas respectivas datas de vencimento: VALOR NOMINAL - ( S ) DATA DO VENCIMENTO - ( anos ) S1 1 S2 2 Sn - 1 n -1 Sn n Diagrama do Fluxo de Caixa: S1 S2 Sn - 1 Sn ( ( ( ( 0 1 2 n -1 n ( períodos ) ( ( anos ) P Admitindo-se uma taxa de juros "i", esses capitais são equivalentes na "data focal" "O" (zero), se: Fórmula Geral: Exemplo: Verificar se o conjunto de valores nominais são equivalentes na data focal "O" ( zero ), admitindo-se uma taxa de juros de 10% a.a. VALOR NOMINAL - ( S ) DATA DO VENCIMENTO - ( anos ) 1.100,00 1 1.210,00 2 1.331,00 3 Diagrama do Fluxo de Caixa: 1.100,00 1.210,00 1.331,00 ( ( ( 0 1 2 3 ( anos ) ( Po Os valores atuais são: Para S1 = $.1.100,00 S1 1.100,00 P = ------------- ( P = ---------------- ( P = $.1.000,00 (1 + i)n (1 + 0,10) Para S2 = $.1.210,00 S2 1.210,00 P = ----------- ( P = ---------------- ( P = $.1.000,00 (1 + i)n (1 + 0,10)2 Para S2 = $.1.331,00 S3 1.331,00 P = ----------- ( P = ---------------- ( P = $.1.000,00 ( + i)n (1 + 0,10)3 Logo concluímos que: P1 = P2 = P3 OBSERVAÇÃO: Como os capitais são equivalentes a esta taxa de juros, isto quer dizer que o possuidor de dois ou mais destes capitais, ficará indiferente quanto aos valores nominais. NOTA: "Uma vez constatada a equivalência de capitais para uma certa "data focal", a mesma permaneceráválida para qualquer outra "data focal", no regime de "juros compostos" e a mesma taxa de juros". Exercício: 01) - Um título de valor nominal de $.8.500,00, com vencimento par 5 meses é trocado por outro de $.7.934,84, com vencimento para 3 meses. Sabendo-se que a taxa de juros corrente no mercado é de 3,5% a.m, pergunta-se: a substituição foi vantajosa? Resp. Indiferente 02) - João irá receber $.6.600,00 dentro de 1 ano, como parte da participação nos lucros de uma empresa. Contudo, necessitando de dinheiro, transfere seu direito a um amigo, que os compra, entregando-lhe uma Nota promissória no valor de $.6.000,00, com vencimento para 6 meses. João fez bom negócio, considerando-se uma taxa de juros de 20% a.a? Resp. Não 03) - Considerando-se a taxa de juros de 4% a.m, será que $.8.000,00 hoje é equivalente â 10.000,00 em 6 meses? Resp. Não 04) - A que taxa de juros anual $.2.000,00 para 1 ano é equivalente a $.2.300,00 para 2 anos? Resp. i = 15% a.a ( VALOR ATUAL DE UM CONJUNTO DE CAPITAIS: Definição: É o valor dos capitais (valores nominais) descontados a uma determinada taxa de juros até a "data focal” desejada. Seja o seguinte conjunto de capitais: VALOR NOMINAL - ( S ) DATA DO VENCIMENTO - ( anos ) S1 1 S2 2 Sn - 1 n -1 Sn n O valor atual do conjunto de capitais é: Fórmula Geral: Diagrama do Fluxo de Caixa é: S1 S2 Sn - 1 Sn ( ( ( ( 0 1 2 n -1 n ( períodos ) ( ( anos ) P Exemplo: Admitimos o seguinte conjunto de capitais: VALOR NOMINAL - ( S ) DATA DO VENCIMENTO - ( anos ) 1.000,00 1 2.000,00 2 5.000,00 3 Sendo a taxa de juros de 10% a.a. calcular o valor atual? Diagrama do Fluxo de Caixa: 1.000,00 2.000,00 5.000,00 ( ( ( 0 1 2 3 ( anos ) ( Po S1 S2 S3 P = ------------- + -------------- + -------------- ( 1 + i )n ( 1 + i )n ( 1 + i )n 1.000,00 2.000,00 5.000,00 P = --------------- + ----------------- + ---------------- (1+0,10) (1 +0,10)2 (1 +0,10)3 PO = 909,09 + 1.652,89 + 3.756,57 P0= $.6.318.55 Exercício: 01) - Uma financeira oferece a um cliente dois títulos, vencendo o primeiro em 1 ano, no valor de $.15.000,00, e o segundo em 1 ano e meio, no valor de $.25.000,00. O cliente aceita assinando uma Nota Promissória com vencimento para 6 meses. Sabendo-se que a taxa de juros considerada na operação foi de 30% a.a, qual o valor da Nota Promissória no seu vencimento? Resp. NP = x = $.32.386,64 02) - Um terreno é posto a venda por $.100.000,00 à vista, ou, caso o comprador opte por financiamento, pagará $.50.000,00 no ato, mais duas parcelas semestrais, sendo a primeira de $.34.000,00 e a segunda de $.35.000,00. Qual a melhor alternativa para o comprador, se considerarmos que a taxa de juros corrente é de 50% a.a? Resp. à vista ( CONJUNTOS EQUIVALENTES DE CAPITAIS: Definição: Dois conjuntos de capitais são equivalentes quando, fixada uma “data focal’ e uma taxa de Juros, os valores atuais dos conjuntos forem iguais”. Sejam os dois conjuntos de capitais: 1º Conjunto 1º Conjunto VALOR NOMINAL - ( $ ) DATA DO VENCTO. ( anos ) VALOR NOMINAL - ( $ ) DATA DO VENCTO. ( anos ) S1 1 S1 1 S2 2 S2 2 Sn - 1 n -1 Sn - 1 n -1 Sn n Sn n Desse modo, a taxa de juros "i", na “data focal” "O" ( zero ), os conjuntos de capitais são equivalentes se: Fórmula Geral: Diagrama do Fluxo de Caixa: S1 S2 Sn - 1 Sn ( ( ( ( 0 1 2 n -1 n ( períodos ) ( ( ( ( ( anos ) S’1 S’2 S’n - 1 S’n Exemplo: Verificar se os conjuntos de capitais abaixo são equivalentes na data focal "O" ( zero ), a taxa de 10% a.a. 1º Conjunto 1º Conjunto VALOR NOMINAL - ($) DATA DO VENCTO. (anos) VALOR NOMINAL - ( $ ) DATA DO VENCTO. (anos) 2.420,00 2 2.200,00 1 1.996,50 3 2.196,15 4 Diagrama do Fluxo de Caixa: 2.420,00 1.996,50 ( ( 0 1 2 3 4 ( períodos ) ( ( ( anos ) 2.200,00 2.196,15 Do primeiro Conjunto, temos: S2 S3 2.420,00 1.996,50 P0 (1) = ------------- + ------------ ( P0 (1) = ----------------- + ----------------- (1 + i)2 (1 + i)3 (1 + 0,10)2 (1 + 0,10)3 P0 (1) = 2.000.00 + 1.500,00 ( P0 (1) = $.3.500.00 Do primeiro Conjunto, temos: S1 S4 ‘ 2.200,00 2.196,15 P0 (2) = ------------ + ----------- ( P0 (2) = --------------- + ---------------- (1 + i) (1 + i)4 (1 + 0,10) (1 + 0,10)4 P0 (2) = 2.000.00 + 1.500,00 ( P0 (2) = $.3.500.00 Como Po (1) = PO (2), concluímos que, a taxa de 10% a.a, os dois conjuntos de capitais são equivalentes. Exercício: 01) - Um carro esta a venda por $.20.000,00 de entrada e $.20.000,00 após 6 meses. Um comprador propõe pagar $.25.000,00 como segunda parcela, o que será feito, entretanto, após 8 meses. Nesse caso. quanto deverá dar de entrada, se a taxa de juros do mercado for de 24% a.a, com capitalização mensal? Resp. Entrada = E + $.16.422,17 02) - Um conjunto de som é vendido em um magazine por $.5.000,00 à vista ou a prazo em dois pagamentos trimestrais iguais, não se exigindo entrada alguma. Qual é o valor dos pagamentos, se a taxa de juros considerada for de 8% a.t? Resp. Pagamento = x = $.2.803,85 03) - Silvaria contraiu uma divida, comprometendo-se a saldá-la em dois pagamentos: o primeiro de $.2.500,00 e o segundo 6 meses após o primeiro, de $.3.500,00. Contudo, no vencimento da primeira parcela, não dispondo de recursos, o devedor propôs o adiamento de sua dívida. O esquema apresentado foi: pagamento de $.4.000,00 daí a 3 meses e o saldo em 9 meses. Se a taxa de juros considerada foi de 2,5% a.m. qual é o saldo restante? Resp. Saldo = x = $.2.252:50 04) - A loja "Tudo Vende" tem como norma facilitar os pagamentos, proporcionando a seus clientes a possibilidade de pagar em 3 vezes, sem acréscimo. Neste caso, o preço à vista e dividido por 3 e a primeira parcela é dada como entrada, qual é o desconto sobre o preço à vista que a loja pode conceder, se sua taxa for de 7,5% a.m? Resp. Desconto = 6,8% �PAGE � �PAGE �61�
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