Séries de Taylor e Maclaurin

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SÉRIES DE TAYLOR
Enedina Aíra Alves da Silva
Fernanda Carvalho
O que são séries?
A soma infinita  a1 + a2 + a3 + ... + an + ... =  é chamada série.
Cada número ai é um termo da série; an é o termo genérico de ordem n.
Para definir a SOMA de infinitas parcelas, consideram-se as SOMAS PARCIAIS.
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
------------------------
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an
 	S1, S2, S3, ..., Sn, ... É a sequência das somas parciais. Se essa sequência tem limite S, então a série CONVERGE e sua soma é S.
	Ou seja: Se   , então a série converge e sua soma é 
 a1+a2+a3+...+an... = S
	Se a sequência {Sn} não tem limite, então a série DIVERGE.
Quem foi Taylor?
	Taylor foi um matemático britânico inventivo e produtivo. Freqüentou o St. John's College de Cambridge e logo após sua graduação foi eleito fellow da Royal Society. Publicou seu livro de cálculo, Methodus incrementorum directa et inversa, em 1715, e seu livro sobre geometria, Linear perspectiva, no mesmo ano. Brook Taylor não inventou as séries de Taylor e as séries de Maclaurin não foram desenvolvidas por Maclaurin. James Gregory trabalhou com as séries de Taylor quando Taylor tinha poucos anos de idade. Gregory também publicou as séries de Maclaurin de funções trigonométricas dez anos antes de Maclaurin ter nascido. 
	Taylor não sabia do trabalho de Gregory quando publicou seu livro Methodus incrementorum directa et inversa, que continha o que chamamos hoje de séries de Taylor. Maclaurin citou a obra de Taylor em um livro de cálculo que ele escreveu em 1742. O livro de Maclaurin popularizou as representações das funções das séries e embora Maclaurin nunca tenha reclamado a descoberta delas, as séries de Taylor centralizadas em a = 0 mais tarde tornaram-se conhecidas como séries de Maclaurin. A história equilibrou as coisas no final. Maclaurin, um matemático brilhante, foi quem descobriu originalmente a regra para a resolução de sistemas de equação que hoje chamamos de regra de Cramer. Johann Bernoulli também fez uma descoberta independente do teorema de Taylor. Lagrange mais tarde considerou as séries de Taylor tão importantes que proclamou que o teorema era "o princípio fundamental do cálculo diferencial”.
Teorema 1.1
	Seja uma série de potências cujo raio de convergência é R>0. Então, se f é uma função definida por f(x)= f’(x) existe para todo x
	 no intervalo aberto (-R,R), e ele é dada por f’(x)= 
	A série de Taylor permite estimar o valor de uma função em um ponto a partir do valor da função e das suas derivadas em um ponto próximo.
	f(x)= (Equação 1)
	Cujo raio de convergência é R>0, f tem derivadas de todas as ordens em (-R,R). Dizemos que tal função é infinitamente diferenciável em (-R,R).
Série de Taylor
	Diferenciando sucessivamente as funções dadas na equação 1, temos:
	f’(x) (Equação 2) 
	f’’(x) (Equação 3)
	f’’’(x) (Equação 4)
	Assim por diante. Seja x=0 na Equação 1, obtemos:
	f(0)=	 C0
	Para x=0 na Equação 2, obtemos:
	f’(0)= C1
	Para x=0 na Equação 3, obtemos:
	f’’(0)= 2C2 e assim C2=
	De modo análogo, para x=0 na Equação 4, obtemos:	
	f’’’(0)= 6C3 e assim C3 =
	Em geral, temos:
	Cn = para todo inteiro positivo n. (Equação 5) 
	De uma forma mais geral, considere a função f como uma série de potências em (x-a); isto é:
 
 (Equação 6)
	Se o raio de convergência desta série é R, então f será infinitamente diferencial em (a-R, a+R). As sucessivas diferenciações da função na Equação 6 resultam:
	f’(x) 
	f’’(x) 
	f’’’(x) 
	Assim por diante. Tomando x=a nas séries de potência que representam f e suas derivadas, temos:
	C0 = f(a) 
	C1 = f’(a)
	C2 = 
	C3 = (Equação 7) 
	
	Em geral:
 	 Cn = 
	Das equações 6 e 7 podemos escrever a série de potências em f em (x-a) como:
 (Equação 8)
	A série em (8) é denominada Série de Taylor de f em a. O caso especial da Equação 8, quando a=0 é denominada Série de Maclauin.
	
	A Equação 5 também se aplica quando n=0 se tomarmos
	como sendo f(0) e 0! = 1. Assim, das equações 1 e 5, podemos escrever a série de potências de f em x como:
 (Equação 9)
	
 
Série de Maclaurin
	
	
Teorema 1.2
	Esse teorema apresenta um teste pra determinar se a função apresentada é uma série de Taylor.
	Seja f uma função tal que f e todas as suas derivadas existam em um mesmo intervalo (a-r, a+r), então a função é representada por sua série de Taylor.
 (Equação 10)
	para todo x, tal que se somente se 
 (Equação 11)
Onde cada está entre x e a. 
	É difícil aplicar o teorema 1.2 na prática, pois os valores de são arbitrários. Contudo, algumas vezes o limitante superior para Rn(x) pode ser encontrado, sendo usado para demonstrar que o limitante dos limites superiores é zero, quando . O próximo limitante é usado em alguns casos.
 (Equação 12) 
	para todo x. 
	Sabendo que a série de potências é convergente para todo valor de x e, portanto, o limite do seu n-ésimo termo deve ser zero. De modo análogo, como para todo o valor de x, temos