simulado Calculo 3

Prévia do material em texto

Testinho Simulado de Ca´lculo III - 2a Unidade
Prof. Emerson Lima
Escola Polite´cnica de Pernambuco
Resumo
Leia atentamente todas as questo˜es antes de comec¸ar a prova. As respostas obtidas
somente tera˜o validade se devidamente justificadas. Evite usar material diferente do que foi
apresentado em sala. Se for utilizar algum material extra, justifique-o adequadamente para
valida´-lo. Esta prova tem durac¸a˜o de 1:30h (uma hora e trinta minutos)
Questa˜o 1 (1,0 ponto) Diga se a sequ¨eˆncia {an}∞n=1 converge e, neste caso, encontre seu
limite onde
a) (0,5 ponto) an = ln(n)− ln(n+ 1)
b) (0,5 ponto) an =
1
n
− 1
n+ 1
Questa˜o 2 (1,0 ponto) Encontre o valor nume´rico das somas
a)
∞∑
k=0
2k+3
3k
.
b)
∞∑
k=3
1
k2 − k
Questa˜o 3 (3,0 pontos) Deduza e justifique a convergeˆncia, divergeˆncia ou na˜o-convergeˆncia
das se´ries abaixo:
a)
∑ k + 3
1 + 2 + 3 + · · · k
b)
∑ k2
ek
c)
∑
k
(
2
3
)k
d)
∑(√
k −√k − 1
)k
e)
∑ pik/2
k
√
k
f)
∑ cos kpi
k
2
Questa˜o 4 (2,0 pontos)
a) Encontre o desenvolvimento em se´ries de poteˆncias de f(x) =
1
(1− x)3 e g(x) = ln(1 − x
2)
e determine o raio de convergeˆncia de cada se´rie obtida.
b) O polinoˆmio de Taylor (com resto de Lagrange) para a func¸a˜o f(x) = e2x
Questa˜o 5 (3,0 pontos) Encontre o intervalo de convergeˆncia das se´ries de poteˆncia
a)
∑ k2
ek
xk
b)
∑ pik/2
k
√
k
xk
c)
∑ k3
k!
xk
d)
∑
αkxk
e)
∑ 1
2k
xk
f)
∑ 2k + 1
(2k)!
xk