Lista5-Algebra-2013-gabarito

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Estruturas Discretas – Lista de Exercícios – Sistemas Algébricos 
Profa. Heloisa – 2º. Sem. 2013 
 
1) Seja (G,*) um grupo com G = {a, b, c}. Determine os valores que faltam na tabela de valores 
para a operação *, de maneira a satisfazer as propriedades de grupo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Explique porque (Z5, Ө) não é um grupo. Dê pelo menos duas razões (Ө é a subtração 
modular). 
 
 
 
 
 
 
 
Não é associativa: (5 Ө 4) Ө 1 = [(5-4) mod 5] – 1 mod 5 = 0 
 5 Ө (4 Ө 1) = 5 - [(4-1) mod 5] mod 5 = 2 
Não tem elemento identidade: (2 Ө 0) = 2  (0 Ө 2) = 3 
 
3) Mostre que a operação * definida no conjunto {e, a, b, c} dada na tabela a seguir não é 
associativa. 
 
 
 
 
 
 
(a*a)*b = a*b = e Mas a*(a*b) = a*e = a Logo, (a*a)*b  a*(a*b). 
 
4) Mostre que se (G,*) é um grupo e g  G, então (g-1)-1 = g. 
g-1* g = e e (g-1)-1* g-1 = e. 
Logo, g-1* g = (g-1)-1* g-1 
( g-1* g) * g = ((g-1)-1* g-1) * g Como a operação é associativa, 
( g-1* g) * g = (g-1)-1* (g-1 * g)  e * g = g = (g-1)-1* e = (g-1)-1 
 Portanto, g = (g-1)-1 
 
5) Mostre que se (G,*) é um grupo, então e-1 = e. 
Seja e-1 o inverso de e. Então e-1 * e = e. (produto de um elemento por seu inverso dá a 
identidade). 
Mas e-1 * e = e-1, pois o produto de todo elemento pela identidade dá o próprio elemento. 
Logo, e-1 = e. 
 
6) Determine um isomorfismo de (Z10, )  (Z*11, ). 
 
7) Seja (G,*) o grupo tal que o conjunto G é {0,1}  {0, 1, 2} e a operação * é definida por 
(a,b) * (c,d) = (a+c mod 2, b+d mod 3). 
* a b c 
a a b c 
b ? ? ? 
c ? ? ? 
* a b c 
a a b c 
b b a c 
c c b a 
* 0 1 2 3 4 
0 0 4 3 2 1 
1 1 0 4 3 2 
2 2 1 0 4 3 
3 3 2 1 0 4 
4 4 3 2 1 0 
* e a b c 
e e a b c 
a a a e e 
b b e b e 
c c e e c 
Ache um isomorfismo de (G,*) para (Z6, ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(0,0)  0 
(1,0)  3 
(0,1) e (0,2) são inversos um do outro em G. 
(1,1) e (1,2) são inversos um do outro em G. 
1 e 5 são inversos um do outro em Z6 
2 e 4 são inversos um do outro em Z6 
(0,1)  4, (0,2)  2, (1,1)  1, (1,2)  5. 
Trocando as linhas 1 e 4 e as colunas 1 e 4, temos a mesma tabela. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Seja (G,*) o grupo tal que o conjunto G é {0,1,2}  {0, 1, 2} e a operação * é definida por 
(a,b) * (c,d) = (a+c mod 3, b+d mod 3) 
Mostre que (G,*) não é isomorfo a (Z9, ). 
 
9) Já mostramos que os grupos (Z4,), (Z5*,) são isomorfos. O isomorfismo encontrado foi 
f(0)=1, f(1)=2, f(2)=4 e f(3)=3. Determine outro isomorfismo de (Z4,) para (Z5*,). 
 
10) Mostre que (2A, ) é um grupo (2A é o conjunto potência de A e  é a diferença simétrica). 
A Diferença Simétrica dos conjuntos A e B, denotada por A  B, consiste em todos os 
elementos que pertencem a A ou B mas não a ambos: 
A  B = (A  B) \ (A  B). 
i) A operação  é fechada em 2A: a diferença simétrica de dois conjuntos A e B é um 
subconjunto de A 
ii) A operação  é associativa: Sejam A, B e C  2A 
Vamos mostrar que (A  B)  C = A  (B  C) 
Vamos usar o fato de que a operação lógica ou-exclusivo é associativa, o que pode ser 
provado por tabela verdade: 
(P xor Q) xor R  P xor (Q xor R) 
Seja x (A  B)  C 
Então x  (A  B) xor x  C, ou 
 (x  A xor x  B) xor x  C 
Como xor é associativa, 
 (x  A xor x  B) xor x  C  x  A xor (x  B xor x  C)  x  A xor x  (B  C) 
Logo x  (A  (B  C)) 
 
iii) A operação  tem elemento identidade: Seja A  2A. Então A   =   A = A. 
iv) Todos os elementos têm inverso: Seja A  2A. Então A  A =  . Logo, A é seu próprio 
inverso. 
* (0,0) (0,1) (0,2) (1,0) (1,1) (1,2) 
(0,0) (0,0) (0,1) (0,2) (1,0) (1,1) (1,2) 
(0,1) (0,1) (0,2) (0,0) (1,1) (1,2) (1,0) 
(0,2) (0,2) (0,0) (0,1) (1,2) (1,0) (1,1) 
(1,0) (1,0) (1,1) (1,2) (0,0) (0,1) (0,2) 
(1,1) (1,1) (1,2) (1,0) (0,1) (0,2) (0,0) 
(1,2) (1,2) (1,0) (1,1) (0,2) (0,0) (0,1) 
 0 1 2 3 4 5 
0 0 1 2 3 4 5 
1 1 2 3 4 5 0 
2 2 3 4 5 0 1 
3 3 4 5 0 1 2 
4 4 5 0 1 2 3 
5 5 0 1 2 3 4 
 (0,0) (1,1) (0,2) (1,0) (0,1) (1,2) 
0(0,0) 0(0,0) 1(1,1) 2(0,2) 3(1,0) 4(0,1) 5(1,2) 
1(1,1) 1(1,1) 2(0,2) 3(1,0) 4(0,1) 5(1,2) 0(0,0) 
2(0,2) 2(0,2) 3(1,0) 4(0,1) 5(1,2) 0(0,0) 1(1,1) 
3(1,0) 3(1,0) 4(0,1) 5(1,2) 0(0,0) 1(1,1) 2(0,2) 
4(0,1) 4(0,1) 5(1,2) 0(0,0) 1(1,1) 2(0,2) 3(1,0) 
5(1,2) 5(1,2) 0(0,0) 1(1,1) 2(0,2) 3(1,0) 4(0,1)