Lista5-Algebra_2013

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Estruturas Discretas – Lista de Exercícios – Sistemas Algébricos 
Profa. Heloisa – 2º. Sem. 2013 
 
1) Seja (G,*) um grupo com G = {a, b, c}. Determine os valores que faltam na tabela de valores 
para a operação *, de maneira a satisfazer as propriedades de grupo. 
 
 
 
 
 
2) Explique porque (Z5, Ө) não é um grupo. Dê pelo menos duas razões (Ө é a subtração 
modular). 
 
3) Mostre que a operação * definida no conjunto {e, a, b, c} dada na tabela a seguir não é 
associativa. 
 
 
 
 
 
 
4) Mostre que se (G,*) é um grupo e g  G, então (g-1)-1 = g. 
 
5) Mostre que se (G,*) é um grupo, então e-1 = e. 
 
6) Determine um isomorfismo de (Z10, )  (Z*11, ). 
 
7) Seja (G,*) o grupo tal que o conjunto G é {0,1}  {0, 1, 2} e a operação * é definida por 
(a,b) * (c,d) = (a+c mod 2, b+d mod 3). 
Ache um isomorfismo de (G,*) para (Z6, ). 
 
8) Seja (G,*) o grupo tal que o conjunto G é {0,1,2}  {0, 1, 2} e a operação * é definida por 
(a,b) * (c,d) = (a+c mod 3, b+d mod 3) 
Mostre que (G,*) não é isomorfo a (Z9, ). 
 
9) Já mostramos que os grupos (Z4,), (Z5*,) são isomorfos. O isomorfismo encontrado foi 
f(0)=1, f(1)=2, f(2)=4 e f(3)=3. Determine outro isomorfismo de (Z4,) para (Z5*,). 
 
10) Mostre que (2A, ) é um grupo (2A é o conjunto potência de A e  é a diferença simétrica). 
A Diferença Simétrica dos conjuntos A e B, denotada por A  B, consiste em todos os 
elementos que pertencem a A ou B mas não a ambos: 
A  B = (A  B) \ (A  B). 
 
* a b c 
a a b c 
b ? ? ? 
c ? ? ? 
* e a b c 
e e a b c 
a a a e e 
b b e b e 
c c e e c