Escalas e homotetia

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ProfProfªª. Deli Garcia Oll. Deli Garcia Olléé BarretoBarreto
ESCALAS
Importância da escala:
O uso de uma escala é indispensável quando se faz necessário representar um objeto 
graficamente mantendo a proporção entre suas partes ou em relação a outros objetos.
é a razão entre a dimensão gráfica e a dimensão real de um determinado 
objeto. 
 d/D = 1/Q
· D = dimensão real do objeto
· d = dimensão gráfica do mesmo objeto
· Q = fator de redução ou ampliação
· 1/Q = título da escala
Exemplo:
O lado de um quadrado que mede 8,0 m será desenhado com 4,0 cm se o título da escala 
utilizada for 1/200, 
 d = D / Q
 d = 8,0 / 200
Escala numérica 
d = 0,04 m = 4,0 cm
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 é a representação gráfica (o desenho) da escala numérica.Escala gráfica
Exemplo:
Neste exemplo foi escolhida a escala gráfica de título 1/75.
Para desenhá-la deve ser calculado o valor de 10 m nesta escala, ou seja, 
10 / 75 = 0,1333 m = 13,3 cm.
Usando a divisão gráfica de um segmento ( explicado na página seguinte ), este espaço foi 
dividido em 10 partes iguais a 1 m.
Do lado esquerdo do zero da escala foi colocado o espaço de 1 m e este espaço dividido em 10 
partes iguais. Esta unidade chama-se “talão da escala” onde serão medidos décimos do metro.
Obs. A quantidade de unidades da escala depende do espaço onde vamos desenhá-la.
Supondo que o espaço fosse de 10 cm, o cálculo seria:
d = 0,10 logo D = 0,10 x 75 = 7,5 m
Neste caso a escala teria somente 6,5 m porque a primeira unidade seria reservada ao talão.
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P ;
* Traçar uma reta auxiliar que tenha qualquer 
que lhe seja concorrente nos pontos 
ou 
ara dividir o segmento em 5 partes iguais, por exemplo:AB
inclinação em 
relação ao segmento AB e A 
B.
DIVISAÕ GRÁFICA DE UM SEGMENTO – Teorema de TALES DE MILETO
* Marcar 5 segmentos de mesmo tamanho sobre a reta auxiliar;
* Desenhar o triângulo 
* Traçar paralelas ao segmento AC pelos pontos marcados sobre a reta auxiliar .Estas 
paralelas dividem o segmento AB em 5 partes iguais. 
ABC. 
Na página seguinte uma breve explicação sobre o matemático 
Tales de Mileto
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Tales de Mileto Período: c. 625 - 546 a.C.
Assuntos matemáticos envolvidos: 
•Geometria: teorema de Tales; semelhança de triângulos; ângulos;circunferência; cálculo da altura da pirâmide;
Texto do site:
http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/tales.html
Para alguns historiadores da matemática antiga, a geometria demonstrativa iniciou-se com Tales de Mileto, um dos sete 
sábios da Grécia. Foi o fundador da escola jônica, escola de pensamento dedicada à investigação da origem do universo e 
de outras questões filosóficas, entre elas a natureza e a validade das propriedades matemáticas dos números e das figuras. 
Tales é uma figura imprecisa historicamente, pois não sobreviveu nenhuma obra sua. O que sabemos é baseado em antigas 
referências gregas à história da matemática que atribuem à ele um bom número de descobertas matemáticas definidas. 
Pouco sabemos sobre a vida e obra de Tales. Supõe-se que começou sua vida como mercador, tornando-se rico o suficiente 
para dedicar a parte final de sua vida ao estudo e a realização de algumas viagens. Supõe-se que viveu algum tempo no 
Egito onde provavelmente aprendeu geometria e na Babilônia onde entrou em contato com tabelas e instrumentos 
astronômicos. Faz parte do seu mito o fato de ter previsto o eclipse solar de 585 a.C., embora muitos historiadores da 
ciência duvidem que os meios existentes na época permitissem tal proeza. Atribui-se a Tales o cálculo da altura das 
pirâmides, bem como o cálculo da distância até navios no mar, por triangulação. Tales foi o primeiro personagem 
conhecido a quem associam-se descobertas matemáticas. Acredita-se que obteve seus resultados mediante alguns 
raciocínios lógicos e não apenas por intuição ou experimentação. Os fatos geométricos cuja descoberta é atribuída a Tales 
são: 
•A demonstração de que os ângulos da base de dois triângulos isósceles são iguais; 
•A demonstração do seguinte teorema: se dois triângulos tem dois ângulos e um lado respectivamente iguais, então são 
iguais; 
•A demonstração de que todo diâmetro divide um círculo em duas partes iguais; 
•A demonstração de que ao unir-se qualquer ponto de uma circunferência aos extremos de um diâmetro AB obtém-se um 
triângulo retângulo em C. Provavelmente, para demonstrar este teorema, Tales usou também o fato de que a soma dos 
ângulos de um triângulo é igual a dois retos; 
•Tales chamou a atenção de seus conterrâneos para o fato de que se duas retas se cortam, então os ângulos opostos pelo 
vértice são iguais.
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4. Qual a área real do terreno retangular desenhado abaixo?
1. Representar uma escala gráfica cujo título e 1/125 e outra com título igual a 1/75.
2. Um terreno retangular de 12 x 18 metros está desenhado na escala 1/150.Quanto mede 
 sua área gráfica?
3. Uma circunferência de raio igual a 6,0m foi desenhada com raio igual a 3,75cm. Em que 
 escala está o desenho?
U - m 
Esc - 1/85
6. Qual a área real do terreno abaixo representado na escala 1/200 ?
Exercícios de escalas
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7. Qual escala deve ser usada para desenhar uma sala de 5,0m por 10,0m numa folha de 
 papel formato A4?
 Dimensões do papel A4: 210 x 297 mm. Analisar o melhor aproveitamento para a folha de 
 papal sem esquecer as margens.
8.Qual a escala para as seguintes situações:
Medida real Medida do desenho Escala
10,0m 10cm ...../......
20,0m 10cm ...../......
10,0m 4cm ...../......
20,0m 1cm ...../......
30,0m 75cm ...../......
02,0m 20cm ...../......
9. Um segmento de 2,0m será representado no desenho por: 
 
9.1 1/50 ........................................ 
9.2 1/25 ........................................
10. O desenho de uma janela tem sua largura = 3,0 cm. Qual sua medida real?
1/25 ............/.................
1/75 ............/.................
1/50 ............/.................
11. Um centro de convenções tem dimensões 100m X 75m: 
 
Qual as dimensões do papel para uma escala de 1/100?
Qual a escala máxima a ser adotar para um papel com as dimensões de 40 X 30 cm ? 
Considerando que as escalas mais conhecidas são 1/250, 1/200, 1/100, 1/75, 1/50, 1/25, 
1/20, 1/10, e 1/5, qual a escala mais adeqüada para desenhar seu projeto utilizando o 
 papal com o formato A (dimensão 841/1189 mm)? 0
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Os triângulos ABC e A´B´C´ 
são semelhantes.
Polígonos semelhantes são aqueles que têm ângulos iguais e lados proporcionais
 
 
As dimensões do triângulo ABC são o dobro das dimensões do trianguço A´B´C´e esta 
proporção entre suas medidas chama-se razão de semelhança.
A
A´
B
B´
C
C´
FIGURAS SEMELHANTES - HOMOTETIA
A semelhança de triângulos é importante dentro do desenho geométrico e em 
particular na divisão de segmentos em partes iguais ou proporcionais, usada no 
estudado de escala gráfica.
Partindo do triângulo ABC e usando a razão ½ chega-se ao triângulo A´B´C´, no 
entanto, se a origem é o triângulo A´B´C´ e a razão é 2, encontra-se o triângulo ABC.
O segmento AB é semelhante ou homólogo de A´B´ da mesma forma os outros lados 
dos triângulos.
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Homotetia é a operação gráfica que permite desenhar figuras semelhantes com uma 
particularidade: os lados semelhantes são paralelos.
 
 O
 
Os elementos da homotetia são:
O = centro de homotetia
OA = raio vetor do ponto A;
OB = raio vetor do ponto B;
OC =raio vetor do ponto C 
A
A´
B
B´
C
C´
A´B /´ AB = B´C´/ BC = C´A´/ CA = ½
 Oa´/ OA = OB´/ OB = OC´/OC = ½
HOMOTETIA
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o (centro de homotetia)
A
A´
C
C´
B
B´
U
 
OBS: Cada ponto da figura tem seu próprio raio vetor e só pode deslocar-se sobre seu 
raio vetor.
u A´ A 
A ´ A´C´ AC
A´ C A´B´ AB A´ 
B. 
BS: O centro de homotetia pode ser qualquer ponto do plano da figura plana.
 
 
Na figura abaixo a razão de homotetia é 3/5 entre o triângulo maior e o menor.
Como os lados homotéticos são paralelos basta estabelecer esta razão em apenas um de seus 
raios vetores e traçar os lados semelhantes paralelos entre si.
O raio vetor do ponto A está dividido em 5 partes iguais o que foi possível através da divisão 
gráfica tendo a reta como auxiliar. O ponto que é o homotético de ocupa a terceira parte 
desta divisão. Após encontrar o ponto basta traçar o lado paralelo ao lado partindo 
do ponto até o raio vetor de e o lado é paralelo ao lado partindo do ponto até o 
raio vetor de 
 
O
+
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A homotetia pode ser direta ou inversa .
Quando a razão de semelhança é positiva a homotetia é direta mas quando a razão é 
negativa a homotetia é inversa.
A figura abaixo mostra o resulatado de uma homotetia inversa.
Neste caso a razão é -3/5 e as três unidades da divisão encontram-se na porção 
negativa do raio vetor do ponto A, dando origem ao ponto homotético A .´ Para encontrar 
os outros pontos o procedimento é semelhante ao caso anterior, bastando traçar 
paralelas aos lados homotéticos. 
B
B´A
A´
C
C´O
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
Os dois casos mostrados tratam de redução de figuras. 
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A
C
B
A´
C´
O
1
2
3
4
5
Isto ocorre quando a razão de homotetia é menor do que a unidade.
Quando a razão é maior do que a unidade a homotetia mostra uma ampliação. 
No exemplo a seguir a razão usada entre as figuras é de 5/2. Neste caso um dos raios vetores 
(o do ponto A), está dividido em duas unidades iguais e o ponto A´está localizado a 5 unidades 
do centro de homotetia (ponto O).
Exercício:
Desenhar uma logomarca conhecida e fazer sua figura homotética usando as razões:
 1/3; 
 4/5; 
 3/2;
 -3/5.