ATPS Mate.. (1)

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UNIVERSIDADE ANHANGUERA – UNIDERP
CURSO DE ADMINISTRAÇÃO
DISCIPLINA: MATEMÁTICA APLICADA
Felipe Santos Nagera RA 378158
Franciel Hamann RA 378586
Franciele Ramborger de Miranda RA 357856
Greice Dias da Silva RA 350069
MATEMÁTICA APLICADA
Professor orientador: Bartholomeo Oliveira Barcelos
Professor da disciplina: Profa. Ivonete Melo de Carvalho
Santa Maria RS, 25 de Abril de 2013.
O problema, nomeado de Escola “Reforço Escolar”, aborda os seguintes conteúdos matemáticos: Funções do 1° Grau, Funções do 2° Grau, Função Exponencial.
FUNÇÃO DE 1° GRAU
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.
FUNÇÃO DE 2º GRAU
Toda função estabelecida pela lei de formação f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e a ≠ 0, é denominada função do 2º grau. Generalizando temos:
As funções do 2º grau possuem diversas aplicações no cotidiano, principalmente em situações relacionadas à Física envolvendo movimento uniformemente variado, lançamento oblíquo, etc.; na Biologia, estudando o processo de fotossíntese das plantas; na Administração e Contabilidade relacionando as funções custo, receita e lucro; e na Engenharia Civil presente nas diversas construções.
A representação geométrica de uma função do 2º grau é dada por uma parábola, que de acordo com o sinal do coeficiente a pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo.
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Toda relação de dependência, em que uma incógnita depende do valor da outra, é denominada função. A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente. A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:
f: R→R tal que y = a x, sendo que a > 0 e a ≠ 1.
Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 0 e 0 < a < 1.
Gráfico de uma função do 1º Grau:
Ex: y = 2x - 1
Grafico de uma função do 2º Grau:
Ex: y = x^2 + 2x - 1
Gráfico de uma função exponencial:
Ex: y = 2^x
VARIAÇÃO MÉDIA
Sabemos que as grandezas variam. Todos os dias pensaram muitas vezes na variação de grandezas, como, por exemplo, o tempo gasto para chegar à Universidade, o quanto engordamos ou emagrecemos no último mês, a variação da temperatura num dia específico, e assim por diante.
De modo geral, quando uma grandeza y está expressa em função de uma outra x, ou seja, y = f (x), observamos que, para uma dada variação de x, ocorre, em correspondência, uma dada variação de y, desde que y não seja uma função constante.
Se y = f (x) = x2, e, a partir de x0, supomos uma variação Δx, ou seja, xvaria de x0 até x0 + Δx(podemos calcular a correspondente variação de y, que denominamos Δy).
O quociente é denominado razão média das variações ou taxa de variação média e normalmente depende do particular ponto x0 e da variação Δx considerada.
VARIAÇÃO INSTANTÂNEA:
Conforme vimos nos conceitos de Taxa de Variação Média, as informações dadas por ela são relativamente pobres quando estamos interessados em conhecer o comportamento de uma função.
A fim de alcançar esse objetivo, seria interessante conhecer a taxa de variação em intervalos de comprimento "muito pequeno" o que ainda não resolveria o nosso problema, uma vez que "muito pequeno" não é algo totalmente claro. O ideal mesmo seria conseguir definir o que é taxa de variação em cada ponto.
Calculo da variação media da receita no período matutino:
m = variação media
q = quantidade de alunos
p = preço por aluno
f = final
i = inicial
 m = pf-pi/qf-qi = 42000-36000/210-180 = 6000/30 = 200
A função Receita para cada turno de aulas (manhã, tarde, noite e final de semana). Depois, o calculo do valor médio das mensalidades e escreva outra função Receita para o valor obtido como média:
R=p*q R = Receita p = Preço q = Quantidade
Manhã F(R) = p*q = 180*200 = 36000
Tarde F(R) = p*q = 200*200 = 40000
Noite F(R) = p*q = 140*150 = 21000
Final de semana F(R) = p*q = 60*130 = 7800
Receita média = Rm
Quantidade total de alunos = Qt
Valor total arrecadado = Vt
F(Rm) = Vt/Qt = 104800/580 = R$ 180,68
	Período 
	Quantidade de alunos 
	Custo por aluno em R$
	Total arrecadado por período em R$
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Manhã
	
	180
	
	
	200
	
	
	36000
	Tarde
	
	200
	
	
	200
	
	
	40000
	Noite
	
	140
	
	
	150
	
	
	21000
	Final de semana
	60
	
	
	130
	
	
	7800
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Total de alunos
	580
	
	
	Total arrecadado em R$
	104800
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Custo médio por aluno em R$ 
	 180,68
	
	
	
	
	
A função Custo da escola que dependerá de escrever a função Salário dos professores. Utilizando variáveis diferentes para representar o número de alunos e o numero de grupos de 20 alunos que poderão ser formados:
 Salário dos professores = Sp
Quantidade de hora/aula = Qha
Valor da hora aula = Vha
Quantidade de grupos = Qg
*OBS: O valor da hora aula é de R$ 50,00. Com a redução dos 20% para fins de descontos o valor da hora aula passará a ser R$ 40,00.
*OBS: Cada professor passa 2 h/a com cada grupo de 20 alunos, que no caso de serem 580 alunos, são formados 29 grupos de 20 alunos.
Portanto: 
F(Sp) = Qha*Vha*Qg = 2*40*29 = R$ 2320,00 
Despesas Operacionais = R$ 49800
Custo total com salários de professores: R$ 58000
Despesas totais da empresa: R$ 107800 
Custo da escola = Ce
Quantidade de alunos = Qa
Quantidade de grupos de 20 alunos = Qg
Custos operacionais = Co
Salário de cada professor = Sp
Quantidade de professores = Qp
Custo por Aluno = Ca
Custo por grupo de 20 alunos = Cg
Portanto:
F(Ce) = Sp*Qp+Co = 2900*20+49800 = 58000+49800 = R$ 107800,00
F(Ca) = Ce/Qa = 107800/580 = R$ 185,86
F(Cg) = Ce/Qg = 107800/29 = R$ 3717,24
A função lucro e o valor informado pelo gerente no cadastro da escola:
L = Lucro
D = Despesas
R = Receitas
Portanto:
F(L) = R-D = 104800-107800 = R$ -3000
*OBS: Neste caso a escola esta tendo um prejuízo de R$ 3000 por mês.
Calculo do valor da parcela:
R = valor da prestação
P = valor do empréstimo
i = taxa de juro
n = numero de prestações
R = P*i*(1+i)^n/[(1+i)-1]
n = 2
R = 54000*0,01*(1+0,01)^2/[(1+0,01)^5-1] = 550,85/0,0201 = 27405,47
n = 5 
R = 54000*0,01*(1+0,01)^5/[(1+0,01)^5-1] = 567,54/0,0510 = 11128,23
n = 10
R = 54000*0,01*(1+0,01)^10/[(1+0,01^10)-1] = 596,49/0,1046 = 5702,58
n = 20
R = 54000*0,01*(1+0,01)^20/[(1+0,01)^20-1] = 658,90/0,2201 = 2993,63
n = 24
R = 54000*0,01*(1+0,01)^24/[(1+0,01)^24-1] = 685,65/0,2697 = 2542,26
Tabela com o numero de prestações e o valor de cada prestação para um capital de R$ 54000,00:
	NUMERO DE PARCELAS
	VALOR DA PARCELA
	2
	R$ 27405,47
	5
	R$ 11128,23
	10
	R$ 5702,58
	20
	R$ 2993,63
	24
	R$ 2542,26
A função que determina o valor total para pagamento do capital de giro:
M = C (1+t)^n
Valor do empréstimo = Ve = C
Taxa de juros = Tx = t
Numero de parcelas = Np = n
Valor total do empréstimo após pago = Vt = M
Então: 
Vt = Ve(1+Tx)^Np = 40000(1+0,005)^12 = R$ 42467,11
ELASTICIDADE
A elasticidade é definida como uma propriedade de qualquer função
diferenciável, porém, seu uso mais comum ocorre na análise de como a demanda por
uma mercadoria responde a variações de seu preço.
Sabemos que a curva de demanda tem declividade negativa, logo sua derivada
primeira também será negativa, e por conseguinte, a elasticidade será menor ou igual
a zero (η ≤ 0).
Como a elasticidade éadimensional, podemos comparar o comportamento das
elasticidades de vários produtos. Para isso curvas de demanda são agrupadas em
categorias, como sendo:
1) DEMANDA ELÁSTICA: Se | η| > 1, dizemos que a demanda é elástica. Isto
indica que a variação percentual na quantidade demandada é maior que a
variação percentual no preço. Em outras palavras, elevação no preço provoca
redução na quantidade demandada relativamente maior do que a elevação no
preço. Interpreta-se como a sensibilidade relativamente alta da demanda em
relação ao preço.
2) DEMANDA INELÁSTICA: Se | η| < 1, dizemos que a demanda é inelástica.
Isto indica que a variação percentual na quantidade demandada é menor que a
variação percentual no preço. Em outras palavras, elevação no preço provoca
redução na quantidade demandada relativamente menor que a elevação no
preço. Interpreta-se como a sensibilidade relativamente baixa da demanda em
relação ao preço.
3) ELASTICIDADE UNITÁRIA: Se | η| = 1, dizemos que a demanda é unitária.
Isto indica que a variação percentual na quantidade demandada é igual à
variação percentual no preço.
Importa ressaltar que, em geral, a elasticidade de uma função não é
constante ao longo de todo seu domínio. Entretanto, a hipérbole equilátera,
tem elasticidade constante ao longo de seu domínio.
Obtendo a função que mede a elasticidade – preço da demanda para cada preço, obtendo a elasticidade e interpretando o resultado:
E = d/dp*p/q q = 900-3p
E = d/dp(900-3p)*p/900-3p
E = (0-3)*p/900-3p
E = - 3p/900-3p
Então:
p = 195
E = -3(195)/900-3(195) E = -585/900-585 E = -585/315 = -1.85
P = 215
E = -3(215)/900-3(215) E = - 645/900-645 E = - 645/255 = -2,52
Discutindo os resultados:
	Preço
	195
	215
	Elasticidade
	-1,85
	-2,52
	Aumento de preço
	1%
	1%
	Diminuição da demanda
	-1,85%
	.-2,52%
CONCIDERAÇÕES FINAIS
	Na opinião do grupo, as teleaulas de matemática aplicada, conteúdo desenvolvido no 3° semestre de curso, no inicio se mostrou bastante complexo, causando um certo medo, uma certa desconfiança, nenhum dos componentes do grupo poderia dizer que seria um conteúdo de fácil aprendizado. Porem, com o decorrer das teleaulas, tudo pode ser entendido, de uma forma bem didática, sempre com cálculos bem claro de se entender, o que ajudou muito para que de uma maneira geral todo o grupo pudesse ter um bom proveito sobre todo o conhecimento adquirido.
	Sobre a atividade proposta, cremos que as informações ficaram um pouco subentendidas, havia uma certa duvida quando no calculo das despesas, chegamos a alguns valores, diríamos um tanto absurdos para a arrecadação de uma escola. Porem a atividade proposta foi de suma importância para que o grupo pudesse exercitar a analise de situações financeiras, fato este que se repetira em varias ocasiões na vida profissional do Administrador, já que depois de formados, não haverá a possibilidade de erro, e o conteúdo aprendido deverá ser o guia para a resolução das duvidas.
BIBLIOGRAFIA
MUROLO, Afrânio e BONETTO, Giácomo. Matemática aplicada à administração, economia e contabilidade. São Paulo: Thomsom Pioneira, 2008.
Outras fontes de pesquisa:
http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-segundo-grau.htm
http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-exponencial-1.htm
http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/rz_de_varmedia/tx_var_media.htm
http://condigital.unicsulvirtual.com.br/conteudos/TaxasVariacao/saibamais.html
http://www.mat.ufmg.br/~espec/monografiasPdf/Monografia_JLazaro.pdf