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Lista de Exercícios de Cálculo Vetorial

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Exercícios de Cálculo Vetorial – Cálculo II 
 
 
1- Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais: 
 a) 
 ktsenjtgtittf 23cos)(
 
 b) 


 jeitsenttf t2cos)(
 
 c) 




 kjeietf tt 2)(
 
 d) 
 ktjtittf ln)(
 
 e) 




 kjti
t
t
tf 5)1ln(
12
25
)( 2
 
 
2- Determinar os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante t. Determinar, ainda, o 
módulo desses vetores no instante dado. 
 a) 
4
;35cos2)(



tkjsentittr
 
 b) 
2ln;)( 2 





tjeietr tt
 
 
3- A posição de uma partícula no plano, no tempo t, é dada por 
 
 
 12
2
1
)(
1
2
1
)(
2 

ttty
ttx
 
a) Escreva a função vetorial 
)(tf
 que descreve o movimento dessa partícula. 
b) Determinar o vetor velocidade e o vetor aceleração. 
 
4- Se 
)(tr
 é o vetor posição de uma partícula em movimento, mostrar que o vetor velocidade da 
partícula é perpendicular a 
)(tr
 . 
 a) 
),(cos)( tsenttr 
 
 b) 
)3,3(cos)( tsenttr 
 
 
5- Nos exercícios abaixo, calcular a derivada direcional no ponto e direção indicados. 
 a) 
22),( yxyxf 
, P(1, 2), na direção de 
)2,2(

v
 
 b) 
zxyzyxf ),,(
, P(2, 1), na direção do eixo positivo de z. 
 
6- Calcular o gradiente do campo escalar dado. 
 
 a) 
222 42),,( zyxzyxf 
 
 b) 
22),,( yxzzyxf 
 
 c) 
yxeyxf 
22),(
 
7- Seja 
fyxu 

).( 22
. Calcular 
udiv
 no ponto P(1, 2, 3) sendo: 
 a) 
xsenxyf 
 
 b) 
xyxyzf 2
 
 
8- Se 
),,(2 33 senxxzxveyzxf 
. Calcular: 
 a) 
 

 vrotf
 
 b) 
)(

vfdiv
 
 c) 
)(

vfrot
 
 
9- Sendo 
 kzxjyxixzu )2()(2 222
, calcular 
)(

urotrot
 
 
10- Supondo que 
v
representa a velocidade de um fluido em movimento, verificar se 
v
representa 
um possível fluxo incompressível. Lembrar que um fluxo incompressível tem 
0

vdiv
 
 a) 
 jxiyyxv 2)32(),(
 
 b) 
),,(),,( zyxzyxv 
 
 c) 
)0,2,2(),,( yxzyxv 
 
 
11- Verificar se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso 
afirmativo, encontrar uma função potencial. 
 a) 
),5,2( 222 zyxyzxf 
 
 b) 
)0,cos1,1( xysenxf 
 
 c) 
)5,,10( 2xxsenxyysenxyxzf 
 
 
12- Calcular o trabalho realizado pela força 









3
1
,
2
1
yx
f
 para deslocar uma partícula em 
linha reta do ponto P(3, 4) até Q(-1, 0). 
Resposta: ln(3/35) 
 
13- Determinar o trabalho realizado pela força 








yx
f
1
,
1
 para deslocar uma partícula ao longo 
da curva 
x
y
1

 do ponto (1, 1) ao ponto (1, ½) 
Resposta: 0 
 
 
14- Determinar o trabalho realizado pela força 
 zxf 2,0,
 para deslocar uma partícula ao longo 
da poligonal que une os pontos A(0, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 1, 1) e D(1, 1, 1) no sentido de A para 
D. 
Resposta: 3/2 
 
15- Determinar o trabalho realizado pela força 
 1,1

f
 para deslocar uma partícula ao longo da 
reta x + y = 1 do ponto A(0, 1) a B(1, 0). 
Resposta: 0 
 
16- Determinar o trabalho realizado pela força 
 xzyf ,,
 para deslocar uma partícula ao longo 
da hélice 
),,(cos)( ttsenttr 
 de 
20  tat
. 
Resposta: 

 
 
17- Determinar o trabalho realizado pela força 
 2,, zxyf 
 para deslocar uma partícula ao longo 
da hélice 
)2,2,cos2()( ttsenttr 
 do ponto 
)4,0,2()0,0,2( BpontoaoA 
Resposta: 
3
64 3
 
 
18- Calcular a integral curvilínea do campo vetorial 
f
, ao longo da curva C dada. 
 a) 
 xzyxf ,/1,2
 ; C é o segmento de reta que une o ponto A(2, 1, 0) ao ponto B(0, 2, 2). 
 Resposta: -4/3 + ln2 
 
 b) 
 xyyxf ,2
 ; C é o arco da parábola 
2yx 
, do ponto (0, 0) ao ponto (4, 2). 
 Resposta: 284/7 
 
 c) b) 
 xyyxf ,2
 ; C é um segmento de reta que une o ponto (0, 0) ao ponto (4, 2). 
 Resposta: 112/3 
 
19- Calcular as integrais curvilíneas dadas: 
 a) 
 
L
dyydxx )(
, onde L é o triângulo de vértices (0, 0), (0, 1) e (1, 1) no sentido anti-
horário. 
Resposta: 0 
 b) 
 
L
dzzdyydxx )( 222
, onde L é o arco de hélice circular dado por 
 2,0),8,4,cos4()(  tttsenttr 
Resposta: 
3
4096 3 
 
20- Verificar se o campo dado é conservativo. Em caso positivo, determinar uma função potencial 
para 
f
 e o valor da integral 

),,(
)0,0,0(
.
cba
rdf
, onde a, b e c são reais. 
 a) 
 xyyxzyzf ,8, 
 Resposta: sim 
 b) 
 xyxyyxf 8,24,3 22 
 Resposta: não 
 
 
 
 
Teorema de Green 
 
 
1- Verifique pelo Teorema de Green a 

 rdf
L
.
, sendo o campo 
    jxiyxyxf



,
 e a região 
R limitada pela circunferência unitária 
      20,cos:  tjtsenittrL  . 
 
2- Calcule a integral de linha 


L
rdf .
 fechada usando o Teorema de Green, sendo 
),( 2yxyf 
 e 
L é o quadrado cortado de primeiro quadrante pelas retas x = 1 e y =1. 
 
3- Calcular as integrais de linha dadas usando o Teorema de Green. 
a) 
  jxyixyxf

)(, 
 ao longo do paralelogramo de vértices A(1, 1), B(3, 2), C(4, 4) e D(2, 3), 
no sentido anti-horário. 
 
Resposta: 7,5 
 
b) 
  jxyixyyxf

)4(ln)4(, 22 
 ao longo do retângulo de vértices A(0, 0), B(3, 0), C(3, 
2) e D(0, 2), no sentido anti-horário. 
 
Resposta: -36 
 
c) 
  iyyxf



,
 ao longo do triângulo de vértices A(0, 1), B(3, 1), C(2, 2), no sentido anti-horário. 
 
Resposta: 1,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema da Divergência 
 
 
1- Seja 
),,2( 22 xzyxzxf 
 e suponha que S é o cubo limitado pelos planos x = 0, x = 1, y = 0, y 
= 1, z = 0 e z = 1. Use o Teorema da divergência para calcular a integral de superfície 


S
dSnf .
. 
Resposta: 17/6 
 
2- Seja 
),,( zyxf 
 e suponha que S é o cilindro limitado acima por z = 2, abaixo por z = 1 e 
lateralmente por 
122  yx
. Use o Teorema da divergência para calcular a integral de superfície 


S
dSnf .
. 
Resposta: 

 
 
3- Seja 
)3,2,( 222 zyxf 
 e suponha que S é a esfera 
1222  zyx
. Use o Teorema da 
divergência para calcular a integral de superfície 


S
dSnf .
. 
4- Seja 
))3(,,2( 2 yxyzxyf 
 e suponha que S é o sólido limitado por 
62  zyx
, x = 0, 
y = 0 e z = 0.Use o Teorema da divergência para calcular a integral de superfície 


S
dSnf .
. 
Resposta: 108

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