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Exercícios de Cálculo Vetorial – Cálculo II 1- Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais: a) ktsenjtgtittf 23cos)( b) jeitsenttf t2cos)( c) kjeietf tt 2)( d) ktjtittf ln)( e) kjti t t tf 5)1ln( 12 25 )( 2 2- Determinar os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante t. Determinar, ainda, o módulo desses vetores no instante dado. a) 4 ;35cos2)( tkjsentittr b) 2ln;)( 2 tjeietr tt 3- A posição de uma partícula no plano, no tempo t, é dada por 12 2 1 )( 1 2 1 )( 2 ttty ttx a) Escreva a função vetorial )(tf que descreve o movimento dessa partícula. b) Determinar o vetor velocidade e o vetor aceleração. 4- Se )(tr é o vetor posição de uma partícula em movimento, mostrar que o vetor velocidade da partícula é perpendicular a )(tr . a) ),(cos)( tsenttr b) )3,3(cos)( tsenttr 5- Nos exercícios abaixo, calcular a derivada direcional no ponto e direção indicados. a) 22),( yxyxf , P(1, 2), na direção de )2,2( v b) zxyzyxf ),,( , P(2, 1), na direção do eixo positivo de z. 6- Calcular o gradiente do campo escalar dado. a) 222 42),,( zyxzyxf b) 22),,( yxzzyxf c) yxeyxf 22),( 7- Seja fyxu ).( 22 . Calcular udiv no ponto P(1, 2, 3) sendo: a) xsenxyf b) xyxyzf 2 8- Se ),,(2 33 senxxzxveyzxf . Calcular: a) vrotf b) )( vfdiv c) )( vfrot 9- Sendo kzxjyxixzu )2()(2 222 , calcular )( urotrot 10- Supondo que v representa a velocidade de um fluido em movimento, verificar se v representa um possível fluxo incompressível. Lembrar que um fluxo incompressível tem 0 vdiv a) jxiyyxv 2)32(),( b) ),,(),,( zyxzyxv c) )0,2,2(),,( yxzyxv 11- Verificar se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo, encontrar uma função potencial. a) ),5,2( 222 zyxyzxf b) )0,cos1,1( xysenxf c) )5,,10( 2xxsenxyysenxyxzf 12- Calcular o trabalho realizado pela força 3 1 , 2 1 yx f para deslocar uma partícula em linha reta do ponto P(3, 4) até Q(-1, 0). Resposta: ln(3/35) 13- Determinar o trabalho realizado pela força yx f 1 , 1 para deslocar uma partícula ao longo da curva x y 1 do ponto (1, 1) ao ponto (1, ½) Resposta: 0 14- Determinar o trabalho realizado pela força zxf 2,0, para deslocar uma partícula ao longo da poligonal que une os pontos A(0, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 1, 1) e D(1, 1, 1) no sentido de A para D. Resposta: 3/2 15- Determinar o trabalho realizado pela força 1,1 f para deslocar uma partícula ao longo da reta x + y = 1 do ponto A(0, 1) a B(1, 0). Resposta: 0 16- Determinar o trabalho realizado pela força xzyf ,, para deslocar uma partícula ao longo da hélice ),,(cos)( ttsenttr de 20 tat . Resposta: 17- Determinar o trabalho realizado pela força 2,, zxyf para deslocar uma partícula ao longo da hélice )2,2,cos2()( ttsenttr do ponto )4,0,2()0,0,2( BpontoaoA Resposta: 3 64 3 18- Calcular a integral curvilínea do campo vetorial f , ao longo da curva C dada. a) xzyxf ,/1,2 ; C é o segmento de reta que une o ponto A(2, 1, 0) ao ponto B(0, 2, 2). Resposta: -4/3 + ln2 b) xyyxf ,2 ; C é o arco da parábola 2yx , do ponto (0, 0) ao ponto (4, 2). Resposta: 284/7 c) b) xyyxf ,2 ; C é um segmento de reta que une o ponto (0, 0) ao ponto (4, 2). Resposta: 112/3 19- Calcular as integrais curvilíneas dadas: a) L dyydxx )( , onde L é o triângulo de vértices (0, 0), (0, 1) e (1, 1) no sentido anti- horário. Resposta: 0 b) L dzzdyydxx )( 222 , onde L é o arco de hélice circular dado por 2,0),8,4,cos4()( tttsenttr Resposta: 3 4096 3 20- Verificar se o campo dado é conservativo. Em caso positivo, determinar uma função potencial para f e o valor da integral ),,( )0,0,0( . cba rdf , onde a, b e c são reais. a) xyyxzyzf ,8, Resposta: sim b) xyxyyxf 8,24,3 22 Resposta: não Teorema de Green 1- Verifique pelo Teorema de Green a rdf L . , sendo o campo jxiyxyxf , e a região R limitada pela circunferência unitária 20,cos: tjtsenittrL . 2- Calcule a integral de linha L rdf . fechada usando o Teorema de Green, sendo ),( 2yxyf e L é o quadrado cortado de primeiro quadrante pelas retas x = 1 e y =1. 3- Calcular as integrais de linha dadas usando o Teorema de Green. a) jxyixyxf )(, ao longo do paralelogramo de vértices A(1, 1), B(3, 2), C(4, 4) e D(2, 3), no sentido anti-horário. Resposta: 7,5 b) jxyixyyxf )4(ln)4(, 22 ao longo do retângulo de vértices A(0, 0), B(3, 0), C(3, 2) e D(0, 2), no sentido anti-horário. Resposta: -36 c) iyyxf , ao longo do triângulo de vértices A(0, 1), B(3, 1), C(2, 2), no sentido anti-horário. Resposta: 1,5 Teorema da Divergência 1- Seja ),,2( 22 xzyxzxf e suponha que S é o cubo limitado pelos planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 e z = 1. Use o Teorema da divergência para calcular a integral de superfície S dSnf . . Resposta: 17/6 2- Seja ),,( zyxf e suponha que S é o cilindro limitado acima por z = 2, abaixo por z = 1 e lateralmente por 122 yx . Use o Teorema da divergência para calcular a integral de superfície S dSnf . . Resposta: 3- Seja )3,2,( 222 zyxf e suponha que S é a esfera 1222 zyx . Use o Teorema da divergência para calcular a integral de superfície S dSnf . . 4- Seja ))3(,,2( 2 yxyzxyf e suponha que S é o sólido limitado por 62 zyx , x = 0, y = 0 e z = 0.Use o Teorema da divergência para calcular a integral de superfície S dSnf . . Resposta: 108
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