Lista de Exercícios de Cálculo II

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6ª Lista de Exercícios de Cálculo II 
 
 
Derivada Direcional, Vetor Gradiente e Derivação Implícita. 
 
 
1- Considere que y seja dada implicitamente como uma função diferenciável g de x pela 
equação dada f(x, y) = 0. Calcule dy/dx para as equações seguintes 
 
a) 
024126 22  yxyx
 
b) 
055)( 22222  yxyx
 
c) 
0)cos()(  yxyxsen
 
 
2- Considere que y seja dada implicitamente como uma função diferenciável das demais 
variáveis das equações seguintes. Encontre o valor das derivadas parciais indicadas 
quando as variáveis têm valores dados. 
 
a) 
21,1,0
2
3 222 




 yezxquando
z
y
e
z
y
achez
y
xz
yzxzxy
 
b) 
2
4
,1,
4
,,
3
)cos()(
22











zeyzxquando
w
y
e
z
y
z
y
ache
w
xy
z
xysen  
 
3- Encontre o valor da derivada direcional na direção indicada. 
 
a) 










2
3
,
2
1
),2,1(,2),( 22 uunitáriovetordodireçãonaemxyyxyxf
 
b) 
)2,6()1,2(),1,2(,),( 





 paradedireçãonaem
x
y
arctagyxf
 
c) 










13
12
,
13
5
),2,3(,
1
),(
22
uunitáriovetordodireçãonaem
yx
yxf
 
 
4- Nos exercícios seguintes de o valor da derivada direcional máxima e um vetor 
unitário 
u
 na direção da derivada direcional máxima para cada função no ponto 
indicado. 
 
a) 
)1,1(,47),( 22  emyxyxyxf
 
b) 
)1,1(,)63()2(),( 22 emyxyxyxf 
 
 
5- A temperatura T no ponto (x, y) de uma placa de metal circular aquecida com centro 
na origem é dada por 
,
2
400
22 yx
T


onde T é medido em graus C e x e y em 
centímetros. 
a) Que direção deve-se tomar a partir de (1, 1) a fim de que T aumente o mais rápido 
possível? 
b) Qual a velocidade do aumento de T? 
 
6- Seja f uma função diferenciável a duas variáveis tal que 
3)2,1(2)2,1( 21  fef
. 
Encontre a derivada direcional 
)2,1( fD
u
 se 







 


2
2
,
2
2
u
 
7- Nos exercícios abaixo determine o gradiente de f e a derivada direcional para o vetor 
unitário indicado. 
 
a) 





 


3
2
,
3
2
,
3
1
),1,1,1(,3),,( 22 uondeemyzyxzyxf
 
b) 





 


3
2
,
3
1
,
3
2
),1,1,1(),ln(),,( 222 uondeemzyxzyxf