Quadricas

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Quádricas
Luís Felipe Alves Soares
July 3, 2017
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1 INTRODUÇÃO
Quádrica ou superfície quádrica é, em matemática, o conjunto dos pontos do es-
paço tridimensional cujas coordenadas formam um polinômio de segundo grau de
no máximo três variáveis denominada de equação cartesiana da superfície:
Ax2 +By2 + Cz2 +Dxy + Exz + Fyz +Gx+Hy + Iz + J = 0
Onde pelo menos um dos coeficientes A, B, C, D e ou F são numeros reais difer-
entes de zero, representando assim uma superfície quádrica, ou simplesmente, uma
quádrica. Se a superfície quádrica, for cortada pelos planos coordenados ou por
planos paralelos a eles, a curva de interseção será uma cônica. A interseção de uma
superfície com um plano é chamado de traço da superfície no plano. A redução da
equação geral das quádricas às suas formas mais simples exige cálculos laboriosos.
2 Superfícies Quádricas
Numa visão informal, as superfícies quadráticas são as regiões formadas quando
as cônicas se movimentam no espaço. A partir da equação geral do segundo grau
nas três variáveis x,y,z é possível representar uma superfície quadrática.
Observemos que se a superfície quadrática formada pela equação geral for cor-
tada por um plano, a curva de interseção será uma cônica.
2.1 Superfícies de Revolução
Algumas quádricas podem ser superfícies de revolução: para isto basta que exibam
uma simetria em relação a algum eixo. Geometricamente, isto significa que são
círculos todos os cortes da superfície por uma família de planos paralelos; algebri-
camente, em termos das equações-padrão apresentadas na classificação, isto ocorre
quando pelo menos duas das três constantes a, b ou c são idênticas. No caso do
elipsóide, por exemplo, sempre resulta uma superfície de revolução, bastando para
isso a igualdade de duas quaisquer destas constantes; assim obtemos os esferóides
e a esfera. No caso dos hiperbolóides e do parabolóide elíptico, a simetria axial
só ocorre quando a = b. Finalmente, o parabolóide hiperbólico nunca apresenta
simetria axial e portanto nunca é uma superfície de revolução.
2.2 Pares de Planos e Superfícies Imaginárias
Em certos casos, o lugar geometrico determinado por uma equação do segundo
grau nas três variáveis x, y e z não é uma das seis quádricas não-degeneradas
2
nem um cilindro, mas sim dois planos, reais ou imaginários, ou então uma super-
fície imaginária. (Situação análoga ocorre em duas variáveis, originando as cônica
degeneradas.)
Por exemplo, o par de planos verticais dados por x = 0 e x = 1, paralelos ao
plano y, z, é determinado pela equação do segundo grau nas três variáveis x,y e
z dada por x2 − x = 0 ou, equivalentemente, por x(x − 1) = 0; analogamente, o
lugar geométrico da equação do segundo grau nas três variáveis x,y e z dada por
x2 = 0 é um par de planos y, z coincidentes, ambos de equação x = 0. Quando
a equação padrão dada na classificação não apresenta soluções reais não-triviais,
falamos exageradamente em superfícies imaginárias, o que significa que estas su-
perfícies só podem ser pensadas no espaço tridimensional complexo C3, de seis
dimensões reais; por exemplo, a equação x2 + 1 = 0 representa os dois planos
paralelos imaginários dados por x = i e x = −i e a equação:
x2
a2
+ y
z
b2
+ z
2
c2
3 Esfera
3.1 Superfície Esférica
Representação Gráfica
Figure 1: Esfera
A superfície esférica S de centro C e raio r > 0 é o lugar geométrico dos pontos
3
do espaço que mantém a distânciar de C.
Sendo:
P = (x, y, z) ∈ S e C = (x0, y0, z0) então d(P,C) = r
ou seja a equação implicita é:
(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = r2
Se aproximarmos um plano pi de uma superfície esférica de modo que este toque
a superfície em apenas um ponto Pt, este ponto é chamado ponto de tangência
onde é válido:
pi ∩ S = Pt
Porém, se o plano pi tocar a superfície em mais de um ponto, então o plano é
secante à superfície, o que acontece sempre que d(C, pi) < r.
A esfera no espaço R3 é uma superfície muito importante em função de suas
aplicações a problemas da vida. Do ponto de vista matemático, a esfera no espaço
R3 é confundida com o sólido geométrico (disco esférico) envolvido pela mesma
razão pela qual muitas pessoas calculam o volume da esfera. Na maioria dos livros
elementares sobre Geometria, a esfera é tratada como se fosse um sólido, herança
da Geometria Euclidiana. Embora não seja correto, muitas vezes necessitamos
falar palavras que sejam entendidas pela coletividade.
De um ponto de vista mais cuidadoso, a esfera no espaço R3 é um objeto
matemático parametrizado por duas dimensões, o que significa que podemos obter
medidas de área e de comprimento mas o volume tem medida nula. Há outras
esferas, cada uma definida no seu respectivo espaço n-dimensional.
Um caso interessante é a esfera na reta unidimensional:
S0 = x em R : x2 = ±1
Por exemplo, a esfera S1 = (x, y) em R2 : x2 + y2 = 1
é conhecida por nós como uma circunferência de raio unitário centrada na origem
do plano cartesiano. A esfera pode ser definida como "uma sequência de pontos
alinhados em todos os sentidos à mesma distância de um centro comum". É tida
também como um sólido geométrico formado por uma superfície curva contínua,
4
cujos pontos estão equidistantes de um outro fixo e interior, chamado centro; ou
seja: é uma superfície fechada de tal forma que todos os pontos dela estão à mesma
distância de seu centro; ou ainda: de qualquer ponto de vista de sua superfície,
a distância ao centro é a mesma. A esfera pode ser obtida através do movimento
de rotação de um semicírculo em torno de seu diâmetro. Uma esfera é um objeto
tridimensional perfeitamente simétrico. Na matemática, o termo se refere à su-
perfície de uma bola. Na física, esfera é um objeto (usado muitas vezes por causa
de sua simplicidade) capaz de colidir ou chocar-se com outros objetos que ocupam
espaço. Quanto à geometria analítica, uma esfera é representada (em coordenadas
retangulares) pela equação:
Equação Reduzida da esfera:
(x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2
3.2 Aplicação da Esfera
A esfera possui inúmeras aplicações, como exemplo podemos citar a Óptica (Física),
a seção de uma esfera forma uma lente esférica, que são objetos importantes na
construção de óculos. Corpos esféricos possuem grande importância na Engenharia
Mecânica, a parte interior de inúmeras peças capazes de realizar movimentos cir-
culares sobre eixos é constituída de esferas de aço.
Um bom exemplo dessas peças é o rolamento.
4 Elipsóide
Em matemática, um elipsoide é uma superfície cuja equação num sistema de co-
ordenadas cartesianas (x, y, z) é:
x2
a2 +
y2
b2 +
z2
c2 = 1
Onde a, b e c são números reais positivos que determinam as dimensões e forma
do elipsoide.
Se dois dos números são iguais, o elipsoide é um esferoide; se os três forem iguais,
trata-se de uma esfera.
Supondo a ≥ b ≥ c, então:
a 6= b 6= c, o elipsoide é escaleno
c = 0, o elipsoide é plano (duas elipses em simetria)
b = c, esferoide em forma de charuto
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a = b, esferoide em forma de comprimido
a = b = c é uma esfera
Os esferoides resultam da rotação de uma elipse em torno de um dos seus eixos.
Representação Gráfica
Figure 2: Elipsoide
4.1 Achatamento
O achatamento de um elipsóide é a relação: α = a−b
a
= 1− b
a
4.2 Excentricidade
A definição da excentricidade do elipsóide pode ser definida como a proporção en-
tre a diferença de comprimento dos semi-eixos de uma elipse e o semi-eixo maior.
e = c
a
Elevando ambos os membros ao quadrado: e = c
2
a2
da geométrica analítica (cônicas): a2 + b2 + c2 ∴ c2 = a2 − b2
substituindo c em tem-se:
e2 = a
2−b2
a2
⇒ e2 = 1− b2
a2
6
b2 = a2(1− e2)⇒ b = a√1− e2
4.3 Excentricidade e Achatamento
Será demonstrado que a excentricidade ao quadrado é aproximadamenteigual a o
dobro do achatamento relacionado a expressão do achatamento com a do semi-eixo
menor temos:
α = 1−√1− e2 e 1− α = √1− e2
elevando ambos os membros ao quadrado
(1− α)2 = (√1− e2)
1− 2α + α2 = 1− e2
1− e2 = 1− 2α + α2
e2 = 2α− α2
4.4 Aplicações do Elipsoide
O Estudo do elipsóide de revolução é de suma importância em Geodésia pelo sim-
ples fato de ter sido o mesmo eleito como modelo geométrico para os cálculos
geodésicos. Excetuando certas técnicas espaciais os cálculos geodésicos são con-
duzidos sobre a superfície do elipsóide de revolução.
O elipsóide de revolução é a forma geométrica gerada pela rotação de uma semi-
elipse em torno de um de seus eixos. Um elipsóide de revolução fica perfeitamente
definido por meio de dois parâmetros:
Os seus semi-eixos a e b.
Em geodésia, entretanto, é tradicional considerar como parâmetros o semi-eixo
maior a e o achatamento, que serão definidos a seguir, juntamente com as fórmu-
las utilizadas para cálculo dos parâmetros.
Superfícies refletoras elípticas (elipsóide): uma onda sonora ou luminosa que irra-
dia do �foco� de uma superfície refletora elíptica reflete para o outro �foco�. Essa
propriedade é usada na construção de refletores odontológicos, aparelhos de emis-
são de certos raios usados em medicina ou nas salas de sussurros.
Os refletores de dentistas usam refletores elípticos que têm como objetivo con-
centrar o máximo de luz onde se está trabalhando e também evitar que os raios
luminosos ofusquem a visão do paciente, causando um certo desconforto.
O aparelho de radioterapia para tratamento médico emite raios cujo objetivo
é destruir tecidos doentes sem afetar os tecidos sadios que se encontram ao reder,
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sendo assim eles se valem de espelhos elípticos para concentrar os raios em um
determinado ponto.
Existem certas formatos de construções de salas que dão condições acústi-
cas especiais em auditórios, teatros, catedrais, como acontece na Catedral de S.
Paulo(Londres) e no edifício do Capitólio em Washington, D. C. Elas são proje-
tadas num formato de parte de um elipsóide de modo que exista dois pontos, onde
duas pessoas, uma em cada um desses pontos (�focos� do elipsóide), podem se
comunicar em voz sussurrada, inaudível no restante da sala.
5 Esferoide
Em matemática, um esferoide é uma superfície quádrica em três dimensões obtida
através da rotação de uma elipse ao redor de um de seus eixos principais. Se a
elipse for rotacionada ao redor de seu eixo principal, esta superfície é chamada
de esferoide oval (similar ao formato de uma bola de futebol americano). Se o
eixo menor for escolhido, a superfície é chamada de esferoide achatado (similar ao
formado do planeta Terra ou de uma abóbora).
|Representação Gráfica
Figure 3: Esferoide
Um esferoide pode também ser caracterizado com um elipsoide possuindo dois
semi-eixos iguais (b = c), como representado pela equação reduzida:
x2
a2 +
y2
b2 +
z2
b2 = 1
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Um esferoide prolato possui o semi-eixo de rotação menor que os demais semi-
eixos (a > b, c), podendo se assemelhar a um kibe, e o esferoide oblato possui seu
semi-eixo de rotação mais longo que os demais semi-eixos (a < b, c), podendo se
assemelhar a um disco.
5.1 Aplicações
As formas mais comuns para a distribuição de densidade de prótons e nêutrons
em um núcleo atômico são esféricas, prolatas e esqueléticas oblatas, onde o eixo
polar é assumido como o eixo de rotação (ou direção do vetor de dinâmica de
rotação angular). Formas nucleares deformadas ocorrem como resultado da com-
petição entre a repulsão eletromagnética entre prótons, tensão superficial e efeitos
de concha quântica.
5.2 Esferóides oblatos
O esferóide oblato é a forma aproximada de muitos planetas e corpos celestes , in-
cluindo Saturno, Júpiter e a estrela que gira rapidamente, Altair ; Em particular,
os sistemas cartográficos e geodésicos para a Terra são baseados em um elipsoide
de referência. Um exemplo extremo de um planeta oblato na ficção científica é
Mesklin , na novela de Hal Clement , Mission of Gravity.
Representação Gráfica
Figure 4: Esferoide Oblato
5.3 Esferóides Prolatos
É a forma da bola em vários esportes, como no futebol de rugby. Várias luas do
sistema solar aproximam os esferoides em forma, embora sejam realmente elip-
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soides triaxiais. Exemplos são Mimas, Enceladus e Tethys (satélites de Saturno )
e Miranda (um satélite de Urano ).
Em contraste com a distorção em esferóides oblatos através de rotação ráp-
ida, os objetos celestes distorcem-se ligeiramente em esferóides prolatos através de
forças de maré quando orbitam um corpo maciço em órbita estreita.
O exemplo mais extremo é a lua Io de Júpiter,que se torna ligeiramente mais ou
menos prolata em sua órbita devido a uma ligeira excentricidade, causando um
vulcanismo espetacular.
Deve-se notar que o grande eixo do esferóide prolongado não atravessa os pólos
do satélite neste caso, mas através dos dois pontos em seu equador diretamente
virado para e para longe do primário.
O termo também é usado para descrever a forma de algumas nebulosas (nebulosas)
como a Nebulosa de Caranguejo.
Os núcleos atômicos dos elementos de actinídeos têm a forma de esferóides
prolatos.
As zonas de Fresnel , usadas para analisar a propagação das ondas e a interferência
no espaço, são uma série de esferóides concêntricos com eixos principais alinhados
ao longo da linha de visão direta entre um transmissor e um receptor.
Muitos submarinos têm uma forma que pode ser descrita como esferóide prolon-
gado.
Na anatomia , órgãos quase esferoidais, podem ser medidos pelos seus eixos longos
e curtos.
Representação Gráfica
Figure 5: Esferoide Prolato
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6 Paraboloide
Em matemática, um paraboloide é uma superfície quádrica de tipo especial.
Existem dois tipos de paraboloides: elípticas e hiperbólicas.
O paraboloide elíptico é moldado como um copo de forma oval e pode ter um
ponto máximo ou mínimo.
Em um sistema de coordenadas apropriado, com os três eixos x, y e z podem ser
representados pela equação reduzida:
z
x
= x
2
a2
+ y
2
b2
Onde a a e b são constantes que determinam o grau de curvatura nos planos
x z e y z respectivamente.
Este é um parabolóide elíptico, que abre para cima.
A equação implícita da secção parabolóide vértice circular (0, 0, 0) ao longo do eixo
z é:
x2 + y2 − z = 0
O paraboloide hiperbólico (não deve ser confundido com um hiperboloide) é
uma superfície duplamente determinada em forma de sela. Em um sistema de
coordenadas apropriado, um paraboloide hiperbólico pode ser representado pela
equação:
z
x
= x
2
a2
− y2
b2
Por c > 0, isto é um paraboloide hiperbólico que se abre para baixo ao longo
do eixo x e ao longo do eixo dos y (ou seja, a parábola no plano x = 0 é aberta
para cima e a parábola no plano y = 0 abre-se para baixo).
6.1 Definição
Existem tres tipos de paraboloides: elíptico e hiperbólico e circular ou de revolução
no terceiro caso considera-se um paraboloide de revolução quando a = b.
O paraboloide elíptico possui um formato semelhante a uma taça e pode pos-
suir um ponto máximo ou mínimo. O paraboloide hiperbólico possui um formato
semelhante a uma sela e pode possuir um ponto crítico chamado de ponto de sela.
Esta é uma superfície com regras duplas, com a = b um paraboloide elíptico é um
paraboloide de revolução:
Uma superfície obtida através da rotação de uma parábola ao redor de seu eixo.
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Este é o formato do refletor parabólico utilizado nos espelhos, antenas e objetos
semelhantes.
Esta superfície é também chamada de paraboloide circular.
Uma fonte de luz posicionada no ponto focal desta superfície produz um raio de
luz paralelo.
Isto também funciona da maneira inversa, um feixe de luzcom raios paralelos
incidente no paraboloide é concentrado no ponto focal.
Isto também se aplica a outras ondas, como nas antenas parabólicas.
Um exemplo do quotidiano de um paraboloide hiperbólico é o formato de uma
batata Pringles.
O paraboloide hiperbólico é uma superfície duplamente regrada, ou seja, por cada
ponto da superfície passam duas retas totalmente contidas na superfície.
6.2 Paraboloide Elíptico
Um paraboloide elíptico tem a forma de um copo oval e tem um ponto máximo ou
mínimo quando seu eixo é vertical.
Em um sistema de coordenadas adequado com três eixos x, y e z, ele pode ser
representado pela equação:
z = x
2
a2
+ y
2
b2
Representação Gráfica
Figure 6: Paraboloide Elipitco
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6.3 Paraboloide Hiperbólico
Um paraboloide hiperbólico (não deve ser confundido com um hiperboloide ) é
uma superfície duplamente controlada em forma de sela.
Em um sistema de coordenadas adequado, um paraboloide hiperbólico pode ser
representado pela equação.
z = x
2
a2
− y2
b2
Nesta posição, o paraboloide hiperbólico se abre ao longo do eixo x e ao longo
do eixo y
(ou seja, a parábola no plano x = 0 abre para cima e a parábola no plano y = 0
abre para baixo).
Obviamente, ambos os paraboloides contêm muitas parábolas.
Mas também há diferenças essenciais: um paraboloide elíptico contém elipses e
hiperbolas hiperabsulares de paraboloides de um Paraboloide Hiperbolico.
Representação Gráfica
Figure 7: Paraboloide Hiberbolóide
6.4 Paraboloide de Revolução
O parabolóide de revolução é uma superfície obtida pela rotação de uma parábola
ao redor de seu eixo, sendo a = b.
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Representação Gráfica
Figure 8: Paraboloide de Revolução
6.5 Paraboloide Elíptico
Com a = b um paraboloide elíptico é um paraboloide de revolução: uma superfície
obtida girando uma parábola ao redor de seu eixo.
É a forma dos refletores parabólicos usados em espelhos, antenas e semelhantes;
E é também a forma da superfície de um líquido rotativo, um princípio usado nos
telescópios de espelho líquido e na fabricação de espelhos telescópicos sólidos (ver
forno rotativo). Esta forma também é chamada de paraboloide circular.
Há um ponto chamado foco (ou ponto focal) no eixo de um paraboloide circular,
de modo que, se o paraboloide é um espelho, a luz de uma fonte pontual no foco
é refletida em um feixe paralelo ao eixo do parabolóide.
Isso também funciona do contrário:
um feixe de luz paralelo incidente no paraboloide paralelo ao seu eixo está concen-
trado no ponto focal.
Isso se aplica também para outras ondas, portanto antenas parabólicas.
6.6 Paraboloide hiperbólico
O paraboloide hiperbólico é uma superfície duplamente governada : contém duas
famílias de linhas mutuamente oblíquas.
As linhas em cada família são paralelas a um plano comum, mas não um ao outro.
Portanto, o paraboloide hiperbólico é um conoídeo.
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Essas propriedades caracterizam os paraboloides hiperbólicos e são usadas em
uma das definições mais antigas de parábolos hiperbólicos: um paraboloide hiper-
bólico é uma superfície que pode ser gerada por uma linha móvel paralela a um
plano fixo e cruza duas linhas de inclinação fixas . Esta propriedade facilita a
realização de um paraboloide hiperbólico com concreto e explica seu uso freqüente
na arquitetura moderna.
As batatas fritas Pringles de batata frita, amplamente vendidas, se assemelham
a um paraboloide hiperbólico truncado.
A forma distintiva dessas batatas fritas permite que elas sejam empilhadas em
recipientes tubulares robustos, cumprindo um objetivo de design que eles quebram
menos facilmente do que outros tipos de batatas fritas.
6.7 Seções de plano de um Paraboloide
Como seções de plano de um paraboloide elíptico com equação.
z = x
2
a2
+ y
2
b2
Um recebe os seguintes casos: vx+ vy + w = 0, au 6= ±bv
Uma parábola , se o plano for paralelo ao eixo z.
Uma elipse ou um ponto ou vazio , se o plano não for paralelo ao eixo z.
vx+ vy + w = 0, au = ±bv
Um ponto, se o plano for um plano tangente.
Uma hipérbole , se o plano não é paralelo ao eixo z e não a um plano tangente.
Observação:
1. Um paraboloide hiperbólico é uma superfície governada (contém linhas), mas
não é desenvolvível
(neste caso, é diferente de um cilindro ou cone).
2. A curvatura de Gauss em qualquer ponto é negativa. Daí é uma superfície
de sela.
3. O paraboloide hiperbólico da unidade com equação z = x2 − y2
Pode ser representado por z = 2xy Após uma rotação em torno do eixo z
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com um ângulo de 45 graus.
4. Um paraboloide elíptico é projetivamente equivalente a uma esfera.
7 Hiperboloide
Na geometria , um hiperbolóide de revolução, às vezes chamado de hiperbolóide
circular, é uma superfície que pode ser gerada pela rotação de uma hipérbole em
torno de um dos seus eixos principais.
Um hiperbolóide é uma superfície que pode ser obtida a partir de um paraboloide
de revolução ao deformá-lo por meio de mudanças direcionais ou, em geral, de uma
transformação afim.
Um hiperboloide é uma superfície quadrática , que é uma superfície que pode ser
definida como o conjunto zero de um polinômio de grau dois em três variáveis. En-
tre as superfícies quádricas, um hiperbolóide é caracterizado por não ser um cone
ou um cilindro , ter um centro de simetria e cruzar muitos planos em hipérbolas .
Um hiperboloide tem também três pares perpendiculares eixos de simetria, e três
pares perpendiculares planos de simetria.
Dado um hiperbolóide, se alguém escolher um sistema de coordenadas cartesianas
cujos eixos são eixos de simetria do hiperbolóide, e a origem é o centro da simetria
do hiperbolóide, então o hiperbolóide pode ser definido por uma das duas equações
seguintes:
x2
a2
+ y
2
b2
− z2
c2
= 1 ou x
2
a2
+ y
2
b2
− z2
c2
= −1
Ambas as superfícies são assintóticas para o cone da equação:
x2
a2
+ y
2
b2
− z2
c2
= 0
Um deles tem um hiperboloide de revolução se e somente se a :2= b2
Caso contrário, os eixos são definidos de forma exclusiva ( até a troca do eixo x e
do eixo y.
Existem dois tipos de hiperboloides. No primeiro caso (+1 no lado direito da
equação), um deles possui um hiperbolóide de uma folha, também chamado hiper-
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bolo hiperbólico.
É uma superfície conectada , que possui uma curvatura gaussiana negativa em
todos os pontos.
Isso implica que o plano tangente em qualquer ponto intersecta o hiperbolóide em
duas linhas e, portanto, que o hiperbolóide de uma folha é uma superfície dupla-
mente controlada.
No segundo caso (-1 no lado direito da equação), um tem um hiperbolóide de
duas folhas, também chamado de hiperbolóide elíptico . A superfície possui dois
componentes conectados e uma curvatura gaussiana positiva em todos os pontos.
Assim, a superfície é convexa no sentido de que o plano tangente em cada ponto
cruza a superfície somente neste ponto.
7.1 Hiperbolóide Elíptico de Uma Folha
A equação-padrão do hiperbolóide elíptico de uma folha é:
x2
a2
+ y
2
b2
− z2
c2
= 1
sendo convencionado que os parâmetros a, b e c são todos positivos.
Os parâmetros a e b são os semi-eixos da elipse obtida no corte deste
hiperbolóide pelo plano coordenado z = 0, dada pela equação:
x2
a2
+ y
2
b2
= 1
Representação Gráfica
Figure 9: Hiperbolóide Elíptico de Uma Folha
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7.2 Aplicações do Hiperboloide Elíptico de uma folha
Estruturas de hiperbolóides são estruturas arquitetônicas projetadas com a geome-
tria hiperbolóide.
Estas estruturas são encontradas em torres e em coberturas, onde a resistência
estrutural da geometria hiperbolóide é usada para economia estrutural, pois é
possível criar estruturas mais resistentes utilizando menos materias. Ainda, a ge-
ometria hiperbolóidetambém é frequentemente utilizada para efeito decorativo.
A primeira estrutura hiperboloide erigida no mundo foi uma torre de treliça
em aço, de beleza surpreendente, localizada na localidade de Polibino, região de
Lipetsk.
A torre hiperboloide foi construída e patenteada em 1896 pelo grande engenheiro
e cientista russo Vladimir Shukhov.
As estruturas hiperboloides foram construídas posteriormente por muitos arquite-
tos famosos, como Antoni Gaudí, Le Corbusier e Oscar Niemeyer.
8 Hiperbolóide Elíptico de Duas Folhas
A equação-padrão do hiperbolóide elíptico de duas folhas é:
x2
a2
+ y
2
b2
− z2
c2
= −1
Sendo convencionado que os parâmetros a, b e c são todos positivos.
O parâmetro c tem uma imediata identificação geométrica, pois os dois pontos
(0, 0,±c) são os vértices do hiperbolóide elíptico de duas folhas; além disto, são os
únicos pontos de corte deste hiperbolóide com os eixos coordenados.
Para ver isto, tomamos z = 0na equação-padrão acima e obtemos.
x2
a2
+ y
2
b2
= −1
Que não possui solução (real) e portanto não há cortes nem com o plano co-
ordenado (x, y) nem com os eixos x ou y; no entanto, tomando x = 0 e y = 0 na
equação-padrão acima resulta z2 = c2 e obtemos os dois pontos de vértice.
Os cortes do hiperbolóide elíptico de duas folhas com os planos coordenados ver-
ticais são as hipérboles que aparecem nas cores verde e azul nas figuras ao lado; à
esquerda temos as duas hipérboles no hiperbolóide elíptico de duas folhas trans-
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parente e à direita aparecem partes destas curvas no mesmo hiperbolóide elíptico
de duas folhas, agora pintado de marrom.
Estas hipérboles, de equações:
z2
c2
− x2
a2
= 1, z
2
c2
− y2
b2
= 1
Um hiperboloide de uma folha é uma superfície com regras duplas.
Se ele for um hiperboloide de revolução, ele também pode ser obtido através da
rotação de uma reta ao redor de uma reta de suporte.
Um hiperboloide degenerado possui a forma:
x2
a2
+ y
2
b2
− z2
c2
= 0
Se a = b, então esta fórmula irá fornecer um cone, se não for, ele fornecerá um
cone elíptico.
Representação Gráfica
Figure 10: Hiperbolóide Elíptico de duas Folha
8.1 Alpicações do hiperboloide Elipitico de duas folhas
Superfícies refletoras hiperbólicas em telescópios Superfícies refletoras hiperbólicas
(hiperbolóide de duas folhas):
Consideremos um espelho refletor com o formato de uma folha do hiperbolóide
gerado pela rotação de uma hipérbole em torno de seu eixo focal, sendo que a
parte refletora está do �lado de externo� do hiperbolóide (parte côncava).
Segue da Proposição 5.3 que um raio de luz irradiado de uma fonte A incide se-
gundo uma reta no espelho e é refletido numa direção passando pelo �foco� da
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outra folha do hiperbolóide.
Alguns telescópios denominados refletores usam um espelho hiperbólico secundário,
além do refletor parabólico principal, para redirecionar a luz do foco principal para
um ponto mais conveniente.
Sua construção foi proposta por Cassegrain em 1.672.
Ela utiliza um segundo espelho refletor hiperbólico com seu � foco� coincidindo
com o foco do espelho principal, de formato parabólico, conforme mostra a figura.
Seu objetivo é fazer com que a imagem, após ser refletida, seja formada na posição
do foco da outra folha do hiperbolóide. Existem algumas vantagens na montagem
desse tipo de telescópio.
O famoso telescópio ótico do observatório de Monte Palomar, que fica a 80 Km a
noroeste de San Diego, na Califórnia, utiliza várias montagens do tipo de Cassegrain.
9 Cone
Representação Gráfica
Figure 11: Cone
Uma superfície cônica (cone generalizado) C é uma superfície gerada por uma
reta r que se move ao longo de uma curva e que passa por um ponto fixo V fora
da curva. A reta móvel é chamada de geratriz, a curva denominada de diretriz e
o ponto fixo de vértice do cone. Portanto, um cone é a reunião de retas passando
por pontos de uma curva e por um ponto fixo V fora da curva. O vértice separa
cone em duas partes opostas pelo vértice, denominadas folhas e, usualmente, ap-
resentamos apenas uma das folhas. Se a diretriz é um círculo, uma parábola, uma
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elipse ou uma hipérbole, então a superfície será, respectivamente, uma superfície
cônica: circular, parabólica, elíptica ou hiperbólica.
Exemplo: Cone sobre um círculo
O cone circular reto de equação cartesiana:
x2 + y2 = z2
tem vértice na origem O(0,0,0) e, o círculo de equações reduzidas.
x2 + y2 = 1, z = 1 é uma de suas diretrizes.
9.1 Cone elíptico
Qualquer seção plana de um cone elíptico é uma seção cônica.
Obviamente, qualquer cone circular direito contém círculos. Isso também é
verdade, mas menos óbvio, no caso geral. A equação-padrão do cone elíptico (ou,
mais precisamente, da superfície cônica de duas folhas, já que o termo "cone" cos-
tuma ser usado para o sólido que esta superfície limita junto com um, ou dois,
planos) é:
x2
a2
+ y
2
b2
− z2
c2
= 0
sendo convencionado que os parâmetros a, b e c são todos positivos. As razões
a
c
e
b
c
destes parâmetros dão as inclinações da geratriz deste cone nos planos coor-
denados verticais, ou seja, das retas concorrentes obtidas no corte deste cone pelos
planos coordenados y = 0 e x = 0 de equações, respectivamente:
z = ±a
c
x, z = ± b
c
= y
21
Observe que o único corte do cone elíptico com o plano (x, y) é dado pela
origem, já que substituindo z = 0 na equação-padrão do cone elíptico obtemos:
x2
a2
+ y
2
b2
= 0
cuja única solução é a origem (x, y) = (0, 0). Em particular, a origem é o único
ponto de corte do cone elíptico com os eixos coordenados.
9.1.1 Geometria projetada
Na geometria projetiva, um cilindro é simplesmente um cone cujo ápice está no
infinito, que corresponde visualmente a um cilindro em perspectiva que parece ser
um cone em direção ao céu.
Na geometria projetada, um cilindro é simplesmente um cone cujo ápice está no
infinito.
Intuitivamente, se alguém mantém a base fixa e toma o limite quando o ápice
vai para o infinito, obtém-se um cilindro, o ângulo do lado aumentando como arc-
tan , no limite que forma um ângulo reto.
Isso é útil na definição de cónicas degeneradas , que exigem a consideração das
cônicas cilíndricas.
9.1.2 Dimensões maiores
A definição de um cone pode ser alargada a dimensões mais elevadas (ver cones
convexos ).
Neste caso, diz-se que um conjunto convexo C no verdadeiro vector espaço Rn é
um cone (com ápice na origem) se para todo vetor x em C e cada número não
negativo verdadeiro um, o vetor machado está em C.
Neste contexto, os análogos de cones circulares geralmente não são especiais;
Na verdade, muitas vezes se interessa por cones poliédricos.
10 Cilindro
Superfícies Cilíndricas: Os cilindros quádricos são o lugar geométrico tridimen-
sional de equações de segundo grau em duas variáveis, ou então, o que é mesma
coisa, de equações de segundo grau em três variáveis em que uma não aparece
22
explicitamente. Nenhum valor da variável que não aparece deixa de satisfazer a
equação e, assim, fazem parte da superfície cilíndrica todas as retas perpendicu-
lares ao plano determinado pelas duas variáveis que aparecem na equação, sempre
que o pé da perpendicular satisfaz a equação nas duas variáveis deste plano. Com
uma variável a menos, a equação de segundo grau determina uma curva plana que,
em geral, é uma cônica não-degenerada deste plano; assim obtemos, entre outros,
os cilindros elípticos, hiperbólicos e parabólicos.
Observe, para exemplificar, que a mesma equação x = 1 representa um ponto na
reta unidimensional, uma reta vertical no plano bidimensional e um plano vertical
no espaço tridimensional. Analogamente, uma equação:
Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0
de segundo grau nas duas variáveis x e y,representa tanto uma cônica no plano
(x, y) quanto um cilindro quádrico no espaço tridimensional (x, y, z)).
Nenhum valor da variável z (que não aparece na equação) deixa de satisfazer
a equação e, assim, fazem parte do cilindro quádrico todas as retas verticais per-
pendiculares ao plano (x, y), sempre que o pé da perpendicular satisfaz a equação
de duas variáveis dada.
Utilizando a classificação das cônicas do Cálculo IA obtemos, entre outros, os
cilindros elípticos, hiperbólicos e parabólicos, que podem ser visualizados a seguir;
também apresentamos um cilindro obtido de uma cônica degenerada, mais precisa-
mente, de um par de retas concorrentes. Estas quádricas são todas degeneradas,
em termos da classificação dada acima.
O cilindro equação implícita secção circular centrada (0, 0, z) e raio r ao longo do
eixo z é: x2 + y2 = r2
10.1 Classificação
Um cilindro pode ser:
cilindro rectangular, se o eixo do cilindro é perpendicular às bases.
cilindro oblíquo se o eixo não é perpendicular às bases.
cilindro de revolução se delimitada por uma superfície que gira 360 .
23
10.2 Superfície cilíndrica
A superfície cilíndrica é formado por linhas paralelas, denominadas geratrizes, que
contêm os pontos de uma curva plana, chamado de guiamento do cilindro.
A superfície lateral cilíndrica é obtida pela rotação de uma linha em torno de um
eixo. superfícies cilíndricas podem ser
superfície cilíndrica de revolução: se todas as geratrizes equidistantes a partir de
um eixo paralelo a ele.
superfície cilíndrica de não revolução: se existir um eixo geratrizes equidistantes.
10.3 Superfície Cilíndrica como Quádrica
As secções cónicas são de três tipos: elipses, parábolas, e hipérboles, que servem
como orientações, três tipos de superfícies originam quádricas cilíndricas:
10.3.1 Cilindro Elíptico
Tomando como uma directriz uma elipse pode ser gerada uma superfície cilíndrica
elíptica (incluindo o cilindro circular , quando os semi-eixos a e b da elipse são
iguais).
Em um sistema de coordenadas ortogonais, tendo como z uma linha cuja direcção
é paralela à geratriz, se a origem for escolhida como o centro de simetria, a equação
da superfície cilíndrica é semelhante à superfície cónica correspondente.
A equação de um cilindro elíptico é da forma:
x2
a2
+ y
2
b2
= 1
em que a e b são os semi-eixos.
Representação Gráfica
Figure 12: Clindro Elíptico
24
Figure 13: Cilindro Circular
10.3.2 Cilindro Parabólico
Sob condições similares, a equação de uma superfície parabólica será da forma:
y = x2
Como você pode ver que a equação é a equação de um vértice parábola (0, 0)
em R2. Nós colocando parábolas com esse vértice ao longo do eixo z construir o
cilindro parabólico.
Representação Gráfica
Figure 14: Clindro Parabolico
10.3.3 Cilindro Hiperbólico
A equação implícita do cilindro hiperbólica centrado sobre (0, 0, z) e raio r ao longo
do eixo z é:
x2 − y2 = r2
25
Sob condições similares, a equação de uma superfície hiperbólica é da forma:
x2
a2
− y2
b2
= 1
Representação Gráfica
Figure 15: Clindro Hiperbolico
10.4 Aplicaçõe dos Cilindros
10.4.1 Cilindro Elipitco
O conceito de cilindro é muito importante. Nas cozinhas encontramos aplicações
intensas do uso de cilindros. Nas construções, observamos caixas d'água, fer-
ramentas, objetos, vasos de plantas, todos eles com formas cilíndricas. Canos,
Tuburrais,oleodutos,gasodutos e compressores de oleo e ar também são alguns dos
usos dos Cilindros.
10.4.2 Cilindro Parabolico
As aplicações clássicas das coordenadas cilíndricas parabólicas encontram-se na
resolução de equações diferenciais parciais, como por exemplo a equação de Laplace
ou a equação de Helmholtz, para as quais essas coordenadas permitem a utilização
da técnica de separação das variáveis. Um exemplo típico seria o campo eletrico
em torno de uma placa plana semi-infinita condutora.
Coletor Cilindro-Parabólico Espelhos cilindro-parabólicos são utilizados para
concentrar a luz solar em tubos receptores posicionados ao longo da linha fo-
cal dos espelhos, que são desenhados para seguir a posição do Sol. Um fluido
de transferência circula através desses tubos e é aquecido pelos raios solares até
aproximadamente 400C no caso do óleo térmico ou 450C no caso de sais fundidos.
Esse fluido é bombeado através de uma série de trocadores de calor, de forma
26
a produzir vapor dentro da usina. O vapor é, então, utilizado para movimentar
turbinas e gerar eletricidade.
Conclusão
As Quadricas estão presentes em praticamente quase todas as coisas, na in-
dustria ou na natureza o estudo e entedimento sobre as mesmas garante grandes
passos para o desenvolvimento humano, suas aplicações vão muito além na matem-
atica,ficica, quimica e na engenharia e arquitetura etc.
Referências:
https://pt.wikipedia.org/wiki/Quádrica
http://www.coladaweb.com/matematica/conicas
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/esfera/esfera.htm
https://pt.wikipedia.org/wiki/Esfera
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/esfera.htm
https://pt.wikipedia.org/wiki/Elipsoide
http://www.ufrgs.br/engcart/Teste/elipexp.html
http : //www.sato.prof.ufu.br/Conicas/node16.html
https : //pt.wikipedia.org/wiki/Paraboloide
https : //en.wikipedia.org/wiki/Paraboloid
https : //en.wikipedia.org/wiki/Hyperboloid
https : //pt.wikipedia.org/wiki/Estruturahiperboloide
https : //en.wikipedia.org/wiki/Cone
http : //www.sato.prof.ufu.br/GeoAnalitica/Conesgeneralizados1.html
https : //en.wikipedia.org/wiki/Convexcone
http : //www.mat.ufrgs.br/ calculo/quadrica/cilind.htm
https : //es.wikipedia.org/wiki/Cilindro
https : //en.wikipedia.org/wiki/ConeProjectivegeometry
http : //gaussianos.com/representar − superficies− en− tres− dimensiones/
Aplicativos usados:
Ediçã de texto e formulas: Kile e OpenOfficeLibre.
Gráficos 3D : Geogebra - online
https://www.geogebra.org/3d
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