Lista - Derivadas 4 - Máximos e Mínimos

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Engenharia e Arquitetura
	DISCIPLINA:
Cálculo Diferencial
	CURSO: Engenharia, Sistema de Informação
	SEMESTRE: 1º
	
	
	PERÍODO LETIVO: 2011.1
	
	PROFESSOR: Adalberto Santos 
Lista de Exercícios - 3ª Unidade
1ª PARTE
1. Encontre os pontos de máximos e mínimos relativos das seguintes funções, se existirem. 
.
 (a) f(x) = 5x5 –25x3 (b) 
 (c) y = x ex (d) 
 
2. Determinar os valores máximos e mínimos das seguintes funções nos intervalos indicados:
 (a) f(x) = x2 – 4 ; [(1,3] (b) f(x) = x3 – x2 ; [0,5] (c) 
; [(2,2] 
3. Determine as constantes nas funções abaixo, de modo que:
	a) 
 tenha pontos críticos em x = -2 e x = 3. Qual é o de máximo?
 E o de mínimo?
	b) 
 tenha um máximo relativo em P (1,7) e o gráfico de 
passe por 
 Q (2,-2)
	 c) 
 tenha um extremo em x = 4 e um ponto de inflexão em x = 1;
	 d) 
 tenha um ponto de inflexão P (1, 2) e a inclinação da tangente nesse ponto seja -2.
4. Resolva os seguintes problemas utilizando a teoria de Máximos e Mínimos:
a) Um estudo de eficiência do turno da manhã de uma montadora de automóveis indica que um operário médio, chegando ao trabalho às 8 horas, terá montado Q(t) = (t3 +9t2 +15t unidades “t” horas depois. A que horas da manhã o operário trabalha com maior eficiência? Considere o intervalo [0,4] para t, que corresponde das 8 às 12 da manhã. (Dica: A eficiência é dada pela “velocidade” E(t) =Q’(t) = –3t2 + 18t +15 )
b) O Departamento de Trânsito de uma cidade depois de uma pesquisa constatou que, num dia normal da semana à tarde, entre 2 e 7 horas, a velocidade do tráfego é de aproximadamente 
V(t) = 2t3 ( 27t2 + 108t ( 35 quilômetros por hora, onde t é o número de horas transcorridas após o meio dia. A que horas no intervalo de 2 às 7 o tráfego flui mais rapidamente e a que horas flui mais lentamente?
c) Um fazendeiro deve construir dois currais lado a lado, com uma cerca comum. Se cada curral deve possuir uma área 300 m2, qual o comprimento da menor cerca necessária?
d) Um tanque de base quadrada, sem tampa, deve conter 125cm3. O custo, por metro quadrado, para a base é de R$8,00 e para os lados R$4,00. Encontre as dimensões do tanque para que o custo seja mínimo. 
	
5. Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo.
 (a) 
 (b) 
 (c) 
 (d) 
 (e) 
 
Respostas:
1. (a) x = 
é ponto de máximo e x = 
 é ponto de mínimo (b) Não existem extremos 
 (c) x = (1 de mínimo (d) x = 0 é ponto de mínimo e x = 64/5 é ponto de máximo 
2. (a) f(0) = (4 é mínimo e f(3) = 5 é máximo (b) f(2/3) = ( 4/27 é mínimo e f(5) = 100 é máximo 
 (c) f((1) = (1/2 é mínimo e f(1) = 1/2 é máximo
3. (a) a = -3/2, b= -18 e c
� IR, x max = -2, x min = 3; (b) a = -9, b=18, c=-2 ;
 (c) a = -3, b = -24, c
� R; (d) a = 4, b = -12, c = 10.
4. (a) 11 horas; (b) Mais rapidamente às 3 da tarde com velocidade de 100km/h e mais
 lentamente às 6 horas com velocidade de 73km/h 
 (c) 120 m; (d) base: 5 x5cm2 e altura: 5cm. ; (e) 10c
5.
	
2ª PARTE
Seja a função , definida em todo o espaço real, onde , e são constantes reais. Determine os valores das constantes, sabendo que a função passa pelo ponto (1,-8) e tem um mínimo em (2, -11).
Um fabricante produz certo produto ao custo unitário de R$ 5,00 e calcula que, se vendê-los a x reais a unidade, os clientes comprarão 20–x unidades por dia. A que preço o fabricante deve vender seu produto para que seja máximo o lucro obtido?
3. Um estabelecimento pretende isolar uma área para a montagem de um parque infantil. Essa área deverá ser retangular, sendo que um dos lados faz parte da parede do estabelecimento e os outros três lados serão feitos com uma cerca. Se o total de cerca a ser utilizado é igual a 20m, qual a máxima área para o parque? 
5. Dada a função abaixo, determine através dos cálculos necessários os pontos de máximo e de mínimo e o ponto de inflexão no intervalo [-6;4]. 
6. Dado o gráfico e a função abaixo, determine através dos cálculos necessários e localize no gráfico os pontos de máximo e de mínimo, o ponto de inflexão e os intervalos de crescimento e decrescimento. 
7. Dados o gráfico e a função abaixo, determine através dos cálculos necessários e localize no gráfico os pontos de máximo e de mínimo, o ponto de inflexão e os intervalos de crescimento e decrescimento. 
(d)� EMBED Equation ���; não tem interseção com os eixos;; crescente em [1, +� EMBED Equation.2 ���); decrescente em (-� EMBED Equation.2 ���, 0) e em (0, 1]; mín. em� EMBED Equation.2 ���; não tem máx.; concavidade para cima em (0, +� EMBED Equation.2 ���); concavidade para baixo em (-� EMBED Equation.2 ���, 0) ;.
 b b b
 a a
(e)� EMBED Equation.2 ���; interseção com eixos em � EMBED Equation.2 ���, � EMBED Equation.2 ���, � EMBED Equation.2 ���;; crescente em � EMBED Equation ���; decrescente em � EMBED Equation.3 ��� e em � EMBED Equation.3 ��� ; máx. em � EMBED Equation.2 ���; concavidade para cima em (-3, 0); concavidade para baixo em (0, 3); 
4
(c) D(f)=IR-{-1}; interseção com os eixos: O(0,0); f é crescente em (-1,1] e decrescente em (-� EMBED Equation.3 ���,-1) e em [1,+ � EMBED Equation.3 ���); xmáx=1 e 	ymáx=1/4, não tem mínimo; concavidade para cima em (2,+ � EMBED Equation.3 ���) e concavidade para baixo em (-� EMBED Equation.3 ���,-1) � EMBED Equation.3 ��� (-1,2); 
(b)� EMBED Equation ���; corta os eixos na origem; crescente se � EMBED Equation.2 ���; decrescente se � EMBED Equation.2 ���; máx. em � EMBED Equation.2 ���; mín. em � EMBED Equation.2 ���; concavidade para baixo em (-� EMBED Equation.2 ���, -1)� EMBED Equation.3 ���(0, 1);  concavidade para cima em� EMBED Equation.2 ���; 
(a) D(f)=IR*; interseção com Ox: P(1,0) e Q(3,0); f é crescente em (-� EMBED Equation.3 ���,0) e em [3/2,+� EMBED Equation.3 ���) e f é decrescente em (0,3/2]; xmín=3/2 e ymín=-1/3, não tem máximo; concavidade para cima em (-� EMBED Equation.3 ���,0)� EMBED Equation.3 ���	(0,9/4) e concavidade para baixo em (9/4,+ � EMBED Equation.3 ���); 
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