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1 Notas de aula para o curso de Engenharia Econômica Nota 2: taxa de juro variável, correção monetária e taxa de juro real e desconto Thiago Fonseca Morello fonseca.morello@ufabc.edu.br sala 301, Bloco Delta, SBC 1 Taxa de juro variável 1.1 Teoria Existem aplicações cuja taxa de capitalização varia ao longo do tempo. É o caso, por exemplo, de ações emitidas por empresas e de aplicações pós-fixadas. Neste caso, o cálculo do montante deve incorporar os diferentes valores da taxa de capitalização observados durante o período total de aplicação. Representando a taxa de capitalização prevalecente no t-ésimo instante de tempo por it, formalmente: CT = C0 [(1+i1).(1+i2).(1+i3)... (1+iT)] = C0∏ (1 + ݅௧)௧்௧ୀଵ Para uma aplicação com capitalização mensal que foi iniciada em Janeiro de 2015 e finalizada em Abril do mesmo ano, o montante é CT = C0 [(1+i1).(1+i2).(1+i3) (1+i4)]. Da mesma maneira, a taxa de juro efetiva acumulada no período é: i. = C்C − 1 = ෑ(1 + ݅௧)௧் ௧ୀଵ − 1 1.2 Exercícios (1) Calcule a taxa de juros efetiva mensal proporcionada pela aplicação em um título do tesouro que remunera com base no valor vigente da taxa SELIC. Considere como período de referência aquele que se estende de Novembro de 2014 a Agosto de 2015. Os valores assumidos pela taxa SELIC no período podem ser encontrados na tabela abaixo. Mês SELIC (% a.m) Nov_2014 0.84 Dez_2014 0.96 Jan_2015 0.94 Fev_2015 0.82 Mar_2015 1.04 Abr_2015 0.95 Mai_2015 0.99 Jun_2015 1.07 Jul_2015 1.18 2 Ago_2015 1.11 R: Basta aplicar a fórmula geral ∏ (1 + ݅)௧்௧ୀଵ − 1 = (1+0,0084)(1+0,0096)...(1+0,0111) -1 = 10,35%. (2) (BM&F BOVESPA) Um investidor aplicou dinheiro em um fundo que apresentou as rentabilidades citadas abaixo. Conhecendo os dados, calcule a rentabilidade acumulada no trimestre. Outubro: 1,65% Novembro: 2,01% Dezembro: 1,86% Resposta: 5,62% ao trimestre. 2 Correção monetária e taxa de juro real 2.1 Teoria 2.1.1 Correção monetária de fluxos monetários Até este ponto o fenômeno da inflação de preços não foi considerado, porém, sabemos que, na realidade, se trata de algo de grande importância, especialmente em nosso país em que a taxa de inflação está atualmente em torno de 6% a.a (dado de 2016). É preciso entender porque a inflação é importante. Em linhas gerais, a inflação é definida como um aumento que se estende aos principais preços de uma economia nacional. Se os preços dos produtos aumentam, cai o poder de compra do dinheiro, medido este em termos do número de produtos que podem ser adquiridos para cada unidade monetária despendida (R$1). É claro que a renda dos indivíduos que vendem os produtos cujos preços se tornam maiores aumenta. Mas, porém, se o aumento de preços é geral, com todos os preços da economia crescendo à mesma taxa, o poder de compra da renda não aumenta, exatamente porque o que se ganha com o aumento do preço de produtos vendidos se perde com o aumento do preço de produtos adquiridos. Fica, portanto, nítida a importância do poder de compra do dinheiro. O efeito de redução do poder de compra do dinheiro, causado pela inflação, altera o resultado de todas as modalidades de transação financeira, incluindo a aquisição de um ativo (título da dívida ou ações corporativas) e operações de crédito. Os resultados de projetos de investimento produtivo também são alterados. A principal razão pela qual tais alterações ocorrem está em que, se a taxa de inflação é não-desprezível, o dinheiro investido no início da aplicação tem maior poder de compra do que o dinheiro recebido ao final (e o mesmo vale para as outras duas modalidades). E o que importa para o investidor não é o valor numérico do lucro obtido, i.e., o valor 3 nominal1, mas sim o valor medido em termos do poder de compra do dinheiro, ou valor real. Para um projeto produtivo é mais fácil entender o motivo. Uma empresa, ao investir em uma nova máquina, espera, com isso, aumentar seu nível de lucro operacional. O excedente poderá ser reinvestido, adquirindo-se mais uma unidade da máquina. Mas, porém, se o preço da máquina aumentar entre a instalação da primeira unidade e a obtenção do excedente de lucro, este poderá pagar uma parcela do preço da máquina menor do que o inicialmente planejado. Conforme o tempo passa, cada unidade monetária permite comprar um menor número de máquinas. Portanto, para calcular o valor, medido em termos de poder de compra, do rendimento de uma aplicação, é preciso levar em conta a taxa de inflação. Para compreender como é possível fazer isso, o primeiro passo está em expressar de maneira clara o que se entende por “valor medido em termos de poder de compra”. Seja considerado um capital inicial C0, por exemplo, R$100.000,00 ou R$200.000,00, etc. Estes valores são “nominais”, pois representam quantidades de dinheiro (número de unidades monetárias), mas não o poder de compra que tal quantidade de dinheiro possui. Este último pode ser calculado dividindo-se o valor nominal por um índice de preços que mensura o padrão médio de consumo de um País. Tal índice pode ser calculado como uma média ponderada dos preços dos bens, pi, em que o ponderador é a participação da despesa total do País em cada bem de consumo, Di, dividido pela despesa total do País em consumo, D. Formalmente, ܲ = ∑ ଵୀ 2. Este valor da cesta média de consumo é geralmente referido como índice de preços, exatamente por corresponder a uma média ponderada de preços. O poder de compra do capital inicial é simplesmente C0/P0, em que P0 é o valor do índice de preços no período inicial – como os preços variam quando há inflação, a média ponderada deles também varia. A interpretação de por que esta razão mede o poder de compra é facilitada se considerarmos que P capta o preço do bem de consumo médio3 e, portanto, C0/P0 é o número de unidades de bem médio que podem ser adquiridas com um quantidade de dinheiro C0. Por exemplo, dispondo-se de R$100 pode-se adquirir 10 unidades do bem médio caso o preço dele seja de R$10/unidade. O poder de compra do montante obtido a partir da aplicação de C0 a uma taxa de juros de i% após 1 período de tempo é: C1/P1 = C0(1+i)/P1. 1 Notar que o termo “nominal” tem agora o significado de valor monetário, i.e., de número de unidades monetárias. Não se trata de indicar uma taxa de juro cujo período de referência difere do período de capitalização (nota de aula 1). 2 O índice de preços ao consumidor amplo, o IPCA, utilizado pelo Banco Central para monitorar a inflação no País, não corresponde exatamente à fórmula apresentada, mas sim a ܲ´(ݐ) = ∑ (௧) (௧ିଵ) (௧ିଵ)(௧ିଵ)ଵୀ [média ponderada de variações de preços]. Para mais informações sobre o cálculo do IPCA, consultar a metodologia do IBGE no link abaixo. ftp://ftp.ibge.gov.br/Precos_Indices_de_Precos_ao_Consumidor/Sistema_de_Indices_de_Precos_ao_Con sumidor/Metodos_de_calculo/Metodos_de_Calculo_6ed.pdf 3 O bem médio é um bem qualquer (alimentar, habitacional, educacional, cultural, etc) cujo preço é exatamente igual à média ponderada dos preços de todos os bens. 4 A taxa de inflação entre o período inicial e o posterior, π1, é exatamente a taxa de variação do índice de preço, i.e., π1 = P1/P0 – 1, e, pois, P1 = (1+ π1) P0. O poder de compra do montante pode, pois, ser reescrito como ܥଵ/ ଵܲ = బ(ଵା)బ(ଵାగభ). Fica, portanto, claro como é possível incorporar a taxa de inflação ao cálculo do valor “real” de um fluxo monetário, entendendo por “real” a magnitude do fluxo medida em termos de poder de compra. Geralmente o valor inicial do índice de preços é normalizado em 1, de modo que todos os valores monetários sejam medidos como múltiplos de 1/P0. Como 1/P0 é exatamente o poder de comprade uma unidade monetária no instante t = 0, os valores monetários são medidos em termos de múltiplos do poder de compra da moeda em t = 0. Este passo é crucial, pois é ele que permite definir a unidade de referência (padrão ou “standard”) para o sistema de medida de valores reais. Cabe destaca-lo, utilizando para isso uma definição formal: P0 ≡ 1 Assim, pois ܥሚଵ = బ(ଵା)ଵାగభ é o valor real de C1 expresso em termos de múltiplos do poder de compra da moeda em t = 0. A normalização em 1 é de importância substantiva, pois బ(ଵା) బ(ଵାగభ) é o valor real de C1 expresso como múltiplo do poder de compra da moeda em t = 1. Para ter um padrão (referência) único(a) de poder de compra, adota-se a normalização. A utilidade dessa convenção ficará mais clara no próximo passo. Seja considerada agora uma aplicação de T >> 1 períodos que gera um montante CT = C0(1+i)T cujo valor real é, pois, CT / PT = C0(1+i)T / PT. Definindo πT ≡ PT / PT-1 -1, esta a taxa de inflação que mede o aumento de preços entre os períodos T-1 e T, é correto escrever CT / PT = C0(1+i)T / (1+ πT)PT-1. Da mesma forma pode-se definir, para os instantes antecedentes: πT-1 ≡ PT-1 / PT-2 -1, πT-2 ≡ PT-2 / PT-3 -1,..., π1 ≡ P1 / P0 -1. Deste modo, pois, PT = (1+ πT)PT-1 = (1+ πT) (1+ πT-1)PT-2 = (1+ πT) (1+ πT-1) (1+ πT-2)PT-3, etc. Em síntese: PT = (1+ πT) X (1+ πT-1) X (1+ πT-2) X (1+ πT-2) X ... X (1+ π1) P0 Ou, em notação sintética empregando o operador produtório: P் = Pෑ(1 + π௧)் ୀଵ Definindo como padrão de medida de poder de compra P0, i.e., adotando a convenção P0 ≡ 1, tem-se, finalmente: P் = ෑ(1 + π௧)் ୀଵ 5 O valor presente do montante a ser recuperado em t = T é: C்P் = C(1 + ݅)்∏ (1 + π௧)்ୀଵ Dimensionalmente, trata-se do valor real de CT expresso na forma de múltiplos do poder de compra que a moeda possuía em t = 0. A convenção dimensional P0 ≡ 1 é útil exatamente no caso em que interessa conhecer o valor real de uma série de fluxos monetários. Se, p.ex., o investidor monitorar o nível do montante ao final de cada período de capitalização, ele observaria C1, C2, C3, ..., CT. Trata-se da série de valores nominais do montante. Já a série de valores reais é C1/P1,C2/P2, C3/P3, ..., CT/PT. Esta segunda série tem seus componentes expressos como múltiplos do poder de compra de cada instante respectivo, conforme as divisões por P1, P2, ..., PT evidenciam. Isso não é prático pois a referência de preços (Pt) é variante no tempo, não sendo, pois, única. É como se fôssemos comparar as áreas de diversos polígonos, cada uma delas calculada com base em uma unidade métrica distinta, m2, hectares, km2, etc. Não seria possível saber quantas vezes um polígono de 120 hectares é maior do que um segundo polígono de 1000 m2 simplesmente dividindo o valor numérico da área do primeiro pelo segundo (120/1000). Da mesma forma, sendo a série de valores reais anterior numericamente igual a 2,3,4,...,10, seria errado afirmar que o valor real do montante em t = 3 (4) é duas vezes maior do que em t = 1 (2)4. E isso pois a primeira está expressa como múltiplos de P3 e a segunda como múltiplos de P1. Daí a necessidade de definir uma única referência. É o que se teria com base na série C1/[(1+π1)],C2/[(1+π1) (1+π2)], C3/∏ (1 + π௧)ଷୀଵ , ..., CT/∏ (1 + π௧)்ୀଵ , a qual implicitamente assume P0 ≡ 1. Exercício (deflacionando fluxos monetários) O fluxo de caixa abaixo corresponde a um projeto de construção de malha ferroviária em desenvolvimento pela estatal brasileira VALEC Engenharia, Construções e Ferrovias S.A. Tanto a despesa como a receita está apresentada em valores nominais. 4 Outra maneira de entender a necessidade de um padrão é a possibilidade de que o bem médio, i.e., bem com preço igual à média de preços, varie no tempo. 6 Para obter os valores reais dos fluxos de receita e despesa, serão consideradas as taxas de inflação abaixo, as quais são, até 2016, efetivamente observadas. Entre 2017 e 2021 há projeções de inflação provenientes do boletim Focus do Banco Central. Para os anos subsequentes foi assumido que a taxa de inflação se manterá constante no nível previsto para 2021. Ano Receita Despesa 2010 - 252.100.653,49 2011 - 2.084.573.966,49 2012 - 3.775.543.596,36 2013 - 3.196.332.394,47 2014 - 2.320.066.590,23 2015 1.138.848.828,22 1.126.313.344,43 2016 1.170.916.008,62 504.122.995,02 2017 1.204.112.146,90 507.609.271,77 2018 1.238.475.203,75 518.270.656,49 2019 1.274.043.709,75 536.730.216,35 2020 1.310.857.556,07 541.324.119,62 2021 1.348.958.503,73 560.047.456,00 2022 1.388.389.686,06 565.235.551,77 2023 1.429.196.088,23 584.568.660,93 2024 1.471.429.849,49 590.368.229,75 2025 1.501.299.875,43 617.542.063,15 2026 1.531.776.262,91 622.040.941,86 2027 1.562.871.321,04 633.946.455,44 2028 1.594.597.608,86 646.057.543,23 2029 1.626.967.940,32 658.348.463,65 2030 1.659.995.389,51 698.399.185,43 2031 1.693.693.295,92 719.724.638,48 2032 1.728.075.269,82 726.635.708,35 2033 1.763.155.197,80 748.690.404,65 2034 1.798.947.248,31 756.052.242,09 2035 1.835.465.877,46 704.012.425,09 2036 1.872.725.834,77 715.443.683,47 2037 1.910.742.169,21 727.664.407,12 2038 1.949.530.235,25 740.896.907,71 2039 1.989.105.699,02 746.166.149,06 2040 2.029.484.544,71 771.824.244,18 2041 2.070.683.080,97 790.083.334,16 2042 2.112.717.947,52 809.776.771,66 2043 2.155.606.121,85 828.905.878,00 2044 2.199.364.926,12 842.438.953,79 7 Ano Variação anual do IPCA (% a.a) [πIP CA] Fonte 2010 5,91 IPEADATA 2011 6,5 IPEADATA 2012 5,84 IPEADATA 2013 5,91 IPEADATA 2014 6,41 IPEADATA 2015 10,67 IPEADATA 2016 6,29 IPEADATA 2017 3,93 BACEN, Focus 2018 4,34 BACEN, Focus 2019 4,29 BACEN, Focus 2020 4,25 BACEN, Focus 2021 4,19 BACEN, Focus 2022 4,19 Hipótese 2023 4,19 Hipótese 2024 4,19 Hipótese 2025 4,19 Hipótese 2026 4,19 Hipótese 2027 4,19 Hipótese 2028 4,19 Hipótese 2029 4,19 Hipótese 2030 4,19 Hipótese 2031 4,19 Hipótese 2032 4,19 Hipótese 2033 4,19 Hipótese 2034 4,19 Hipótese 2035 4,19 Hipótese 2036 4,19 Hipótese 2037 4,19 Hipótese 2038 4,19 Hipótese 2039 4,19 Hipótese 2040 4,19 Hipótese 2041 4,19 Hipótese 2042 4,19 Hipótese 2043 4,19 Hipótese 2044 4,19 Hipótese 8 Passo a passo no Excel (1) Converter as taxas de inflação em números decimais a partir da operação πIPCA / 100; (2) Obter 1 + πIPCA / 100, os termos a serem multiplicados (multiplicadores) no denominador da expressão que gera o valor real do fluxo; (3) Calcular o valor total da expressão em questão, para cada ano, como segue: ܦ௧ = ൞1, ݐ = 2010 (ܽ݊ − ܾܽݏ݁)1 ∏ ቀ1 + πூ ,௧100 ቁ௧ఛୀଵ , ݐ > 1 A expressão anterior pode ser denominada por “fator de correção monetária” ou “deflator” 5 para o instante t. Trata-se do fator que expressa o fluxo monetário que ocorreem t em unidades monetárias do instante-base, no caso 2010. Recomenda-se organizar os resultados em uma tabela com os instantes de tempo ao longo da vertical, como segue. Há dois detalhes cruciais: (3.a) O deflator do ano base é sempre igual à unidade; (3.b) Os deflatores dos anos posteriores (t > 1) contêm as taxas de inflação de todos os anos que os antecedem, pois apenas assim incorpora-se integralmente a perda de poder de compra que ocorreu desde o ano-base. Desta forma, o deflator para t = 1 é D1 = 5 O termo “deflator” se refere geralmente ao fator que elimina o efeito da inflação. O IBGE, por exemplo, calcula o deflator do PIB, que é equivalente à razão entre o PIB calculado com base em preços referentes ao instante atual e o PIB calculado com base em preços referentes ao instante anterior (antes do aumento de preços). Ano Multiplicadores (1) e (2) Deflatores (3) Recíprocas dos deflatores (4) 2010 1 1 1 2011 1,065 1,065 0,938967136 2012 1,0584 1,127196 0,887157158 2013 1,0591 1,193813284 0,837651929 2014 1,0641 1,270336715 0,787192866 2015 1,1067 1,405881643 0,711297431 2016 1,0629 1,494311598 0,669204469 2017 1,0393 1,553038044 0,64389923 2018 1,0434 1,620439895 0,617116379 2019 1,0429 1,689956766 0,591731114 2020 1,0425 1,761779929 0,567607783 2021 1,0419 1,835598508 0,544781441 9 (1+πIPCA,1)-1, para t = 2 é D2 = (1+πIPCA,1)-1(1+πIPCA,2)-1 = ଵ ∏ ቀଵା ಘುಲ, భబబ ቁమഓసభ , para t = 3 tem- se D2 = (1+πIPCA,1)-1(1+πIPCA,2)-1(1+πIPCA,3)-1 = ଵ ∏ ቀଵା ಘುಲ, భబబ ቁయഓసభ , etc... Para o deflator em um dado período t, utilizar a função do Excel “mult(x0:xt)”, em que x0 ≡ valor do fator no instante inicial e xt ≡ valor do fator no instante-alvo, t. Notar que o símbolo “:” (dois pontos) informa ao software que todos os multiplicadores referentes aos instantes 0 a t devem ser multiplicados. É possível automatizar mais ainda com base em mult(x$0:xt), pois o símbolo “$” fixa a linha correspondente ao ano base, de maneira a que a fórmula, aplicada a cada uma das linhas, dá diretamente o valor da recíproca do deflator referente ao ano de cada linha. (4) Finalmente, para obter o termo que converte o fluxo a ele multiplicado em um fluxo real (recíproca do deflator), utilizar a fórmula mult(x$0:xt)^-1 (5) Multiplicar os valores nominais de cada ano pelos fatores gerados em (4). (consultar planilha “correcao_monetaria.xlsx” no TIDIA4) 2.2.2 Cálculo da taxa de juro real exata A taxa de inflação também pode ser incorporada ao cálculo do rendimento “real” de uma aplicação. Basta calcular a taxa de rendimento com base nos valores reais dos fluxos monetários. Retomando o exposto no início da subseção anterior, para uma aplicação de dois períodos, ܥሚଵ = బ(ଵା)భ em que ܥሚ௧ indica o valor real do montante no t-ésimo período. Da mesma maneira, C0/P0, é o valor real do capital inicial. Assim sendo, a taxa de juro real é dada por ݎ = బ(భశ)ುభ ିబುబబ ುబ = (ଵା) భ/బ − 1 = (ଵା)ଵାగభ − 1 Generalizando para uma aplicação com duração de T períodos, e considerando uma taxa de inflação variável no tempo: ܥሚ் = ܥ (1 + ݅)் ்ܲ = ܥ (1 + ݅)் ܲ(1 + ߨଵ)(1 + ߨଶ) … (1 + ߨ்) = ܥ (1 + ݅)்ܲ∏ (1 + ߨ)்ୀଵ (Pois PT = P0(1+π1) (1+π2)... (1+πT) e P0 ≡ 1) ݎ் = (1 + ݅)்∏ (1 + ߨ)்ୀଵ − 1 Em que rT é a taxa real obtida no período de referência T como um todo. Porém, é também útil calcular a taxa real que prevalece a cada período, r, i.e., a taxa que capitaliza a cada período do intervalo. Retomando o princípio de equivalência, tem-se que (1+r)T = 1+ rT, r = (1+rT)1/T – 1. E, pois: 10 ݎ = 1 + ݅ ∏ (1 + ߨ)ଵ/்்ୀଵ − 1 = 1 + ݅1 + ߨప෫ − 1 Em que 1 + ߨప෫ é a média geométrica de 1+π1, 1+π2,..., 1+πT. 2.1.2 Cálculo da taxa de juro real aproximada É possível calcular a taxa de juro real de maneira aproximada e, pois, sujeita a erro, da seguinte maneira r ≈ i – π, ou seja, basta subtrair a taxa de juro nominal pela taxa de inflação do período. É possível demonstrar que tal aproximação é coerente. A maneira correta de calcular a taxa de juro real é: ݎ = 1 + ݅1 + π − 1 ⟷ ݎ + 1 = 1 + ݅1 + π Aplicando o logaritmo dos dois lados da equação, obtém-se: log(ݎ + 1) = ݈݃ 1 + ݅1 + π൨ = log(1 + ݅)− log (1 + π) ⟷ log(1 + ݎ) = log(1 + ݅) − log (1 + π) Para valores de x próximos de zero (x~0), log(1+x) ~ x. Assumindo, pois, que π e i assumem valores pequenos, a equação acima pode ser aproximada para r ≈ i – π. 2.2 Exercícios 1 (BOVESPA, 2008, Q115) Uma instituição exige taxa real de juro de 1,6% ao mês para sua aplicação. O prazo da aplicação é de 90 dias. Nestes meses, estima-se inflação de 3,25% ao mês (mês 1), 2,75% ao mês (mês 2) e 1,95% ao mês (mês 3). Determine a taxa de juro composto ao ano que satisfaz as exigências do investidor. a) 45,96% b) 65,56% c) 62,05% d) 51% Resposta b. R: Sabemos que a taxa de juro real ao mês para um período de referência de 3 meses é: ݎ = 1 + ݅ ∏ (1 + ߨ)ଵ/ଷ்ୀଵ − 1 Segundo o enunciado, r = 1,6% a.m., π1 =3,25%, π2 = π3 e é preciso obter im: ݅ = (1 + 0,016)[(1 + 0,0325)(1 + 0,0275)(1 + 0,0195)]ଵ/ଷ − 1 = 0,04291 11 Porém o enunciado pede a taxa equivalente com capitalização anual, que é dada por ia: (1+ia) = (1+im)12 ia = (1+0,04291)12 – 1 = 0,655621202. 2 No dia 11 de Setembro de 2015, a taxa de juro-base da economia brasileira, SELIC, possuía o valor de 14,25% a.a. e a taxa de inflação (segundo o IPCA) prevista pelo mercado era equivalente a 5,65% a.a (fonte: Boletim Focus, BACEN, 11/09/2015). Calcule a taxa de juro real ao mês de um investimento que pague a SELIC. Considere que o valor é aplicado por apenas um mês. R: a taxa real ao mês é dada por: ݎ = 1 + ݅1 + ߨ − 1 Em que ݅ e ߨ são, respectivamente, a taxa de juro nominal mensal e a taxa de inflação mensal. Ocorre que o enunciado se refere a taxa de juro nominal e de inflação mensais. É preciso realizar os passos a seguir. (i) Conversão da SELIC anual em SELIC mensal im = (1+ia)1/12 – 1 = (1+0,1425)1/12 – 1 = 0,011163421. (ii) Conversão da taxa de inflação anual em mensal A operação de conversão é equivalente à realizada para taxas de juro. Para entender porque, basta considerar que o índice de preço referente ao período T, PT, é tal que PT = (1+ߨ்ିଵ் )PT-1, em que ߨ்ିଵ் é a taxa de inflação entre T -1 e T. Esta expressão pode ser utilizada para estabelecer a correspondência entre o índice de preço referente a um período inicial, t = 0, e o T-ésimo período. Basta, para isso, aplica-la a PT-1, PT-2,..., P1, obtendo: PT = (1+ߨ்ିଵ் )PT-1 = (1+ߨ்ିଵ் ) (1+ߨ்ିଵ் )… (1+ߨଵ)P0 Assim sendo, com o tempo sendo medido em meses e T = 12 meses, tem-se: Pଵଶ = Pෑ(1 + ߨ௦ିଵ௦ ) ଵଶ ௦ୀଵ Em que ߨ௦ିଵ௦ , s = 1,..., 12 é a taxa de inflação mensal referente ao s-ésimo mês. A equação acima é equivalente a: PଵଶP − 1 = ෑ(1 + ߨ௦ିଵ௦ )ଵଶ ௦ୀଵ − 1 O termo à esquerda corresponde exatamente à taxa de inflação observada ao longo do período de um ano, πa, enquanto que o termo à direita corresponde ao produto das taxas de inflação mensais, observadas ao longo do mesmo ano, subtraído pela unidade. Assim 12 sendo, pois, a taxa de inflação anual é o produto das taxas mensais subtraído pela unidade. De maneira mais clara: π = ෑ൫1 + π,௦൯ଵଶ ௦ୀଵ − 1 Em que πm,s é a taxa mensal referente ao s-ésimo mês. Caso a taxa de inflação mensal seja constante, a expressão acima se reduz a uma forma similar à encontrada ao calcular a taxa de juro anual correspondente a uma dada taxa mensal: π = (1 + π)ଵଶ − 1 É esta última versão que será utilizada para chegar à taxa de inflação mensal equivalente à taxa de inflação anual de 5,65% a.a. Com base nela: πm = (1+ πa)1/12 - 1 = (1+0,0565)1/12 – 1 = 0,004590635.(iii) retomando a fórmula para a taxa de juro real mensal: ݎ = 1 + ݅1 + ߨ − 1 = 1 + 0,01121 + 0,004591− 1 = 0,006578797 3 Calcule a taxa real mensal de rendimento de um investimento que pague o valor corrente da taxa SELIC durante o período que inicia em Janeiro de 2017 e finda em Maio do mesmo ano. Utilizar os dados na tabela abaixo. Mês SELIC (% a.m) IPCA (% a.m) Nov 1,04 0,18 Dez 1,12 0,3 Jan 1,09 0,38 Fev 0,87 0,33 Mar 1,05 0,25 Abr 0,79 0,14 Mai (previsão) 0,93 0,38 ݎ = ቈ∏ (1 + ݅)்ୀଵ ∏ (1 + ݅)்ୀଵ ଵ/ − 1 = ቈ(1,0104)(1,0112) … (1,0093)(1,0018)(1,003) … (1,0038) ଵ/ − 1 4 Deflacione as séries de despesas e receitas que compõem o fluxo de caixa do projeto da VALEC tomando como referência monetária o instante final, t = 2044. Neste caso o ano-base corresponde ao instante final do horizonte de investimento, i.e., a referência do sistema de medida monetária é t = T = 2044. O enunciado pede que sejam calculados os valores reais dos fluxos, expressando-os como múltiplos do poder de compra que a moeda possuirá em 2044. 13 Seja considerado um fluxo que ocorre em t = T, FT. O valor real do mesmo é . Como a convenção dimensional é de que PT ≡ 1, tal valor real pode ser escrito como FT. O valor real, expresso como múltiplos da moeda corrente, do fluxo que ocorre em t = T-1 é షభ షభ . Basta definir: π் = P் − P்ିଵP் ିଵ → P்ିଵ = P்1 + π் E, pois: F்ିଵP் ିଵ = F்ିଵP்1 + π் → F்ିଵP்ିଵ = (1 + π்) F்ିଵP் De modo que o valor real de FT-1 com base na unidade monetária de t = T é: (1 + π்)F்ିଵ O mesmo raciocínio se aplica a FT-2... F௧෩ = F௧ෑ(1 + π)௧ ୀଵ Basta multiplicar os valores nominais pelo produtório para obter os valores reais. 3 Desconto de duplicatas (Bueno, seção 9.4.3) 3.1 Teoria 3.1.1 Uma duplicata A operação de desconto de duplicatas é uma operação de fornecimento de crédito. A duplicata é emitida por um banco (intermediário) no nome de uma pessoa física ou jurídica que deseja tomar dinheiro emprestado para realizar uma compra (emissor). Há uma terceira parte, o vendedor dos produtos comprados, o qual recebe a duplicata como pagamento (receptor). Assim, a duplicata é um título que pode ser convertido em dinheiro. Esta conversão também é geralmente chamada de “recuperação”. O valor total monetário levantado pelo emissor é sempre inferior ao valor total ou “de face” da duplicata, e é exatamente esta diferença que se chama de desconto. As duplicatas são “títulos de dívida de curto prazo, normalmente de dois até três meses, emitidos em operações de compra e venda de bens e serviços e que, frequentemente, são 14 descontados antes de seu vencimento junto a bancos, por meio da taxa de desconto (Bueno et al, 2010, p.219).” As duplicatas, pois, são meios de pagamento utilizados em substituição ao dinheiro. O emissor de uma duplicata é, pois, um comprador, e deve pagar o valor de face da duplicata assim que esta vence. O receptor, ou melhor, detentor, da duplicata é o vendedor e deve utilizar a duplicata para obter uma quantidade de dinheiro equivalente ao preço do produto ou serviço vendidos. Há um terceiro agente, o banco, que desempenha duas funções (i) efetua o pagamento do valor descontado da duplicata ao detentor e (ii) recolhe o valor de face da duplicata do emissor. Uma vez que o valor descontado (VD) é sempre menor do que o valor de face (VF), o primeiro geralmente é definido pelo emissor de maneira a ser equivalente ao valor da compra por ele realizada. Ao final do período, pois, tal agente paga ao banco um valor superior ao da compra efetuada, tal como é o caso em qualquer operação de crédito. No mercado financeiro brasileiro, uma duplicata com valor de face VF é descontada por um valor absoluto D proporcional à (i) duração da duplicata, medida em dias (N), e (ii) taxa de desconto mensal (d). Mais precisamente, D = VFd(N/30), em que a divisão por 30 dias é empregada para converter a taxa de desconto mensal em diária, uma vez que prevalece um regime de capitalização simples para o desconto. E, desta forma, a taxa de fato aplicada, d N/30, é um produto da taxa de desconto, d, pela proporção do tempo de capitalização durante o qual a duplicativa permaneceu ativa, N/30 – ou seja, se a capitalização é mensal e a duplicata dura meio mês (15 dias), aplica-se apenas metade da taxa. O valor descontado da duplicata, VD, é VD = VF – D = VF(1 – Nd/30). Do ponto de vista do banco, a emissão de uma duplicata é equivalente a aplicar um valor VD (pago ao detentor) durante N dias obtendo ao final um valor VF (recebido do emissor). Desta maneira, pois, é possível calcular a taxa de juro obtida pelo banco no período de referência equivalente ao vencimento da duplicata, N, como iN = VF/VD – 1. A taxa de juro diária id, é, pois: (1 + id)N = 1 + iN id = (VF/VD)1/N – 1. Já a taxa de juro mensal é im = (1+id)30 - 1 im = (VF/VD)30/N – 1. 3.1.2 Múltiplas duplicatas de um mesmo detentor É possível que um vendedor receba não apenas uma, mas múltiplas duplicatas, cada uma para um produto ou serviço vendido. Coloca-se então o problema de calcular o valor total que o banco pagará ao vendedor. Este valor é dado por: VD = VF1(1-d/30N1) + VF2(1-d/30N2) + VF3(1-d/30N3) + ... + VFK(1-d/30NK) Em que cada uma das duplicatas têm, potencialmente, valor de face e período de vencimento distintos. A expressão acima corresponde à soma dos valores descontados das duplicatas. Ela pode ser simplificada para fins de cálculo como segue. 15 ܸܦ = ܸܨ ൬1 − ݀30 ܰ൰ ୀଵ = (∑ ܸܨୀଵ )(∑ ܸܨୀଵ )ܸܨ ൬1 − ݀30 ܰ൰ୀଵ → ܸܦ = ൭ܸܨ ୀଵ ൱ ܸܨ(∑ ܸܨୀଵ ) ൬1 − ݀30 ܰ൰ୀଵ= ൭ܸܨ ୀଵ ൱ ܸܨ(∑ ܸܨୀଵ )ୀଵ − ܸܨ(∑ ܸܨୀଵ )ୀଵ ൬ ݀30 ܰ൰൩= ൭ܸܨ ୀଵ ൱൭1 −ߙ ୀଵ ܰ ݀30൱ → ܸܦ = ൭ܸܨ ୀଵ ൱൭1 − ݀30ߙ ୀଵ ܰ൱ Em que ߙ é a participação do valor de face da k-ésima duplicata na soma dos valores de face de todas as duplicatas e, portanto, ∑ ߙୀଵ ܰ é a média dos prazos de vencimento das duplicatas ponderada pela participação dos respectivos valores de face no valor de face total. Ou, denominando ∑ ߙୀଵ ܰ por " ത݊" e (∑ ܸܨୀଵ ) por “VF”, como em Bueno et al (2011, seção 9.4.3): ܸܦ = ܸܨ ൬1 − ݀30 ത݊൰ 3.2 Exercícios 1 (Bueno et al. 2010, exemplo 9.7) Uma duplicata para vencimento daqui a 45 dias foi descontada pelo banco a uma taxa de desconto de 4,5% ao mês. Quanto foi depositado na conta do cliente, sabendo-se que o valor da duplicata é de $15.000,00? Qual a taxa de juro [mensal] cobrada pelo banco? R: é preciso considerar que o “cliente” corresponde ao detentor da duplicata e, portanto, o valor depositado é o VD. O valor de R$15.000,00 informado é o VF. Com base nisso, basta calcular o VD, com segue. VD = VF(1 – d/30N) = 15.000(1 – 0,045/30*45) = 13.987,5 Para calcular a taxa de juro mensal, basta considerar a fórmula acima: im = (VF/VD)30/N – 1 = (15.000/13.987,5)30/45 – 1 = 0,047693155. 2 (BOVESPA, 2008, Q50) Um título de cinco meses de valor nominal igual a R$100.000,00 foi descontado sob o regime de juro simples a uma taxa de desconto comercial de 2% ao mês. O valor do desconto é: a) R$10.000,00 16 b) R$12.000,00 c) R$8.000,00 d) R$14.000,00 Resposta a R: é preciso atentar para o fato de que o exercício requer o valor do desconto, D, e não o valor descontado do título, VD. Basta considerar que D = VFd/30N = 105(0,02/30*150) = 105(0,1/50 * 50) = 10.000,00. 3 (BOVESPA, 2008, Q56, adaptado) A empresa XYZ precisa de recursos por dois anos e consegue diversas propostas alternativas. A alternativa que lhe acarreta o menor custo financeiro é: a) 18% ao ano de taxa de desconto comercial (ou bancário) b) 18% ao ano de taxa de juro simples em um empréstimo c)18% ao ano de taxa de juro composto em um empréstimo Resposta b R: a opção de menor custo financeiro é a que representa a menor taxa de juro implícita. Não é necessário considerar o principal do empréstimo, uma vez que ele será o mesmo para todas as propostas e, portanto, não pode redundar em diferenças entre elas. Examinemos cada proposta. (i) O desconto é equivalente ao pagamento de uma taxa implícita de juro, uma vez que a empresa recebe VD do banco e tem de pagar, após dois anos, VF, com VF > VD. A taxa paga ao longo de todo período, pois, é i2a = VF/VD – 1 = VF/VF(1 – d/360*N) - 1 i2a = (1 – d/360*N)-1 – 1. Como a taxa de desconto é anual, ela está sendo dividida por 360 dias. Porém, o exercício pede a taxa anual, ia, tal que (1+ ia)2 = (1+ i2a) ia = (1+ i2a)1/2 – 1 = (1+ (1 – d/360*N)-1 - 1)1/2 – 1 = [(1 – 0,18/360*720)-1]1/2 – 1 = (1 – 0,36)-1/2 – 1 = 0,60 ia = 25%. (ii) Não é preciso fazer nenhuma conta para determinar qual das duas alternativas, b e c, é menos custosa para a empresa. Trata-se claramente da alternativa b, uma vez que a taxa em que uma dívida é atualizada a juro simples é sempre menor do que no caso de juro composto. Uma vez que uma taxa anual simples de 18% é sempre inferior à taxa de 25%, a melhor alternativa de financiamento para a empresa é a b. 4 (BOVESPA, 2008, Q57) Uma empresa possui um borderô de duplicatas, as quais serão descontadas à taxa de desconto simples de 2,75% ao mês (ver a tabela a seguir). Calcule o valor total de desconto. 17 Tabela Relação de duplicatas Duplicata Valor Prazo (vencimento em dias corridos) 1 20.000,00 45 2 10.000,00 64 3 8.000,00 82 a) R$2.042,23 b) R$1.045,00 c) R$201,30 d) R$2.013,00 Resposta d R: A empresa é um vendedor de produtos que deseja recuperar o valor de diversas duplicatas que recebeu como pagamento. Para obter o valor total que ela vai receber, basta empregar a fórmula sintética acima. ܸܦ = ܸܨ ୀଵ ൭1 − ݀30ߙ ୀଵ ܰ൱ = (20 + 10 + 8)10ଷ 1 − 0,027530 ൬2038 45 + 1038 64 + 838 82൰൨= 35.987,00 Porém, deve-se atentar para o fato de que o exercício pede o valor total do desconto e não o valor total descontado. Basta considerar que D = VF – VD = 38.000 - 35.987,00 = 2.013,00. Outra maneira de fazer, direta, é considerar que o valor total do desconto é: ܦ = ܸܨ ୀଵ ൭ ݀30ߙ ୀଵ ܰ൱ = 38.000 0,027530 ൬2038 45 + 1038 64 + 838 82൰൨= 2.013,00
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