nota aula 2 13_06_17 engenharia econômica

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Notas de aula para o curso de Engenharia Econômica 
Nota 2: taxa de juro variável, correção monetária e taxa de juro real e desconto 
Thiago Fonseca Morello 
fonseca.morello@ufabc.edu.br 
sala 301, Bloco Delta, SBC 
1 Taxa de juro variável 
1.1 Teoria 
Existem aplicações cuja taxa de capitalização varia ao longo do tempo. É o caso, por 
exemplo, de ações emitidas por empresas e de aplicações pós-fixadas. Neste caso, o 
cálculo do montante deve incorporar os diferentes valores da taxa de capitalização 
observados durante o período total de aplicação. Representando a taxa de capitalização 
prevalecente no t-ésimo instante de tempo por it, formalmente: 
CT = C0 [(1+i1).(1+i2).(1+i3)... (1+iT)] = C0∏ (1 + ݅௧)௧்௧ୀଵ 
Para uma aplicação com capitalização mensal que foi iniciada em Janeiro de 2015 e 
finalizada em Abril do mesmo ano, o montante é CT = C0 [(1+i1).(1+i2).(1+i3) (1+i4)]. 
Da mesma maneira, a taxa de juro efetiva acumulada no período é: 
i௘௙. = C்C଴ − 1 = ෑ(1 + ݅௧)௧்
௧ୀଵ
− 1 
1.2 Exercícios 
(1) Calcule a taxa de juros efetiva mensal proporcionada pela aplicação em um 
título do tesouro que remunera com base no valor vigente da taxa SELIC. Considere 
como período de referência aquele que se estende de Novembro de 2014 a Agosto de 
2015. Os valores assumidos pela taxa SELIC no período podem ser encontrados na 
tabela abaixo. 
Mês SELIC (% a.m) 
Nov_2014 0.84 
Dez_2014 0.96 
Jan_2015 0.94 
Fev_2015 0.82 
Mar_2015 1.04 
Abr_2015 0.95 
Mai_2015 0.99 
Jun_2015 1.07 
Jul_2015 1.18 
2 
 
Ago_2015 1.11 
 
R: Basta aplicar a fórmula geral ∏ (1 + ݅)௧்௧ୀଵ − 1 = 
(1+0,0084)(1+0,0096)...(1+0,0111) -1 = 10,35%. 
(2) (BM&F BOVESPA) Um investidor aplicou dinheiro em um fundo que 
apresentou as rentabilidades citadas abaixo. Conhecendo os dados, calcule a 
rentabilidade acumulada no trimestre. 
Outubro: 1,65% 
Novembro: 2,01% 
Dezembro: 1,86% 
Resposta: 5,62% ao trimestre. 
 
2 Correção monetária e taxa de juro real 
2.1 Teoria 
2.1.1 Correção monetária de fluxos monetários 
Até este ponto o fenômeno da inflação de preços não foi considerado, porém, sabemos 
que, na realidade, se trata de algo de grande importância, especialmente em nosso país 
em que a taxa de inflação está atualmente em torno de 6% a.a (dado de 2016). 
É preciso entender porque a inflação é importante. Em linhas gerais, a inflação é 
definida como um aumento que se estende aos principais preços de uma economia 
nacional. Se os preços dos produtos aumentam, cai o poder de compra do dinheiro, 
medido este em termos do número de produtos que podem ser adquiridos para cada 
unidade monetária despendida (R$1). É claro que a renda dos indivíduos que vendem os 
produtos cujos preços se tornam maiores aumenta. Mas, porém, se o aumento de preços 
é geral, com todos os preços da economia crescendo à mesma taxa, o poder de compra 
da renda não aumenta, exatamente porque o que se ganha com o aumento do preço de 
produtos vendidos se perde com o aumento do preço de produtos adquiridos. Fica, 
portanto, nítida a importância do poder de compra do dinheiro. 
O efeito de redução do poder de compra do dinheiro, causado pela inflação, altera o 
resultado de todas as modalidades de transação financeira, incluindo a aquisição de um 
ativo (título da dívida ou ações corporativas) e operações de crédito. Os resultados de 
projetos de investimento produtivo também são alterados. 
A principal razão pela qual tais alterações ocorrem está em que, se a taxa de inflação é 
não-desprezível, o dinheiro investido no início da aplicação tem maior poder de compra 
do que o dinheiro recebido ao final (e o mesmo vale para as outras duas modalidades). E 
o que importa para o investidor não é o valor numérico do lucro obtido, i.e., o valor 
3 
 
nominal1, mas sim o valor medido em termos do poder de compra do dinheiro, ou valor 
real. Para um projeto produtivo é mais fácil entender o motivo. Uma empresa, ao 
investir em uma nova máquina, espera, com isso, aumentar seu nível de lucro 
operacional. O excedente poderá ser reinvestido, adquirindo-se mais uma unidade da 
máquina. Mas, porém, se o preço da máquina aumentar entre a instalação da primeira 
unidade e a obtenção do excedente de lucro, este poderá pagar uma parcela do preço da 
máquina menor do que o inicialmente planejado. Conforme o tempo passa, cada 
unidade monetária permite comprar um menor número de máquinas. 
Portanto, para calcular o valor, medido em termos de poder de compra, do rendimento 
de uma aplicação, é preciso levar em conta a taxa de inflação. Para compreender como é 
possível fazer isso, o primeiro passo está em expressar de maneira clara o que se 
entende por “valor medido em termos de poder de compra”. Seja considerado um 
capital inicial C0, por exemplo, R$100.000,00 ou R$200.000,00, etc. Estes valores são 
“nominais”, pois representam quantidades de dinheiro (número de unidades 
monetárias), mas não o poder de compra que tal quantidade de dinheiro possui. Este 
último pode ser calculado dividindo-se o valor nominal por um índice de preços que 
mensura o padrão médio de consumo de um País. Tal índice pode ser calculado como 
uma média ponderada dos preços dos bens, pi, em que o ponderador é a participação da 
despesa total do País em cada bem de consumo, Di, dividido pela despesa total do País 
em consumo, D. Formalmente, ܲ = ∑ ݌௜ ஽೔஽ଵ௜ୀ 2. Este valor da cesta média de consumo é 
geralmente referido como índice de preços, exatamente por corresponder a uma média 
ponderada de preços. 
O poder de compra do capital inicial é simplesmente C0/P0, em que P0 é o valor do 
índice de preços no período inicial – como os preços variam quando há inflação, a 
média ponderada deles também varia. A interpretação de por que esta razão mede o 
poder de compra é facilitada se considerarmos que P capta o preço do bem de consumo 
médio3 e, portanto, C0/P0 é o número de unidades de bem médio que podem ser 
adquiridas com um quantidade de dinheiro C0. Por exemplo, dispondo-se de R$100 
pode-se adquirir 10 unidades do bem médio caso o preço dele seja de R$10/unidade. 
O poder de compra do montante obtido a partir da aplicação de C0 a uma taxa de juros 
de i% após 1 período de tempo é: C1/P1 = C0(1+i)/P1. 
 
1 Notar que o termo “nominal” tem agora o significado de valor monetário, i.e., de número de unidades 
monetárias. Não se trata de indicar uma taxa de juro cujo período de referência difere do período de 
capitalização (nota de aula 1). 
2 O índice de preços ao consumidor amplo, o IPCA, utilizado pelo Banco Central para monitorar a 
inflação no País, não corresponde exatamente à fórmula apresentada, mas sim a ܲ´(ݐ) = ∑ ௣೔(௧)
௣೔(௧ିଵ) ஽೔(௧ିଵ)஽(௧ିଵ)ଵ௜ୀ 
[média ponderada de variações de preços]. 
Para mais informações sobre o cálculo do IPCA, consultar a metodologia do IBGE no link abaixo. 
ftp://ftp.ibge.gov.br/Precos_Indices_de_Precos_ao_Consumidor/Sistema_de_Indices_de_Precos_ao_Con
sumidor/Metodos_de_calculo/Metodos_de_Calculo_6ed.pdf 
3 O bem médio é um bem qualquer (alimentar, habitacional, educacional, cultural, etc) cujo preço é 
exatamente igual à média ponderada dos preços de todos os bens. 
4 
 
A taxa de inflação entre o período inicial e o posterior, π1, é exatamente a taxa de 
variação do índice de preço, i.e., π1 = P1/P0 – 1, e, pois, P1 = (1+ π1) P0. O poder de 
compra do montante pode, pois, ser reescrito como ܥଵ/ ଵܲ = ஼బ(ଵା௜)௉బ(ଵାగభ). 
Fica, portanto, claro como é possível incorporar a taxa de inflação ao cálculo do valor 
“real” de um fluxo monetário, entendendo por “real” a magnitude do fluxo medida em 
termos de poder de compra. 
Geralmente o valor inicial do índice de preços é normalizado em 1, de modo que todos 
os valores monetários sejam medidos como múltiplos de 1/P0. Como 1/P0 é exatamente 
o poder de comprade uma unidade monetária no instante t = 0, os valores monetários 
são medidos em termos de múltiplos do poder de compra da moeda em t = 0. Este passo 
é crucial, pois é ele que permite definir a unidade de referência (padrão ou “standard”) 
para o sistema de medida de valores reais. Cabe destaca-lo, utilizando para isso uma 
definição formal: 
P0 ≡ 1 
Assim, pois ܥሚଵ = ஼బ(ଵା௜)ଵାగభ é o valor real de C1 expresso em termos de múltiplos do poder 
de compra da moeda em t = 0. A normalização em 1 é de importância substantiva, pois 
஼బ(ଵା௜)
௉బ(ଵାగభ) é o valor real de C1 expresso como múltiplo do poder de compra da moeda em t 
= 1. Para ter um padrão (referência) único(a) de poder de compra, adota-se a 
normalização. A utilidade dessa convenção ficará mais clara no próximo passo. 
Seja considerada agora uma aplicação de T >> 1 períodos que gera um montante CT = 
C0(1+i)T cujo valor real é, pois, CT / PT = C0(1+i)T / PT. Definindo πT ≡ PT / PT-1 -1, esta a 
taxa de inflação que mede o aumento de preços entre os períodos T-1 e T, é correto 
escrever CT / PT = C0(1+i)T / (1+ πT)PT-1. Da mesma forma pode-se definir, para os 
instantes antecedentes: πT-1 ≡ PT-1 / PT-2 -1, πT-2 ≡ PT-2 / PT-3 -1,..., π1 ≡ P1 / P0 -1. 
Deste modo, pois, PT = (1+ πT)PT-1 = (1+ πT) (1+ πT-1)PT-2 = (1+ πT) (1+ πT-1) (1+ 
πT-2)PT-3, etc. Em síntese: 
PT = (1+ πT) X (1+ πT-1) X (1+ πT-2) X (1+ πT-2) X ... X (1+ π1) P0 
Ou, em notação sintética empregando o operador produtório: 
P் = P଴ෑ(1 + π௧)்
௜ୀଵ
 
Definindo como padrão de medida de poder de compra P0, i.e., adotando a convenção P0 
≡ 1, tem-se, finalmente: 
P் = ෑ(1 + π௧)்
௜ୀଵ
 
5 
 
O valor presente do montante a ser recuperado em t = T é: C்P் = C଴(1 + ݅)்∏ (1 + π௧)்௜ୀଵ 
Dimensionalmente, trata-se do valor real de CT expresso na forma de múltiplos do poder 
de compra que a moeda possuía em t = 0. A convenção dimensional P0 ≡ 1 é útil 
exatamente no caso em que interessa conhecer o valor real de uma série de fluxos 
monetários. Se, p.ex., o investidor monitorar o nível do montante ao final de cada 
período de capitalização, ele observaria C1, C2, C3, ..., CT. Trata-se da série de valores 
nominais do montante. 
Já a série de valores reais é C1/P1,C2/P2, C3/P3, ..., CT/PT. Esta segunda série tem seus 
componentes expressos como múltiplos do poder de compra de cada instante respectivo, 
conforme as divisões por P1, P2, ..., PT evidenciam. Isso não é prático pois a referência 
de preços (Pt) é variante no tempo, não sendo, pois, única. É como se fôssemos 
comparar as áreas de diversos polígonos, cada uma delas calculada com base em uma 
unidade métrica distinta, m2, hectares, km2, etc. Não seria possível saber quantas vezes 
um polígono de 120 hectares é maior do que um segundo polígono de 1000 m2 
simplesmente dividindo o valor numérico da área do primeiro pelo segundo (120/1000). 
Da mesma forma, sendo a série de valores reais anterior numericamente igual a 
2,3,4,...,10, seria errado afirmar que o valor real do montante em t = 3 (4) é duas vezes 
maior do que em t = 1 (2)4. E isso pois a primeira está expressa como múltiplos de P3 e 
a segunda como múltiplos de P1. Daí a necessidade de definir uma única referência. É o 
que se teria com base na série C1/[(1+π1)],C2/[(1+π1) (1+π2)], C3/∏ (1 + π௧)ଷ௜ୀଵ , ..., 
CT/∏ (1 + π௧)்௜ୀଵ , a qual implicitamente assume P0 ≡ 1. 
Exercício (deflacionando fluxos monetários) 
O fluxo de caixa abaixo corresponde a um projeto de construção de malha ferroviária 
em desenvolvimento pela estatal brasileira VALEC Engenharia, Construções e 
Ferrovias S.A. Tanto a despesa como a receita está apresentada em valores nominais. 
 
 
4 Outra maneira de entender a necessidade de um padrão é a possibilidade de que o bem médio, i.e., 
bem com preço igual à média de preços, varie no tempo. 
6 
 
 
Para obter os valores reais dos fluxos de receita e despesa, serão consideradas as taxas 
de inflação abaixo, as quais são, até 2016, efetivamente observadas. Entre 2017 e 2021 
há projeções de inflação provenientes do boletim Focus do Banco Central. Para os anos 
subsequentes foi assumido que a taxa de inflação se manterá constante no nível previsto 
para 2021. 
 
Ano Receita Despesa
2010 - 252.100.653,49 
2011 - 2.084.573.966,49 
2012 - 3.775.543.596,36 
2013 - 3.196.332.394,47 
2014 - 2.320.066.590,23 
2015 1.138.848.828,22 1.126.313.344,43 
2016 1.170.916.008,62 504.122.995,02 
2017 1.204.112.146,90 507.609.271,77 
2018 1.238.475.203,75 518.270.656,49 
2019 1.274.043.709,75 536.730.216,35 
2020 1.310.857.556,07 541.324.119,62 
2021 1.348.958.503,73 560.047.456,00 
2022 1.388.389.686,06 565.235.551,77 
2023 1.429.196.088,23 584.568.660,93 
2024 1.471.429.849,49 590.368.229,75 
2025 1.501.299.875,43 617.542.063,15 
2026 1.531.776.262,91 622.040.941,86 
2027 1.562.871.321,04 633.946.455,44 
2028 1.594.597.608,86 646.057.543,23 
2029 1.626.967.940,32 658.348.463,65 
2030 1.659.995.389,51 698.399.185,43 
2031 1.693.693.295,92 719.724.638,48 
2032 1.728.075.269,82 726.635.708,35 
2033 1.763.155.197,80 748.690.404,65 
2034 1.798.947.248,31 756.052.242,09 
2035 1.835.465.877,46 704.012.425,09 
2036 1.872.725.834,77 715.443.683,47 
2037 1.910.742.169,21 727.664.407,12 
2038 1.949.530.235,25 740.896.907,71 
2039 1.989.105.699,02 746.166.149,06 
2040 2.029.484.544,71 771.824.244,18 
2041 2.070.683.080,97 790.083.334,16 
2042 2.112.717.947,52 809.776.771,66 
2043 2.155.606.121,85 828.905.878,00 
2044 2.199.364.926,12 842.438.953,79 
7 
 
 
 
 
 
Ano
Variação anual do 
IPCA (% a.a) 
[πIP CA]
Fonte
2010 5,91 IPEADATA
2011 6,5 IPEADATA
2012 5,84 IPEADATA
2013 5,91 IPEADATA
2014 6,41 IPEADATA
2015 10,67 IPEADATA
2016 6,29 IPEADATA
2017 3,93 BACEN, Focus
2018 4,34 BACEN, Focus
2019 4,29 BACEN, Focus
2020 4,25 BACEN, Focus
2021 4,19 BACEN, Focus
2022 4,19 Hipótese
2023 4,19 Hipótese
2024 4,19 Hipótese
2025 4,19 Hipótese
2026 4,19 Hipótese
2027 4,19 Hipótese
2028 4,19 Hipótese
2029 4,19 Hipótese
2030 4,19 Hipótese
2031 4,19 Hipótese
2032 4,19 Hipótese
2033 4,19 Hipótese
2034 4,19 Hipótese
2035 4,19 Hipótese
2036 4,19 Hipótese
2037 4,19 Hipótese
2038 4,19 Hipótese
2039 4,19 Hipótese
2040 4,19 Hipótese
2041 4,19 Hipótese
2042 4,19 Hipótese
2043 4,19 Hipótese
2044 4,19 Hipótese
8 
 
Passo a passo no Excel 
(1) Converter as taxas de inflação em números decimais a partir da operação πIPCA / 100; 
(2) Obter 1 + πIPCA / 100, os termos a serem multiplicados (multiplicadores) no 
denominador da expressão que gera o valor real do fluxo; 
(3) Calcular o valor total da expressão em questão, para cada ano, como segue: 
ܦ௧ = ൞1, ݐ = 2010	(ܽ݊݋ − ܾܽݏ݁)1
∏ ቀ1 + πூ௉஼஺ ,௧100 ቁ௧ఛୀଵ , ݐ > 1 
A expressão anterior pode ser denominada por “fator de correção monetária” ou 
“deflator” 5 para o instante t. Trata-se do fator que expressa o fluxo monetário que 
ocorreem t em unidades monetárias do instante-base, no caso 2010. Recomenda-se 
organizar os resultados em uma tabela com os instantes de tempo ao longo da vertical, 
como segue. 
 
Há dois detalhes cruciais: 
(3.a) O deflator do ano base é sempre igual à unidade; 
(3.b) Os deflatores dos anos posteriores (t > 1) contêm as taxas de inflação de todos os 
anos que os antecedem, pois apenas assim incorpora-se integralmente a perda de poder 
de compra que ocorreu desde o ano-base. Desta forma, o deflator para t = 1 é D1 = 
 
5 O termo “deflator” se refere geralmente ao fator que elimina o efeito da inflação. O IBGE, por exemplo, 
calcula o deflator do PIB, que é equivalente à razão entre o PIB calculado com base em preços referentes 
ao instante atual e o PIB calculado com base em preços referentes ao instante anterior (antes do aumento 
de preços). 
Ano
Multiplicadores
(1) e (2)
Deflatores
(3)
Recíprocas dos 
deflatores
(4)
2010 1 1 1
2011 1,065 1,065 0,938967136
2012 1,0584 1,127196 0,887157158
2013 1,0591 1,193813284 0,837651929
2014 1,0641 1,270336715 0,787192866
2015 1,1067 1,405881643 0,711297431
2016 1,0629 1,494311598 0,669204469
2017 1,0393 1,553038044 0,64389923
2018 1,0434 1,620439895 0,617116379
2019 1,0429 1,689956766 0,591731114
2020 1,0425 1,761779929 0,567607783
2021 1,0419 1,835598508 0,544781441
9 
 
(1+πIPCA,1)-1, para t = 2 é D2 = (1+πIPCA,1)-1(1+πIPCA,2)-1 = 
ଵ
∏ ቀଵା
ಘ಺ು಴ಲ,೟
భబబ
ቁమഓసభ
, para t = 3 tem-
se D2 = (1+πIPCA,1)-1(1+πIPCA,2)-1(1+πIPCA,3)-1 = 
ଵ
∏ ቀଵା
ಘ಺ು಴ಲ,೟
భబబ
ቁయഓసభ
, etc... 
Para o deflator em um dado período t, utilizar a função do Excel “mult(x0:xt)”, em que 
x0 ≡ valor do fator no instante inicial e xt ≡ valor do fator no instante-alvo, t. Notar que 
o símbolo “:” (dois pontos) informa ao software que todos os multiplicadores referentes 
aos instantes 0 a t devem ser multiplicados. 
É possível automatizar mais ainda com base em mult(x$0:xt), pois o símbolo “$” fixa a 
linha correspondente ao ano base, de maneira a que a fórmula, aplicada a cada uma das 
linhas, dá diretamente o valor da recíproca do deflator referente ao ano de cada linha. 
(4) Finalmente, para obter o termo que converte o fluxo a ele multiplicado em um fluxo 
real (recíproca do deflator), utilizar a fórmula mult(x$0:xt)^-1 
(5) Multiplicar os valores nominais de cada ano pelos fatores gerados em (4). 
(consultar planilha “correcao_monetaria.xlsx” no TIDIA4) 
2.2.2 Cálculo da taxa de juro real exata 
A taxa de inflação também pode ser incorporada ao cálculo do rendimento “real” de 
uma aplicação. Basta calcular a taxa de rendimento com base nos valores reais dos 
fluxos monetários. 
Retomando o exposto no início da subseção anterior, para uma aplicação de dois 
períodos, ܥሚଵ = ஼బ(ଵା௜)௉భ em que ܥሚ௧ indica o valor real do montante no t-ésimo período. Da 
mesma maneira, C0/P0, é o valor real do capital inicial. Assim sendo, a taxa de juro real 
é dada por ݎ = ಴బ(భశ೔)ುభ ି಴బುబ಴బ
ುబ
= (ଵା௜)
௉భ/௉బ − 1 = (ଵା௜)ଵାగభ − 1 
Generalizando para uma aplicação com duração de T períodos, e considerando uma taxa 
de inflação variável no tempo: 
ܥሚ் = ܥ଴ (1 + ݅)்
்ܲ
= ܥ଴ (1 + ݅)்
଴ܲ(1 + ߨଵ)(1 + ߨଶ) … (1 + ߨ்) = ܥ଴ (1 + ݅)்଴ܲ∏ (1 + ߨ௜)்௜ୀଵ 
(Pois PT = P0(1+π1) (1+π2)... (1+πT) e P0 ≡ 1) 
ݎ் = (1 + ݅)்∏ (1 + ߨ௜)்௜ୀଵ − 1 
Em que rT é a taxa real obtida no período de referência T como um todo. Porém, é 
também útil calcular a taxa real que prevalece a cada período, r, i.e., a taxa que 
capitaliza a cada período do intervalo. Retomando o princípio de equivalência, tem-se 
que (1+r)T = 1+ rT, r = (1+rT)1/T – 1. E, pois: 
10 
 
ݎ = 1 + ݅
∏ (1 + ߨ௜)ଵ/்்௜ୀଵ − 1 = 1 + ݅1 + ߨప෫ − 1 
Em que 1 + ߨప෫ é a média geométrica de 1+π1, 1+π2,..., 1+πT. 
2.1.2 Cálculo da taxa de juro real aproximada 
É possível calcular a taxa de juro real de maneira aproximada e, pois, sujeita a erro, da 
seguinte maneira r ≈ i – π, ou seja, basta subtrair a taxa de juro nominal pela taxa de 
inflação do período. É possível demonstrar que tal aproximação é coerente. A maneira 
correta de calcular a taxa de juro real é: 
ݎ = 1 + ݅1 + π − 1 ⟷ ݎ + 1 = 1 + ݅1 + π 
Aplicando o logaritmo dos dois lados da equação, obtém-se: 
log(ݎ + 1) = ݈݋݃ ൤1 + ݅1 + π൨ = log(1 + ݅)− log	(1 + π) ⟷ log(1 + ݎ) = log(1 + ݅) − log	(1 + π) 
Para valores de x próximos de zero (x~0), log(1+x) ~ x. Assumindo, pois, que π e i 
assumem valores pequenos, a equação acima pode ser aproximada para r ≈ i – π. 
2.2 Exercícios 
1 (BOVESPA, 2008, Q115) Uma instituição exige taxa real de juro de 1,6% ao 
mês para sua aplicação. O prazo da aplicação é de 90 dias. Nestes meses, estima-se 
inflação de 3,25% ao mês (mês 1), 2,75% ao mês (mês 2) e 1,95% ao mês (mês 3). 
Determine a taxa de juro composto ao ano que satisfaz as exigências do investidor. 
a) 45,96% 
b) 65,56% 
c) 62,05% 
d) 51% 
Resposta b. 
R: Sabemos que a taxa de juro real ao mês para um período de referência de 3 meses é: 
ݎ = 1 + ݅௠
∏ (1 + ߨ௜)ଵ/ଷ்௜ୀଵ − 1 
Segundo o enunciado, r = 1,6% a.m., π1 =3,25%, π2 = π3 e é preciso obter im: 
݅௠ = (1 + 0,016)[(1 + 0,0325)(1 + 0,0275)(1 + 0,0195)]ଵ/ଷ − 1 = 0,04291 
11 
 
Porém o enunciado pede a taxa equivalente com capitalização anual, que é dada por ia: 
(1+ia) = (1+im)12  ia = (1+0,04291)12 – 1 = 0,655621202. 
2 No dia 11 de Setembro de 2015, a taxa de juro-base da economia brasileira, 
SELIC, possuía o valor de 14,25% a.a. e a taxa de inflação (segundo o IPCA) prevista 
pelo mercado era equivalente a 5,65% a.a (fonte: Boletim Focus, BACEN, 11/09/2015). 
Calcule a taxa de juro real ao mês de um investimento que pague a SELIC. Considere 
que o valor é aplicado por apenas um mês. 
R: a taxa real ao mês é dada por: 
ݎ = 1 + ݅௠1 + ߨ௜௠ − 1 
Em que ݅௠ e ߨ௜௠ são, respectivamente, a taxa de juro nominal mensal e a taxa de 
inflação mensal. Ocorre que o enunciado se refere a taxa de juro nominal e de inflação 
mensais. É preciso realizar os passos a seguir. 
(i) Conversão da SELIC anual em SELIC mensal 
im = (1+ia)1/12 – 1 = (1+0,1425)1/12 – 1 = 0,011163421. 
(ii) Conversão da taxa de inflação anual em mensal 
A operação de conversão é equivalente à realizada para taxas de juro. Para entender 
porque, basta considerar que o índice de preço referente ao período T, PT, é tal que PT = 
(1+ߨ்ିଵ் )PT-1, em que ߨ்ିଵ் é a taxa de inflação entre T -1 e T. Esta expressão pode ser 
utilizada para estabelecer a correspondência entre o índice de preço referente a um 
período inicial, t = 0, e o T-ésimo período. Basta, para isso, aplica-la a PT-1, PT-2,..., P1, 
obtendo: 
PT = (1+ߨ்ିଵ் )PT-1 = (1+ߨ்ିଵ் ) (1+ߨ்ିଵ் )… (1+ߨ଴ଵ)P0 
Assim sendo, com o tempo sendo medido em meses e T = 12 meses, tem-se: 
Pଵଶ 	= 		P଴ෑ(1 + ߨ௦ିଵ௦ )	ଵଶ
௦ୀଵ
 
Em que ߨ௦ିଵ௦ , s = 1,..., 12 é a taxa de inflação mensal referente ao s-ésimo mês. 
A equação acima é equivalente a: PଵଶP଴ − 1 = 		ෑ(1 + ߨ௦ିଵ௦ )ଵଶ
௦ୀଵ
− 1 
O termo à esquerda corresponde exatamente à taxa de inflação observada ao longo do 
período de um ano, πa, enquanto que o termo à direita corresponde ao produto das taxas 
de inflação mensais, observadas ao longo do mesmo ano, subtraído pela unidade. Assim 
12 
 
sendo, pois, a taxa de inflação anual é o produto das taxas mensais subtraído pela 
unidade. De maneira mais clara: 
π௔ = 		ෑ൫1 + π௠,௦൯ଵଶ
௦ୀଵ
− 1 
Em que πm,s é a taxa mensal referente ao s-ésimo mês. Caso a taxa de inflação mensal 
seja constante, a expressão acima se reduz a uma forma similar à encontrada ao calcular 
a taxa de juro anual correspondente a uma dada taxa mensal: 
π௔ = 		 (1 + π௠)ଵଶ − 1 
É esta última versão que será utilizada para chegar à taxa de inflação mensal equivalente 
à taxa de inflação anual de 5,65% a.a. Com base nela: πm = (1+ πa)1/12 - 1 = 
(1+0,0565)1/12 – 1 = 0,004590635.(iii) retomando a fórmula para a taxa de juro real mensal: 
ݎ = 1 + ݅௠1 + ߨ௜௠ − 1 = 1 + 0,01121 + 0,004591− 1 = 0,006578797 
3 Calcule a taxa real mensal de rendimento de um investimento que pague o valor 
corrente da taxa SELIC durante o período que inicia em Janeiro de 2017 e finda em 
Maio do mesmo ano. Utilizar os dados na tabela abaixo. 
Mês SELIC (% a.m) 
IPCA (% 
a.m) 
Nov 1,04 0,18 
Dez 1,12 0,3 
Jan 1,09 0,38 
Fev 0,87 0,33 
Mar 1,05 0,25 
Abr 0,79 0,14 
Mai 
(previsão) 0,93 0,38 
 
ݎ = ቈ∏ (1 + ݅௜)்௜ୀଵ
∏ (1 + ݅௜)்௜ୀଵ ቉ଵ/଻ − 1 = ቈ(1,0104)(1,0112) … (1,0093)(1,0018)(1,003) … (1,0038) ቉ଵ଻ − 1 = 0,7025% 
4 Deflacione as séries de despesas e receitas que compõem o fluxo de caixa do 
projeto da VALEC tomando como referência monetária o instante final, t = 2044. 
Neste caso o ano-base corresponde ao instante final do horizonte de investimento, i.e., a 
referência do sistema de medida monetária é t = T = 2044. O enunciado pede que sejam 
13 
 
calculados os valores reais dos fluxos, expressando-os como múltiplos do poder de 
compra que a moeda possuirá em 2044. 
Seja considerado um fluxo que ocorre em t = T, FT. O valor real do mesmo é 
୊೅
୔೅
. Como 
a convenção dimensional é de que PT ≡ 1, tal valor real pode ser escrito como FT. 
O valor real, expresso como múltiplos da moeda corrente, do fluxo que ocorre em t = 
T-1 é ୊೅షభ
୔೅షభ
. 
Basta definir: 
π் = P் − P்ିଵP் ିଵ →		P்ିଵ = P்1 + π் 
E, pois: F்ିଵP் ିଵ = F்ିଵP்1 + π் →		F்ିଵP்ିଵ = (1 + π்) F்ିଵP் 
De modo que o valor real de FT-1 com base na unidade monetária de t = T é: (1 + π்)F்ିଵ 
O mesmo raciocínio se aplica a FT-2: F்ିଶP் ିଶ = F்ିଶP் ିଵ1 + π்ିଵ = F்ିଶP் ିଵ (1 + π்ିଵ) 
Porém, P்ିଵ = ୔೅ଵା஠೅, de modo que: F்ିଶP் ିଶ = F்ିଶ(1 + π்ିଵ)(1 + π்) 
Analogamente, o valor real do fluxo que ocorre em T – 3 é: F்ିଷP் ିଷ = F்ିଷ(1 + π்ିଶ)(1 + π்ିଵ)(1 + π்) 
Em termos gerais, pois: 
F௧෩ = F௧ෑ(1 + π௧ା௞)்ି௧
௞ୀଵ
 
(k = número de passos dados a cada instante no sentido de T, para t = T-3, os passos são 
1,2,3, um total de 3 passos) 
Ou, de maneira equivalente e mais simples: 
14 
 
F௧෩ = F௧ ෑ (1 + π௞)்
௞ୀ௧ାଵ
 
(notar que essa fórmula geral está de acordo com as derivações anteriores para t = 
T-1,T-2,T-3) 
Basta, pois, multiplicar os valores nominais pelo produtório acima para obter os valores 
reais. 
Atenção: notar que o produtório a ser aplicado com a referência monetária em t = T é 
diferente do produtório a ser aplicado com a referência monetária em t = 0. No primeiro 
caso (t = T), tem-se: 
ෑ (1 + π௞)்
௞ୀ௧ାଵ
= (1 + π௧ାଵ)(1 + π௧ାଶ)(1 + π௧ାଷ) … (1 + π்) 
São consideradas as taxas de inflação referentes aos instantes de tempo que sucedem t. 
No segundo caso (t = 0), o produtório é: 
ෑ(1 + π௞)௧
௞ୀଵ
= (1 + πଵ)(1 + πଶ)(1 + πଷ) … (1 + π௧) 
Neste caso, são consideradas as taxas de inflação referentes aos instantes de tempo que 
antecedem t. 
O deflator, portanto é dado por ∏ (1 + π௞)்௞ୀ௧ାଵ , este é o fator que, ao ser multiplicado 
pelo valor nominal do fluxo o converte em um valor real expresso em unidades 
monetárias do instante t = T. 
Fica como exercício calcular em uma planilha eletrônica os valores do deflator para 
cada instante de t = 2010,...,2044 e aplica-los às séries de receita e despesas encontradas 
na planilha “correcao_monetaria.xlsx”. 
3 Desconto de duplicatas (Bueno, seção 9.4.3) 
3.1 Teoria 
3.1.1 Uma duplicata 
A operação de desconto de duplicatas é uma operação de fornecimento de crédito. A 
duplicata é emitida por um banco (intermediário) no nome de uma pessoa física ou 
jurídica que deseja tomar dinheiro emprestado para realizar uma compra (emissor). Há 
uma terceira parte, o vendedor dos produtos comprados, o qual recebe a duplicata como 
pagamento (receptor). Assim, a duplicata é um título que pode ser convertido em 
dinheiro. Esta conversão também é geralmente chamada de “recuperação”. O valor total 
15 
 
monetário levantado pelo emissor é sempre inferior ao valor total ou “de face” da 
duplicata, e é exatamente esta diferença que se chama de desconto. 
As duplicatas são “títulos de dívida de curto prazo, normalmente de dois até três meses, 
emitidos em operações de compra e venda de bens e serviços e que, frequentemente, são 
descontados antes de seu vencimento junto a bancos, por meio da taxa de desconto 
(Bueno et al, 2010, p.219).” E, ainda, de acordo com o glossário do banco central, o 
desconto de duplicatas é o “[a]diantamento de recursos a pessoas jurídicas vinculado à 
receita futura de duplicatas mercantis e outros recebíveis (exceto cheques e faturas de 
cartão de crédito)6.” 
As duplicatas, pois, são meios de pagamento utilizados em substituição ao dinheiro. O 
emissor de uma duplicata é, pois, um comprador, e deve pagar o valor de face da 
duplicata assim que esta vence. O receptor, ou melhor, detentor, da duplicata é o 
vendedor e deve utilizar a duplicata para obter uma quantidade de dinheiro equivalente 
ao preço do produto ou serviço vendidos. Há um terceiro agente, o banco, que 
desempenha duas funções (i) efetua o pagamento do valor descontado da duplicata ao 
detentor e (ii) recolhe o valor de face da duplicata do emissor. 
Uma vez que o valor descontado (VD) é sempre menor do que o valor de face (VF), o 
primeiro geralmente é definido pelo emissor de maneira a ser equivalente ao valor da 
compra por ele realizada. Ao final do período, pois, tal agente paga ao banco um valor 
superior (VF) ao valor da compra efetuada (VD), tal como é o caso em qualquer 
operação de crédito. 
No mercado financeiro brasileiro, uma duplicata com valor de face VF é descontada por 
um valor absoluto D proporcional (i) à duração da duplicata, medida em dias (N), e (ii) 
ao valor taxa de desconto mensal (d) e inversamente proporcional ao “período de 
capitalização” da taxa de desconto, dr. Este último, geralmente medido em dias, é o 
período em função do qual a taxa de desconto é definida na descrição da duplicata. 
Formalmente, pois: 
D = VFd(N/dr) 
Deve-se notar que a divisão por “dr” é empregada para converter o período a que a taxa 
de desconto originalmente se refere ao período de duração da duplicata. Trata-se de uma 
operação de equivalência para juro simples, este o regime que se aplica às duplicatas. 
Se, p.ex., dr = 30, i.e., a taxa de desconto se refere a um mês com duração de 30 dias, 
possibilidade esta comum, d/dr = d/30 é a taxa de desconto equivalente diária e Nd/30 é 
a taxa de desconto equivalente com “período de capitalização” igual ao da duração da 
duplicata. 
Com isso, a taxa de fato aplicada, dN/30, é um produto da taxa de desconto, d, pela 
proporção do tempo de capitalização durante o qual a duplicativa permaneceu ativa, 
 
6 http://www.bcb.gov.br/pt-br/#!/c/GLOSSARIO/ 
16 
 
N/30 – ou seja, se a capitalização é mensal e a duplicata dura meio mês (15 dias), 
aplica-se apenas metade da taxa ao contabilizar o desconto. 
O valor descontado da duplicata, VD, é VD = VF – D = VF(1 – Nd/30). 
Do ponto de vista do banco, a emissão de uma duplicata é equivalente a aplicar um 
valor VD (pago ao detentor) durante N dias obtendo ao final um valor VF (recebido do 
emissor). Desta maneira, pois, é possível calcular a taxa de juro obtida pelo banco no 
período de referência equivalente ao vencimento da duplicata, N, como iN = VF/VD – 1. 
A taxa de juro diária id, é, pois: (1 + id)N = 1 + iN  id = (VF/VD)1/N – 1. Já a taxa de 
juro mensal é im = (1+id)30 - 1  im = (VF/VD)30/N – 1. 
3.1.2 Múltiplas duplicatas de um mesmo detentor 
É possível que um vendedor receba não apenas uma, mas múltiplas duplicatas, cada 
uma para um produto ou serviço vendido. Coloca-se então o problema de calcular o 
valor total que o banco pagará ao vendedor. Este valor é dado por: 
VD = VF1(1-d/30N1) + VF2(1-d/30N2) + VF3(1-d/30N3)+ ... + VFK(1-d/30NK) 
Em que cada uma das duplicatas têm, potencialmente, valor de face e período de 
vencimento distintos. A expressão acima corresponde à soma dos valores descontados 
das duplicatas. Ela pode ser simplificada para fins de cálculo como segue. 
ܸܦ = ෍ܸܨ௞ ൬1 − ݀30 ௞ܰ൰௄
௞ୀଵ
= (∑ ܸܨ௞௄௞ୀଵ )(∑ ܸܨ௞௄௞ୀଵ )෍ܸܨ௞ ൬1 − ݀30 ௞ܰ൰௄௞ୀଵ → 
ܸܦ = ൭෍ܸܨ௞௄
௞ୀଵ
൱෍
ܸܨ௞(∑ ܸܨ௞௄௞ୀଵ ) ൬1 − ݀30 ௞ܰ൰௄௞ୀଵ= ൭෍ܸܨ௞௄
௞ୀଵ
൱ ൥෍
ܸܨ௞(∑ ܸܨ௞௄௞ୀଵ )௄௞ୀଵ −෍ ܸܨ௞(∑ ܸܨ௞௄௞ୀଵ )௄௞ୀଵ ൬ ݀30 ௞ܰ൰൩= ൭෍ܸܨ௞௄
௞ୀଵ
൱൭1 −෍ߙ௞௄
௞ୀଵ
௞ܰ
݀30൱ → 
ܸܦ = 	 ൭෍ܸܨ௞௄
௞ୀଵ
൱൭1 − ݀30෍ߙ௞௄
௞ୀଵ
௞ܰ൱ 
Em que ߙ௞ é a participação do valor de face da k-ésima duplicata na soma dos valores 
de face de todas as duplicatas e, portanto, ∑ ߙ௞௄௞ୀଵ ௞ܰ é a média dos prazos de 
vencimento das duplicatas ponderada pela participação dos respectivos valores de face 
no valor de face total. Ou, denominando ∑ ߙ௞௄௞ୀଵ ௞ܰ por " ത݊" e (∑ ܸܨ௞௄௞ୀଵ ) por “VF”, 
como em Bueno et al (2011, seção 9.4.3): 
17 
 
ܸܦ = 	ܸܨ ൬1 − ݀30 ത݊൰ 
3.2 Exercícios 
1 (Bueno et al. 2010, exemplo 9.7) 
Uma duplicata para vencimento daqui a 45 dias foi descontada pelo banco a uma taxa 
de desconto de 4,5% ao mês. Quanto foi depositado na conta do cliente, sabendo-se que 
o valor da duplicata é de $15.000,00? Qual a taxa de juro [mensal] cobrada pelo banco? 
R: é preciso considerar que o “cliente” corresponde ao detentor da duplicata e, portanto, 
o valor depositado é o VD. O valor de R$15.000,00 informado é o VF. Com base nisso, 
basta calcular o VD, com segue. 
VD = VF(1 – d/30N) = 15.000(1 – 0,045/30*45) = 13.987,5 
Para calcular a taxa de juro mensal, basta considerar a fórmula acima: 
im = (VF/VD)30/N – 1 = (15.000/13.987,5)30/45 – 1 = 0,047693155. 
2 (BOVESPA, 2008, Q50) Um título de cinco meses de valor nominal igual a 
R$100.000,00 foi descontado sob o regime de juro simples a uma taxa de desconto 
comercial de 2% ao mês. O valor do desconto é: 
a) R$10.000,00 
b) R$12.000,00 
c) R$8.000,00 
d) R$14.000,00 
Resposta a 
R: é preciso atentar para o fato de que o exercício requer o valor do desconto, D, e não o 
valor descontado do título, VD. Basta considerar que D = VFd/30N = 105(0,02/30*150) 
= 105(0,1/50 * 50) = 10.000,00. 
3 (BOVESPA, 2008, Q56, adaptado) A empresa XYZ precisa de recursos por dois 
anos e consegue diversas propostas alternativas. A alternativa que lhe acarreta o menor 
custo financeiro é: 
a) 18% ao ano de taxa de desconto comercial (ou bancário) 
b) 18% ao ano de taxa de juro simples em um empréstimo 
c) 18% ao ano de taxa de juro composto em um empréstimo 
 
18 
 
Resolução 1 (cálculo do valor das dívidas) 
R: A empresa XYZ é tomadora de crédito, assim, da perspectiva dela a melhor proposta 
é a que permite obter recursos enfrentando, para isso, um menor valor de dívida ao final. 
O critério de decisão, portanto, é selecionar a proposta que representa a menor dívida 
(minimização de dívida). Com base neles as propostas serão analisadas uma por uma no 
que segue. 
[Proposta 1] Desconto comercial ou bancário é na prática equivalente à uma operação 
de emissão de duplicatas pela empresa XYZ, com respaldo de um banco. A empresa 
conhece o valor que deseja tomar emprestado, VD, mas desconhece o valor da dívida, 
VF. Desta maneira, é preciso realizar o procedimento inverso ao realizado nos 
exercícios anteriores, pois VF é agora a incógnita. 
É praxe na emissão de duplicatas a regra de que VF = VD + D e a de que D = VFdN/dr. 
Combinando essas duas equações, chega-se a VF = VD(1-dN/dr)-1 = 
VD(1-0,18*720/360)-1 = VD/(1- 0,36). Este o valor da dívida a ser pago após dois 
períodos. Uma nota: como a taxa de desconto é anual, ela está sendo dividida por 360 
dias. 
[Proposta 2] A dívida será paga em apenas uma prestação após dois instantes de tempo, 
correspondendo pois ao montante C2 = VD(1+2i) = VD (1+2*0,18) = VD(1+0,36). 
[Proposta 3] É imediata a percepção de que a proposta 3 gera dívida maior do que a 
proposta 2, dado que a dívida é atualizada geometricamente à mesma taxa de 18% a.a. 
Calculando a dívida, chega-se a C2 = VD(1+i)2 > VD (1+2i), para toda taxa i > 0. 
[Comparação das propostas] A proposta 3 pode ser eliminada, pois se ela gera dívida 
maior do que a proposta 2, é impossível que ela gere a menor dívida dentre as três 
propostas. Basta comparar, pois, as propostas 1 e 3, como segue: 
Dívida proposta 1 ⋛ Dívida proposta 2 ↔ VD/(1-0,36) ⋛ VD(1+0,36) ↔ 1/(1-0,36) ⋛ 
1(1+0,36) ↔ 1 ⋛ 1(1-0,36) (1+0,36) ↔ 1 ⋛ 12 - 0,362 ↔ 1 ⋛ 1 - 0,362 < 1. 
Conclusivamente: 
Dívida proposta 1 ⋛ Dívida proposta 2 ↔ 1 ⋛ 1 - 0,362 < 1, i.e., a proposta 1 gera 
dívida maior/menor/igual se e somente se 1 é maior/menor/igual do que 1 – 0,362. 
Contudo é evidente que 1 é maior do que 1 – 0,362 e, portanto, a dívida gerada pela 
proposta 1 é maior. Logo a proposta 2 é melhor para a empresa XYZ do que a proposta 
1 (e também do que a proposta 3, conforme já discutido). 
(aparentemente este resultado vale para qualquer taxa de desconto e de juro simples, 
desde que ambas sejam iguais; a demonstração fica como exercício) 
 
 
19 
 
Resolução 2 (cálculo da taxa de atualização no período completo) 
R: o critério de minimização de dívida, no caso particular, é equivalente ao critério de 
minimização de taxa de atualização da dívida, i.e., minimização à taxa que a dívida 
cresce no período completo após dois instantes de tempo. 
[Proposta 1] O desconto é equivalente ao pagamento de uma taxa implícita de juro, uma 
vez que a empresa recebe VD do banco e tem de pagar, após dois anos, VF, com VF > 
VD. A taxa paga ao longo de todo período, pois, é i2a = VF/VD – 1 = VF/[VF(1 – 
d/360*N)] - 1  i2a = (1 – d/360*N)-1 – 1 = (1 – 0,18/360*720)-1 – 1 = 0,5625 
Nota importante: a taxa de desconto não é, nunca, equivalente à taxa a que a dívida é 
atualizada (aumentada), pois as operações de desconto e de atualização são diferentes. 
Enquanto a atualização parte do capital inicial para gerar um montante – tratando-se, 
pois, de capitalização -, o desconto parte do montante, reduzindo-o, para contabilizar o 
capital inicial ou principal (VD = VF – D). Esta era a “pegadinha” do exercício, levar o 
leitor a confundir taxa de desconto e taxa de atualização de dívida. 
[Proposta 2] A juro simples, a dívida cresce a uma taxa (1+2is) – 1 = (1+0,36) – 1 = 
0,36; 
[Proposta 3] A juro composto, a dívida cresce a uma taxa (1+0,18)2 – 1 = 0,3924. 
[Conclusão] A proposta 2 é a melhor. 
4 (BOVESPA, 2008, Q57) Uma empresa possui um borderô de duplicatas, as 
quais serão descontadas à taxa de desconto simples de 2,75% ao mês (ver a tabela a 
seguir). Calcule o valor total de desconto. 
Tabela Relação de duplicatas 
Duplicata Valor 
Prazo 
(vencimento em 
dias corridos) 
1 20.000,00 45 
2 10.000,00 64 
3 8.000,00 82 
 
a) R$2.042,23 
b) R$1.045,00 
c) R$201,30 
d) R$2.013,00 
Resposta d 
20 
 
R: A empresa é um vendedor de produtos que deseja recuperar o valor de diversas 
duplicatas que recebeu como pagamento. Para obter o valor total que ela vai receber, 
basta empregar a fórmula sintética acima. 
ܸܦ = ൭෍ܸܨ௞௄
௞ୀଵ
൱൭1 − ݀30෍ߙ௞௄
௞ୀଵ
௞ܰ൱
= (20 + 10 + 8)10ଷ ൤1 − 0,027530 ൬2038 45 + 1038 64 + 838 82൰൨= 	35.987,00	 
Porém, deve-se atentar para o fato de que o exercício pede o valor total do desconto e 
não o valor total descontado. Basta considerar que D = VF – VD = 38.000 - 35.987,00 
= 2.013,00. 
Outra maneira de fazer, direta, é considerar que o valor total do desconto é: 
ܦ = ൭෍ܸܨ௞௄
௞ୀଵ
൱൭
݀30෍ߙ௞௄
௞ୀଵ
௞ܰ൱ = 38.000 ൤0,027530 ൬2038 45 + 1038 64 + 838 82൰൨= 2.013,00 
Também é possível calcular o valor total do desconto somando os resultados dos 
descontos calculados duplicata a duplicata.