Cap I-erros-fotocopias_0607

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Acetato 1-Erros em cálculo numérico
CAP. I – ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO 
 
 
0. Introdução 
 
Por método numérico entende-se um método para calcular a solução de um problema 
realizando apenas uma sequência finita de operações aritméticas. 
 
A obtenção de uma solução numérica para um problema físico através da aplicação de 
métodos numéricos nem sempre nos dá valores de acordo com o pretendido. 
A diferença entre o valor obtido (aproximado) e o valor exacto é designado por erro. 
Pretende-se dar uma noção aos utilizadores de métodos numéricos, sobre as fontes de 
erros, para que se possam eliminar, ou pelo menos, controlar o seu valor. 
 
Vamos então descrever o processo de determinação da solução de um problema físico, 
por meio de métodos numéricos. 
 
 
 Problema Modelo 
 modelagem resolução Solução 
 físico Matemático 
 
 
 Métodos Numéricos 
 
 
— modelagem: obtém-se o modelo matemático que descreve o 
 comportamento do problema físico; 
 
— resolução: obtém-se a solução numérica do modelo matemático 
 através da aplicação de métodos numéricos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Acetato 2-Erros em cálculo numérico
1. Fonte e tipo de erros 
 
A resolução de um problema físico utilizando um método numérico produz, em geral, 
uma solução aproximada do problema. 
A introdução de erros na resolução do problema pode ser devida a vários factores. 
Em função da sua origem, podemos considerar os diferentes tipos de erros: 
— erros iniciais do problema (são exteriores ao processo de cálculo) 
• erros inerentes ao modelo matemático 
• erros inerentes aos dados 
 
— erros associados ao uso de métodos numéricos (ocorrem no processo de cálculo) 
• erros de arredondamento 
• erros de truncatura 
 
 
 
 Problema 
 Físico 
 
 
 
 
 Modelo Erros inerentes 
 Matemático ao Modelo 
 
 
 
 
Erros Dados e Modelo 
inerentes Parâmetros Erros de 
aos Dados do Modelo Numérico Truncatura 
 
 
 
 
 Cálculo Erros de 
 Arredondamento 
 
 
 
 Solução 
 
 
 
 
 Acetato 3-Erros em cálculo numérico
Erros inerentes ao modelo: Um modelo matemático raramente oferece uma 
representação exacta dos fenómenos reais. Na grande maioria dos casos são apenas 
modelos idealizados, já que ao estudar os fenómenos da natureza vemo-nos forçados, 
regra geral, a aceitar certas condições que simplificam o problema por forma a torná-lo 
tratável. Os melhores modelos são os que incluem aquelas características do problema 
real necessárias para reduzir os erros nesta fase a um nível aceitável. 
 
Erros inerentes aos dados: Um modelo matemático não contém apenas equações e 
relações, também contém dados e parâmetros que, frequentemente, são medidos 
experimentalmente, e portanto, aproximadas. As aproximações nos dados podem ter 
grande repercussão no resultado final. 
 
 
Erros de arredondamento: Quer os cálculos sejam efectuados manualmente quer 
obtidos por computador ou numa calculadora, somos conduzidos a utilizar uma 
aritmética de precisão finita, ou seja, apenas podemos ter em consideração um número 
finito de dígitos. O erro devido a desprezar os outros e arredondar o número é designado 
por erro de arredondamento. 
 
Erros de truncatura: Muitas equações têm soluções que apenas podem ser construídas 
no sentido que um processo infinito possa ser descrito como limite da solução em 
questão. Por definição, um processo infinito não pode ser completado, por isso tem de 
ser truncado após certo número finito de operações. Esta substituição de um processo 
infinito por um processo finito, resulta num certo tipo de erros designado erro de 
truncatura. Em muitos casos, o erro de truncatura é precisamente a diferença entre o 
modelo matemático e o modelo numérico. 
 
 
Existem 2 tipos de erros associados ao uso de métodos numéricos para resolver um 
problema num computador ou calculadora: os erros de arredondamento e os erros de 
truncatura. Como consequência da ocorrência destes erros, as soluções numéricas 
obtidas são, em geral, soluções aproximadas. 
 
Para podermos avaliar quão próxima da solução exacta está a solução aproximada 
calculada é necessário conhecer o seu erro. 
 
 Acetato 4-Erros em cálculo numérico
™ Definições de erro 
 
 O conhecimento de uma aproximação para a solução de um problema só tem 
 qualquer interesse se é acompanhada de informação sobre o seu erro. 
‰ erro 
Seja x o valor aproximado duma quantidade cujo valor exacto é x. 
O erro de x , define-se como: 
x-x∆x = 
 
 
Há vários critérios para avaliar a qualidade de uma aproximação. 
 
‰ erro absoluto 
O erro absoluto do valor aproximado x , define-se como o valor absoluto 
de ∆x, i.é, 
 =xε | ∆x | = x-x 
‰ erro relativo 
Se x≠ 0, o erro relativo do valor aproximado x , define-se como 
=xr x
x-x
 
x
x =∆ 
O erro relativo, como expressa o erro como fracção de |x|, está relacionado 
com o erro percentual. Ao produto rx×100 expresso em percentagem dá-se 
o nome de percentagem de erro ou erro percentual. 
 
2. Erros de Arredondamento 
 
Quase todo o cálculo numérico é realizado num computador ou numa calculadora. 
Como as máquinas têm capacidade finita para guardar informação conseguem apenas 
representar exactamente um número finito de números reais, cada um com um número 
fixo de dígitos (algarismos). 
 
Sendo o suporte numérico da maioria dos problemas matemáticos o conjunto dos 
números reais, que é infinito e contínuo, levantam-se algumas questões, sendo duas 
delas: 
• Como são representados números reais numa máquina? 
• Quais as consequências dessa representação de IR nos resultados obtidos? 
 
 Acetato 5-Erros em cálculo numérico
Iremos responder, de modo sucinto, a estas duas questões. 
Começaremos por explicar que a representação de números reais numa máquina é feita 
por arredondamento, e verificaremos, em seguida, que a consequência é a ocorrência 
dos chamados erros de arredondamento. 
 
™ Arredondamento 
Para a maioria dos números reais a representação é feita por arredondamento (à 
excepção de números demasiado grandes ou demasiado pequenos, em valor absoluto, 
para poderem ser representados na máquina). 
Definem-se vários tipos de arredondamento. Aqui faremos apenas referência ao mais 
conhecido, e iremos apresentá-lo através de um exemplo. 
 
Exemplo: Consideremos o número π = 3.1415926535... .Vamos definir um processo de 
representação deste número com 3, 4 e 5 algarismos. 
 
. Comecemos por escrever π = 3.1415926535... com 3 algarismos eliminando os dígitos 
 a partir do quarto. Sendo o primeiro algarismo eliminado inferior a 5 consideramos 
1π = 3.14 
 como a representação, por arredondamento, de π com 3 dígitos. 
. Vamos agora escrever π = 3.1415926535... com 4 algarismos eliminando os dígitos a 
 partir do quinto. Sendo o primeiro algarismo eliminado igual a 5, consideramos 
2π = 3.142 
 como a representação, por arredondamento, deπ com 4 dígitos. 
 
. Finalmente escrevemos π = 3.1415926535... com 5 algarismos eliminando os dígitos a 
 partir do sexto. Sendo o primeiro algarismo eliminado superior a 5, consideramos 
3π = 3.1416 
como a representação, por arredondamento, de π com 5 dígitos. 
 
 
O procedimento para representar um real com um nº finito de dígitos por 
arredondamento é o seguinte: 
ƒ ignoram-se os algarismos à direita do da última ordem decimal que se pretende 
reter; 
 Acetato 6-Erros em cálculo numérico
ƒ Se o primeiro dígito desprezado é inferior a 5, o número obtido é a representação 
desse real por arredondamento; 
ƒ Se o primeiro dígito eliminado é superior ou igual a 5 adiciona-se uma unidade 
na ordem decimal do último dígito conservado para obter a representação desse 
real por arredondamento. 
 
Observe-se, que se um número x é obtido de x por este procedimento 
(arredondamento), então todos os números de x são significativos. 
 
™ Algarismos significativos 
 
Outra maneira de conhecer a precisão de um valor aproximado é ter 
informação sobre o número de algarismos significativos dessa aproximação, i. é, 
número de algarismos da esquerda para a direita e a partir do primeiro dígito 
diferente de zero. 
 
Exemplos: 
. O valor aproximado 3.14 para π = 3.1415926535... tem 3 algarismos 
significativos; 
. A aproximação 0.333 para 1/3 =0.3333333333... tem 3 dígitos significativos; 
. O valor aproximado 0.0498 para e-3 =0.049787068 tem 3 algarismos 
significativos. 
 
 
™ Erros de arredondamento 
 
A distância entre um número real e uma sua aproximação obtida por arredondamento 
é chamada erro de arredondamento. 
 
• Erro absoluto de arredondamento 
Se x é um valor obtido por arredondamento de x então chama-se erro absoluto 
de arredondamento a | xx − |. 
 
 
• Erro relativo de arredondamento 
 Acetato 7-Erros em cálculo numérico
Se x≠ 0 e x é um valor obtido por arredondamento de x então chama-se erro 
relativo de arredondamento a 
x
| x-x| . 
 
 
Exemplo: Calculemos os erros (absolutos) de arredondamento das aproximações 
obtidas para π = 3.14159265 no exemplo anterior. Tem-se 
 
 | ∆π | = | π - π | = | π - 3.14 | = 0.0015926... < 0.005 = 0.5×10-2 
 | ∆π | = | π - π | = | π - 3.142| = 0.0004073... < 0.0005 = 0.5×10-3 
 | ∆π | = | π - π | = | π - 3.1416 | = 0.0000073... < 0.00005 = 0.5×10-4 
 Note-se que em cada um dos casos todos os algarismos do valor aproximado são 
 significativos. 
 
 
Em geral, dizemos que x é o valor aproximado de x, arredondado para k casas decimais 
correctas sse: 
k−×≤= 100.5x-x∆x . 
 
 
Mas os erros de arredondamento não ocorrem apenas na representação de dados. 
Ocorrem também na representação de resultados de operações aritméticas. Isto porque o 
resultado de uma operação aritmética entre dois números representados com um número 
fixo de algarismos pode não ser um número com o mesmo número de algarismos. 
 
Exemplo: 
O resultado da divisão de 3.1416 por 9, números que têm no máximo 5 dígitos, é 
...3490666.0
9
1416.3 = uma dízima infinita. O resultado da divisão arredondado para 5 
dígitos é 0.34907. 
 
 
3. Erros de Truncatura 
 Acetato 8-Erros em cálculo numérico
 
Há problemas que não podem ser resolvidos exactamente realizando apenas um 
número finito de operações aritméticas, mas que podem, ser aproximados por 
problemas cuja solução é obtida executando uma sequência finita de operações 
aritméticas. São assim gerados os erros de truncatura. Apresentamos dois exemplos. 
 
1. Cálculo numérico da soma de uma série 
Seja S a soma de uma série convergente de termo geral aj, S = ∑∞
=0j
ja . 
Quando aproximamos S por Sn = ∑
=
n
j
ja
0
, o erro Rn = S - Sn é um erro de truncatura. 
É originado pela substituição do cálculo exacto da soma de uma série, pelo cálculo da 
soma de n+1 termos dessa série. 
 
2. Cálculo de valores de funções transcendentes 
 
Funções racionais (polinómios e quocientes de polinómios) são as únicas cujos valores 
podem ser calculados usando apenas um número finito de operações aritméticas. 
Para calcular numericamente valores de uma função transcendente podemos 
aproximá-la por uma função racional. 
 
Aproximação de funções 
 
A aproximação de funções é um tema central da análise numérica. 
A razão disso é a ocorrência de um grande número de problemas matemáticos, 
envolvendo funções, cuja solução não é possível (ou é muito difícil) determinar por 
métodos analíticos. São exemplos de tais problemas o cálculo do valor de um integral 
definido quando se desconhece uma primitiva da função integranda, a determinação de 
zeros de uma função quando não existe uma fórmula explícita para o fazer, o desenho 
do gráfico de uma função da qual se conhecem apenas alguns dos seus valores 
determinados numérica ou experimentalmente, ... 
 
A estratégia no desenvolvimento de métodos numéricos para resolver estes problemas é 
baseada na substituição da função dada por uma função aproximante, considerada mais 
"simples", cujo comportamento é muito semelhante ao da função dada. 
 
 Acetato 9-Erros em cálculo numérico
Por várias razões, as funções aproximantes mais usadas são os polinómios. Por um lado 
podem calcular-se valores de um polinómio realizando apenas um número finito de 
operações aritméticas. Por outro os polinómios são funções fáceis de derivar e integrar. 
 
Além disso, o teorema de Weierstrass estabelece que toda a função contínua num 
intervalo fechado pode ser aproximada nesse intervalo, tão bem quanto se queira, por 
um polinómio. 
 
 
TEOREMA (Teorema de APROXIMAÇÃO DE WEIERSTRASS) 
Seja [a, b] C IR e ε um número real positivo qualquer. Então, para toda a função f 
contínua em [a, b] existe um polinómio p tal que 
 
[ ] ε maxba,x <∈ (x)f (x) - p 
 
 
 
Como medir a distância entre uma função e uma aproximação polinomial para essa 
função? Por outras palavras, como se define o erro de um polinómio aproximante de 
uma dada função? 
 
Há mais do que um critério para definir o erro de uma aproximação para uma função. 
Aqui apresentaremos apenas um. 
 
 
Erro de um polinómio aproximante 
 
Seja f uma função real de variável real contínua em [a, b] e p uma aproximação 
polinomial para f em [a, b]. Define-se erro da aproximação p por 
 
[ ] maxba,x (x)f (x) - p ∈ . 
 
 
 
 
 Acetato 10-Erros em cálculo numérico
Polinómio de Taylor 
 
O exemplo mais conhecido de polinómio aproximante de uma função é dado pelo 
polinómio de Taylor. 
 
Seja f uma função real de variável real com derivadas contínuas até à ordem n num 
ponto x0 do seu domínio. O polinómio de grau n definido por 
)(
!
)(
 ... )(''
!2
2)(
)(')()()( 0
)(0
0
0
000 xfn
nxx
xf
xx
xfxxxfxp
n
n
−++−+−+= (1) 
é chamado polinómio de Taylor da função f no ponto x0. 
 
 
TEOREMA (Teorema de TAYLOR) 
Seja f uma função com derivadas contínuas até à ordem n+1 num intervalo [a, b] e seja 
x0 ∈ ]a, b[ . Então para x∈ [a, b], 
(x)R)(xf
n!
n)x(x ... )f''(x
!
)x(x))f'(xx(x)f(xf(x) n
(n) +−++−+−+= 0000000 2
2
 
onde, 
{ } { }] [ x,x , x,x do sen(ηf
)!(n
)x(x(x)R )(n
n
n 00
1
1
0 maxmin)
1
∈+
−= +
+
η . 
 
 
• Assim se Mxf n ≤+ )()1( para x∈ [a, b] então 
.
)!1(
)
1
 
1
01
1
0 M
n
x-x
(ηf
)!(n
)x(x
(x)R (x)f (x) - p
n
)(n
n
nn +≤+
−==
+
+
+
 
 
Polinómio de Maclaurin 
 
É o polinómio que se obtém do polinómio de Taylor (1) fazendo x0=0. 
)0(
!... )0(''
!2
2
)0(')0()(
)(n
n fn
nxfxfxfxp +++⋅+= (2) 
 
 Acetato 11-Erros em cálculo numérico
Exemplo1: a) Calcule o polinómio de Maclaurin de grau 3 da função f definida por 
f(x) = sin (x), x ∈ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
4
π,
4
π . 
 
Tem-se f(x) = sin(x) ⇒ f(0) = sin(0) = 0, 
 f ´(x) = cos(x) ⇒ f ´(0) = cos(0) = 1, 
 f ´´(x) = sin(x) ⇒ f ´´(0) = sin(0) = 0, 
 f ´´´(x) = cos(x) ⇒ f ´´´(0) = cos(0) = -1. 
 
Substituindo em (2) para n=3 
)0('''
!3
)0(''
!2
)0(')0()(
32
3 f
xfxfxfxp ++⋅+= 
obtém-se o polinómio 
6
 )1(
!3
0
!2
10 )(
332
3
xxxxxxp −=−⋅+⋅+⋅+= . 
Na figura seguinte estão representadas a função f e o polinómio p3 no intervalo ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
4
π,
4
π . 
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
 
À escala usada os gráficos de f e p3 quase não se distinguem. 
 
b) Calcule o erro da aproximação polinomial obtida na alínea anterior. 
 
Tem-se f(x) = sin (x) = p3(x) + R3(x) 
] [ ] [xxxx x
xxxxR ,0
4
,0
4
3 )(sin!4
)(sin
!4
)( )4( ∈=∈= == ηη 
01.0
4
πsin
!4
4
π
)(sin
!4
 max max sin max
4
4
4
π,
4
πx
3
4
π,
4
πx
3
4
π,
4
πx
≈⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
<==
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−∈⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−∈⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−∈
xx (x) R(x)(x) - p . 
 
 Acetato 12-Erros em cálculo numérico
4. Condicionamento e Estabilidade 
 
Condicionamento (de um problema) 
Devido à existência dos chamados erros iniciais, os dados e parâmetros de um problema 
matemático que se resolve não coincidem, em geral, com os dados e parâmetros do 
problema posto. 
O condicionamento de um problema descreve a “sensibilidade” do problema a variações 
nos dados. Não depende do método usado para resolver o problema. 
Um problema matemático cuja solução pode ser muito sensível a variações nos dados e 
parâmetros diz-se mal condicionado. 
Um problema diz-se bem condicionado se pequenas variações nos dados e parâmetros 
induzem sempre pequenas variações na solução. 
 
Estabilidade (de um método) 
A resolução de um problema numérico requer, em geral, a execução de um grande 
número de operações aritméticas e, originando de cada uma um erro de 
arredondamento, o efeito cumulativo desses erros pode afectar significativamente o 
resultado calculado. 
A estabilidade de um método descreve a “sensibilidade” do método relativamente à 
acumulação dos erros gerados durante o cálculo. 
Um método numérico diz-se instável se a acumulação de erros durante o cálculo pode 
ter grande influência na precisão dos resultados. 
Um método estável produz sempre bons resultados (com problemas bem 
condicionados). 
 
 
Estes apontamentos foram feitos com base no 1º capítulo do livro “Análise Numérica” 
da Profª. Drª. Mª Raquel Valença, Universidade Aberta, bem como noutros livros 
referidos na bibliografia do programa da disciplina.