Aula 1 Introduc a o a Meca nica dos Fluidos.ppt

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Mecânica	
  dos	
  Fluidos	
  
Introdução	
  à	
  Mecânica	
  dos	
  Fluidos	
  
Prof. MSc. Marco Antonio Carlos da Silva 
Mecânica
Sólidos Fluidos
Estática Dinâmica
Incompressível
ρ  =  cte
Real 
(viscoso)
μ  ≠  0
Laminar
NRe
Turbulento
NRe
Ideal
(não-viscoso)
μ  =  0
Compressível
Real Ideal
Relativística Quântica
Prever e controlar o comportamento dos fluidos
para: - planejar
- projetar 
- construir
- operar
MÁQUINAS, SISTEMAS e 
PROCESSOS de Eng. Mecânica
1 – INTRODUÇÃO 
1 – INTRODUÇÃO 
DEFINIÇÃO DE FLUIDOS: 
 
Um fluido é caracterizado como uma substância que se deforma continuamente 
quando submetida a uma tensão de cisalhamento, não importando o quão 
pequena possa ser essa tensão. 
Capítulo 2: Propriedades dos Fluidos 
 
Jorge A. Villar Alé 2-5 
2.2 Lei de Viscosidade de Newton 
 
Podemos iniciar considerando que um elemento de fluido retangular 3D representado na Fig.2.3. 
 
 
Figura 2.3 Elemento de fluido submetido a uma força de cisalhamento. 
 
A força de cisalhamento F atua sobre a área no topo do elemento. Esta área é dada por xzA δδ ×= . 
Podemos determinar a tensão de cisalhamento que é igual a força F dividida pela área: 
 
A
F
= :tocisalhamen de Tensão τ 
 
A deformação que esta tensão origina é medida pelo tamanho do ângulo ϕ conhecido como ângulo 
de deformação. 
 
Num sólido ϕ, é constante para uma tensão de cisalhamento fixa τ. 
Num fluido ϕ aumenta quando τ é aplicado, e o fluido escoa. 
 
A variação da tensão de cisalhamento (tensão por unidade de tempo, τ/tempo) é diretamente 
proporcional à tensão de cisalhamento. 
 
Se uma partícula no ponto E (na figura acima) move-se sob uma tensão de cisalhamento para o 
ponto E' e isto leva um tempo t, percorrendo a distância x. Para pequenas deformações podemos 
escrever: 
Ângulo de deformação y
x
=ϕ 
y
u
yt
x
ty
x
t
=
===
1 deformação de taxa ϕ
 
onde xt u= é a velocidade da partícula no ponto E. 
Resultados experimentais mostram que a tensão de cisalhamento é proporcional à taxa de 
deformação da tensão e desta forma: 
y
u
×=Constante τ 
Capítulo 2: Propriedades dos Fluidos 
 
Jorge A. Villar Alé 2-5 
2.2 Lei de Viscosidade de Newton 
 
Podemos iniciar considerando que um elemento de fluido retangular 3D representado na Fig.2.3. 
 
 
Figura 2.3 Elemento de fluido submetido a uma força de cisalhamento. 
 
A força de cisalhamento F atua sobre a área no topo do elemento. Esta área é dada por xzA δδ ×= . 
Podemos determinar a tensão de cisalhamento que é igual a força F dividida pela área: 
 
A
F
= :tocisalhamen de Tensão τ 
 
A deformação que esta tensão origina é medida pelo tamanho do ângulo ϕ conhecido como ângulo 
de deformação. 
 
Num sólido ϕ, é constante para uma tensão de cisalhamento fixa τ. 
Num fluido ϕ aumenta quando τ é aplicado, e o fluido escoa. 
 
A variação da tensão de cisalhamento (tensão por unidade de tempo, τ/tempo) é diretamente 
proporcional à tensão de cisalhamento. 
 
Se uma partícula no ponto E (na figura acima) move-se sob uma tensão de cisalhamento para o 
ponto E' e isto leva um tempo t, percorrendo a distância x. Para pequenas deformações podemos 
escrever: 
Ângulo de deformação y
x
=ϕ 
y
u
yt
x
ty
x
t
=
===
1 deformação de taxa ϕ
 
onde xt u= é a velocidade da partícula no ponto E. 
Resultados experimentais mostram que a tensão de cisalhamento é proporcional à taxa de 
deformação da tensão e desta forma: 
y
u
×=Constante τ 
Capítulo 2: Propriedades dos Fluidos 
 
Jorge A. Villar Alé 2-3 
 
Capítulo 2 - Propriedades dos Fluidos 
2.1 Introdução 
A Mecânica dos Fluidos estuda o comportamento estático e dinâmico dos fluidos - líquidos e gases. 
Para tal utilizam-se as leis fundamentais que governam o movimento dos fluidos, tais como a 
equação da conservação da massa, equação da quantidade de movimento, equação do momento da 
quantidade de movimento e leis de termodinâmica . 
 
Objetivos 
 
• Definir a natureza dos fluidos. 
• Mostrar onde o conceito de Mecânica dos Fluidos tem semelhanças com os sólidos e assinalar 
algumas diferenças fundamentais. 
• Introduzir o conceito de viscosidade e mostrar a diferença entre fluidos newtonianos e não 
newtonianos. 
• Definir as propriedades físicas e mostrar suas diferenças entre sólidos e fluidos assim como 
entre líquidos e gases. 
 
Características de um Fluido 
 
Dois aspectos diferenciam a mecânica dos fluidos e a mecânica dos sólidos: 
 
1. A natureza de um fluido é muito diferente a de um sólido. 
2. Nos fluidos geralmente lidamos com correntes contínuas de fluido. Nos sólidos 
considera-se elementos individuais de matéria. 
 
Três estados de matéria são reconhecidos: sólido, líquido e gasoso. No estado líquido e gasoso a 
matéria é denominada fluido. Os sólidos têm a propriedade de resistir à deformação. Como um 
fluido não pode resistir a uma força de deformação este se move e, portanto escoa sob a ação desta 
força. Sua forma muda continuamente conforme é aplicada a força. Um sólido pode resistir a uma 
força de deformação. A força pode causar alguma deformação ou deslocamento do sólido, contudo 
este não tenderá a mover-se continuamente. 
A deformação é originada por forças de cisalhamento que atuam tangencialmente em relação à 
superfície. Na figura abaixo vemos que a força F atua tangencialmente num elemento retangular 
(linha) ABDC. Esta é uma força de cisalhamento e produz uma deformação (linha pontilhada) 
elemento A’B’DC. 
 
 
 
Figura 2.1 Força de cisalhamento, F, atuando num elemento de fluido. 
1 – INTRODUÇÃO 
DEFINIÇÃO DE FLUIDOS: 
 
Os fluidos incluem os líquidos, os gases, os plasmas e, de certa maneira, os 
sólidos plásticos. 
 
A principal característica dos fluidos está relacionada a propriedade de não 
resistir a deformação e apresentam a capacidade de fluir, ou seja, possuem a 
habilidade de tomar a forma de seus recipientes. 
Física B2 – 2012/01 Prof. Jair C. C. Freitas – Depto. de Física / UFES
Conceitos iniciais: 
Fluidos:
http://www.mecatronicaatual.com.br/secoes/leitura/615
Definição: fluido é qualquer material que se deforma continuamente (escoa) 
sob tensões de cisalhamento (tangenciais).
1 – INTRODUÇÃO 
DEFINIÇÃO DE FLUIDOS: 
 
Os fluidos podem ser classificados 
como: Fluido Newtoniano ou 
Fluido Não Newtoniano. 
 
 
Esta classificação está associada 
à caracterização da tensão, como 
linear ou não-linear no que diz 
respeito à dependência desta 
t e n s ã o c o m r e l a ç ã o à 
deformação e à sua derivada. 
 
 
1 – INTRODUÇÃO 
Unidades Básicas do Sistema Internacional (SI)
Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
cdcandelaIntensidade luminosa
molmoleQuantidade de substância
KkelvinTemperatura termodinâmica
AampèreIntensidade de corrente elétrica
ssegundoTempo
kgquilogramaMassa
mmetroComprimento
SímboloNomeGrandeza
Mecânica dos Fluidos
Tabela de Unidades Derivadas
Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
rad/s2radiano por segundo ao quadradoAceleração angular
rad/sradiano por segundoVelocidade angular
kg/m3quilograma por metro cúbicomassa específica
m-1metro á potencia menos umNúmero de ondas
m/s2metro por segundo ao quadradoAceleração
m/smetro por segundoVelocidade
m3metro cúbicoVolume
m2metro quadradoSuperfície
SímboloNomeGrandeza
Mecânica dos Fluidos
1 – INTRODUÇÃO 
Unidades Derivadas com Nomes e Símbolos 
Especiais
Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
m2 kg s-2 A-2Wb A-1HhenryIndutância
kg s-2 A1Wb m2TteslaIndução magnética
m2 kg s-2 A-1V sWbweberFluxo magnético
m-2 kg-1 s4 A2C V-1FfaradCapacitância elétricam2 kg s-3 A-2V A-1ΩohmResistência elétrica
m2 kg s-3 A-1W A-1VvoltPotencial elétrico
força eletromotriz
s ACcoulombQuantidade de eletricidade
carga elétrica
m2 kg s-3J s-1WwattPotência
m2 kg s-2N mJjouleEnergia, trabalho,
Quantidade de calor
m-1 kg s-2N m-2PapascalPressão
m kg s-2NnewtonForça
s-1HzhertzFreqüência
Expressão em 
unidades básicas SI
Expressão em 
outras unidades SI
SímboloNomeGrandeza
Mecânica dos Fluidos
1 – INTRODUÇÃO 
Unidades Derivadas Usando Aquelas que tem 
Nomes Especiais no (SI)
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m kg s-3 A-1V/mvolt por metroIntensidade de campo elétrico
m kg s-3 K-1W/(m K)watt por metro kelvinCondutividade térmica
m2 s-2 K-1J/(kg K)joule por quilograma. kelvinCapacidade térmica específica
m2 kg s-2 K-1J/Kjoule por kelvinEntropia
m-1 kg s-1Pa spascal segundoViscosidade dinâmica
Expressão em 
unidades 
básicas SI
SímboloNomeGrandeza
Mecânica dos Fluidos
1 – INTRODUÇÃO 
1 – INTRODUÇÃO 
PROPRIEDADES DOS FLUIDOS: 
 
Massa Específica 
 
Representa a relação entre a massa de uma determinada substância e o volume 
ocupado por ela. A massa específica pode ser quantificada através da aplicação 
da equação a seguir. 
 
 
 
 
onde, ρ é a massa específica, m representa a massa da substância e V o volume 
por ela ocupado. 
 
No Sistema Internacional de Unidades (SI), a massa é quantificada em kg e o 
volume em m3, assim, a unidade de massa específica é kg/m3. 
Massa Específica
Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
 Representa a relação entre a massa de uma determinada substância 
e o volume ocupado por ela. A massa específica pode ser 
quantificada através da aplicação da equação a seguir.
 onde, ρ é a massa específica, m representa a massa da substância e 
V o volume por ela ocupado.
 No Sistema Internacional de Unidades (SI), a massa é quantificada 
em kg e o volume em m³, assim, a unidade de massa específica é
kg/m³.
V
m
=ρ
Mecânica dos Fluidos
Peso Específico
Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
 É a relação entre o peso de um fluido e volume ocupado, seu valor pode ser 
obtido pela aplicação da equação a seguir
 Como o peso é definido pelo princípio fundamental da dinâmica (2ª Lei de 
Newton) por , a equação pode ser reescrita do seguinte modo:
 A partir da análise das equações é possível verificar que existe uma relação 
entre a massa específica de um fluido e o seu peso específico, e assim, 
pode-se escrever que:
 onde, γ é o peso específico do fluido, W é o peso do fluido e g representa a 
aceleração da gravidade, em unidades do (SI), o peso é dado em N, a 
aceleração da gravidade em m/s² e o peso específico em N/m³.
V
W
=γ
V
gm ⋅
=γ
g⋅= ργ
Mecânica dos Fluidos
1 – INTRODUÇÃO 
PROPRIEDADES DOS FLUIDOS: 
 
Peso Específico 
É a relação entre o peso de um fluido e volume ocupado, seu valor pode ser 
obtido pela aplicação da equação a seguir: 
 
 
Como o peso é definido pelo princípio fundamental da dinâmica (2a Lei de 
Newton), a equação pode ser reescrita do seguinte modo: 
 
 
 
 
onde, γ é o peso específico do fluido, W é o peso do fluido e g representa a 
aceleração da gravidade, em unidades do (SI), o peso é dado em N, a aceleração 
da gravidade em m/s2 e o peso específico em N/m3. 
 
Peso Específico
Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
 É a relação entre o peso de um fluido e volume ocupado, seu valor pode ser 
obtido pela aplicação da equação a seguir
 Como o peso é definido pelo princípio fundamental da dinâmica (2ª Lei de 
Newton) por , a equação pode ser reescrita do seguinte modo:
 A partir da análise das equações é possível verificar que existe uma relação 
entre a massa específica de um fluido e o seu peso específico, e assim, 
pode-se escrever que:
 onde, γ é o peso específico do fluido, W é o peso do fluido e g representa a 
aceleração da gravidade, em unidades do (SI), o peso é dado em N, a 
aceleração da gravidade em m/s² e o peso específico em N/m³.
V
W
=γ
V
gm ⋅
=γ
g⋅= ργ
Mecânica dos Fluidos
Peso Específico
Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
 É a relação entre o peso de um fluido e volume ocupado, seu valor pode ser 
obtido pela aplicação da equação a seguir
 Como o peso é definido pelo princípio fundamental da dinâmica (2ª Lei de 
Newton) por , a equação pode ser reescrita do seguinte modo:
 A partir da análise das equações é possível verificar que existe uma relação 
entre a massa específica de um fluido e o seu peso específico, e assim, 
pode-se escrever que:
 onde, γ é o peso específico do fluido, W é o peso do fluido e g representa a 
aceleração da gravidade, em unidades do (SI), o peso é dado em N, a 
aceleração da gravidade em m/s² e o peso específico em N/m³.
V
W
=γ
V
gm ⋅
=γ
g⋅= ργ
Mecânica dos Fluidos
1 – INTRODUÇÃO 
PROPRIEDADES DOS FLUIDOS: 
 
Peso Específico Relativo 
 
Representa a relação entre o peso específico do fluido em estudo e o peso 
específico da água. 
Peso Específico Relativo
Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
 Representa a relação entre o peso específico do fluido em estudo e o 
peso específico da água.
 Em condições de atmosfera padrão o peso específico da água é
10000N/m³, e como o peso específico relativo é a relação entre dois 
pesos específicos, o mesmo é um número adimensional, ou seja não 
contempla unidades.
OH
r
2
γ
γγ =
Mecânica dos Fluidos
1 – INTRODUÇÃO 
Tabela de Propriedades dos Fluidos
Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
0,7917910791Acetona
0,7897890789Etanol
0,8208200820Querosene
0,8508500850Petróleo bruto
0,8808800880Óleo lubrificante
13,613600013600Mercúrio
0,7207200720Gasolina
0,8798790879Benzeno
1,025102501025Água do mar
1100001000Água
Peso específico Relativo - γrPeso Específico - γ (N/m³)Massa Específica - ρ (kg/m³)Líquido
Mecânica dos Fluidos
2 – LINHAS E TUBOS DE CORRENTE 
LINHAS DE CORRENTE 
 
Na análise do escoamento é útil visualizar a forma do escoamento. Isto pode ser 
feito desenhando linhas unindo pontos de igual velocidade - contornos de 
velocidade. Essas linhas são conhecidas como linhas de corrente. As linhas de 
corrente são linhas tangentes à direção do escoamento, isto é, são linhas 
tangentes ao vetor velocidade em cada ponto. 
Capítulo 1: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
 
Jorge A. Villar Alé 1-7 
1.3 Linhas de Corrente e Tubos de Corrente 
 
Na análise do escoamento é útil visualizar a forma do escoamento. Isto pode ser feito desenhando 
linhas unindo pontos de igual velocidade - contornos de velocidade. Essas linhas são conhecidas 
como linhas de corrente. As linhas de corrente são linhas tangentes à direção do escoamento, isto é, 
são linhas tangentes ao vetor velocidade em cada ponto. 
 
Figura 1.3 Representação de uma linha de corrente 
Na Fig. 1.4 mostra-se um exemplo simples de linhas de corrente em torno de um cilindro. 
 
 
Figura 1.4 Linhas de correntes entorno de cilindro 
Quando o fluido está escoando sobre uma fronteira sólida, por exemplo, a superfície do cilindro ou 
na parede de um tubo, não pode existir escoamento através da superfície. Nestas condições 
próximas da fronteira da parede a direção do escoamento acompanha o contorno da fronteira do 
corpo. 
• Próximo das fronteiras sólidas as linhas de corrente são paralelas àquela fronteira 
É importante reconhecer também como a posição das linhas de corrente pode mudar com o tempo - 
isto é o caso de escoamento não-estacionário. No escoamento permanente a posição das linhas de 
corrente não muda no tempo. 
Algumas coisas que devemos saber sobre as linhas de corrente. 
• Devido a que o fluido está movendo-se na mesma direção que as linhas de corrente,o fluido não pode cruzar uma linha de corrente. 
• As linhas de corrente não podem cruzar-se mutuamente. Se fosse verdadeiro isto representaria duas velocidades diferentes no mesmo ponto o 
que é fisicamente impossível. 
• O explicado acima implica que qualquer partícula de fluido que inicia numa linha de corrente deverá permanecer naquela linha de corrente 
através de todo o escoamento. 
Capítulo 1: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
 
Jorge A. Villar Alé 1-7 
1.3 Linhas de Corrente e Tubos de Corrente 
 
Na análise do escoamento é útil visualizar a forma do escoamento. Isto pode ser feito desenhando 
linhas unindo pontos de igual velocidade - contornos de velocidade. Essas linhas são conhecidas 
como linhas de corrente. As linhas de corrente são linhas tangentes à direção do escoamento, isto é, 
são linhas tangentes ao vetor velocidade em cada ponto. 
 
Figura 1.3 Representação de uma linha de corrente 
Na Fig. 1.4 mostra-se um exemplo simples de linhas de corrente em torno de um cilindro. 
 
 
Figura 1.4 Linhas de correntes entorno de cilindro 
Quando o fluido está escoando sobre uma fronteira sólida, por exemplo, a superfície do cilindro ou 
na parede de um tubo, não pode existir escoamento através da superfície. Nestas condições 
próximas da fronteira da parede a direção do escoamento acompanha o contorno da fronteira do 
corpo. 
• Próximo das fronteiras sólidas as linhas de corrente são paralelas àquela fronteira 
É importante reconhecer também como a posição das linhas de corrente pode mudar com o tempo - 
isto é o caso de escoamento não-estacionário. No escoamento permanente a posição das linhas de 
corrente não muda no tempo. 
Algumas coisas que devemos saber sobre as linhas de corrente. 
• Devido a que o fluido está movendo-se na mesma direção que as linhas de corrente, o fluido não pode cruzar uma linha de corrente. 
• As linhas de corrente não podem cruzar-se mutuamente. Se fosse verdadeiro isto representaria duas velocidades diferentes no mesmo ponto o 
que é fisicamente impossível. 
• O explicado acima implica que qualquer partícula de fluido que inicia numa linha de corrente deverá permanecer naquela linha de corrente 
através de todo o escoamento. 
2 – LINHAS E TUBOS DE CORRENTE 
TUBOS DE CORRENTE 
 
Uma técnica útil na análise do escoamento de fluidos consiste em considerar 
unicamente uma parte do fluido isolado do resto. Isto pode ser feito 
imaginando uma superfície tubular formada por linhas de corrente onde o 
fluido escoa. 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS 1-8 
Uma técnica útil na análise do escoamento de fluidos consiste em considerar unicamente uma parte 
do fluido isolado do resto. Isto pode ser feito imaginando uma superfície tubular formada por linhas 
de corrente onde o fluido escoa (Fig.1.5. Esta superfície tubular é conhecida como um tubo de 
corrente. Num escoamento bidimensional temos um tubo de corrente plano (no plano do papel): 
 
 
 
Figura 1.5 Tubo de corrente tridimensional e bidimensional 
As “paredes” de um tubo de corrente são constituídas de linhas de corrente. Como visto acima, o 
fluido não pode escoar atravessando uma linha de corrente, assim o fluido não pode cruzar uma 
parede do tubo de corrente. O tubo de corrente pode freqüentemente ser visto como um tubo de 
parede sólida. Um tubo de corrente não é um tubo - isto difere no caso do escoamento não-
estacionário em que as paredes se moverão com o tempo. Também difere porque a “parede” está 
movendo-se com o fluido 
Também é importante definir as linhas de trajetória e as linhas de emissão: 
 
Linha de Trajetória: 
Caminho ou trajetória deixada por uma partícula de fluido em movimento. 
 
Linha de Emissão 
Ponto fixo no espaço no qual passam diversas partículas de fluido 
 
Somente num escoamento permanente a velocidade em cada ponto do campo é constante com o 
tempo. Neste caso, as linhas de corrente, de emissão e trajetórias são idênticas. 
Os campos de escoamentos que trabalham com fluidos considerados não-viscosos e 
incompressíveis utilizam soluções analíticas que permitem descrever o campo de escoamento 
apresentando o comportamento das linhas de corrente. Com tal informação pode-se descrever o 
campo de velocidades e de pressões. Um exemplo típico é solução do escoamento potencial de 
perfil aerodinâmicos como o apresentado na Fig. 1.6. 
 
 
Figura 1.6 Campo de escoamento potencial de um perfil aerodinâmico 
 
2 – LINHAS E TUBOS DE CORRENTE 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS 1-8 
Uma técnica útil na análise do escoamento de fluidos consiste em considerar unicamente uma parte 
do fluido isolado do resto. Isto pode ser feito imaginando uma superfície tubular formada por linhas 
de corrente onde o fluido escoa (Fig.1.5. Esta superfície tubular é conhecida como um tubo de 
corrente. Num escoamento bidimensional temos um tubo de corrente plano (no plano do papel): 
 
 
 
Figura 1.5 Tubo de corrente tridimensional e bidimensional 
As “paredes” de um tubo de corrente são constituídas de linhas de corrente. Como visto acima, o 
fluido não pode escoar atravessando uma linha de corrente, assim o fluido não pode cruzar uma 
parede do tubo de corrente. O tubo de corrente pode freqüentemente ser visto como um tubo de 
parede sólida. Um tubo de corrente não é um tubo - isto difere no caso do escoamento não-
estacionário em que as paredes se moverão com o tempo. Também difere porque a “parede” está 
movendo-se com o fluido 
Também é importante definir as linhas de trajetória e as linhas de emissão: 
 
Linha de Trajetória: 
Caminho ou trajetória deixada por uma partícula de fluido em movimento. 
 
Linha de Emissão 
Ponto fixo no espaço no qual passam diversas partículas de fluido 
 
Somente num escoamento permanente a velocidade em cada ponto do campo é constante com o 
tempo. Neste caso, as linhas de corrente, de emissão e trajetórias são idênticas. 
Os campos de escoamentos que trabalham com fluidos considerados não-viscosos e 
incompressíveis utilizam soluções analíticas que permitem descrever o campo de escoamento 
apresentando o comportamento das linhas de corrente. Com tal informação pode-se descrever o 
campo de velocidades e de pressões. Um exemplo típico é solução do escoamento potencial de 
perfil aerodinâmicos como o apresentado na Fig. 1.6. 
 
 
Figura 1.6 Campo de escoamento potencial de um perfil aerodinâmico 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS 1-8 
Uma técnica útil na análise do escoamento de fluidos consiste em considerar unicamente uma parte 
do fluido isolado do resto. Isto pode ser feito imaginando uma superfície tubular formada por linhas 
de corrente onde o fluido escoa (Fig.1.5. Esta superfície tubular é conhecida como um tubo de 
corrente. Num escoamento bidimensional temos um tubo de corrente plano (no plano do papel): 
 
 
 
Figura 1.5 Tubo de corrente tridimensional e bidimensional 
As “paredes” de um tubo de corrente são constituídas de linhas de corrente. Como visto acima, o 
fluido não pode escoar atravessando uma linha de corrente, assim o fluido não pode cruzar uma 
parede do tubo de corrente. O tubo de corrente pode freqüentemente ser visto como um tubo de 
parede sólida. Um tubo de corrente não é um tubo - isto difere no caso do escoamento não-
estacionário em que as paredes se moverão com o tempo. Também difere porque a “parede” está 
movendo-se com o fluido 
Também é importante definir as linhas de trajetória e as linhas de emissão: 
 
Linha de Trajetória: 
Caminho ou trajetória deixada por uma partícula de fluido em movimento. 
 
Linha de Emissão 
Ponto fixo no espaço no qual passam diversas partículas de fluido 
 
Somente num escoamento permanente a velocidade em cada ponto do campo é constante com o 
tempo. Neste caso, as linhas de corrente, de emissão e trajetórias são idênticas. 
Os campos de escoamentos que trabalhamcom fluidos considerados não-viscosos e 
incompressíveis utilizam soluções analíticas que permitem descrever o campo de escoamento 
apresentando o comportamento das linhas de corrente. Com tal informação pode-se descrever o 
campo de velocidades e de pressões. Um exemplo típico é solução do escoamento potencial de 
perfil aerodinâmicos como o apresentado na Fig. 1.6. 
 
 
Figura 1.6 Campo de escoamento potencial de um perfil aerodinâmico 
 
Holman (1976, 1983), Bejan (1984, 1994), Incropera e DeWitt (1996), com um pouco mais de aprofundamento em 
métodos numéricos para condução do calor, e aperfeiçoamentos e inovações resultantes da prática de cada autor no 
ensino e na pesquisa em transferência de calor. É interessante observar que esses autores caracterizam-se por terem 
grande experiência de ensino, tanto na graduação como na pós-graduação, além de serem pesquisadores e orientadores 
de teses na área de engenharia e ciências térmicas, de um modo geral. 
Feita esta breve introdução sobre a importância dos livro-texto no processo de ensino-aprendizagem em 
transferência de calor, a atenção será voltada, nas seções seguintes, ao problema da camada limite laminar na convecção 
forçada de um escoamento paralelo a uma placa plana horizontal. Em muitos cursos de engenharia mecânica, o aluno já 
terá estudado a solução aproximada do problema de camada limite hidrodinâmica laminar. 
O objetivo do artigo é o de apontar, de forma crítica, alguns detalhes importantes das soluções aproximadas das 
equações de camada limite por meio de uma análise dimensional que, apesar de ser considerada parte elementar de 
qualquer livro-texto de transferência de calor, vem sendo apresentada de forma displicente e errônea por livros-texto de 
sucesso, Incropera e DeWitt (1996), Incropera et al. (2008), Çengel (2007, 2009). O trabalho aqui apresentado, não 
pretende ser original mas, tão somente, registrar e alertar o leitor sobre a necessidade de se revisitar outros autores, 
considerados referências clássicas, Schlichting (1979), Bejan (1984), Bejan (1984, 1994), Isachenko et al. (1977). A 
análise crítica concentrar-se-á nos livros-texto de Incropera et al. (2008), principalmente pelo sucesso que tal obra tem 
alcançado no Brasil, e Çengel (2007, 2009) que também segue o mesmo enfoque de Incropera DeWitt (1998). Incropera 
et al. (2008), apesar de ser uma edição recentemente revisada de Incropera e DeWitt (1996) mantém as mesmas falhas 
no tópico sobre camada limite, conforme já apontado em Passos (2008a, 2008b). Não se pretende negar o papel 
importante desempenhado por bons livros-texto no ensino de engenharia como Incropera e DeWitt (1996), Incropera et 
al. (2008), que há anos vêm sendo adotados em diferentes universidades, no Brasil e no mundo. O autor também 
reconhece o hercúleo trabalho de tradução do inglês para o português desses livros-texto realizado por vários colegas e 
editoras. 
 
2. CAMADA LIMITE 
 
Todo fluido real é viscoso. As observações experimentais mostram que quando um fluido escoa, paralelamente a 
uma superfície, as partículas do fluido em contato com a superfície aderem a esta. É como se a viscosidade tivesse o 
efeito de uma cola. A velocidade relativa fluido-placa, na superfície (y=0), é zero, u=0. Na Fig. 1, apresenta-se um 
esquema representativo do perfil de velocidade para um escoamento em regime laminar paralelo a uma placa em 
repouso. As partículas do fluido aderidas à superfície, em y=0, exercem sobre as demais um efeito de frenagem que 
diminui, à medida que y aumenta até se atingir a região II, onde a velocidade do escoamento é quase uniforme. A região 
em que a velocidade varia com y, na direção j, ou seja, onde ocorrem gradientes de velocidade, é chamada de camada 
limite, região I, na Fig. 1. Na região II, externa à camada limite, į<y< ’, u praticamente não varia com y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1. Esquema do perfil de velocidade sobre uma placa plana, na camada limite laminar, região I, 
e no seu exterior, região II. 
 
2.1 Aspectos Históricos 
 
O conceito de camada limite, introduzido por Ludwig Prandtl, em 1904, Schlichting (1979), Lienhard IV e 
Lienhard V (2003), Bejan (1984, 1996) permitiu conciliar duas correntes de abordagens distintas que caracterizavam os 
estudos na área de mecânica dos fluidos, a teórica e a experimental, cujos resultados independentes, ao final do século 
XIX, mostravam-se conflitantes. A via teórica era representada pela hidrodinâmica, com os trabalhos de Daniel 
Bernoulli (1700-1782) e Leonardo Euler (1707-1783), para fluidos invíscidos. A via experimental era representada pela 
hidráulica que, devido ao rápido desenvolvimento industrial e tecnológico, levou a engenharia a encontrar soluções 
urgentes para os problemas práticos de perda de carga em tubos e dutos ou de força de arrasto sobre corpos em 
movimento em um meio fluido. A divergência entre aqueles dois ramos da ciência, onde os resultados da teoria da 
 
j 
i 
3 – CAMADA LIMITE 
3 – CAMADA LIMITE 
Todo fluido real é viscoso. As observações experimentais 
mostram que quando um fluido escoa, paralelamente a uma 
superfície, as partículas do fluido em contato com a superfície 
aderem a esta. É como se a viscosidade tivesse o efeito de uma 
cola. A velocidade relativa fluido-placa, na superfície (y=0), é 
zero, u=0. Na Fig. 1, apresenta-se um esquema representativo do 
perfil de velocidade para um escoamento em regime laminar 
paralelo a uma placa em repouso. As partículas do fluido aderidas 
à superfície, em y=0, exercem sobre as demais um efeito de 
frenagem que diminui, à medida que y aumenta até se atingir a 
região II, onde a velocidade do escoamento é quase uniforme. A 
região em que a velocidade varia com y, na direção j, ou seja, 
onde ocorrem gradientes de velocidade, é chamada de camada 
limite, região I. Na região II, externa à camada limite, δ<y< ∞, u 
praticamente não varia com y.