FLUÍDOS APOSTILAS (1)

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Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AAPPOOSSTTIILLAA DDEE FFEENNÔÔMMEENNOOSS DDEE TTRRAANNSSPPOORRTTEE 
MMEECCÂÂNNIICCAA DDOOSS FFLLUUIIDDOOSS 
 
PPRROOBBLLEEMMAASS RREESSOOLLVVIIDDOOSS EE PPRROOPPOOSSTTOOSS 
 
((22001122)) 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[ 1 ] Determine o peso de um reservatório de óleo que possui uma massa de 825 kg. 
 
[ 2 ] Se o reservatório do exemplo anterior tem um volume de 0,917 m3 determine a massa específica, peso específico 
e densidade do óleo. 
 
[ 3 ] Se 6,0m3 de óleo pesam 47,0 kN determine o peso específico, massa específica e a densidade do fluido. 
 
[ 4 ] Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m3. Determine a massa específica e o peso do 
ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Admita que a temperatura do ar no 
tanque é 210C e que a pressão atmosférica vale 101,3kPa. A constante do gás para o ar é R=287 (J/kg K) 
 
[ 5 ] Um fluido tem uma viscosidade dinâmica de 5x10-3 N.s/m2 e uma massa específica de 0,85 kg/dm3. Determinar a 
sua viscosidade cinemática. 
 
[ 6 ] Determinar a altura representativa de uma pressão de 
500 2K N m
 em termos da altura de coluna de água de 
massa específica 
  1000 3kg m
, e em termos de altura de coluna de Mercúrio com massa específica 
   13 6 103 3. kg m
. Utilizando 
p gh 
. 
 
[ 7 ] A água de um lago localizada numa região montanhosa apresenta temperatura média igual a 100C e profundidade 
máxima do lago de 40m. Se a pressão barométrica local é igual a 598 mmHg, determine a pressão absoluta na região 
de mais profundidade do lago. Considere a densidade do mercúrio igual a 13,54. 
 
[ 8 ] Expresse a pressão relativa de 155kPa como uma pressão absoluta. A pressão atmosférica local é de 98,0 kPa. 
 
[ 9 ] Expresse uma pressão absoluta de 225,0 kPa como uma pressão manométrica. A pressão atmosférica local é de 
101,0 kPa. 
 
[ 10 ] Um vacuômetro indica uma pressão de 70 kPa. Determinar a pressão absoluta considerando que a pressão 
atmosférica local é igual a 100 kPa. 
 
[ 11 ] Um manômetro instalado numa tubulação de água indica uma pressão de 2,0 kgf/cm2. Determinar a pressão 
absoluta em kgf/cm2, Pa, mH20 e mm Hg. Considere a pressão atmosférica igual a 1,0 kgf/cm2 e a densidade do 
mercúrio igual a 13,6. 
 
[ 12 ] Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinâmica igual a 0,38 N.s/m2 e densidade igual a 0,91 escoando 
num tubo de 25mm de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2,6 m/s, determine o 
valor do número de Reynolds. 
 
 [ 13 ] Em um reservatório contendo glicerina, com massa=1200 kg e volume=0,952 m³. Determine: a) peso da glicerina; 
b) massa específica da glicerina; c) peso específico da glicerina; d) densidade da glicerina. 
CCAAPP 11 PPRROOPPRRIIEEDDAADDEESS DDOOSS FFLLUUIIDDOOSS 
PROBLEMAS RESOLVIDOS 
(A seguir estes problemas estão resolvidos) 
 
 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-3 
[ 14 ] Um avião voa a 10700 m de altura, a velocidade de 850 km/h, onde a temperatura chega a -55ºC. Dados: KAR = 
1,4 e RAR = 287 [J/(kg.K)] , determine: a) a velocidade do som; b) número de Mach; fluido compressível ou 
incompressível? c) subsônico ou supersônico? 
 
[ 15 ] Determine a massa específica do ar que se encontra num reservatório com temperatura de 50°C, no qual existe 
um manômetro indicando uma pressão de 370 kPa. 
 
 
Solução dos Problemas - Propriedades dos Fluidos 
 
[1] Determine o peso de um reservatório de óleo que possui uma massa de 825 kg. 
 
kNN
s
m
kgxw
mgw
093,8ou 25,809381,9825
2

 
 
[2] Se o reservatório do exemplo anterior tem um volume de 0,917 m3 determine a massa específica, peso específico e 
densidade do óleo. 
 
Massa específica 
33
90067,899
917,0
825
m
kg
m
kg
V
m

 
Peso específico 
323
8,882581,967,899
m
N
s
m
x
m
kg
g  
 
Também poderia ser determinada como 
33
8,8825
917,0
25,8093
m
N
m
N
V
w

 
densidade 
)4()4( 22 caOH
fluido
caOH
fluido
d
 




 
90,089967,0
1000
67,899
)4(2

caOH
fluido
d

 
 
 
[3] Se 6,0m3 de óleo pesam 47,0 kN determine o peso específico, massa específica e a densidade do fluido. 
 
Peso específico 
3
34,7833
6
100047
m
Nx
V
W

 
Massa específica 
3
51,798
81,9
34,7833
m
kg
g


 
mm
xs
s
mkg
mm
Ns
s
m
m
N
g 3
2
2
3
2
2
3
.
.

 
 
Densidade 
80,0
1000
51,798
0
2 40

CaH
óleod

 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-4 
[ 4 ] Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m3. Determine a massa específica e o peso do 
ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Admita que a temperatura do ar no 
tanque é 210C e que a pressão atmosférica vale 101,3kPa. A constante do gás para o ar é R=287 (J/kg K) 
 
A pressão absoluta é Pabs=Pman+Patm=340kPa + 101,3kPa= 441,3 kPa. 
A temperatura absoluta é Tabs(K) =T(oC) + 273= 21+273=294 K 
 
A massa específica pode ser determinada com a lei dos gases perfeitos 
 
3
23,5
294287
10003,441
m
kg
x
x
RT
P

 
 
As unidades são: 
 
32
2
..
..
m
kg
xKmmN
KkgN
Kx
kgK
Nm
m
N
RT
P













 
 
O peso de ar contido no tanque é igual a 
 
NxxxgW 22,11038,281,923,5 2   
 
Conferindo as unidades: 
  N
s
mkg
m
s
m
m
kg
gW 












2
3
23
.
 
 
[ 5 ] Um fluido tem uma viscosidade dinâmica de 5x10-3 N.s/m2 e uma massa específica de 0,85kg/dm3. Determinar a 
sua viscosidade cinemática. 
 
s
m
x
kg
ms
s
kgm
x
kg
msN
x
m
kg
m
Ns
x 2
6
2
66
3
2
3
1088,5
..
1088,5
..
1088,5
850
105








 
 
 
[ 6 ] Determinar a altura representativa de uma pressão de 
500 2K N m
 em termos da altura de coluna de água de 
massa específica 
  1000 3kg m
, e em termos de altura de coluna de Mercúrio com massa específica 
   13 6 103 3. kg m
. Utilizando 
p gh 
. 
Solução 
Em termos de coluna de água: 
água de 95.50
81.91000
10500 3
m
g
p
h 


 
 
 
Em termos de coluna de mercúrio com 
   13 6 103 3. kg m
 . 
mercúrio de 75.3
81.9106.13
10500
3
3
mh 



 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-5 
[7] A água de um lago localizada numa região montanhosa apresenta temperatura média igual a 100C e profundidade 
máxima do lago de 40m. Se a pressão baromêtrica local é igual a 598 mmHg, determine a pressão absoluta na região 
de mais profundidade do lago. Considere a densidade do mercúrio igual a 13,54. 
A pressão da água, em qualquer profundidade h, é dada pela equação: 
 
ghpp  0
 
 
Onde po é a pressão na superfície do lago que representa a pressão atmosférica local (patm). 
Como patm foi dada em coluna de mercúrio devemos 
kPa
m
kg
xghpatm 43,79
m
N79430,79 x0,598m
s
m
 x9,81100054,13
223
  
 
Desta forma para o fundo do rio (h=40m) para água a 100C a qual corresponde uma massa especifica de 1000kg/m3 
podemos determinar a pressão absoluta como. 
 
kPakPakPaxxkPaghpp 4724,39243,794081,9100043,79atm   
 
[8] Expresse a pressão relativa de 155kPa como uma pressão absoluta. A pressão atmosférica local é de 98,0 kPa. 
 
kPakPakPapPp man 2530,98155atmabs 
 
 
[9] Expresse uma pressão absoluta de 225,0 kPa como uma pressão manomêtrica. A pressão atmosférica local é de 
101,0 kPa. 
 
kPakPakPappPman 0,1240,1010,225atmabs 
 
 
[10] Um vacuômetro indica uma pressão de 70 kPa. Determinar a pressão absoluta considerando que a pressão 
atmosférica local é igual a 100 kPa. 
kPakPakPappp vac 3070100atmabs 
 
 
[11] Um manômetro instalado numa tubulação de água indica uma pressão de 2,0 kgf/cm2. Determinar a pressão 
absoluta em kgf/cm2, Pa, mH20 e mm Hg. Considere a pressão atmosférica igual a 1,0 kgf/cm2 e a densidade do 
mercúrio igual a 13,6. 
atmabs pPp man 
 
em kgf/cm2 
2abs
321
cm
kgf
p 
 
Sabemos que 1 kgf =9,81N, desta forma e que 1cm2 = (1/100)2m2. Desta forma. 
 Pressão em Pascal. 
kPaxx
m
kgf
N
x
cm
kgf
p 3,29410081,90,3
100
1
81,90,3 2
2
2
2abs
 
 Coluna de água 
água de coluna de 30
81.91000
103,294 3
02
m
g
p
h
H



 
 
 
 Coluna de mercúrio considerando d=13,6. 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-6 
mercúrio coluna de 2,2
81,910006,13
103,294 3
m
xg
p
h
Hg



  
 
[12] Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinâmica igual a 0,38 N.s/m2 e densidade igual a 0,91 escoando num 
tubo de 25mm de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2,6 m/s, determine o valor do 
número de Reynolds. 
 
O número de Reynolds é definido como 
 



VDVD
 ou Re
 
 
a massa específica do fluido é determina em função da densidade 
 
330
910100091,0
2 m
kg
m
kg
xd H  
 
 
156
38,0
910025,06,2
Re 
xxVD

 
 
Conferindo as unidades 
 
  aladimension-1
...
Re
22
3
2
3
2
3

























s
m
mkg
s
m
kg
m
s
m
sN
m
x
m
kg
xmx
s
m
m
Ns
m
kg
xmx
s
m
VD

 
 
O valor de um parâmetro adimensional não depende do sistema de unidade utilizado desde que 
todas as variáveis utilizadas forem expressas num sistema de unidades consistente. 
 
[13] Em um reservatório contendo glicerina, temos: massa = 1200 kg e volume = 0,952 m³. Determine: a) peso da 
glicerina; b) massa específica da glicerina; c) peso específico da glicerina; d) densidade da glicerina. 
a) W = F = m.a = mg W = 1200 kg x 9,81 m/s2  11,77 kN 
 
b)  = m / V  = 1200 kg / 0,952 m³  1261 kg / m³ 
 
c)  =  g 
3
23
/37,1281,91261 mkN
s
m
x
m
kg
 
d) d = fluido / água a 4ºC 26,1
1000
1261
3
3

m
kg
m
kg
d 
[15] Determine a massa específica do ar que se encontra num reservatório com temperatura de 50°C, no qual existe 
um manômetro indicando uma pressão de 370 kPa. 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-7 
).( PerfeitoGásEq
TxR
p

 
absAR
manatmabs
TxR
pp
TxR
p 


 
 
3
2
2
2
5,08
323
.
287
.
471330
27350287
370000101330
m
kg
Kx
Kxkg
s
mkg
sm
kg
Kx
Kxkg
J
PaPa



 
 
 
 
CCAAPP 11 PPRROOPPRRIIEEDDAADDEESS DDOOSS FFLLUUIIDDOOSS 
PPRROOBBLLEEMMAASS PPRROOPPOOSSTTOOSS 
 
1. Um reservatório graduado contém 50ml de um líquido que pesa 6N. Determine o peso especifico, a massa 
especifica e a densidade deste líquido. 
 
2. Determine a viscosidade cinemática do ar a 20 0C sabendo que nestas condições a viscosidade dinâmica é igual a 
1,85x10-4 Poise e a massa especifica igual a 1,208 kg/m3. 
 
3. Determine a massa específica, volume específico, o peso específico e a densidade de um óleo que pesa 33kN 
contido num reservatório de 3.5m3 Obs: considere g=9.81 m/s2 e o peso especifico da água igual a 9806N/m3. 
(d=0,96) 
 
4. Um tanque de ar comprimido contém 6,0 kg de ar a 800C. A pressão relativa do tanque é igual a 300kPa. 
Determine o volume do tanque. (V=1,52m3) 
 
5. Determine a altura de pressão estática de uma coluna de água e de uma coluna de mercúrio para uma pressão de 
10kgf/cm2. Considere a massa especifica da água igual a 1000kgf/m3 e o peso específico do mercúrio é igual a 
13600kgf/m3. Qual a densidade do mercúrio. (d=13,6) 
 
6. A densidade da água salgada é igual a 1,2. Determinar a altura equivalente de pressão estática de uma coluna de 
água salgada considerando uma pressão de 10kgf/cm2. (h=83,3 mca) 
 
7. Para uma pressão de 10kgf/cm2. qual será a altura de coluna de óleo e qual a sua densidade. O óleo tem um pesos 
específico igual a 850kgf/m3. 
 
8. Para um líquido que tem um peso específico igual a 8338,5N/m3 determinar qual a coluna representativa de 
pressão quando se tem uma pressão de 981kPa. (h=117,65m) 
 
9. Determinar o peso específico, o volume específico e a densidade do mercúrio: a) na lua b) na terra. Considere a 
massa especifica do mercúrio igual a 13600 kg/m3. A aceleração da gravidade na terra é igual a 9,81 m/s2. 
 
10. A pressão manométrica de um tanque é medida, indicando uma altura de 55 cm de coluna de fluido com d=0,85. A 
pressão atmosférica local é igual a 96k Pa. Determinar a pressão absoluta dentro do tanque. 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-8 
11. Mergulha-se numa cuba contendo mercúrio um tubo de vidro aberto numa extremidade tal 
como se mostra na figura. Considere d=13,6 e a pressão atmosférica igual à pressão 
atmosférica normal (101,33kPa) com g=9,81m/s2. Determine nestas circunstancias a altura de 
coluna de mercúrio. (h=760mmHg) 
 
 
 
12. Um manômetro tipo Bourdon indica que a pressão num tanque é igual a 5,31 bar quando a pressão atmosférica 
local é igual a 760mmHg. Qual será a leitura do manômetro quando a pressão atmosférica local for igual a 773mm 
de Hg. 
 
13. Um manômetro de Bourdon instalado na tubulação de alimentação de uma bomba indica que a pressão negativa é 
igual a 40kPa. Qual é a pressão absoluta correspondente se a pressão atmosférica local é igual a 100kPa. 
 
 
14. Admitindo que a pressão atmosférica local é igual a 101kPa, determine as alturas das colunas de fluido em 
barômetros que contém os seguintes fluidos: a) mercúrio b) água c)álcool etílico. Calcule as alturas levando em 
conta a pressão de vapor destes fluidos e compare com seus respectivos desconsiderando a pressão de vapor dos 
fluidos. 
 
15. Um tanque fechado contem ar comprimido e um óleo que 
apresenta uma densidade igual a 0,9. O manômetro em U 
conectado ao tanque utiliza mercúrio com densidade igual a 
13,6. Se h1=914mm h2=152mm h3=229mm, determine a 
leitura no manômetro localizado no topo do tanque. 
(Resposta: Pmam=21,1kPa) 
 
 
 
16. Determine o número de Reynolds numa tubulação de aço galvanizado novo de 300mm de diâmetro interno na qual 
escoa água a uma temperatura de 350C com uma vazão de 60m3/h. Especifique se o escoamento é laminar ou 
turbulento. 
17. Determinar a massa especifica do ar num local onde a temperatura é igual a 500C e leitura do barômetro indica 
uma pressão igual a 100kPa. (Obs: Considere o ar como um gás ideal) (=1,07kg/m3) 
 
18. Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m3. Determine amassa especifica e o peso do 
ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Considere que a temperatura 
do ar no tanque é de 210C e que a pressão atmosférica é igual a 101,30kPa. (5,23kg/m3, 1,22N). 
 
 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-9 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Lei da Viscosidade de Newton (Cap.2) 
 
[1] Duas grandes superfícies planas mantêm uma distância h entre elas esta escoando um determinado fluido. 
 
 Se o fluido for considerado não-viscoso (ideal) qual a tensão de cisalhamento na parede da placa superior ?. 
 Se o perfil de velocidade for uniforme (1). Qual será a magnitude da tensão de cisalhamento na parede inferior 
comparada com a tensão de cisalhamento no centro das placas ? 
 Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada (2). Onde a tensão de cisalhamento será maior ? 
 Se o perfil de velocidade for parabólico (3): Onde a tensão de cisalhamento será menor ?. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[2] Considerando um perfil parabólico de velocidade V(y)= a + by2 determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A 
tensão de cisalhamento em y=0 e em y= -100mm. Considere um fluido com viscosidade dinâmica igual a 8.0x10-3 
kg/ms. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[3] Duas superfícies grandes planas estão separadas por um espaço de 25 mm. Entre elas encontra-se óleo de massa 
específica de 850 kg/m3 e viscosidade cinemática igual a 7,615x10-5 m2/s. Uma placa muito fina de 0,4 m2 de área 
move-se a uma velocidade de 0,15m/s eqüidistante entre ambas superfícies. Considere um perfil linear de velocidade. 
Determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento sobre a placa fina (c) força necessária para 
puxar a placa. 
 
 
EEXXEEMMPPLLOOSS 
LLEEII DDAA VVIISSCCOOSSIIDDAADDEE 
 ((CCAAPP 11)) 
(1) (2) (3) 
dy
du
 
 
y 
x 
 
y 
V=2,5m/s 
h=100mm 
0 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-10 
 [4] Uma placa infinita move-se sobre uma segunda placa, havendo entre elas uma camada de líquido, como mostrado 
na figura. A separação das placas é igual a 0,3m. Considere um perfil de velocidade linear. A viscosidade do líquido é 
de 0,65 Centipoise A densidade relativa é igual a 0,88 Determinar: 
 ( a ) A viscosidade absoluta em Pa s e em (kg/ms) - A viscosidade cinemática do líquido 
 ( b ) A tensão de cisalhamento na placa superior e na placa inferior em (Pa) 
 ( c ) Indique o sentido de cada tensão de cisalhamento calculado em c e d. 
 
 
 
[5] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas 
e largas é dada pela equação 
 















2
1
2
3
h
yV
u
 
 
onde V é a velocidade média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 N.s/m2. Considerando que 
V=0,6m/s e h=5mm determinar: 
a) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal 
b) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal. 
 
[ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dada por: 
  .2 2yyU 
 
Onde 
 yU
 é o perfil de velocidade em m/s e 
y
 o afastamento da superfície em (m). O óleo apresenta viscosidade 
absoluta de 2x10-3Pa.s Determinar a tensão de cisalhamento a 20cm da superfície sólida. 
 
[ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical. O diâmetro do êmbolo é de 200mm 
e o diâmetro do cilindro de 200,1mm. A altura do embolo é de 320 mm. O espaço entre o embolo e o cilindro esta cheio 
de óleo com viscosidade dinâmica igual a 8,5 N.s/m2. Determinar a velocidade na descida considerando um perfil linear 
de velocidade (dv/dy=u/y). 
 
 
[ 8 ] Ar a 200C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil 
de velocidade senoidal tal como mostrado na figura. Determine a 
tensão de cisalhamento para y=3,5mm. Considere a massa 
especifica do ar igual a 1,23 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 
1,8x10-5 (Pa s). Ob. O gradiente de velocidades é dado por: 
 













b
y
b
U
dy
du
2
cos
2
max

 
 
Obs. Apresente a dedução de unidades no sistema internacional do 
resultado. 
 
 
 
 
 
 
U=0,3m/s 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-11 
Solução – Problema 1 
 
[1] Duas grandes superfícies planas mantém uma distância H. O espaço entre elas esta preenchido com um fluido. 
 
(a) Se o fluido for considerado não-viscoso (ideal) qual será a tensão de cisalhamento na parede da placa superior ?. 
(b) Se o perfil de velocidade for uniforme (1). Qual será a magnitude da tensão de cisalhamento na parede inferior 
comparada com a tensão de cisalhamento no centro das placas ? 
(c) Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada (2). Onde a tensão de cisalhamento será maior ? 
(d) Se o perfil de velocidade for parabólico (3): Onde a tensão de cisalhamento será menor ?. 
 
 
 
 
(a) Num fluido ideal a viscosidade do fluido é nula (=0) e portanto a tensão =0. 
 
(b) Num perfil uniforme de velocidade du/dy=0 e, portanto a magnitude da tensão de cisalhamento é nula em toda a seção 
(=0). 
 
(c) Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada o perfil de velocidade será do tipo u=k1 + k2y . Desta forma o termo 
du/dy=k2 = constante, portanto, a tensão de cisalhamento será igual em todos os pontos da seção (=cte). 
 
(d) Se o perfil de cisalhamento for parabólico, por exemplo, do tipo: 
 
 u=k1 + k2y2 , desta forma o termo du/dy=k2 y , 
 
Desta forma a tensão de cisalhamento vai aumentando linearmente. 
 
 Para y=0 (centro do canal) =0. 
 
 Para y=ymax (paredes) =max. 
 
 Desta forma a tensão de cisalhamento será zero no centro e máxima nas paredes. (=ky) 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-12 
Solução – Problema 2 
 
Considerando um perfil parabólico de velocidade V(y)= a + by2 determinar 
(a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento em y=0 e em 
y= -100mm. 
Considere um fluido com viscosidade dinâmica igual a 8.0x10-3 kg/ms. 
 
 
 
Para y=0; V=Vmax=2,5m/s 
 
como 
2byaV 
 achamos que a=2,5m/s 
 
Para y=-100 mm V=0 com 
2byaV 
 achamos 
 
 
2
22
2505,2
250
1,0
5,20
yV
y
aV
b





 
O gradiente de velocidade é dada por: 
y
dy
du
500
 
Tensão de cisalhamento em y=0 : 
0 x500x08,0x10 3- 
dy
du
 
Tensão de cisalhamento em y=-0,1m 
2
 3- 4,00)x500x(-0,18,0x10
m
N
dy
du
 
 
 
Solução – Problema 3 
 
Duas superfícies grandes planas estão separadas por um espaço de 25mm. Entre elas encontra-se óleo de massa 
específica de 850 kg/m3 e viscosidade cinemática igual a 7,615x10-5m2/s. Determinar a força necessária para puxar uma 
placa muito fina de 0,4m2 de área a uma velocidade de 0,15m/s que se move eqüidistante entre ambas as superfícies. 
Considere um perfil linear de velocidade (dv/dy=u/y). 
21 FFF 
 
2
2
5
3
N.s/m06473,010615,7850  
s
m
x
m
kg 
 
1
1
y
u
A
dy
du
AAF  
 
2
2
y
u
AF 
 como y1=y2 temos que F1=F2. 
 
 
N
m
s
m
x
m
sN
xmx
y
u
AF 62,0
0125,0
15,0
.
06473,04,022
2
2 





 Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-13 
Solução – Problema 4 
 
[4] Uma placa infinita move-se sobre uma Segunda placa, havendo 
entre elas uma camada de líquido, como mostrado na figura. Para 
uma pequena largura da camada d, supomos uma distribuição linear 
de velocidade no líquido. A viscosidade do líquido é de 0,65 
centipoise A densidade relativa é igual a 0,88 Determinar: 
 
(a) A viscosidade absoluta em Pa s e em (kg/ms) 
(b) A viscosidade cinemática do líquido 
(c) A tensão de cisalhamento na placa superior (Pa) 
(d) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa) 
(e) Indique o sentido de cada tensão de cisalhamento calculado em c e d. 
 
Hipóteses: 
 Distribuição linear da velocidade 
 Escoamento em regime permanente 
 Viscosidade constante 
 
 
(a) 1 cP = Pa s /1000 
 
 
s 105,6
1000
 
)65,0( 4 Pax
cP
sPa
cP 
 
 
 1 cP = Pa s /1000 
 
 
)/(105,6
1000 
)/(
)65,0( 4 mskgx
cP
mskg
cP 
 
 
(b) A viscosidade dinâmica 
 
s
m
x
m
kg
x
ms
kg
x 2
3
3
4
1039,7
100088,0
105,6




 
 
O perfil de velocidade é representado por a equação de uma 
reta: 
 
bmyyu )(
 
 
Para y=0 u=0 e por tanto b=0 (intercepto no eixo de 
coord.) 
 
Para y=d u=U e por tanto m= U/d 
 
Desta forma o perfil de velocidade é dado como: 
 
y
d
U
yu 





)(
 
 
O gradiente é dado por: 
 
ctes
x
d
U
dy
du
 11000
3,0
10003,0
 
 
 
 
 
(c) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa) 
 
 
Pa
m
N
sms
kg
x
d
U
dy
du
y
yx 65,065,0
1
1000105,6
2
4
0









 

 
 
 A placa superior é uma superfície y (negativa), portanto yx 
atua no sentido negativo (-) dos x 
 
 
 
 A placa inferior é uma superfície y (positiva), portanto yx 
atua no sentido positivo dos x 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-14 
 
Solução – Problema 5 
 
[5] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas 
e largas é dada pela equação 
 















2
1
2
3
h
yV
u
 
 
onde V é a velocidade média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 N.s/m2. Considerando que 
V=0,6m/s e h=5mm determinar: 
c) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal 
d) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal. 
 
Utilizando a lei universal 
 
 
du
dy
 
 
A distribuição da velocidade é unidimensional e em regime permanente já que u=u(y). Para determinar a tensão de 
cisalhamento devemos determinar o gradiente de velocidade du/dy. Derivando a equação da distribuição da velocidade 
temos, 
 
y
h
V
h
yV
dy
du
22
3
20
2
3













 
 
a) A tensão de cisalhamento na parede inferior do canal é dada para y=-h, 
 
Paou
m
N
m
x
s
m
xx
m
Ns
h
V
h
h
V
hy 691 691
005,0
1
6,0392,1
3
)(
3
222


















  
 
esta tensão cria um arrasto na parede. Como a distribuição de velocidade é simétrica, a tensão de cisalhamento na 
parede superior apresenta o mesmo valor, e sentido da tensão na parede inferior. 
 
Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal é dada para y=0 ou du/dy. 
 
Desta forma a tensão de cisalhamento neste plano é nula. plano médio=0. 
 
O gradiente de velocidade e portanto a tensão de cisalhamento varia linearmente com y. Neste caso a tensão de 
cisalhamento varia de 0 no plano central a 691Pa nas paredes. 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-15 
Solução – Problema 6 
 
[ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dada por: 
  .2 2yyU 
 
Onde 
 yU
 é o perfil de velocidade em m/s e 
y
 o afastamento da superfície em (m). O óleo apresenta viscosidade 
absoluta de 2x10-3Pa.s Determinar a tensão de cisalhamento a 20cm da superfície sólida. 
 
Como o perfil de velocidade é dado por 
  .2 2yyU 
 Desta forma 
 
.4y
dy
ydU

 
A tensão de cisalhamento é dada por: 
y
u


 
 
2
3 0016,0)2,0(4102
)(
m
N
xxx
dy
ydU
 
 
 
Solução – Problema 7 
 
[ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical. O diâmetro do êmbolo é de 200mm 
e o diâmetro do cilindro de 200,1mm. A altura do embolo é de 320mm. O espaço entre o embolo e o cilindro esta cheio 
de óleo com viscosidade dinâmica igual a 8,5 N.s/m2. Determinar a velocidade na descida considerando um perfil linear 
de velocidade (du/dy=u/y). 
 
y
u
DL
dy
du
AAF  
 
 
/
 
s
cm
s
m
xxx
xx
DL
Fy
u 87,20287,0
5,832,02,0
00005,098,9100
 
}:::::: 
 
Solução – Problema 8 
 
[ 8 ] Ar a 200C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil 
de velocidade senoidal tal como mostrado na figura. Determine a 
tensão de cisalhamento para y=3,5mm. Considere a massa 
especifica do ar igual a 1,23 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 
1,8x10-5 (Pa s). Ob. O gradiente de velocidades é dado por: 
 













b
y
b
U
dy
du
2
cos
2
max

 
 
Obs. Apresente a dedução de unidades no sistema internacional do 
resultado. 
 
 
Pa
sxPax
xx
x
x
x
x
b
U
dy
du
dy
du
mmy
mmy
0257,0 
068,1428.108,1 
707106,01000
0,72
0,9 
0,72
5,3
cos
2
5
max
5,3
5,3











































 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-16 
1.2 PROBLEMAS PROPOSTOS – Lei da Viscosidade de Newton (Cap.2) 
 
[1] A Fig. mostra duas placas planas paralelas a distância de 2 mm. A placa superior move-se com velocidade de 4 m/s, 
enquanto a inferior é fixa. Se o espaço entre as duas placas for preenchido com óleo de viscosidade 0,1x10-4 m2/s e 
massa específica 830 kg/m3, Determine: (a) O gradiente de velocidade; (b) A tensão de cisalhamento (N/m2) na 
superfície da placa móvel em contato com o fluido (c) A tensão de cisalhamento (N/m2) na superfície da placa fixa em 
contato com o fluido. (d) A força que deve ser vencida para puxar a placa superior com área de 0,5m2. R: (a) 2000 s-1 
(b) 16,6 N/m2 (c) 16,6 N/m2 (d) 8,3 N 
 
[2] um canal é formado por duas placas paralelas separadas 
h=6mm tendo entre elas glicerina a 200C com massa específica 
é igual a 1260 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 1,5 Pa.s. 
 
Determinar: (a) a tensão requerida para mover a placa superior 
com uma velocidade V=6,0m/s. (b) a força necessária para 
puxar a placa superior considerando esta com superfície igual a 
1,0m2. 
R: (a) 1500 N/m2 (b) 1500 N 
 
 
[3] Uma placa deslocando-se sobre uma pequena lâmina 
de óleo sob a ação de uma força F, conforme a figura. O 
óleo tem densidade 0,750 e viscosidade 3.10-3Pa.s. (a) 
Qual a tensão de cisalhamento produzida pelo fluido sobre 
a placa? (b) Qual a velocidade da placa móvel? 
R: (a) 4,33 N/m2 (b) 2,88 m/s 
 
 
[4] A correia da Fig. move-se a uma velocidade constante 
V
 e desliza no topo de um tanque de óleo. A corria 
apresenta um comprimento L e uma largurab. O óleo apresenta uma profundidade h. Considerando a distribuição linear 
do perfil de velocidade no óleo, determine a potencia necessária para o acionamento da correia, considerando que esta 
a potencia é dada por 
FVW 
 onde 
F
 é a força tangencial na correia e 
V
 a velocidade da correia. Dados: 
L=2,0m h=3cm V=2,5m/s b=60cm. Fluido: óleo SAE 30 







sm
kg
.
29,0
 R: 72,5 W. 
 
 
 [ 5 ] O escoamento laminar entre duas placas paralelas fixas é 
dado por: 















2
max
2
1)(
h
y
uyu
onde umax representa a velocidade 
máxima no canal, e h a separação das placas. (a) Determinar o 
Obs água massa especifica 1000 kg/m3 e 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-17 
gradiente de velocidades. (b) Determinar a expressão da tensão de 
cisalhamento. 
Considere a separação entre placas de 5mm, área superficial da 
placa superior igual a 0,3m2 e velocidade máxima umax=0,5 m/s 
Determine (c) A tensão de cisalhamento no centro do canal e na 
placa superior (d) A força de atrito na placa inferior. R: (c) 0,46 
N/m2. (d) 0,138 N 
viscosidade dinâmica e 1,15x10-3 Pa.s. 
 
 
[6] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal 
formado por duas placas paralelas e largas é dada pela equação dada ao lado: onde 
V é a velocidade média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 
Pa.s Considerando que V=0,6m/s e h=5mm determinar: (a) Tensão de cisalhamento 
na parede inferior do canal (b) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do 
canal. (c) Desenhe a distribuição da velocidade e da tensão de cisalhamento no canal. 
R: (a) 691,2 (N/m2) 















2
1
2
3
)(
h
yV
yu
 
 
 
[ 7 ] Uma placa quadrada de 1 m de lado e 20 N de peso desliza sobre um plano inclinado de 30o, sobre uma película 
de óleo. A velocidade da placa é de 2 m/s. Determine viscosidade dinâmica do óleo, se a espessura da película é 2 mm. 
R: (a) 0,01 Pa.s 
 
[8] O corpo cilíndrico da Fig. possui um peso igual a 15N, 
uma altura igual a 200mm e um diâmetro igual a 
149,5mm. Este corpo se move com uma velocidade 
constante igual a 50mm/s dentro de um tubo de 150mm 
de diâmetro. Entre o tubo e o cilindro existe uma película 
de óleo. Determine (a) tensão de cisalhamento na parede 
interna do tubo externa (b) viscosidade dinâmica do óleo. 
R: (a) 160 (N/m2) (b) 0,8 Pa.s 
 
[9] Determine o torque resistente (Nm) originado pelo óleo 
lubrificante em contato com o eixo vertical da Fig. O eixo 
apresenta uma rotação constante de 3000 rpm. O Diâmetro 
do eixo é igual a De=200mm e o diâmetro da luva igual a 
Dm=200,1mm.L=500mm. Viscosidade do óleo 0,2x10-2 
Pa.s 
R: (a) 1256,6 (N/m2) (b) 39,5 Nm 
 
 
[10] Uma barra cilíndrica de 30,4 cm de comprimento, diâmetro de 0,52 mm e massa de 1,36 kg, escorrega num tubo 
vertical com 0,58mm de diâmetro, podendo cair livremente. Calcule a velocidade atingida pela barra se uma película de 
óleo de viscosidade 23,9 Pa.s preenche o espaço entre o tubo e a barra. 
 
[11] Um eixo na posição horizontal de D=60mm e 400mm de 
comprimento é arrastado com uma velocidade de V=0,4m/s através de 
uma luva de 60,2mm. No espaço entre o eixo e a luva existe óleo 
altamente viscoso com densidade 0,88 e viscosidade cinemática igual a 
0,003 m2/s. 
(a) Determinar uma expressão geral que permita determinar a força 
requerida para puxar o eixo em função das variáveis apresentadas. (b) 
Determinar a força requerida para puxar o eixo. R: (b) 796 N 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-18 
 
 
[12] Um eixo gira de 60mm de diâmetro e 400mm de comprimento gira 
dentro de uma luva com velocidade igual 1500 rpm. No espaço entre o 
eixo e a luva existe óleo altamente viscoso com densidade 0,88 e 
viscosidade cinemática igual a 0,003 m2/s. A luva possui um diâmetro 
igual a 60,2mm. Determinar (a) torque e (b) potência originado nesta 
condições de operação. 
R: (a) 281 Nm (b) 44,2 kW 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-19 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMAS RESOLVIDOS – Manometría. (Cap.2) 
 
[1] Qual será a máxima pressão relativa que poderá ser medido com o tubo piezometrico para uma altura de 1,5m. 
Considere a densidade do fluido igual a 8,5. 
 
B de acima líquido de coluna da Pressão = P(B)
) (/5,12
) (/12508
5,181,910006,8
 
2
2
2
2
kPaoumkN
PaoumN
xxx
hgd
ghp
águamercurio
B







 
 
Manômetro piezométrico simples 
 
 
 
[2] Se utiliza uma manômetro tipo “U” para medir uma 
pressão de um fluido com massa especifica igual a 
700kg/m3. O manômetro utiliza mercúrio com densidade 
igual a 13,6. Determinar: 
 
a) Pressão relativa em A quando h1=0,4m e h2=0,9m. 
b) Pressão relativa em A quando h1=0,4m e h2=-0,1m. 
 
 
 
p gh ghA   man 2 1
 
 
a) pA = 13,6 x 1000 x 9,81 x 0,9 - 700 x 9.81 x 0.4 
 
 = 117 327 N (- 117,3 kN óu 1,17 bar) 
 
b) pA = 13,6 x 1000 x 9,81 x ( - 0,1) - 700 x 9,81 x 0,4 
 
 = -16 088,4 N ( -16,0 kN óu - 0,16 bar) 
CCAAPP 22 -- EESSTTÁÁTTIICCAA DDOOSS FFLLUUIIDDOOSS 
PROBLEMAS RESOLVIDOS 
(A seguir estes problemas estão resolvidos) 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-20 
 
A pressão negativa (-) indica que a pressão é menor que a pressão atmosférica. 
 
[3] Na figura mostra-se dois tubos com fluido de massa específica igual a 990kg/m3 conectados a um manômetro tipo 
U. Determinar a pressão entre os tubos considerando que o fluido manométrico é mercúrio com densidade igual a 13,6. 
 
pC = pD 
 
pC = pA + g hA 
 
pD = pB + g (hB - h) + man g h 
 
pA - pB = g (hB - hA) + hg(man - ) 
 
pA - pB = g (hB - hA) + hg(dhg - dfluido) H20 
 
 = 990 x9,81x(0,75 – 1,5) + 0,5x9,81 x(13,6 – 0,99) x 1000 
 
 = -7284 + 61852 
 
 = 54 568 N/m2 ou Pa ( 0,55 bar) 
 
 
 
[ 4 ] Um manômetro em U é fixado a um reservatório fechado contendo três fluidos diferentes como mostra a Fig.. A 
pressão (relativa) do ar no reservatório é igual a 30kPa. Determine qual será a elevação da coluna de mercúrio do 
manômetro. 
 
 
 
 Por definição um manômetro mede pressão em 
relação a pressão atmosférica. 
 Para determinar Y trabalhamos com pressões 
relativas a atmosférica. 
 Como o reservatório este fechado, a pressão do ar 
igual a 30kPa é uma pressão relativa a atmosfera. 
 
 
 
Desta forma utilizando pressões relativas: 
 
    ygdmgxEEgEEgdP aguaHgaguaaguaaguaoleoar 0,10225   
 
    yxxxxxxx 81,910006,130,181,910000281,910002581,9100082,030 
 
 
Resolvendo: 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-21 
   
626mm0,626my
133416y83562,6
y 1334169810196206,2413230000
 81,910006,130,181,910000281,910002581,9100082,030000



 yxxxxxxx
 
 
[ 5 ] Com base na figura ao lado, determine: 
A pressão absoluta no ponto A; 
 
 
PA (Rel) = H2O . g . hH2O 
 
PA (Rel) = 1000 kg/m
3 x 9,81 m/s2 x 5 m  49 kPa 
 
PA (Abs) = PAtm + Pman + PA(Rel) 
 
PA (Abs) = 101,33 kPa + 120 kPa + 49 kPa 
 
PA (Abs)  270 kPa 
 
 
 
 
[ 6 ] Baseado na figura ao lado, determine: 
a) A pressão absoluta e relativa na interface gasolina-água;b) A pressão absoluta e relativa no fundo do reservatório. 
 
 
 
a) 
PA (Abs) = PAtm + PA (Rel) 
 
PA (Abs) = 101,33 kPa + 33, 354 kPa  134,68 kPa 
 
PA (Rel) = Gas. g . hgas = 680 kg/m
3 x 9,81 m/s2 x 5 m = 33,354 kPa 
 
Gas = d x água à 4°C = 0,68 x 1000 kg/m
3 = 680 kg/m3 
 
 
b) 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-22 
PB (Abs) = PA (Abs) + PB (Rel) = PA (Abs) + água. g . hágua 
 
 
PB (Abs) = 134,68 kPa + 1000 kg/m
3 x 9,81 m/s2 x 1 m = (134,68 + 9,81) kPa  144,5 kPa 
 
 
[ 7] Observando a figura e os dados seguintes, determine: 
 
a) a massa específica do azeite de oliva; 
b) a densidade do azeite de oliva. 
 
Dados: d óleo = 0,89 , d mercúrio = 13,6 e a pressão absoluta no ponto F é igual a 231,3 kPa. 
 
 a) 
 PA (Abs) = PAtm + Póleo + Págua + Paz.oliva + PHg 
 
 PA (Abs)=PAtm +óleo.g.hóleo +H2O.g.hH2O +az.oliva.g.haz.oliva +Hg.g.hHg 
 
 
olivaaz
HgHgOHOHóleoóleoATMF
olivaaz
hg
hghghgPP
.
.
.
......
22
  
       
m
s
m
Pa
oa
9,2.81,9
4,0.136005,2.10005,1.890.81,9101330231300
2
.


 
 3
2
2
. /1370
9,2.81,9
.
38982
mkg
m
s
m
sm
kg
olivaaz  
 
 
 
 
3
34
4
/890000189,0 mkg
m
kg
xxdd
Càáguaóleoóleo
Càágua
óleo
óleo  

 
b) 
 
37,1
/1000
/1370
.3
3
4
.
. 

olivaaz
Càágua
olivaaz
olivaaz d
mkg
mkg
d 
 
 
 
[8] Um manômetro diferencial é conectado a dois tanques como mostrado na figura. (a) Determine a pressão entre as 
câmaras A e B. (b) indicando em que câmara a pressão é maior. 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-23 
 
 
kPaPP
PghghghP
BA
BtetraHgóleoA
28,37
321

 
 
 
Obs: A pressão em B é maior que a pressão em A 
 
 
[ 9 ] Numa tubulação industrial é utilizado um tubo de Venturi 
conectado a um manômetro diferencial como mostrado na figura. 
A deflexão do mercúrio no manômetro diferencial é de 360mm e 
a velocidade da água no ponto B é de 9,73m/s. Determine a 
variação de pressão entre os pontos A e B. Obs. Densidade do 
mercúrio: 13,6. 
 
 
 
 
 
  kPa
x
PP
Pgg
x
gx
x
gP
BA
BaaaaA
52
1000
81,9)7503696,13360(
1000
750
1000
360
6,13
1000
360
1000








 












 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-24 
 
 
 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS - Conceitos de Pressão (Cap2) 
 
 
 
 
 
[ 1 ] O sistema da Fig. 
encontra-se aberto a 
atmosfera. Se a pressão 
atmosférica é 101,03 KPa e 
pressão absoluta no fundo do 
taque é 231,3 kPa determine a 
pressão relativa entre a água e 
o aceite de oliva. Obs: 
Densidade do óleo SAE 0,89. 
Densidade do mercúrio 13,6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[ 2 ] A Fig. mostra o efeito da infiltração de água num tanque subterrâneo de 
gasolina. (a) Se a densidade da gasolina é 0,68 determine (a) pressão 
absoluta e relativa na interfase gasolina-água e (b) pressão abs. e relativa no 
fundo do tanque. 
R: (a) P(abs) 135 kPa P(rel) 33,67 kPa 
 (b) P(bas) 144,8 kPa P(rel) 43,48 kPa 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[4] Os recipiente A e B da figura contém água sob 
pressão de 294,3 kPa e 147 kPa respectivamente. 
Determine a deflexão do mercúrio (h) no manômetro 
diferencial. Na Fig. x + y = 2,0 m. 
Massa específica da água: 1000 kg/m3; 
Massa específica do mercúrio: 13600 kg/m3 
[5] Determinar a altura h2 (mm) no manômetro da Fig. 
considerando que a diferença de pressão pB-pA=97kPa. 
Considere água com massa especifica igual a 1000 
kg/m3. A densidade do óleo e do mercúrio é dada na Fig. 
R: 22cm 
 
 
 
 
 
 
[ 6 ] Seja a água contida na câmara pressurizada 
mostrada na Fig. Massa específica da água 1000 kg/m3. 
Massa especifica do mercúrio 13550 kg/m3. Determine a 
pressão manométrica no ponto A. R: 20,92 kPa. 
 
[ 7 ] Um manômetro em U é fixado a um reservatório 
fechado contendo três fluidos diferentes como mostra a 
Fig. A pressão (relativa) do ar no reservatório é igual a 
30kPa. Determine qual será a elevação da coluna de 
mercúrio do manômetro. 
R: y=626mm 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-26 
 
[8] Um manômetro diferencial é usado para a medição da 
pressão causada por uma diminuição da seção reta ao 
longo do escoamento. Massa específica da água = 
1000kg/m³. Massa específica do mercúrio = 13600kg/m³. 
(a) Determine diferença de pressão entre os pontos A e B 
(b) Quanto corresponde essa diferença de pressão em 
metros de coluna de água ? 
R: (a) (PA - PB) =375,72 kPa (b) 38,2 mH20 
 
[9] Um manômetro diferencial é conectado a dois tanques fechados como mostrado na Fig. Determine a diferença de 
pressão entre as câmaras A e B indicando em que câmara a pressão é maior. R: (PA - PB) = -37, 28 kPa (PB > PA) 
 
 
 
[10] Determine a pressão na tubulação com água (A) 
considerando que o manômetro em U esta aberto para a 
atmosfera. O fluido manométrico apresenta um peso 
especifico igual a 30 KN/m3. Considere que h1=30cm e 
h2=10cm. 
R: 8,0 kPa 
 
[ 11 ] Determinar a deflexão h do manômetro da figura 
abaixo, quando a variação de pressão p1 - p2 = 870Pa. 
Considere as densidades dos fluidos dA=0,88 e 
dB=2,95.R: 42,84mm 
 
 
[ 12 ] Para o reservatório mostrado determinar a pressão manométrica lida no instrumento. (Obs. Densidade do 
mercúrio: d=13,6). R: (a) 2,75 kPa 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-27 
 
[ 13 ] Um reservatório de grande porte (Fig.) contém 
água, tendo uma região ocupada por mercúrio com 
densidade igual 13,6. O reservatório é fechado e 
pressurizado tendo uma pressão absoluta igual a 180 
kPa. A pressão absoluta em A é igual a 350 kPa. 
Determinar ( a ) A altura h2 em (metros) da coluna de 
água. ( b ) Determine a pressão absoluta em B. Obs: 
água a 200C: Massa especifica 1000 kg/m3. 
R: (a) 6,45m (b) 251,12 kPa 
 
 
[14] Dado o esquema da figura: a) Qual a leitura no manômetro (Pa) ; b) Qual a força (N) que age no interior do 
reservatório sobre o topo. R: (a) 200 Pa (b) 2000 N. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Conservação da Massa (Cap.5) 
 
[1] Um tanque com volume de 0,05 m3 contêm ar a pressão absoluta de 800 kPa. No tempo t=0 o ar escapa do tanque 
através de uma válvula com uma área de escoamento de 65mm2 . O ar que passa pela válvula tem uma velocidade de 
311 m/s e uma massa especifica de 6,13 kg/m3. As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes 
a cada instante. Determine a taxa instantânea de variação da massa especifica do ar no tanque, em t=0. 
 
 
[2] Um fluido escoa numa tubulação de raio R em regime laminar e permanente. A velocidade V é 
dada pela equação: 
 
i
R
r
UV ˆ1
2
max















 
 
Onde r é a distancia radial a partir do eixo central do tubo. 
Determine o fluxo de massa da tubulação. 
 
 
 
 
[3] Um dispositivo semelhante ao da figura abaixo é utilizado para 
escoamento de água em regime permanente. As áreas das 
A1=0,02m2 A2=0,05m2 A3= A4=0,04m2. O fluxo de massa através daseção (3) é de 60 kg/s, considerado saindo do dispositivo. A vazão 
entrando na seção (4) é igual a 0,03m3/s. A velocidade entrando na 
seção (1) é igual a V1=3,0i m/s. Considerando as propriedades do 
fluido uniformes através de todas as entradas e saídas do fluxo 
determine o fluxo e massa e velocidade na seção (2). 
CCAAPP 33 FFLLUUIIDDOODDIINNÂÂMMIICCAA 
PROBLEMAS RESOLVIDOS 
(A seguir estes problemas estão resolvidos) 
 
 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-29 
 
 
 
 
 
[ 4 ] O reservatório da figura abaixo é abastecido com água por duas entradas sendo que ar é aprisionado no topo do 
reservatório. Na figura D1=25mm, D2=75mm V1=0,9m/s e V2=0,6m/s. Aplique a Eq. integral da conservação da massa 
para obter uma expressão que representa a variação da altura da água (dh/dt) devido ao enchimento do reservatório. 
 
 
 
 
Solução Exemplo 1 
[1] Um tanque com volume de 0,05 m3 contêm ar a pressão absoluta de 800 kPa. No tempo t=0 o ar escapa do tanque 
através de uma válvula com uma área de escoamento de 65mm2 . O ar que passa pela válvula tem uma velocidade de 
311 m/s e uma massa especifica de 6,13 kg/m3. As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes 
a cada instante. Determine a taxa instantânea de variação da massa especifica do ar no tanque, em t=0. 
 
Equação Básica 
0  scvc AdVdt



 
Hipóteses: 
(1) As propriedades no tanque são uniformes, porem 
dependentes do tempo. 
(2) Escoamento uniforme na seção (1). 
 
 
Como as propriedades são uniformes: Podemos retirar  da integral do primeiro termo. 
  0 




sc
AdVvcdt

 
 Como 

vc
d
 
0



sc
AdV
t



 
 
 O fluido atravessa a fronteira unicamente na seção (1). 
 1Asc AdVAdV
 
 
 
 Na superfície (1) o fluido esta saindo e o produto VdA é positivo (+). 
 
 Se as propriedades são uniformes na superfície (1) 
 
111
1
AVAdV
A
 

 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-30 
  0111 


AV
t

 
 Como o volume do tanque (v.c.) não é uma função do tempo: 
 
  111 AV
t
 



 
 
 



 111 AV
t


 
 
 
 
 
s
m
kg
m
m
x
x
s
m
x
m
kg
t
/48,2
05,0
10001000
65
1000
311
13,6
33
2
3





















  
 Significa que a massa especifica esta diminuindo a uma taxa de 2,48 kg/m3 no momento de ser aberta a válvula 
(t=0). 
 
Solução Exemplo 2 
 
[2] Um fluido escoa numa tubulação de raio R em regime laminar e permanente. A velocidade V é dada pela equação: 
 
i
R
r
UV ˆ1
2
max















 
 
Onde r é a distancia radial a partir do eixo central do tubo. 
Determine o fluxo de massa da tubulação. 
 
Solução: 
A Eq. básica utilizada é a que representa o princípio da conservação da massa definida como: 
 
0  scvc AdVdt



 
 
Hipóteses: 
 Escoamento permanente 
 Escoamento incompressível 
 Velocidade não-uniforme nas seções onde o fluido cruza as fronteiras. 
 
  AdVAdVAdVm

  222111
 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-31 
A
u
R
uR
um
RRR
R
RR
R
rr
rdr
R
r
rdr
R
r
um
drr
R
r
um
πrdrdA
R
R
R
R
224
2
442
1
42
1
42
1
:integral a Resolvendo
12
)2(1
 2 : tubodo seção da área de elemento o doConsideran
max2max
2
max
222242
0
242
0
2
0
2
max
0
2
max



































































































 
Pode ser verificado que neste escoamento laminar a velocidade media é 
2
maxuu 
 
 
 
 
Solução Exemplo 3 
[3] Dados 
Áreas: A1=0,02m2 A2=0,05m2 A3= A4=0,04m2 
Fluxo de massa em (3): 
s
kg
m 603 
 (+) 
Vazão em (4) : Q4=0,03m3/s 
Velocidade em (1) 
s
m
iV ˆ0,31 
 
Consideramos a massa específica da água igual a 1000 
kg/m3 
 
 
 
A Eq. Básica utilizada é a que representa o princípio da conservação da massa definida como: 
0  scvc AdVdt



 
Hipóteses: 
(1) Escoamento permanente 
(2) Escoamento incompressível 
(3) Propriedades uniformes em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras. 
 
Aplicando a Eq. As seções onde o fluido atravessa as fronteiras: 
0
4331
 
AAAAsc
AdVAdVAdVAdVAdV
 
 
Considerando escoamento uniforme e propriedades uniformes nas seções de entrada e saída do fluido no v.c. 
1
1
1111
1
mAVAVAdV
AA


  
 (-) Os vetores velocidade e de área apontam em sentido contrário. 
Significa que o fluido esta entrando na seção 1 no v.c. 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-32 
222
2
22
2
mAVAVAdV
AA


  
 Não sabemos se o fluido esta entrando o saindo nesta seção 
 
 
3
33333
3 AA
mAVAVAdV 
 
 (+) Pelo enunciado sabemos que o fluido esta na seção 3 saindo do v.c. 
Por tanto os vetores velocidade e de área apontam no mesmo sentido. 
 
4
4
4444
4
mAVAVAdV
AA


  
 (-) Os vetores velocidade e de área apontam em sentido contrário. 
Significa que o fluido esta entrando na seção 4 no v.c. 
 
04321  mmmmAdV
sc


 
skgmx
s
m
x
m
kg
AVm /6002,00,31000 2
3111
  (-) entrando no v.c. 
skgm /603 
 (+) saindo do v.c. 
skg
s
m
x
m
kg
QAVm /3003,01000
3
34444
  (-) entrando no v.c. 
0306060 24321  mmmmm 
 
s
kg
m 302 
 Como o valor é positivo (+), significa que na seção (3) o fluido está saindo do v.c. 
Para determinar a velocidade em (2): 
222 AVm 
 
sm
xA
m
V /6,0
05,01000
30
2
2
2  

na forma vetorial: 
s
m
jV ˆ6,02 
 (aponta em sentido negativo do eixo y) 
Obs. Notamos que os ângulos de inclinação das seções 3 e 3 não são necessários para avaliar o fluxo de massa. 
 
Solução Exemplo 4 
 
[ 4 ] O reservatório da figura abaixo é abastecido com água por duas entradas sendo que ar é aprisionado no topo do 
reservatório. Na figura D1=25mm, D2=75mm V1=0,9m/s e V2=0,6m/s. 
 
Aplicando a Eq. integral da conservação da massa se obtém uma expressão que representa a variação da altura da 
água (dh/dt) devido ao enchimento do reservatório dada por: 
 
 
 
Determinar dh/dt considerando que a área do reservatório: Ares=0,18m2. 
 
 
021  mm
dt
dh
Ares 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-33 
resres A
VAVA
A
QQ
t
dh
mmd
t
221121
21 0









 
 
   
sm
xx
A
VDVD
t
dh
res
/0172,0
18,0
6,0075,09,0025,0
44
22
2
2
21
2
1 





 
 
 
1.4 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Quantidade de Movimento (Cap.5) 
 
[1] Água saí de um bocal estacionário e atinge uma chapa perpendicular ao fluxo. A velocidade da água ao sair do 
bocal é de 15m/s. A área do bocal é de 0,01m2. Determinar a força horizontal sobre o suporte. 
 
 
[2] Umjato de água de 25,4mm de diâmetro com velocidade de 6,1 m/s atinge uma chapa curvada como mostrado na 
figura. O jato escoa livremente na atmosfera. Determinar as componentes x e y da força que exerce a placa plana a 
água. 
 
 
[3] Considere o escoamento de água através de um 
cotovelo de 900 em regime permanente. Na entrada a 
pressão absoluta igual a 221 kPa e seção igual a 0,01 m2 . 
Na saída a seção é igual a 0,0025 m2 e o fluido é 
descarregado a pressão atmosférica (101kPa), e com 
velocidade igual a 16 m/s. Determinar: força necessária 
para manter o cotovelo no lugar. 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-34 
[4] Uma fonte decorativa tem uma vazão igual a 0,05m3/s e uma velocidade de 8m/s. (a) Considere que o ângulo  
definido na figura é igual a 600.Determine as reações nas direções x e y. (b) Determine a forças resultante e o ângulo 
em que atua. 
 
 
 
[ 5 ] Utilizando as equações da quantidade de movimento determine a 
força horizontal e vertical exercida sobre a superfície mostrada na 
figura. A velocidade do jato de água e igual a 15m/s. Considere o jato 
como sendo com diâmetro de 100mm. O ângulo da placa é de 600 
 
Respostas: Rx=883,57 N Ry= 1530,39 N 
 
 
 
 
[ 6 ] Determinar a velocidade do jato de água que sai de um bico de 50mm de 
diâmetro o qual permite o equilíbrio da plataforma com peso de 700N. 
(Massa especifica da água 1000 kg/m3). 
 
 
 
 
 
 
 
[ 7 ] Uma tubulação horizontal de 200mm de diâmetro faz uma curva de 1800. 
Na tubulação escoa um derivado de petróleo líquido com massa especifica 
igual a 900 kg/m3 com vazão de 150 m3/h. Determine a força exercida pelo 
fluido na curva se a pressão relativa no ponto (1) é de 100 kPa e pressão no 
ponto (2) é igual a 80 kPa. 
 
 
Obs. O fluido escoa de (1) para (2). 
 
 
[ 8 ] Um jato de água de 60mm de diâmetro incide sobre uma placa tal como 
mostrado na Figura. Se o peso total suportado é de 825N determine: (a) qual 
será a velocidade do jato. (b) Qual a vazão do jato. Obs. Determine pelo 
método simplificado. 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-35 
Solução Exemplo 1 
 
Água saiu de um bocal estacionário e atinge uma chapa perpendicular ao fluxo. A velocidade da água ao sair do bocal é 
de 15m/s. A área do bocal é de 0,01m2. Determinar a força horizontal sobre o suporte. 
Dados: 
Velocidade do jato: 
smiV /ˆ15
 Área do bocal: An=0,01m2. Fluido água =1000 kg/m3 
Pressão atmosférica Patm=101 kPa. 
Determinar: Força resultante. 
 
 
 
Solução: 
Escolhemos um sistema de coordenadas (x,y) e um volume de controle (v.c.) como mostrado na figura. 
 
Equações Básicas 
  sc AdVVvc dVt
FF
Bs
 
 
 
Hipóteses: 
Escoamento permanente 
Escoamento incompressível 
Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.C. 
Forças de campo desprezíveis. 
 

sc
s AdVVF


 
 
Analisamos as forças na direção - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (+) do eixo x. 
 
ApRApF atmxatmx 
 Por tanto 
xx RF 
 
 
A quantidade de movimento na direção - x: 
  11
11
1
AVuAdVuAdVu
AdVuAdVV
AA
Axsc















 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-36 
O vetor velocidade apresenta uma única componente V1=u1=15m/s. 
Nmx
s
m
x
m
kg
x
s
m
AVu 225001,015100015 2
311
  
 
NAdVuR
A
x 2250
1
 


 Como é negativo aponta no sentido contrário do eixo x. 
 
Na forma vetorial 
NiFs
ˆ2250
 
Método simplificado 
 
No método simplificado : 
 
 12 uuQFx  
 
 
 12 uumFx  
 
 
A massa especifica é determinada com as condições da seção 1. 
 
skgmx
s
m
x
m
kg
Aum /15001,0151000 2
311
  (+) saindo do v.c. 
 
A velocidade na seção 2 é igual a zero (u2=0) 
 
N
s
m
x
s
kg
umFx 2250151501  
 Aponta no sentido contrário ao eixo x. 
Obs. Como todo o sistema está submetido a pressão atmosférica sua atuação anula-se. 
 
Solução: Exemplo 2 
Um jato de água de 25,4mm de diâmetro com velocidade de 6,1 m/s atinge uma chapa curvada como mostrado na 
figura. O jato escoa livremente na atmosfera. Determinar as componentes x e y da força que exerce a placa plana a 
água. 
 
 
 
Dados: 
Velocidade do jato: 
smiV /ˆ15
 Área do bocal: Djato=0,0251m. Fluido água =1000 kg/m3 
Pressão atmosférica Patm=101 kPa. 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-37 
Solução: 
Escolhemos um sistema de coordenadas (x,y) e um volume de controle (v.c.) como mostrado na figura. 
 
Equações Básicas 
  sc AdVVvc dVt
FF
Bs
 
 
 
Hipóteses: 
Escoamento permanente 
Escoamento incompressível 
Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.C. 
Forças de campo desprezíveis. 
 

sc
s AdVVF


 
 
Análise de escoamento em (1) (Somente agem forças no eixo - x) 
 

sc
sx AdVuF


 
Analisamos as forças na direção - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (-) do eixo x. 
 
ApRApF atmxatmsx 
 Por tanto 
xsx RF 
 
 
A quantidade de movimento na direção - x: 
 
  111
1
111
1
AVuAdVuAdVu
AA
  

 (fluxo entrando no v.c.) 
Igualando os termos: 
 
111 AVuRx 
 e por tanto Rx aponta no sentido contrário ao admitido 
 
Vetor velocidade: 
 
Ponto (1) 
smiV /ˆ1,6
 e desta forma u1=6,1m/s. 
Consideramos que o jato é uniforme 
Área do bocal: Djato=0,0251m. e A1=A2=5,1x10-4m2 
 
Nmx
s
m
x
m
kg
x
s
m
AVuRx 98,1800051,01,610001,6
2
3111
  
 
Análise de escoamento em (2) - (Somente agem forças no eixo - y) 
 

2
222
A
sy AdVvF


 
Analisamos as forças na direção - y. Admitimos que Ry atua no sentido positivo (+). 
 
HatmyHatmsy ApRApF 
 Por tanto 
ysy RF 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-38 
Pela conservação da massa em (2) 
smjV /ˆ1,6
 e desta forma: v2=6,1m/s. 
 
  222
2
222
2
222 AVvAdVvAdVv
AA
  

 (fluido saindo da s.c.) 
 
Nmx
s
m
x
m
kg
x
s
m
AVv 98,18000511,01,610001,6 2
3222
 
 
NAVvRy 98,19222  
 (Com o sentido admitido originalmente no sentido positivo (+) 
 
Método simplificado 
 
O fluxo de massa é dada por: 
s
kg
mx
s
m
x
m
kg
Aum 11,300051,01,61000 2
311
  
 
 12 uumFx  
 u1=6,1m/s u2=0 e desta forma: 
NxumFx 98,181,611,31  
 
 
 12 vvmFy  
 v1=0 v2=6,1m/s e desta forma: 
NxvmFy 98,181,611,32  
 
 
Solução: Exemplo 3 
[ 3 ] Considere o escoamento de água através de um cotovelo de 900 
em regime permanente. Na seção (1) da entrada o diâmetro é 120 mm, 
a velocidade é igual a 4m/s e a pressão relativa igual a 120 kPa. Na 
seção (2) da saída ó diâmetro é igual 60 mm sendo o fluido 
descarregado a pressão atmosférica com velocidade igual a 16 m/s. 
Determinar: A força resultante Rx e Ry. Obs. Apresente a equação 
integral geral do problema e aplique as simplificações (hipótese) do 
escoamento. 
  sc AdVVvc dVt
FF
Bs
  
 
Hipotese e escoamento: Escoamento permanente 
Escoamento incompressível 
Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do V.C. 
 
Análise de escoamento em (1) (Somente agem forças no eixo - x) 
 

sc
sx AdVuF


 ( considerando força de campo FBx=0) 
Analisamos as forças na direção - x. Admitimos que Rx atua no sentido positivo (-) do eixo x. Para simplificar 
trabalharemoscom a pressão relativa 
 
xrsx RApF  11 
 
A1= 0,0113m2 A2= 0,00283m2 A quantidade de movimento na direção - x: 
 
  111
1
111
1
111 AVuAdVuAdVu
AA
 

 (fluxo entrando no v.c.) 
Nmx
s
m
x
m
kg
x
s
m
AVu 1600113,00,410000,4 2
3111

 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-39 
 
11111 AVuApR rx  
 
 
  NNxR
AVuApR
x
rx
15161600113,01000120
11111

 
 
s
kg
mx
s
m
x
m
kg
AVm 28,4500283,0161000 2
322
 
 
 
Análise de escoamento em (2) (Somente agem forças no eixo - y) 
 

2
222
A
Bysy AdVvFF


 
Analisamos as forças na direção - y. Admitimos que Ry atua no sentido positivo (+). A componente de força de campo 
FBy não pode ser avaliada já que não conhecemos o volume ou a massa de fluido no interior de cotovelo. No presente 
exercícios consideramos desprezível força de campo FB . Desta forma analisamos unicamente as forças de superfície: 
 
 yrsy RApF 22 como pr2=0, ysy RF  
 
  222
2
222
2
222 AVvAdVvAdVv
AA
  

 (fluido saindo da s.c.) (+) 
Nmx
s
m
x
m
kg
x
s
m
AVv 72400283,016100016 2
3222
 
NAVvRy 724222  
 (Contrario ao sentido admitido originalmente) 
 
 
Solução: Exemplo 4 
Uma fonte decorativa tem uma vazão igual a 0,05m3/s e uma velocidade de 8m/s. (a) Considere que o ângulo  definido 
na figura é igual a 600. Determine as reações nas direções x e y. (b) Determine a força resultante e o ângulo em que 
atua. 
 
No método simplificado: 
 
Equações utilizadas: 
 
 12 uumFx  
 
 
 12 vvmFy  
 
 
O fluxo de massa pode ser determinado como: 
s
kg
s
m
x
m
kg
QAVm 5005,01000
3
311
  
 
Resta determinar as componentes dos vetores de velocidade na entrada e saída do v.c. 
jviuV ˆˆ 111 
 
jviuV ˆˆ 222 
 
 
Componentes da velocidade em x: 
 
O ângulo formado entre o plano horizontal e o veto V2 é: 1800 – (450 + 600)= 750 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-40 
s
m
Vu 07,275cos8)75cos( 0022 
 
s
m
Vu 66,545cos845cos 0011 
 
Componentes da velocidade em y: 
s
m
Vv 73,775sin875sin 0022 
 
s
m
sinsinVv 66,545845 0011 
 
Como v1 aponta em sentido contrario ao eixo-x fica com sinal negativo: v1= -5,66m/s 
 
 
Força Resultante em x: 
 
  N
s
kg
RF xx 5,17966,507,250 
 (Aponta em sentido contrário ao eixo - x) 
 
Força Resultante em x: 
 
  N
s
kg
RF yy 5,66966,573,750 
 (Aponta no mesmo sentido que o eixo - y) 
 
Força Resultante: 
 
  NRRR yx 6935,669)5,179(
2222 
 
Ângulo formado pela resultante: 
075
x
y
R
R
Tan
 
 
Solução: Exemplo 5 
 
[ 5 ] Determine a força horizontal exercida sobre a superfície mostrada na figura. A velocidade do jato de água é igual a 
15m/s. Considere que a lamina de fluido mantém a mesma espessura em toda sua trajetória. 
 
  sc AdVVvc dVt
FF
Bs
 
 
 
Hipóteses: 
 Escoamento em regime permanente. Não que 
existe variação das propriedades no tempo no 
V.C. 
 Escoamento uniforme na entrada (1) e na saída 
(2). 
 Escoamento com velocidades unidimensionais. 
 Escoamento com considerando fluido 
incompressível. 
 
Fazendo analise em x: 
   12 xx vvQFx 
 onde: 
smv
smv
x
x
/5,760cos15
/15
2
1

 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-41 
s
m
m
x
x
s
m
AVQ
3
2
2
11 118,0
4
1,0
15 






 
 
NRx
xxRx
4,883
155,7118,01000


 
 
Solução: Exemplo 6 
 
[ 6 ] Determinar a velocidade do jato de água que sai de um bico de 50mm de 
diâmetro o qual permite o equilíbrio da plataforma com peso de 700N. (Massa 
especifica da água 1000 kg/m3). 
4
0)(
)()(
2
2
1
21
D
vW
vAvW
vmF
vmvmF
y
y











 
 
sm
x
D
W
v /88,18
05,01000
70044
22
 
 
 
Solução: Exemplo 7 
 
[ 7 ] Uma tubulação horizontal de 200mm de diâmetro faz uma curva de 1800. 
Na tubulação escoa um derivado de petróleo líquido com massa especifica 
igual a 900 kg/m3 com vazão de 150 m3/h. Determine a força exercida pelo 
fluido na curva se a pressão relativa no ponto (1) é de 100 kPa e pressão no 
ponto (2) é igual a 80 kPa. 
 
 
Obs. O fluido escoa de (1) para (2). 
 
P1=100kPa P2=80 kPa A1=A2 Velocidade media na tubulação: sm
D
V /33,13600
150
4
2


 
 
 xx uuQFx 12  
 
 
 xxx uuQAPAPR 122211  
 
 
   xxx uuQAPPR 12121 )(  
 
 
conforme os eixo de coordenados: u1x=1,33m/s e u2x= -1,33m/s 
 
   
  NxxxR
APPuuQR
x
xxx
555256528,990314,080100)33,133,1(
3600
150
900
)( 12112

 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-42 
 
Solução: Exemplo 8 
 
[ 8 ] Um jato de água de 60mm de diâmetro incide sobre uma placa tal como 
mostrado na Figura. Se o peso total suportado é de 825N determine: (a) qual 
será a velocidade do jato. (b) Qual a vazão do jato. Obs. Determine pelo 
método simplificado. 
 
 
 12 vvQFy  
 
 
 
NWFy 825
 
 
 
sm
xx
xxx
D
x
v
Av
vAv
/08,17
601000
100010008254
4
1000
825
825
0825
221
2
1
11













 
1.5 PROBLEMAS PROPOSTOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
 
[ 1 ] Utilizando as equações da quantidade de movimento determine a 
força horizontal e vertical exercida sobre a superfície mostrada na 
figura. A velocidade do jato de água e igual a 15m/s. Considere o jato 
como sendo com diâmetro de 100mm. O ângulo da placa é de 600 
 
R:: Rx=883,57 N Ry= 1530,39 N 
 
 
 
[ 2 ] Considere uma tubulação que escoa água com a curva mostrada 
na figura. O ângulo em relação ao plano horizontal é igual a 400. Os 
diâmetro da tubulação é D1=100mm e o diâmetro do bocal na saída é 
D2=30mm. Considere um fluxo de massa igual 15,29 Kg/s e pressão 
relativa em (1) igual a p1=232 kPa. 
 
Determine a forças resultantes (Rx e Ry) sobre o flange. 
R:: Rx=2105,25 N Ry=-212,60 N 
 
 
 
[ 3] O jato de água de 6 cm de diâmetro atinge uma placa contendo 
um orifício de 4cm de diâmetro. Parte do jato atravessa pelo orifício, e 
parte é defletida. 
 
Determine a força horizontal necessária para conter a placa. 
R: 981,75N 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-43 
 
[ 4 ] A figura mostra o escoamento de água na qual 
a tubulação apresenta uma redução de seção. 
Na seção (1) o diâmetro D1=8cm e a velocidade 
V1=5m/s. Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a 
pressão é igual a p2=patm=101,32kPa. 
Nestas condições do escoamento o manômetro de 
coluna de mercúrio apresenta uma altura de 
h=58cm. (a) Determine a pressão relativa na seção 
(1) ( b ) Determine a força total que os flanges 
resistem. água=1000 kg/m3 ; Hg=13600 kg/m3 
(a) 71,7 KPa (b) Rx=164,4 N. 
V1=5m/s
(1)
(2)
D1=8cm
x
y
P2=Patmágua D2=5cm
h=58cm
mercúrio
V1=5m/s
(1)
(2)
D1=8cm
x
y
x
y
P2=Patmágua D2=5cm
h=58cm
mercúrio
 
 
[5 ] A figura mostra um bocal convergente montado 
numa linha de uma tubulação industrial. Os 
manômetros instalados antes e após o bocal 
apresentam as pressões indicadas na figura. 
Determine a forca Rx que deve ser exercida pelos 
tubos adjacentes para suportar o bocal convergente. 
Considereque o fluido e gasolina com massa 
especifica igual a 680 kg/m3. 
 
[ 7 ] No sistema representado na figura escoa água em regime permanente (=1000 kg/m3). Determinar a força 
resultante no eixo-y (Ry) considerando que a velocidade V1=10m/s sendo o diâmetro da lamina de fluido homogênea e 
igual a 30mm. O ângulo da placa inclinada é igual a 450. 
 
 
 [ 8 ] Determinar a força de reação no sistema apresentado na figura no qual escoa água (=1000 kg/m3 ) numa 
tubulação de 400mm de diâmetro com velocidade media igual a 5 m/s. A água sai a pressão atmosférica em forma de 
jato devido a placa plana com diâmetro de 100 mm. Obs. Sistema em regime permanente e propriedades uniformes na 
entrada (1) e saída (2) do fluido. 
 
[ 9 ] Uma bomba de jato de água tem área de Aj=0,01m2 e uma velocidade Vj=30m/s. O jato fica dentro de uma 
corrente secundaria de água com velocidade V1=3,0m/s. A área total do duto e A2=0,075m2. A água e eficazmente 
misturada e deixa a bomba com uma corrente uniforme na seção 2. Na entrada da bomba as pressões do jato e da 
corrente secundaria são iguais. Determine a velocidade na seção de saída. Massa especifica da água 1000 kg/m3 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-44 
 
‘ 
[ 10 ] Num Venturi escoa água conforme mostrado a figura. O manômetro de mercúrio indica uma altura H=20cm. 
Considere d1 = 2d2 = 16cm. A diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 é 24,72kPa. Desconsiderar a perda de 
carga. Calcular o fluxo de massa no sistema. Obs: água 1000kg/m3 mercúrio 13600kg/m3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.6 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Escoamento Viscoso em Dutos (Cap.6 e Cap.7) 
 
[ 1 ] Numa tubulação horizontal escoa água através com uma vazão de 0,1m3/s. O diâmetro da tubulação é igual a 
150mm. O fator de atrito da tubulação é igual a 0,0149. A 200C a água tem uma massa específica igual a 999 kg/m3 e 
viscosidade dinâmica igual a 1,0x10-3 Pa.s. Para um comprimento de tubulação de 10 metros determinar a variação de 
pressão na tubulação e a tensão de cisalhamento na parede. R: P=16 kPa W = 60 N/m2. 
 
[2] Determinar a perda de carga numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento na qual escoa 
glicerina com uma velocidade media igual a 4,0 m/s. A glicerina esta a uma temperatura de 25oC e com o qual a massa 
especifica é igual a 1258 kg/m3 e a viscosidade dinâmica igual a 9,6x10-1 Pa.s Determine (a) a perda de carga da 
tubulação. (b) o gradiente de pressão da tubulação. (c) Tensão de cisalhamento na parede da tubulação. (d) A eq. para 
graficar o perfil de velocidades. (e) O valor da velocidade para r = R/2. R: (a) hL=13,3 m (b) 5,4 kPa/m (c) W = 204 
N/m2. (d) V=6,0m/s 
 
[ 3 ] Petróleo bruto escoa através de um trecho horizontal do oleoduto do Alasca, numa vazão de 1,6 milhão de barris 
por dia (1barril=42galões). O tubo é de ferro galvanizado diâmetro interno igual a 48 pol. A rugosidade do tubo é de 
0,1464mm. A pressão máxima permitida na saída da bomba é de 1200 psi. A pressão mínima requerida para manter os 
gases dissolvidos em solução é 50psi. O petróleo a temperatura de bombeamento tem densidade igual a 0,93 e 
viscosidade cinemática igual 1,179x10-6 m2/s. Para tais condições determine o espaçamento máximo possível entre as 
estações de bombeamento. Se a eficiência da bomba é 85%, determine potência que deve ser fornecida em cada 
estação de bombeamento. R: 27,4MW 
 
 
 
EEXXEEMMPPLLOOSS 
EESSCCOOAAMMEENNTTOO VVIISSCCOOSSOO IINNTTEERRNNOO 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-45 
[4 ] As cabeças borrifadoras num sistema agrícola devem ser supridas com água através de 500 pés de tubo de PVC 
utilizando uma bomba acionada por motor de combustão interna. Na sua faixa de operação de maior eficiência, a vazão 
de descarga da bomba é de 1500 gpm a uma pressão não superior a 65psig. Para uma operação satisfatória, os 
borrifadores devem trabalhar a 30psig ou mais. As perdas localizadas e as variações de elevação podem ser 
desprezadas. Determine o diâmetro do tubo padrão que pode ser empregado. Obs. Considere água a 200C. 
 
 
 
 
[5] Numa planta de processamento químico, deve transportar-se 
benceno a 500C (d=0,86, =4,2x10-4 Pa.s) de uma ponto A até um 
outro ponto B com uma pressão de 550kPa. Antes do ponto A esta 
instalada uma bomba. Com relação à horizontal, o ponto A esta 21 
metros abaixo do ponto B. O ponto A esta conectado ao ponto B por 
uma tubulação de pvc nova com diâmetro interno igual a 50mm. 
Determinar a pressão requerida na saída da bomba considerando que 
o benzeno deve ser transportado com uma vazão de 110 litros/min. 
Obs. Considere que a perda de carga na tubulação igual a 3,91m. 
R: 760kPa. 
 
 
 
[6] A figura mostra o escoamento de água na qual a tubulação apresenta uma redução de seção. Na seção (1) o 
diâmetro D1=8cm e a velocidade V1=5m/s. Na seção (2) o diâmetro D2=5cm e a pressão é igual a p2=patm=101,32kPa. 
Nestas condições do escoamento o manômetro de coluna de mercúrio apresenta uma altura de h=58cm. 
( a ) Aplicando as relações de manométrica determine a pressão relativa na seção (1). 
( b ) Aplicando a Eq. de Energia determine a perda de carga entre (1) e (2) 
( c ) Aplicando a equação da quantidade de movimento determine a força total que os flanges resistem. 
água=1000 kg/m3 ; Hg=13600 kg/m3 
V1=5m/s
(1)
(2)
D1=8cm
x
y
P2=Patmágua D2=5cm
h=58cm
mercúrio
V1=5m/s
(1)
(2)
D1=8cm
x
y
x
y
P2=Patmágua D2=5cm
h=58cm
mercúrio
 
[7] Óleo escoa com uma vazão de 0,2m3/s por um tubo de ferro fundido de 500m de comprimento e 200mm de 
diâmetro o qual apresenta um rugosidade =0,26mm. Nestas condições, no diagrama de Moody se obtém um fator de 
atrito igual a 0,0225. (a) Determine a perda de carga na tubulação. (b) Determine a queda de pressão se o tubo tem um 
ângulo de declive de 100 no sentido do escoamento. =900 kg/m3 =0,00001 m2/s. 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-46 
 [8] No sistema mostrado escoa água em regime permanente de A 
para B. Na saída (ponto B) a pressão é igual a pressão atmosférica 
(101,32 kPa) 
Determinar (em A) qual a pressão relativa e pressão absoluta para 
que o fluido escoe com uma vazão 12 litros/segundo. A perda de 
carga do sistema é igual a 12 metros de coluna de fluido (hL=12m). 
A diferença de altura entre o nível do fluido no reservatório e a saída 
do fluido na tubulação é igual a 15m. O diâmetro da tubulação é 
igual a 50mm. 
 
 
[ 9 ] Água flui de um reservatório através de uma tubulação 
com 750mm de diâmetro para uma unidade geradora 
(turbina) e sai para um rio que localizado a 30 metros abaixo 
da superfície do reservatório. A vazão e igual a 2,0 m3/s. A 
perda de carga da tubulação e acessórios e igual a 27,29m. 
 
 Determine a potencia da maquina considerando 
um rendimento global de 88%.. 
 
Obs: massa especifica da água 1000 kg/m3 
 
 
 
[ 10 ] Numa tubulação de 150mm de diâmetro e 30 metros de comprimento escoa um fluido com velocidade media 
igual a 4,0 m/s. Determine a perda de carga da tubulação. Obs. Considere a massa especifica igual a 1258 kg/m3 e a 
viscosidade dinâmica igual a 9,6x10-1 Pa.s. 
 
[ 11 ] Dois reservatórios são conectados por 100m de tubulação retilínea 
com diâmetro de 50mm e rugosidade relativa igual a 0,002. Ambos 
reservatórios estão abertos á atmosfera. 
 
Determine a perda de carga na tubulação para uma vazão de 15 m3/h. 
 
A massa especifica do fluido é igual a 780 kg/m3 e a viscosidade dinâmica 
igual a 1,7x10-3 Pa.s. 
 
 
[ 12 ] Determinar a diferença de pressão (em kPa) ao longo de uma tubulação de aço de 150mm de diâmetro e 
comprimento igual a 10m e rugosidade relativa igual a 0,002 no qual escoa água a 20oC com uma vazão de 0,1 m3/s.