Conjuntos Enumeráveis e de Medida Nula, Integral Dupla

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AULA 01
CONJUNTOS ENUMERÁVEIS
Um conjunto A é dito enumerável quando é finito ou quando
existe uma bijeção f : N → A. No segundo caso,
A é dito infinito enumerável e podemos escrever A =
{a0, a1, . . . , an, . . .}.
São exemplos de conjuntos enumeráveis:
(a) N é infinito enumerável uma vez que a identidade Id : N→
N, Id (n) = n é uma bijeção.
(b) O conjunto dos números naturais pares P também é infinito
enumerável: f : N→ P, f (n) = 2n é bijeção.
(c) O conjunto I dos números naturais ímpares: f : N → I ,
f (n) = 2n + 1 é bijeção.
(d) O conjunto Z dos números inteiros é infinito enumerável:
basta tomar a bijeção f : N→ Z dada por
f (n) =


n
2
, n par
−n + 1
2
, n ímpar, n 6= 1
(e) Um subconjunto de um conjunto enumerável é também
enumerável.
(f) A união de dois conjuntos enumeráveis é também enume-
rável.
(g) Se A1, A2, A3, . . . representam conjuntos enumeráveis, a
união
⋃
i≥1
Ai também é enumerável.
(h) Pelos itens (f) e (g) podemos concluir que o conjunto dos
racionais Q é infinito enumerável:
Q+ =
⋃
n≥1
An , An =
{m
n
;m ∈ N
}
Q− =
⋃
n≥1
Bn , Bn =
{
−m
n
;m ∈ N
}
(i) O produto cartesiano de conjuntos enumeráveis é enume-
rável. Portanto, por exemplo, Q×Q é enumerável.
São não-enumeráveis:
(a) O intervalo [0, 1] = {x ∈ R; 0 ≤ x ≤ 1} não é enumerável:
de fato, supondo que [0, 1] = {a1, a2, . . .}, temos
a1 = 0, a11a12a13 . . .
a2 = 0, a21a22a23 . . .
a3 = 0, a31a32a33 . . .
.
.
.
em que 0, an1an2an3 . . . é a representação decimal do nú-
mero real an ∈ [0, 1]. Defina, agora, um número real
b ∈ [0, 1], b = 0, b1b2b3 . . ., em que bi 6= ai i , para cada
i ∈ {1, 2, 3, . . .} 1. Certamente este número não está na
lista acima. Mas supomos no início, que a lista possuía to-
dos os elementos de [0, 1]. Contradição. Logo, [0, 1] não é
enumerável.
(b) Qualquer intervalo real [a,b] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b} não é
enumerável.
(c) Pelo item acima o conjunto dos números reais R não é
enumerável.
(d) O conjunto dos números irracionais Q′ não é enumerável:
caso contrário, R = Q ∪ Q′ seria enumerável.
(e) O produto cartesiano R × R não é enumerável. Também
não é enumerável o produto cartesiano Rn , n ≥ 3.
CONJUNTOS DE MEDIDA NULA
Um conjunto A ⊂ R é dito conjunto de medida nula em R se,
dado um número real ǫ > 0 qualquer, podemos encontrar uma
sequência de intervalos abertos de R, digamos I1, I2, I3, . . . ,
tais que
1. (a) A ⊂
∞⋃
k=1
Ik
2. (b)
∞∑
k=1
diam(Ik) ≤ ǫ
São conjuntos A ⊂ R de medida nula:
(a) Um conjunto unitário A = {a} tem medida nula. De fato,
dado ǫ > 0, basta tomar os intervalos I1 =
(
a− ǫ
4
, a+
ǫ
4
)
e Ik = ∅, k ≥ 2. É claro que A ⊂
∞⋃
k=1
Ik e que
∞∑
k=1
diam(Ik) = diam(I1) =
ǫ
2
≤ ǫ.
(b) Um conjunto finito, por exemplo, A = {1, 2, 3}, tem
medida nula. De fato, dado ǫ > 0, tome interva-
los I1 =
(
1− ǫ
8
, 1 +
ǫ
8
)
, I2 =
(
2− ǫ
8
, 2 +
ǫ
8
)
, I3 =(
3− ǫ
8
, 3 +
ǫ
8
)
, Ik = ∅, k ≥ 4. É claro que A ⊂
∞⋃
k=1
Ik
e que
∞∑
k=1
diam(Ik) = diam(I1) + diam(I2) + diam(I3) =
3
ǫ
4
≤ ǫ.
1Tome, por exemplo, o número b = 0, a11a22a33 . . .. Troque, agora,
todos os algarismos deste número: escreva 9 onde o algarismo de b
não é 9 e escreva 4 onde o algarismo de b seja 9. Obtemos, então, um
novo número b ∈ [0, 1] que não está na lista.
2
(c) Um conjunto enumerável, por exemplo, A = {1, 2, 3, 4, . . .}
tem medida nula. De fato, tome os intervalos
I1 =
(
1− ǫ
4
, 1 +
ǫ
4
)
, I2 =
(
2− ǫ
8
, 2 +
ǫ
8
)
, . . . , In =(
n − ǫ
2n+1
, 1 +
ǫ
2n+1
)
, n ≥ 3. É claro que C ⊂
∞⋃
k=1
Ik
e que
∞∑
k=1
diam(Ik) = ǫ
(
1
2
+
1
4
+
1
8
+ . . .+
1
2n
+ . . .
)
=
ǫ.
(d) Um exemplo de um conjunto A ⊂ R não-enumerável e de
medida nula é o Conjunto de Cantor 2.
Um conjunto A ⊂ R2 é dito conjunto de medida nula no
R2 se, dado um número real ǫ > 0, existe uma sequência de
retângulos abertos de R2, digamos R1,R2,R3, . . ., tais que
(a) A ⊂
∞⋃
k=1
Rk
(b)
∞∑
k=1
área (Rk) ≤ ǫ
Assim, um conjunto enumerável A ⊂ R2 tem medida nula
no R2. Uma reta, r = {(x , y) ∈ R2; ax + by + c = 0}, tem
medida nula no R2. Uma curva, C = {(x , y) ∈ R2; f (x , y) =
0} tem medida nula no R2. O leitor deverá verificar essas três
afirmações.
2Veja o livro de R. G. Bartle, Elementos de Análise Real, página
56.
3
AULA 02
INTEGRAL DUPLA
Considere uma função real de duas variáveis reais f , definida
em um conjunto fechado e limitado R ⊂ R2.
Traçando m retas paralelas ao eixo das abscissas e n retas
ao eixo das ordenadas, cobrimos a região R por retângulos.
Consideremos, apenas, os retângulos Ri j que estão total-
mente contidos em R cuja área mede ∆Ai j = ∆xi ·∆yj .
Escolhendo um ponto (ξi ,ψj ) qualquer em cada um dos re-
tângulos Ri j , formemos a soma 3
n∑
j=1
m∑
i=1
f (ξi ,ψj )∆xi ·∆yj
Se traçarmos mais retas paralelas aos eixos cartesianos ob-
teremos retângulos menores e ao tornamos esse processo
contínuo de maneira que a diagonal máxima dos retângulos
tende a zero quando m e n crescem indefinidamente e se essa
soma tiver limite finito, dizemos que f é integrável e escreve-
mos:
lim
max d(Ri j )→∞
m∑
j=1
n∑
i=1
f (ξi ,ψj )∆xi ·∆yj =
x
R
f (x , y) dx dy
=
x
R
f (x , y) dA.
A existência do limite na definição da integral dupla depende
da função z = f (x , y) e também da região R. Garantiremos
a existência da integral dupla quando z = f (x , y) for contínua
sobre uma região R fechada e limitada cujo contorno possui
um número finito de curvas suaves.
Vejamos, a seguir, um exemplo de função não integrável.
ER 1. Considere o retângulo R = [0, 1] × [0, 1] e a função
f (x , y) =
{
1, se (x , y) ∈ Q ∩ R
0, se (x , y) 6∈ Q ∩ R
Verifique se f é integrável.
Solução: Tomemos uma partição {Ri ; i ∈ N} qualquer
de R = [0, 1] × [0, 1] e, em cada Ri , escolhamos (xi , yi ) ∈
Q×Q. Assim, por um raciocínio simples, temos:
n∑
i=1
f (xi , yi ) · A(Ri ) = 1.
Entretanto, ao escolhermos (xi , yi ) ∈ R2 \ Q2, temos
n∑
i=1
f (xi , yi ) · A(Ri ) = 0.,
Dessa forma, o limite não existe, ou seja, f não é integrável.
O fato de se calcular o volume de um sólido delimitado
pelo gráfico de uma função positiva, definida num retângulo,
3
soma de Riemann para uma função real de duas variáveis reais
utilizando-se o método anterior, nem sempre é possível. Por-
tanto, restringiremos este cálculo ao gráfico de funções contí-
nuas, de acordo com o teorema:
1 Teorema. Se f é uma função contínua em um retângulo R,
então f é integrável em R.
A definição de integral dupla não é muito simples de se mani-
pular. Entretanto, uma consequência da definição nos dá uma
forma de encontrar funções não-integráveis. O resultado é o
seguinte:
2 Teorema. Se f é uma função integrável em um retângulo R,
então f é limitada em R, isto é, existe M > 0 tal que |f (x , y)| <
M, para todo (x , y) ∈ R.
O resultado acima é útil no seguinte aspecto: se uma fun-
ção de duas variáveis não é limitada em R, então ela não é
integrável em R. Por exemplo, a função
f (x , y) =
(x − y)
(x + y)3
não é limitada em (0, 1]× (0, 1] (mostre como exercício), logo,
não é integrável.
3 Teorema (H. Lebesgue). Uma função f : A → R, limitada
em A ⊂ Rn, é integrável se, e somente se, o conjunto dos seus
pontos de descontinuidade tem medida nula em Rn.
A função limitada f : [0, 1] → R dada por f (x) = sen
(
1
x
)
,
se x 6= 0 e f (0) = 0, é integrável uma vez que D = {0} é o
conjunto dos pontos de descontinuidade de f .
A função limitada f : [0, 1]2 ⊂ R2 → R dada por f (x , y) =
sen(x2 + y2)
x2 + y2
, se (x , y) 6= (0, 0) e f (0, 0) = 0, é integrável,
uma vez que o conjunto dos seus pontos de descontinuidadeé D = {(0, 0)}.
VOLUME DE UM SÓLIDO
No curso de Cálculo I vimos que a integral definida de funções
de uma variável era aplicada para o cálculo de áreas de cer-
tas regiões planas. Aqui, veremos que a integral dupla pode
determinar a medida do volume de alguns sólidos (regiões do
espaço).
Considere a região R = [a, b]× [c, d] e suponha que f (x , y)
é contínua e positiva, para todo (x , y) ∈ R.
4
x
y
z
a
b
c
d
Vamos calcular o volume do sólido
S = {(x , y , z) ∈ R3; 0 ≤ z ≤ f (x , y) e (x , y) ∈ R}.
Dividindo o retângulo R em pequenos retângulos Ri j (esta
divisão é uma “partição” de R).
Escolhendo um ponto qualquer (xi , yj) de Ri j , montemos o
paralelepípedo de base Ri j e altura f (xi , yj ). Portanto, o vo-
lume é f (xi , yj) · A(Ri j ), em que A(Ri j) indica a área do retân-
gulo Ri j .
x
y
Ri
xi
yi
Uma partição da região R
A soma dos valores dos volumes de todos estes paralelepí-
pedos é:
m∑
j=1
n∑
i=1
f (xi , yj ) · A(Ri j ).
Se os retângulos Ri j forem suficientemente pequenos, a
soma obtida parece ser uma boa aproximação do volume pro-
curado do sólido. Assim, nossa intuição nos diz que o volume
de S pode ser encontrado calculando
lim
A(Ri )→0
n∑
i=1
f (xi , yi ) · A(Ri j).
Na verdade, queremos que A(Ri ) seja uma valor muito pe-
queno. Consideremos, então, a diagonal d(Ri ) dos retângulos
e façamos max d(Ri ) ir para zero. Então, temos uma integral
dupla de f sobre R:
x
R
f (x , y) dA = lim
max d(Ri j )→0
n∑
i=1
f (xi , yi ) ·∆x∆y ,
Portanto, se a função f é positiva e integrável em um retân-
gulo R, o volume de S pode ser obtido por:
V (S) =
x
R
f (x , y) dA.
Para melhor entendimento, vamos descrever o processo
através de um exemplo.
Considere a função f : R ⊂ R2 → R, f (x , y) = x(1 − y4),
com R = [0, 2] × [0, 1]. Poderíamos pensar em calcular o vo-
lume da superfície S = {(x , y , z) ∈ R3 : 0 ≤ f (x , y), (x , y) ∈
R} de várias maneiras. Vamos “fatiar” o sólido com planos pa-
ralelos ao plano yz .
x
y
z
xy
z
Assim, para cada x fixo entre 0 e 2 temos uma região onde
se calcula a área, facilmente, usando integral de uma variável.
Vamos denotá-la por A(x). Então
y
z
z =
1− y4
2
; x =
1
2
0 1
y
z
z =
3− 3y4
2
; x =
3
2
0 1
A(x) =
∫ 1
0
x(1− y4) dy =
[
xy − xy
5
5
]1
0
= x − x
5
.
O volume do sólido pode ser calculado através da adição
de todos os A(x). Adicionar em x é integrar. Então, uma boa
definição do volume de S é:
V =
∫ 2
0
A(x) dx =
∫ 2
0
(∫ 1
0
x(1− y4) dy
)
dx
=
∫ 2
0
x − x
5
dx =
[
2x2
5
]2
0
=
8
5
Outro tipo de “fatiamento” poderia ter sido feito, por exemplo,
com planos paralelos ao plano xz . Teríamos obtido o mesmo
valor? E, se a função possuir uma expressão mais complicada,
ainda assim isto funciona? E, se o domínio da função for outra
região que não um retângulo, poderíamos usar este método?
Estas e outras questões serão abordadas devidamente a se-
guir. Daremos uma definição formal de integral dupla e suas
propriedades. Discutiremos em que situações podemos calcu-
lar o volume de S da forma acima e veremos algumas outras
aplicações da integral dupla.
ATIVIDADES
A 1. Aproxime o volume V =
∫ 1
0
∫ 1
2
0
f (x , y) dy dx para a
função dada, utilizando
4∑
k=1
2∑
j=1
f (uk , vj)∆yj∆xk , com ∆xk =
5
∆yj =
1
4
, uk =
k − 2
8
e vj =
j − 2
8
, para k = 1, 2, 3, 4 e
j = 1, 2.
(a) f (x , y) = sen(cos(xy))
(b) f (x , y) = x4 + y4
GAUSS, CARL FRIEDRICH
Gauss, Carl Friedrich (1777-1855)
Fonte: uc.pt
Gauss nasceu em Brunswick,
Alemanha, e estudou na Uni-
versidade de Göttingen. Con-
tribuiu tanto para a matemá-
tica pura quanto para a apli-
cada. Suas conquistas na ci-
ência e na medicina são extra-
ordinárias, desde a invenção
do telégrafo elétrico (com Wi-
lhelm Weber em 1833) até o
desenvolvimento da teoria da
órbita dos planetas e o desen-
volvimento da precisa teoria
da geometria não-euclidiana.
Gauss exigia que suas publicações e provas de teoremas
fossem perfeitas e a ele credita-se muitos avanços na álgebra,
na teoria dos números, nas equações diferenciais e em cál-
culo. Seu principal trabalho intitula-se Disquisitiones arithmeti-
cae (de 1801), além de Theoria motus corporum celestium (de
1809).
Gauss foi professor de matemática em Göttingen e sua pre-
sença fez da instituição o centro do mundo matemático. Ele,
porém, mantinha-se distante e inacessível, principalmente dos
calouros. Foi responsável pela apresentação da primeira prova
satisfatória do Teorema Fundamental da Álgebra. Suas desco-
bertas eram tão importantes e numerosas que ele era frequen-
temente chamado de “Príncipe da Matemática”. Gauss provou
o teorema da divergência enquanto trabalhava na teoria da gra-
vitação, mas suas anotações só foram publicadas muito tempo
depois, o que fez com que outros recebessem crédito por ela.
Hoje o teorema é, algumas vezes, chamado de Teorema de
Gauss. Ele estabeleceu a teoria potencial como um ramo co-
erente da matemática e reconheceu que a teoria de funções
de uma variável complexa era a chave para a compreensão
de muitos resultados necessários nas equações diferenciais
aplicadas. Gauss considerava a matemática uma ciência e a
aritmética seu componente mais importante.
Principais teoremas: teorema da divergência.
Principais obras: Disquisitiones arithmeticae; Theoria motus
corporum celestium.
Citações:
“Na matemática, não há controvérsias verdadeiras”.
“Tenho o resultado, mas ainda não sei como obtê-lo”.
INTEGRAIS DUPLAS SOBRE RE-
GIÕES RETANGULARES
A definição de integral dupla pode ser natural, porém, ela não é
uma forma muito prática de se calcular. Entretanto, para se cal-
cular o volume de um sólido vimos que poderíamos “fatiá-lo”,
paralelamente, aos eixos x e y . Mas, por enquanto, pensemos
num caso particular.
Seja f (x , y) ≥ 0, ∀ (x , y) ∈ R = [a,b] × [c, d] e considere,
novamente, a região
S = {(x , y , z) ∈ R3; 0 ≤ z ≤ f (x , y) e (x , y) ∈ R}.
Para cada x fixo entre a e b, a área da fatia é dada por
A(x) =
∫ d
c
f (x , y) dy .
Então, o volume de S é
∫ b
a
A(x) dx =
∫ b
a
(∫ d
c
f (x , y) dy
)
dx .
Entretanto, fixando y entre c e d poderíamos, também, calcular
a área de cada fatia e depois o volume, fazendo
∫ d
c
A(y) dy =
∫ d
c
(∫ b
a
f (x , y) dx
)
dy .
Estas integrais são chamadas de integrais iteradas e, usu-
almente, se escreve apenas
∫ b
a
∫ d
c
f (x , y) dy dx ou
∫ d
c
∫ b
a
f (x , y) dx dy
Se fizermos f (x , y) = 1, teremos
∫ b
a
∫ d
c
1 dy dx = (d − c)(b − a)
que é a área do paralelogramo R.
ER 2. Determine
x
R
1
1 + x2 + 2xy + y2
dA, em que R =
[1, 2]× [0, 1].
Solução:
x
R
1
1 + x2 + 2xy + y2
dx dy
=
x
R
1
1 + (x + y)2
dx dy
=
∫ 1
0
(∫ 2
1
dx
1 + (x + y)2
)
dy
=
∫ 1
0
atan(x + y)
∣∣∣2
1
dy
=
∫ 1
0
atan(2 + y)− atan(1 + y) dy
= 3atan(3) − 4 atan(2) + π
4
− 1
2
ln(5) − ln(2)
ER 3. Determine
x
R
xy sen(x)
1 + 4y2
dA, em que R = [0, 1]×[1, 2].
6
Solução:
x
R
xy sen(x)
1 + 4y2
dA
=
∫ 1
0
x sen(x)
(∫ 2
1
y
1 + 4y2
dy
)
dx
=
∫ 1
0
x sen(x)
(
1
8
ln(1 + 4y2)
∣∣∣∣2
1
dx
=
1
8
ln
(
17
5
)∫ 1
0
x sen(x) dx
=
1
8
ln
(
17
5
)(
−x cos(x) + sen(x)
∣∣∣1
0
)
=
1
8
ln
(
17
5
)
(sen(1) − cos(1))
O resultado a seguir foi provado em 1907 pelo matemá-
tico italiano Guido Fubini (1879-1943), entretanto a versão
para funções contínuas era conhecida pelo matemático fran-
cês Augustin-Louis Cauchy, quase um século antes. Ele nos
diz que se f é uma função integrável, a ordem a qual fazemosa integração nos dá resultados idênticos. Lembre-se de que
toda função contínua em um fechado é integrável e, assim, po-
deremos calcular o volume de muitos sólidos.
4 Teorema. [Fubini] Se f é integrável em R = [a,b] × [c, d],
então
x
R
f (x , y) dA =
∫ d
c
∫ b
a
f (x , y) dx dy =
∫ b
a
∫ d
c
f (x , y) dy dx .
ER 4. Verifique se
∫ 2
1
∫ 3
0
x2y dx dy =
∫ 3
0
∫ 2
1
x2y dy dx .
Solução:
∫ 2
1
∫ 3
0
x2y dx dy =
∫ 2
1
[
x3
3
y
]3
0
dy =
∫ 2
1
9y dy =
27
2∫ 3
0
∫ 2
1
x2y dy dx =
∫ 3
0
[
x2
y2
2
]2
1
dx =
∫ 3
0
3x2
2
dx =
27
2
ER 5. Calcule
x
R
x2 − 2y dA, em que R =
{(x , y); 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2}.
Solução: Vamos integrar primeiramente com respeito a
variável y :
x
R
x2 − 2y dA =
∫ 2
0
∫ 2
1
x2 − 2y dy dx
=
∫ 2
0
x2y − y2∣∣y=2
y=1
dx
=
∫ 2
0
x2 − 3 dx = x
3
3
− 3x
∣∣∣∣
2
0
= −10
3
Agora, vamos integrar primeiramente com respeito a va-
riável x :
x
R
x2 − 2y dA =
∫ 2
1
∫ 2
0
x2 − 2y dx dy
=
∫ 2
1
x3
3
− 2yx
∣∣∣∣
x=2
x=0
dy
=
∫ 2
1
(
8
3
− 4y
)
dy =
8
3
y − 2y2
∣∣∣∣2
1
= −10
3
Observe que as integrais só são iguais porque a função
é contínua no retângulo. Essa é a hipótese do teorema de
Fubini. Além disso, a função não é toda positiva e, assim, o
resultado da integral acima não pode representar o volume
do sólido limitado pelo gráfico da função e o retângulo na
base.
ER 6. Determine o volume do sólido que está abaixo do pa-
rabolóide hiperbólico z = 4 + x2 − y2 e acima do quadrado
R = [−1, 1] × [0, 2].
Solução: Observe que a função é positiva no retângulo
dado e ainda que x varia de −1 a 1 e y varia de −2 a 2.
Vamos integrar primeiro em y , mantendo x constante.
V =
x
R
4 + x2 − y2 dA =
∫ 1
−1
∫ 2
−2
4 + x2 − y2 dy dx
=
∫ 2
0
4y + x2y − y
3
3
∣∣∣∣
y=2
y=−2
dx
=
1
3
∫ 2
0
12x2 + 32 dx
= 4x3 + 32x
∣∣2
0
= 96u.v.
ATIVIDADES
A2. Calcule as seguintes integrais duplas:
(a)
x
R
(2y2 − 3xy3) dx dy , R = [1, 2]× [0, 3]
(b)
x
R
x sen(y) dx dy , R = [1, 4] ×
[
0,
π
6
]
(c)
x
R
1
x + y
dx dy , R = [1, 2] × [0, 1]
A3. Determine o volume do sólido limitado pela superfície z =
x
√
x2 + y e os planos x = 0, x = 1, y = 0 e y = 1.
A4. Determine o volume do sólido contido no primeiro octante
limitado por z = 9− y2 e pelo plano x = 2.
A5. Considere a região R = [0, 1]2 ⊂ R2 e a função f : R → R
definida por f (x , y) = (x − y)
(x + y)3
. Verifique se
x
R
(x − y)
(x + y)3
dy dx =
x
R
(x − y)
(x + y)3
dx dy
e justifique teoricamente sua resposta.
7
INTEGRAIS DUPLAS SOBRE CER-
TAS REGIÕES
Podemos, também, integrar funções cujo domínio da região de
integração não é um retângulo. Por exemplo, para calcular o
volume do sólido limitado pela superfície f (x , y) = 4− x2− y2
sobre a região D : x2 + y2 = 1.
Seja R um retângulo que cobre a região D em que f possa
estar definida.
Defina a função
F (x , y) =
{
f (x , y) , se (x , y) ∈ D
0 , se (x , y) 6∈ D
Se a integral dupla de F sobre R existe, definimos a integral
dupla de f em D por
x
D
f (x , y) dA =
x
R
F (x , y) dA.
Como F (x , y) = 0 quando (x , y) ∈ R \ D, então ela contri-
bui em nada no cálculo da integral. Assim, não importa qual
retângulo tomamos.
Da mesma forma que fizemos antes, se f (x , y) é positiva e
é integrável em D e o volume do sólido S = {(x , y , z); 0 ≤ z ≤
f (x , y), (x , y) ∈ D} é:
V (S) =
x
D
f (x , y) dA.
Além das mesmas propriedades vistas para integração num
retângulo R, vale o seguinte resultado para a integral dupla
sobre D.
5 Proposição. Se f e g são funções integráveis em uma
região limitada do plano D e c é constante, então:
⋆
x
D
[f (x, y) + g(x, y)] dA =
x
D
f (x, y) dA +
x
D
g(x, y) dA.
⋆
x
D
c · f (x, y) dA = c ·
x
D
f (x, y) dA.
⋆
x
D
f (x, y) dA ≤
x
D
g(x, y) dA sempre que f (x, y) ≤ g(x, y) em
D.
⋆ Se a região D é composta de duas sub-regiões D1 e D2 que não
tem pontos em comum, exceto, possivelmente, os pontos de sua
fronteira, então
x
D
f (x, y) dA =
x
D1
f (x, y) dA +
x
D2
f (x, y) dA.
A prova dessa proposição é feita utilizando a definição da
integral dupla e propriedades dos limites.
Vimos que Se f é contínua em D e se o bordo da região D é
“bem comportado”, então f é integrável em D. Mas, afinal, que
regiões são deste tipo e como calcular a integral dupla? Vere-
mos que são mais comuns dois tipos destas regiões e como
podemos calcular as integrais duplas.
REGIÃO DO TIPO I
Região do plano entre gráficos de funções contínuas de uma
variável real x definidas num intervalo [a,b]. Mais explicita-
mente, são regiões do tipo:
D = {(x , y); a ≤ x ≤ b e g1(x) ≤ y ≤ g2(x)},
em que g1 e g2 são duas funções contínuas em [a, b].
x
y
g1(x)
g2(x)
a b
c
d
Neste caso, se R = [a,b] × [c, d] contém D, então, pelo
Teorema de Fubini, temos que:
x
D
f (x , y) dA =
∫ b
a
∫ d
c
F (x , y) dy dx
=
∫ b
a
∫ g2(x)
g1(x)
f (x , y) dy dx .
REGIÃO DO TIPO II
Região do plano entre gráficos de funções contínuas de uma
variável real y definidas num intervalo [c, d]. Mais explicita-
mente, são regiões do tipo:
D = {(x , y); c ≤ y ≤ d e h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}.
em que h1 e h2 são funções contínuas em [c, d].
Também podemos calcular a integral dupla fazendo
x
D
f (x , y) dA =
∫ d
c
∫ b
a
f (x , y) dx dy
=
∫ d
c
∫ h2(y)
h1(y)
f (x , y) dx dy .
ER 7. Calcule
x
D
(x + 2y) dA, sabendo que D é a região
limitada pelas parábolas y = x2 e y = 1 + x2.
Solução:
x
D
(x + 2y) dA =
∫ 1
−1
∫ 1+x2
x2
(x + 2y) dy dx
=
∫ 1
−1
xy + y2
∣∣∣1+x2
x2
dx
=
∫ 1
−1
(2x2 + x + 1) dx =
10
3
ER 8. Encontre o volume do sólido S que fica abaixo do para-
bolóide z = x2 + y2, acima da região no plano xy e delimitada
pelas superfícies y = x2 e y = 2x .
8
Solução: A região de integração (no
plano xy ) é:
D = {(x , y); 0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 2x}.
x
y
e o volume V (S) é dado pela integral dupla
∫ 2
0
∫ 2x
x2
(x2 + y2) dy dx =
648
105
.
ER 9. Calcule
∫ 1
0
∫ 1
x
sen(y2) dy dx .
Solução: Observe que calcular esta integral não é sim-
ples. A desenho da região D é
x
y
1
1
D≡D′
O domínio de integração D = {(x , y); 0 ≤ x ≤ 1, x ≤
y ≤ 1} pode ser escrito como D′ = {(x , y); 0 ≤ y ≤ 1; 0 ≤
x ≤ y}.
Então
x
D
sen(y2) dA =
∫ 1
0
∫ y
0
sen(y2) dx dy
=
∫ 1
0
x sen(y2)
∣∣∣y
0
dy
=
∫ 1
0
y sen(y)2 dy =
1
2
[1− cos(1)].
ER 10. Calcule
x
D
cos(2y)
√
4− sen2(x) dA, em que D =
{
(x , y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ π
2
, x ≤ y ≤ π
2
}
.
Solução: O que queremos é
∫ pi
2
0
(∫ pi
2
x
√
4− sen2(x) cos(2y) dy
)
dx
=
∫ pi
2
0
−1
2
√
4− sen2(x) (sen(2y)|
pi
2
x dx
= −1
2
∫ pi
2
0
√
4− sen2(x) sen(2x) dx
= −
∫ pi
2
0
√
4− sen2(x) sen(x) cos(x) dx
= −
∫ 1
0
u
√
4− u2 du
=
1
3
[√
4− u2
]3 ∣∣∣1
0
=
1
3
[3
√
3− 8]
ATIVIDADES
A6. Calcule as seguintes integrais duplas: (Sugestão: escreva
D de forma conveniente e esboce a região D)
(a)
x
D
xy dx dy , D = {(x , y); 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ √x}
(b)
x
D
(x2 − 2xy) dx dy , D = {(x , y); 0 ≤ x ≤ 1,√x ≤ y ≤
2− x}
(c)
x
D
e(x/y) dx dy , D = {(x , y); 1 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ y3}
(d)
x
D
x cos(y) dx dy , D é a região limitada por y = 0, y = x2
e x = 1.
(e)
x
D
4y3 dx dy , D é a região limitada por y = x − 6 e y2 =
x .
(f)
x
D
xy dx dy , D é a região do primeiro quadrante limitada
pelacircunferência de centro (0, 0) e raio 1.
(g)
x
D
(x2 tan(x) + y3 +4) dx dy , D = {(x , y); x2 + y2 ≤ 2}.
A7. Determine o volume do sólido S em cada um dos seguintes
casos:
(a) S é limitado superiormente pelo parabolóide z = x2 + y2
e sua projeção no plano xy é a região limitada por x = y2
e x2 = y .
(b) S é limitado superiormente por z = xy e sua projeção no
plano xy é o triângulo de vértices (1, 1), (4, 1) e (1, 2).
(c) S é a região do primeiro octante limitada pelo cilindro x2+
z2 = 9 e pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e x + 2y = 2.
(d) S é a região do primeiro octante limitado pelos três planos
coordenados e pelos cilindros x2 + y2 = 9 e y2 + z2 = 9.
A8. Determine o volume do sólido S em cada um dos seguintes
casos:
(a) S é limitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e x+y+z =
1.
(b) S é a região do primeiro octante limitada pelo cilindro x2+
y2 = 1 e pelos planos y = x , x = 0, z = 0 e z = 2.
(c) S é limitado pelos cilindros x2 + y2 = r2 e x2 + z2 = r2.
A9. Escreva as duas integrais iteradas correspondentes à in-
tegral dupla
x
D
f (x , y) dx dy , em que D é a região do plano
limitada pelas curvas y = −x2 + x + 2 e x − 2y + 1 = 0.
A 10. Calcule as seguintes integrais, invertendo a ordem de
integração:
(a)
∫ 1
0
∫ 3
3y
ex
2
dx dy
9
(b)
∫ 3
0
∫ 9
y2
y cos(x2) dx dy
(c)
∫ 1
0
∫ 0
asen(y)
cos(x)
√
1 + cos2(x) dx dy
A11. Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações
y =
1
x2
, y = −x2 e 1 ≤ x ≤ 2 e ache a sua área utilizando
integrais duplas.
A 12. A integral dupla pode representar o volume de um só-
lido sob uma superfície S e sobre uma região R do plano xy .
Descreva S , esboce R e calcule a integral nos seguintes casos:
(a)
∫ 4
0
∫ 2
−1
3 dy dx
(b)
∫ 1
0
∫ 3−x2
3−x
√
25− x2 − y2 dy dx
(c)
∫ 1
−2
∫ 1−x2
x−1
x2 + y2 dy dx
A13. Calcule o volume do sólido delimitado superiormente pelo
plano z = 4−x−y , inferiormente pela região R delimitada por
x = 0, x = 2, y = 0 e 4y − x = 2 e lateralmente pelo cilindro
vertical cuja base é o contorno de R. Esboce o sólido.
A14. Calcule o volume do sólido no primeiro octante, delimi-
tado pelo plano z+y = 2 e pelo cilindro vertical que contorna a
região plana delimitada pelas curvas y = x2 e y = x . Esboce
o sólido.
A15. Calcule o volume do sólido no primeiro octante, delimi-
tado pelos cilindros x2 + y2 = 16 e x2 + z2 = 16. Esboce o
sólido.
A 16. Calcule o volume do sólido delimitado pela superfície
z = 1 − x2 (cilindro parabólico) e pelos planos z = 0, y = 0 e
x + y = 4.
RIEMANN, BERNHARD
Riemann, Bernhard (1826-1866)
Fonte:
Riemann nasceu em Hanover,
Alemanha. Foi uma criança bri-
lhante e leu as obras de Euler e
Legendre quando ainda era ga-
roto. Ingressou nas universida-
des de Göttingen e de Berlim.
Obteve seu doutorado sob a ori-
entação de Gauss, com uma tese
sobre a teoria das variáveis com-
plexas. Também trabalhou com
o físico Wilhelm Weber. Durante
seus primeiros trabalhos tentou
introduzir as idéias fundamentais
da geometria diferencial.
Continuou estudando e contribuiu no campo da dinâmica,
da geometria não-euclidiana e da física computacional. Pros-
seguiu seus trabalhos como palestrante em Göttingen e, por
fim, tornou-se professor em 1859. Infelizmente, sofria de tu-
berculose e nos últimos anos de vida só pôde se dedicar ao
trabalho algumas horas por dia.
10
AULA 03
O PLANO POLAR
APRESENTAÇÃO
O sistema de coordenadas polares é um outro dispositivo que
podemos utilizar para localizar pontos no plano e, consequen-
temente, representar lugares geométricos através de equa-
ções. Um dos principais fatores que justificam a introdução
desse sistema de coordenadas se deve ao fato de que alguns
lugares geométricos neste possuem equações mais simples
do que no de coordenadas cartesianas.
COORDENADAS POLARES
Um ponto no plano é localizado através de um sistema de coor-
denadas. Por exemplo, o sistema de coordenadas cartesianas
xOy já estudado.
Outro sistema de coordenadas
muito utilizado é o de coorde-
nadas polares onde considera-
remos uma semi-reta horizon-
tal e fixa, chamada de eixo po-
lar, e de origem em um ponto
O, chamado de pólo. A semi-
reta perpendicular que passa
por O chamaremos de eixo a
90◦ ou eixo normal.
r
O
A
P(r , θ)
θ
Qualquer ponto P do plano será localizado no sistema de
coordenadas polares pelo par (r , θ) denominado coordenadas
polares, onde r indica a distância do ponto P ao pólo O e é
denominado raio vetor ou raio polar , e o ângulo θ obtido da
rotação do eixo polar até o segmento OP, o qual chamaremos
de ângulo vetorial ou ângulo polar de P.
O ângulo polar, geralmente, tem sua unidade de medidas
em graus ou em radiano. Quando não está indicada nas co-
ordenadas polares de um ponto P, a unidade de medida é o
radiano. Por exemplo, P1(3, 30◦) e P2
(
−2, π
4
)
. Observe que,
nas coordenadas de P2 o ângulo é
π
4
rad .
Consideraremos o ângulo polar positivo quando a rotação
do eixo polar for feita no sentido anti-horário e, o negativo, no
sentido horário, tal como fazemos no estudo de trigonometria.
Se P(r , θ) possui raio ve-
tor negativo (r < 0) de-
vemos rotacionar o eixo
polar em π + θ e marcar
|r | unidades a partir do
pólo O.
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
Ao pólo podemos associar o par de coordenadas (0, θ), em
que θ representa um ângulo qualquer. Assim, se r = 0 e θ é
um ângulo qualquer, o par de refere às coordenadas do pólo.
CONVERSÃO DE MEDIDAS DE ÂNGU-
LOS
Para convertermos um ângulo cuja unidade de medida é o ra-
diano em radiano, ou vice-versa, devemos utilizar a seguinte
relação:
1 volta 360◦ 2π rad
ou melhor ainda
1/2 volta 180◦ π rad.
ER 11. Transforme em radianos o ângulo que mede:
(a) 30◦ (b) 45◦ (c) 60◦
Solução: Temos que:
180◦ π rad
30◦ a rad
180◦ π rad
45◦ b rad
180◦ π rad
60◦ c rad
Segue que,
a =
30π
180
=
π
6
. b =
45π
180
=
π
4
. c =
60π
180
=
π
3
.
ER 12. Transforme em graus o ângulo de 1 rad
Solução: Temos que
180◦ π rad
x◦ 1 rad
Segue que x = 180
◦
π
≈ 180
◦
3, 14
≈ 57, 3◦.
ATIVIDADES
A17. Transforme em radianos o ângulo que mede:
(a) 150◦ (b) 210◦ (c) 330◦
A 18. Utilizando o papel de coordenadas polares (a se-
guir), posicione os pontos no plano dadas suas coordena-
das polares: A
(
2,
π
3
)
, B
(
−3, π
2
)
,4C
(
−5, 3π
4
)
, D
(
6, 7
π
3
)
,
E
(
3
2
,−4π
3
)
, F (−2, 315◦), G
(
4,−π
3
)
, H
(
−√2,−π
6
)
,
I (−3, 15◦), J
(
4,
π
6
)
, K
(
5,
7π
4
)
, L
(
−4, 11π
6
)
, M(1, 1),
N(6, 2).
11
45◦135◦
180◦
225◦ 315◦
30◦
60◦120◦
150◦
180◦
210◦
240◦ 300◦
330◦
IGUALDADE ENTRE DOIS PONTOS EM
COORDENADAS POLARES
Representemos, no plano polar, o conjunto de pontos{(
2,
π
6
+ 2kπ
)
; k ∈ Z
}
. Para isto, atribua valores inteiros a
k e veja o que acontece.
Você, provavelmente, encontrará:
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
Observe que um ponto P(r , θ) em coordenadas polares de-
termina um único ponto no plano. Entretanto, a recíproca não
é verdadeira, pois, um ponto P(r , θ) do plano pode ser repre-
sentado por (r , θ+2kπ) ou por (−r , θ+(2k+1)π), onde r ∈ R,
θ em radianos e k ∈ Z.
De forma resumida, temos:
(r , θ) =
(
(−1)k · r , θ + kπ
)
, k ∈ Z. (1)
ATIVIDADES
A19. Verifique quais dos seguintes pares de coordenadas po-
lares representa o ponto P
(
2,
π
3
)
.
A
(
2,
5π
3
)
, B
(
−2, 13π
3
)
, C
(
1,
π
3
)
,
D(
2,
25π
3
)
, E
(
2,
11π
3
)
, F
(
−2, 37π
3
)
.
A20. Dados os pontos P1(3, 5
π
3
), P2(−3, 330◦), P3(−1,−π
3
),
P4(2,−315◦), P5(0, 53◦), P6(0, epi) e P7(1, 3), determine:
(a) a representação gráfica de cada um desses pontos no
plano polar;
(b) três outros conjuntos de coordenadas polares para os
pontos P3 e P4;
(c) as coordenadas retangulares dos pontos P1, P5 e P7;
(d) quais desses pontos coincidem com o ponto P(3, 2310◦);
A21. Determine os valores de x e y sabendo que os pontos
(x − 3, 30◦) e (2, y − 60◦) são iguais.
DETERMINAÇÃO PRINCIPAL DE UM
PONTO
Um ponto (r , θ) em coordenadas polares se encontra em sua
determinação principal se, e somente se,{
r ≥ 0
θ ∈ [0, 2π).
Adota-se a determinação principal do pólo como sendo o par
(0, 0). Observemos que, por definição, o pólo é o único ponto
do plano polar que não possui um conjunto principal.
ATIVIDADES
A 22. Encontre a determinação principal dos pon-
tos: P1
(
−3, 51π
3
)
, P2(−3, 3.320◦), P3
(
−1,−17π
3
)
,
P4(2,−715◦) e P5(4, 530◦).
TRANSFORMAÇÕES ENTRE COORDE-
NADAS POLARES E RETANGULARES
Façamos coincidir as origens e os eixos Ox e polar dos siste-
mas de coordenadas cartesiano e polar, respectivamente. Seja
P um ponto tal que, (x , y) são as suas coordenadas cartesi-
anas e (r , θ) as suas coordenadas polares. De acordo com a
figura abaixo temos
X
Y
r
x
y
O
P(r , θ)
θ
Logo, {
x = r · cos(θ),
y = r · sen(θ).
Como x2 + y2 = r2, temos que
r = ±
√
x2 + y2, cos(θ) = ± x√
x2 + y2
,
θ = atan
( y
x
)
, sen(θ) = ± y√
x2 + y2
.
12
ATIVIDADES
A23. Determine as coordenadas cartesianas do ponto P cujas
coordenadas polares são:
(a)
(
2, atan
(
1
2
))
; (b)
(
4,
2π
3
)
.
A24. Quais as coordenadas polares do ponto P(3,−√3) do
sistema de coordenadas cartesianas?
A 25. Determinar a equação polar do lugar geométrico cuja
equação retangular é:
(a) y = 1− 2x ;
(b) x2 − y − 8x + 1 = 0;
(c) x2 + y2 − 4x − 2y + 1 = 0.
A 26. Determinar a equação retangular do lugar geométrico
cuja equação polar é:
(a) 2 = r cos(θ);
(b) r(1 + cos(θ)) = 2;
(c) r = 5.
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS EM
COORDENADAS POLARES
Sejam P1(r1, θ1) e P2(r2, θ2) dois pontos do plano expresso em
coordenadas polares.
r1
r2
O
P1(r1, θ1)
P2(r2, θ2)
θ1
θ2
θ1 − θ2
δ
Observe, na figura, que a distância entre eles é consequên-
cia imediata da lei dos cossenos. De fato, no triângulo
△OP1P2, temos que
δ2 = r21 + r
2
2 − 2r1r2 cos(θ1 − θ2)
⇔
d(P1,P2) =
√
r21 + r
2
2 − 2r1r2 cos(θ1 − θ2).
EXERCÍCIO PROPOSTO
A 27. Classifique, quanto aos lados, o triângulo de vértices
P1
(
3,
π
6
)
, P2
(
7,
π
3
)
e P3
(
3,
π
2
)
.
EQUAÇÃO POLAR
Uma equação polar é qualquer equação do tipo
f (r , θ) = 0. (2)
A relação dada em (2) representa um lugar geométrico. Vere-
mos, por exemplo, que C : r = 3 é a equação que descreve
uma circunferência de centro no pólo e raio 3 u. Observe que
o ponto P
(
−3, π
2
)
∈ C , pois,
(
3,
π
2
)
satisfaz a equação de
C . Assim, vemos que é possível termos um ponto que per-
tença ao lugar geométrico definido por f (r , θ) = 0 sem que
esta igualdade seja verificada. Além disso, equações polares
distintas podem representar o mesmo lugar geométrico como,
por exemplo, r = 3 e r = −3.
6 Definição. Duas equações polares f (r , θ) = 0 e g(r , θ) = 0
são equivalentes se representam o mesmo lugar geométrico.
Temos ainda que equações equivalentes se classificam em
triviais e não triviais, respectivamente, equações equivalentes
que possuem ou não o mesmo conjunto solução.
Por exemplo, as equa-
ções C1 : r = 3 e
C2 : 2r = 6 repre-
sentam uma circunferên-
cia de centro no pólo e
raio 3 e apresentam o
mesmo conjunto solução
(S = {(3, θ), θ ∈ R}),
portanto, são equações
equivalentes triviais.
O
P
3
Já as equações polares C1 : r = 3 e C2 : r = −3 re-
presentam também uma circunferência de centro no pólo e
raio 3, porém, não apresentam o mesmo conjunto solução
(S1 = {(3, θ), θ ∈ R} e S2 = {(−3, θ), θ ∈ R}), portanto,
são equações equivalentes não triviais.
CONJUNTO ABRANGENTE
7 Definição. Abrangente é o conjunto de todas as equações
equivalentes a de uma curva C : f (r , θ) = 0.
8 Teorema. Seja C uma curva definida pela equação
f (r , θ) = 0. Então as equações polares da forma f [(−1)k ·
r , θ + kπ] = 0, k ∈ Z, são equivalentes à equação f (r , θ) = 0.
A prova deste teorema é direta e é deixada para o leitor.
Desta forma, se C uma curva definida pela equação
f (r , θ) = 0, o conjunto abrangente da curva C associada
à equação f (r , θ) = 0 ou o conjunto abrangente da curva
C : f (r , θ) = 0, é dado por
E(C) = {f [(−1)k · r , θ + kπ)] = 0; k ∈ Z}. (3)
Uma equação polar é chamada de abran-
gente se o seu conjunto abrangente é unitário.
Nota 1. Se um ponto, diferente do pólo, pertence a uma
curva C , então todo par de coordenadas polares de P
satisfaz a pelo menos uma equação do conjunto abran-
gente da curva C . Em outras palavras, E(C) é abran-
gente se qualquer um dos pontos de C , distinto do pólo,
satisfaz a uma das equações de E(C).
13
Nota 2. O pólo pertence a uma curva C , definida pela
equação f (r , θ) = 0 se, e somente se, a equação em
θ, f (0, θ) = 0, possuir conjunto solução nos reais não
vazio.
ER 13. Determine um conjunto abrangente para as seguintes
curvas: C1 : r = 2 e C2 : r · cos(θ) = 2.
Solução: (a) f (r , θ) = r − 2 = 0. Portanto, f [(−1)k ·
r , θ + kπ) = (−1)k · r − 2 = 0.
Se k é par, ou seja, k = 2n, n ∈ Z, temos que (−1)2n ·
r − 2 = 0. Assim, r = 2.
Para k ímpar (k = 2n + 1, n ∈ Z) temos que (−1)2n+1 ·
r − 2 = 0. Assim, r = −2. Logo,
E(C1) = {r = −2, r = 2}.
(b) f (r , θ) = r · cos(θ)− 2 = 0. Portanto, f [(−1)k · r , θ+
kπ) = (−1)k · r · cos(θ + kπ) − 2 = 0.
Observemos a tabela:
k = 2n k = 2n + 1
(−1)k · r r −r
cos(θ + kπ) cos(θ) − cos(θ)
Segue que, E(C2) = {r cos(θ) = 2}.
ATIVIDADES
A 28. Mostre que a equação C : r2 = a cos(2θ), a ∈ R∗, é
abrangente.
A29. Verifique, em cada item, se o ponto P pertence à curva
C :
(a) P(4, π) e C : r(1 + 2 cos(θ)) = 4;
(b) P é o pólo e C : r2 = 3− 2 cos(θ);
(c) P é o pólo e C : r = 2− 3 sen(2θ);
(d) P
(
−2, 3π
4
)
e C : r2 + 4 sen(θ) = 0.
EQUAÇÃO POLAR DA RETA
A necessidade de trabalharmos com equações polares de re-
tas, apesar da simplicidade das equações destas na forma car-
tesiana, é evidente quando esta está associada a problemas
com outras curvas na forma polar. Por exemplo, a interseção
de curvas. A obtenção das equações polares das retas será
feita de duas formas distintas. Primeiro, obteremos a equação
polar da reta que não passa pelo pólo e, por fim, a que passa
pelo pólo.
EQUAÇÃO POLAR DA RETA QUE NÃO
PASSA PELO PÓLO
Consideremos inicialmente uma reta ℓ que não passa pela pólo
e tomemos os pontos P(r , θ) qualquer e N(ρ,α) de modo que
o triângulo ONP seja retângulo em N.
r ρ
O
P(r , θ)
N(ρ,α)
θ α
θ − α
Portanto,
cos(θ − α) = ρ
r
Rightarrowρ = r cos(θ − α). (4)
Aplicando-se, na equação (4), o cosseno da diferença pode-
mos obter a equação geral da reta em coordenadas retangula-
res
x cos(α) + y sen(α) − ρ = 0. (5)
EQUAÇÃO POLAR DA RETA QUE PASSA
PELO PÓLO
A reta que passa pelo pólo é
o lugar geométrico dos pontos
P(r , θ) cujo ângulo vetorial θ
será constante, ou seja, θ = α,
ou ainda, θ = α+ 2kπ, k ∈ Z. O
α
CASO PARTICULARES DE RETAS
RETA PARALELA AO EIXO POLAR
Uma reta paralela ao eixo polar possui ângulo vetorial côngruo
a
π
2
+ kπ, k ∈ Z.
OAssim,
ρ = r cos
(
θ − π
2
− kπ
)
= r cos
(
θ − π
2
)
= r sen(θ).
RETA PERPENDICULAR AO EIXO POLAR
Uma reta perpendicular ao eixo
polar possui o ângulo vetorial
côngruoa kπ, k ∈ Z. Portanto,
ρ = r cos (θ − kπ) = r cos(θ). O
Assim, podemos apresentar o seguinte teorema que
abrange as equação polares das retas.
9 Teorema. Seja (ρ,α) o conjunto principal de coordenadas
polares do pé da normal traçada desde o pólo a qualquer reta
no plano polar. A equação polar da reta é dada por ρ = cos(θ−
α). Se a reta passa pelo pólo, então sua representação é dada
apenas pelo ângulo θ, 0 ≤ θ < π. Se a reta é paralela ao eixo
a 90◦ e sua distância ao pólo for ρ unidades teremos r cos(θ) =
±ρ. Se a reta é paralela ao eixo polar e sua distância ao pólo
for ρ unidades teremos r sen(θ) = ±ρ.
14
ATIVIDADES
A30. Transforme as equações das retas, dadas em sua forma
polar, em sua forma retangular.
(a) 1
r
=
1
4
cos(θ) +
√
3
4
sen(θ);
(b) 1
r
=
√
2
2
cos(θ) +
√
2
2
sen(θ).
(c) 2 = r sen(θ)
(d) θ = 2π
3
A 31. Determine a equação polar da reta que passa por
P
(
4,
π
3
)
e é perpendicular ao raio vetor de P.
EQUAÇÃO POLAR DA CIRCUNFE-
RÊNCIA
Como a circunferência é o lugar geométrico dos pontos P(r , θ)
que equidistam de um ponto fixo C , temos: d(C ,P) = a.
Desenvolvendo-se esta igualdade obtemos a equação polar da
circunferência:
r2 − 2cr · cos(θ − α) + c2 − a2 = 0.
Ao desenvolvermos cos(θ − α), obtemos:
r2 − 2c cos(α)r cos(θ)− 2c sen(α)r sen(θ) + c2 − a2 = 0.
ATIVIDADE
A 32. Qual a medida do raio e as coordenadas do centro da
circunferência r2 − 4r cos
(
θ − 5π
6
)
= 5?
SIMETRIAS
Dois pontos P e P′ são simétricos em relação a um conjunto
K se a distância entre K e os pontos P e P′ são iguais. Den-
tre as simetrias existentes, destacamos as simetrias central e
axial, onde os conjuntos K são um ponto e uma reta, respecti-
vamente.
EM RELAÇÃO AO EIXO POLAR
Dado um ponto P(r , θ), o
seu simétrico em relação
ao eixo polar é o ponto
P′(r ′, θ′) se, e somente se,
r
r ′
O A
P(r , θ)
P′(r ′, θ′)
θ
θ′
r ′ · r > 0 e θ′ + θ = 2kπ, k ∈ Z,
ou
r ′ · r < 0 e θ′ + θ = (2k + 1)π, k ∈ Z.
Geralmente, podemos nos limitar a trabalhar com:
(r , θ) é simétrico a (r ,−θ) ou a (−r , π − θ).
EM RELAÇÃO AO EIXO A
pi
2
RAD
Dado um ponto P(r , θ), o
seu simétrico em relação
ao eixo π
2
rad é o ponto
P′(r ′, θ′) se, e somente se,
rr ′
O
P(r , θ)P′(r ′, θ′)
θ
θ′
r ′ · r > 0 e θ′ + θ = (2k + 1)π, k ∈ Z,
ou
r ′ · r < 0 e θ′ + θ = 2kπ, k ∈ Z.
Geralmente, podemos nos limitar a trabalhar com:
(r , θ) é simétrico a (−r ,−θ)ou a (r , π − θ).
EM RELAÇÃO AO PÓLO
Dado um ponto P(r , θ), o
seu simétrico em relação ao
polo é o ponto P′(r ′, θ′) se,
e somente se,
r
r ′
O
P(r , θ)
P′(r ′, θ′)
θ
θ′
r ′ · r > 0 e θ′ − θ = (2k + 1)π, k ∈ Z,
ou
r ′ · r < 0 e θ′ − θ = 2kπ, k ∈ Z.
Geralmente, podemos nos limitar a trabalhar com:
(r , θ) é simétrico a (r , π + θ) ou a (−r , θ).
ER 14. Determine as coordenadas polares dos pontos P′
simétricos de P
(
2,
π
3
)
em relação ao eixo polar, ao eixo a
90◦ pólo e ao pólo, respectivamente.
Solução: Simetria em relação:
(a) ao eixo polar (θ→ −θ): P′
(
2,−π
3
)
;
(b) ao eixo a 90◦ (r → −r e θ → −θ): P′
(
−2,−π
3
)
;
(c) ao pólo (r → −r ): P′
(
−2, π
3
)
.
15
CURVAS SIMÉTRICAS EM RELAÇÃO A
UM EIXO OU A UM PONTO
10 Definição. Uma curva C ′ é simétrica de outra C em rela-
ção ao eixo a (ou em relação ao ponto O), se para todo ponto
P ∈ C , existe um ponto P′ ∈ C ′ simétrico em relação ao eixo
a (ou em relação ao ponto O). Claramente, C é simétrica de
C ′.
A partir desta definição podemos estabelecer a equação po-
lar de uma curva C ′ simétrica C em relação a um eixo a (ou
em relação ao ponto O).
Sejam P(r , θ) um ponto da curva C de equação polar
f (r , θ) = 0 e P′(r ′, θ′) o ponto de C ′ simétrico de P em re-
lação ao eixo a (ou em relação ao ponto O). Podemos então
estabelecer as relações de transformações entre coordenadas
de P e P′. {
r = g(r ′)
θ = h(θ′)
Utilizando-se estas igualdades obtemos: f (g(r ′), h(θ′)) =
0, que é uma equação polar que relaciona as coordenadas de
P′. Logo, é uma equação da curva C ′.
ER 15. Determine a equação da curva simétrica de C : r =
3 sen(2θ), em relação:
(a) ao eixo polar; (b) ao eixo à 90◦; (c) ao pólo.
Solução: Façamos:
(a) r = r ′ e θ = −θ′. Logo, C ′ : r ′ = 3 sen(2(−θ′)) ⇔
C ′ : r ′ = −3 sen(2θ′).
(b) r = −r ′ e θ = −θ′. Logo, C ′ : −r ′ =
3 sen(2(−θ′)) ⇔ C ′ : −r ′ = −3 sen(2θ′) ⇔ C ′ : r ′ =
3 sen(2θ′).
(c) r = −r ′ e θ = θ′. Logo, C ′ : −r ′ = 3 sen(2θ′) ⇔
C ′ : r ′ = −3 sen(2θ′).
Quando a curva C ′, simétrica de C em relação ao eixo a
(ou ao ponto O), coincide com ela própria (a curva simétrica
de C é C ), dizemos que a curva C é simétrica em relação a
a (ou em relação a O).
No item anterior, podemos concluir que C é simétrica
em relação ao eixo à 90◦. No entanto, mesmo sendo as
equações dos ítens (a) e (c) diferentes da equação de C ,
temos que averiguar se estas equações são equivalentes à
equação de C . Para isso, vamos determinar um conjunto
abrangente de C .
k = 2n k = 2n + 1
(−1)k · r r −r
sen(2(θ + kπ)) sen(2θ) − sen(2θ)
Logo,
E(C) = {r = 3 sen(2θ), r = −3 sen(2θ)}.
Podemos, portanto, concluir que a curva C é, também,
simétrica em relação ao eixo polar e ao pólo.
TRAÇADO DE CURVAS EM COORDENA-
DAS POLARES
O processo de construção de curvas em coordenadas polares
consiste das seguintes etapas:
1. Determinar as interseções com o eixo polar e o eixo a 90◦;
— eixo polar: fazemos θ = nπ, n ∈ Z;
— eixo a 90◦: fazemos θ = nπ
2
, n ∈ Z e ímpar;
— pólo: fazemos r = 0 na equação da curva para
obter θ.
2. Determinar a simetria do lugar geométrico
— Uma curva é simétrica em relação ao eixo polar
se obtemos uma equação equivalente à curva dada, por
pelo menos uma das seguintes substituições:
⋄ θ por −θ ou, ainda, −θ por π − θ e r por −r ;
— Uma curva é simétrica em relação ao a 90◦ se
obtemos uma equação equivalente à curva dada, por pelo
menos uma das seguintes substituições:
⋄ θ por π − θ ou, ainda, θ por −θ e r por −r ;
— Uma curva é simétrica em relação ao pólo se ob-
temos uma equação equivalente à curva dada, por pelo
menos uma das seguintes substituições:
⋄ θ por π + θ ou, ainda, r por −r .
3. A extensão do lugar geométrico: estudamos aqui o inter-
valo de variação de r na equação dada.
4. O cálculo das coordenadas de um número suficiente de
pontos a fim de se obter um gráfico adequado.
5. O desenho do lugar geométrico.
6. Transformar a equação dada em sua forma polar em sua
forma retangular.
ER 16. Traçar o gráfico da curva C : r = 1 + 2 cos(θ).
Solução:
1. Interseções com o eixo polar e o eixo a 90◦;
eixo polar: fazemos θ = nπ, n ∈ Z : r = 1 +
2 cos(nπ)
n θ = nπ r (r , θ)
0 0 1 + 2 cos(0) = 3 (3, 0)
1 π 1 + 2 cos(π) = −1 (−1, π)
2 2π 1 + 2 cos(2π) = 3 (3, 2π)
16
eixo a 90◦: fazemos θ = nπ
2
, n ∈ Z e ímpar;
n θ = n
π
2
r (r , θ)
1
π
2
1 = 1
(
1,
π
2
)
3 3π
2
1 = 1
(
1, 3
π
2
)
5 5π
2
1 = 1
(
1, 5
π
2
)
Perceba que o processo de substituição é finito, uma
vez que os pares (1, 0) e (3, 2π) (no primeiro caso)
representam, no sistema de coordenadas polares, o
mesmo ponto, e os pares
(
1,
π
2
)
e
(
1, 3
π
2
)
(no se-
gundo) representam o mesmo ponto.
pólo: fazemos r = 0 na equação da curva para
obter θ.
0 = 1 + 2 cos(θ) ⇔ cos(θ) = −1
2
⇔ θ = 2π
3
.
2. Determinar a simetria do lugar geométrico
simetria em relação ao eixo polar:
substituamos θ por −θ:
r = 1 + 2 cos(−θ) ⇔ r = 1 + 2 cos(θ).
Como a equação obtida é equivalente a da curva C , a
curva é simétrica em relação ao eixo polar.
simetria em relação ao eixo a noventa:
substituamos θ por −θ e r por −r ;
−r = 1 + 2 cos(−θ) ⇔ r = −1− 2 cos(θ).
Como a equação obtida não é equivalentea da curva
C , não existe simetria em relação ao eixo a noventa.
simetria em relação ao pólo:
substituamos r por −r ;
−r = 1 + 2 cos(θ)⇔ r = −1− 2 cos(θ).
Novamente a equação obtida não é equivalente a da
curva C . Portanto, não existe simetria em relação ao
pólo.
3. A extensão do lugar geométrico:
−1 ≤ cos(θ) ≤ 1 ⇔
−2 ≤ 2 cos(θ) ≤ 2 ⇔
−1 ≤ 1 + 2 cos(θ) ≤ 3 ⇔
−1 ≤ r ≤ 3
Logo, a curva C possui extensão limitada.
4. O cálculo das coordenadas de
um número suficiente de pon-
tos a fim de se obter um grá-
fico adequado.
5. Marcação dos pontos no sistema de coordenadas pola-
res.
θ r
π
6
1 + 2
√
3
2
= 1 +
√
3
π
4
1 + 2
√
2
2
= 1 +
√
2
π
3
1 + 2
1
2
= 2
π − π
6
=
5π
6
1− 2
√
3
2
= 1−√3
π − π
4
=
3π
4
1− 2
√
2
2
= 1−√2
π − π
3
=
2π
3
1− 21
2
= 0
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
6. Transformar a equação dada em sua forma polar em
sua forma retangular.
r = 1 + 2 cos(θ) ⇔
r2 = r + 2r cos(θ) ⇔
r2 − 2r cos(θ) = r ⇔
(r2 − 2r cos(θ))2 = r2 ⇔
(x2 + y2 − 2x)2 = x2 + y2
ATIVIDADES
A33. Traçar o gráfico da curva C : r = 2(1− cos θ).
A34. Traçar o gráfico da curva C : r = 1− 2 sen θ.
A35. Traçar o gráfico da curva C : r = 2 cos(2θ).
CURVAS NOTÁVEIS EM COORDENADAS
POLARES
Podemos facilmente traçar e identificar, em coordenadas pola-
res o gráfico das Limaçons, das Rosáceas, das Lemniscatas e
17
das Espirais de Arquimedes, as quais chamaremos de curvas
notáveis. Este tratamento é feito pelo reconhecimento de uma
equação polar característica ou pelo gráfico da curva no plano
polar.
LIMAÇONS
São três os tipos de Limaçons: as Cardióides, as Limaçons
sem laço e as com laço. Suas equações polares, com a ∈ R∗
e b ∈ R∗+, duas constantes reais não nulas, se restringem a:
r = a± b · cos(θ),(6) r = a ± b · sen(θ) (7)
Observe que em (6) existe simetria em relação ao eixo polar,
enquanto que em (7) a simetria se dá em relação ao eixo a 90◦.
CARDIÓIDE (|a| = b)
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
LIMAÇON SEM LAÇO (|a| > b)
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
LIMAÇON COM LAÇO (|a| < b)
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
Para traçarmos rapidamente o gráfico de uma Limaçon é
suficiente determinarmos as intersecções com os eixos polar
e a 90◦ e com o pólo, caso exista, e identificarmos a curva
mediante a seguinte classificação.
ROSÁCEAS
A equação polar das rosáceas é
r = a · cos(nθ) (8) r = a · sen(nθ), (9)
com a ∈ R \ {0}, n ∈ Z \ {0,±1}.
A quantidade de pétalas é obtida do seguinte fato:
– se n é par, o número de pétalas da rosácea é dado por:
2 · n;
– se n é ímpar, o número de pétalas da rosácea é dado por:
n.
O ângulo entre dois eixos de simetria consecutivos é dado
por 2π
p
, onde p é o número de pétalas.
18
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
Para o traçado rápido de uma rosácea é suficiente determi-
narmos a extensão do lugar geométrico (a), a quantidade de
pétalas e o espaçamento entre elas e a primeira pétala que
será construída sobre o eixo de simetria θ = 0 ou θ = π
2n
caso as equações sejam, respectivamente, r = a cos(nθ) ou
r = a sen(nθ).
LEMNISCATAS
São curvas cuja equação é do tipo r2 = a cos(2θ) ou r2 =
a sen(2θ), com a ∈ R \ {0}. Devemos observar que se a é
positivo, tanto cos(2θ) quanto sen(2θ) são positivos, e se a é
negativo, tanto cos(2θ) quanto sen(2θ) são negativos, visto que
r2 > 0.
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
Para o traçado rápido da Lemniscata é suficiente determi-
narmos a sua extensão (
√|a|) e encontrarmos os valores de
θ para os quais r =
√|a|.
ESPIRAL DE ARQUIMEDES
11 Definição. São curvas cuja equação é do tipo
r = aθ, a ∈ R∗. (10)
Para o traçado rápido da Espiral de Arquimedes, verifique-
mos que a curva de equação (10):
1. passa pelo pólo. De fato, para r = 0, em (10), temos
θ = 0.
2. é simetria em relação ao eixo à 90◦. O conjunto de pontos
simétricos a (r , θ) satisfaz a mesma equação. De fato,
−r = a · (−θ) equivale a r = a · θ. De forma análoga,
verifica-se que não existe simetria tanto em relação ao
eixo polar quanto em relação ao pólo.
3. possui extensão ilimitada, pois, não existe um círculo tal
que todos os pontos da Espiral sejam pontos interiores.
GRÁFICO DA ESPIRAL DE ARQUIMEDES
Para o traçado rápido da Espiral de Arquimedes é suficiente
atribuir valores a θ e encontrar o valor de r , marcando-se estes
pontos. Por exemplo, considere a Espiral de Arquimedes de
equação r = 1
2
· θ. Atribuindo-se alguns valores a θ, encontra-
mos os respectivos valores de r (veja a tabela).
θ
r
Graus rad
0 0 0
30 pi
6
0, 261799388
45 pi
4
0, 392699082
60 pi
3
0, 523598776
90 pi
2
0, 785398163
120 2pi
3
1, 047197551
135 3pi
4
1, 178097245
150 5pi
6
1, 308996939
180 π 1, 570796327
210 7pi
6
1, 832595715
225 5pi
4
1, 963495408
240 4pi
3
2, 094395102
270 3pi
2
2, 356194490
300 5pi
3
2, 617993878
315 7pi
4
2, 748893572
330 11pi
6
2, 879793266
360 2π 3, 141592654
390 13pi
6
3, 403392041
405 9pi
4
3, 534291735
420 7pi
3
3, 665191429
450 5pi
2
3, 926990817
45◦
90◦135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
19
θ
r
Graus rad
0 0 0
−30 −pi
6
−0, 2617994
−45 −pi
4
−0, 3926991
−60 −pi
3
−0, 5235988
−90 −pi
2
−0, 7853982
−120 − 2pi
3
−1, 0471976
−135 − 3pi
4
−1, 1780972
−150 − 5pi
6
−1, 3089969
−180 −π −1, 5707963
−210 − 7pi
6
−1, 8325957
−225 − 5pi
4
−1, 9634954
−240 − 4pi
3
−2, 0943951
−270 − 3pi
2
−2, 3561945
−300 − 5pi
3
−2, 6179939
−315 − 7pi
4
−2, 7488936
−330 − 11pi
6
−2, 8797933
−360 −2π −3, 1415927
−390 − 13pi
6
−3, 4033920
−405 − 9pi
4
−3, 5342917
−420 − 7pi
3
−3, 6651914
−450 − 5pi
2
−3, 9269908
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
Nota 3.
Observe que
ao atribuirmos
valores a θ não
negativos, a
espiral girou no
sentido anti-
horário. No
caso contrário,
o giro se deu no
sentido horário.
Portanto, po-
demos concluir
que o gráfico de
uma Espiral de
Arquimedes é:
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
ATIVIDADES
A36. Determine a equação da curva cujos gráficos se encon-
tram a seguir:
(a)
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
(b)
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
(c)
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
(d)
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
(e)
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
(f)
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
A37. Considere as curvas C1 : r = 3[1 − 2 cos(θ)], C2 : r2 =
−4 sen(2θ) e C3 : r = 4 cos(3θ). Marque V se verdadeiro ou F
se falso para as afirmativas a seguir:
(a) ( ) A curva C3 e é simétrica em relação ao eixo polar;
(b) ( ) A curva C2 é uma Lemniscata de extensão máxima
igual a 4;
(c) ( ) A curva C1 é uma Limaçon com laço;
(d) ( ) A curva C1 contém o pólo;
(e) ( ) A curva C3 é uma rosácea de 3 pétalas e é simétrica
em relação ao pólo.
A38. Esboce o gráfico das curvas dadas a seguir:
(a) r = sen(4θ) (b) r = cos(5θ) (c) r = cos(4θ)
(d) r = sen(5θ) (e) r2 = − cos(2θ) (f) r2 = sen(2θ)
INTERSEÇÃO DE CURVAS EM COORDE-
NADAS POLARES
Muitos problemas em Matemática que apresentam uma solu-
ção recaem em um sistema de n equações com n incógnitas.
Esta solução geometricamente significa o ponto de interseção
das n curvas que cada equação do sistema representa.
Em coordenadas cartesianas, a solução de um sistema é fa-
cilmente encontrado, principalmente quando as equações que
o constituíam eram relativamente simples. Em coordenadas
polares, devemos ter um pouco mais de cuidado! Um ponto do
plano possui um número infinito de pares que o localiza. Sendo
assim, pode acontecer que um ponto de interseção entre duas
curvas, satisfaça uma equação com um par de coordenadas e
a uma outra com um outro par de coordenadas. Conseqüente-
mente, nenhum desses pares será uma solução para o sistema
20
formado pelas equações das curvas envolvidas, ou seja, as co-
ordenadas do ponto de interseção das curvas devem satisfazer
a todas as equações do sistema.
Este problema é facilmente contornado se utilizarmos as
equações dos conjuntos abrangentes das curvas para formar
todos os outros possíveis sistemas através de uma combina-
ção destas equações. As soluções encontradas constituem
as coordenadas polares de todos os pontos de interseção das
curvas, exceto, possivelmente, o pólo. Devemos ainda verificar
se cada uma dessas curvas passa pelo pólo, determinando-se,
por fim, o conjunto de pontos de interseção.
O fato de conhecermos as curvas e suas propriedades po-
derá nos fornecer dados que, na maioria das vezes, reduzem
a necessidade da resolução de todos os sistemas que podem
ser formados com as equações dos conjuntos abrangentes das
curvas envolvidas.
Nota 4 (Resumindo). Dada as curvas C1 : f (r , θ) = 0 e
C2 : g(r , θ) = 0 podemos obter os pontos de interseção
se
1. determinamos o conjunto abrangente de uma das
curvas;
2. resolvemos todos os sistemas formados por uma das
equações fixadas e cada uma das equações do con-
junto abrangente;
3. verificamos se o pólo está na interseção.
Vejamos os exemplos a seguir.
ER 17. Determine o conjunto dos pontos de interseção das
curvas dadas a seguir:
(a) C1 : r = 4 cos(2θ) e C2 : r = 2;
(b) C3 : 4− 6 sen(2θ) e C4 : θ = −π
6
.
Solução: (a) Consideremos os conjuntos E(C1) = {r =
4 cos(2θ), r = −4 cos(2θ)} e E(C2) = {r = 2, r = −2},
abrangentes de C1 e de C2, respectivamente. Os possíveis
sistemas de equações e suas soluções são:
S1 :
{
r = 4 cos(2θ)
r = 2
Por substituição,
4 cos(2θ) = 2,
ou seja,
cos(2θ) =
1
2
.
Segue que, 2θ = π
3
ou 2θ = −π
3
, ou seja, θ = π
6
ou θ =
−π
6
. Logo, temos os pontos P1
(
2,
π
6
)
e P2
(
2,−π
6
)
.
S2 :
{
r = 4 cos(2θ)
r = −2
S3 :
{
r = −4 cos(2θ)
r = 2
S4 :
{
r = −4 cos(2θ)
r = −2
De modo análogo, obtemos as soluções P3
(
−2, π
3
)
e
P4
(
−2, 2π
3
)
, P5
(
2,
π
3
)
e P6
(
2,
2π
3
)
e P7
(
−2, π
6
)
e
P8
(
−2, π
6
)
dos sistemas S2, S3 e S4, respectivamente.
O pólo não pertence ao conjunto solução do sistema S ,
visto que a curva C : r = 2, não passa pelo pólo. Assim, o
conjunto solução do sistema I é
I = {P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8} .
Nota 5. Poderíamos obter o conjunto solução I
resolvendo-se apenas um dos sistemas acima e
utilizando-se o nosso conhecimentos sobre as curvas en-
volvidas. De fato, a curva C1 é uma Rosácea de quatro
pétalas, cujo espaçamento entre as pétalas é dado por π
2
e com uma das extremidades no ponto Q1(4, 0). A curva
C2 é um círculo de centro no polo e raio 2.
Se, por exemplo, considerássemos os pontos obtidos no
sistema S1, os outros pontos seriam facilmente determina-
dos utilizando-se as simetrias da Rosácea e do Círculo.
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
(b) Consideremos os conjuntos abrangentes
E(C3) = {r = 4− 6 sen(θ), r = −4− 6 sen(θ)} e
E(C4) =
{−(1 + 6n)π
6
; n ∈ Z
}
,
respectivamente.
Aqui precisaremos de um pouco mais de cuidado, pois,
E(C4) é um conjunto com infinitos elementos.
O procedimento usual é o de formar sistemas pela
combinação de apenas uma equação do conjunto abran-
gente com infinitos elementos, com as equações do conjunto
abrangente com finitos elementos, esboçando-se, também,
as curvas envolvidas.
21
Temos, então, os seguintes sistemas:
S1 :
{
r = 4− 6 sen(θ)
r = −π
6
S2 :
{
r = −4− 6 sen(θ)
r = −π
6
Por substituição em S1, 4− 6 sen
(
−π
6
)
= 7.
Logo, temos P1
(
7,−π
6
)
.
De modo análogo, resolvemos o sistema S2: −4 −
6 sen
(
−π
6
)
= −1. Daí, P2
(
−1,−π
6
)
.
Para r = 0, verificamos que as equações em C3 e C4
estão satisfeitas.
O conjunto de pontos de interseção é, portanto, I ={
P1
(
7,−π6
)
,P2
(
−1,−π
6
)}
ER 18. Determine as interseções entre as curvas C1 : r = 3
e C2 : r = 6 cos(2θ).
Solução: Fixemos a equação C2 e determinemos o
conjunto abrangente para C1:
E(C1) = {(−1)k · r = 3; k ∈ Z} = {−3, 3}.
Resolvendo os sistemas:{
r = 3
r = 6 cos(2θ)
e
{
r = −3
r = 6 cos(2θ)
por substituição, obtém-se as equações cos(2θ) = 1
2
e
cos(2θ) = −1
2
. Sendo assim, 2θ = ±π
3
+ 2kπ e 2θ =
±2π
3
+ 2kπ, com k ∈ Z. Portanto, θ = ±π
6
+ 2kπ e
θ = ±π
3
+ 2kπ, com k ∈ Z.
Vamos atribuir a n alguns valores inteiros para determi-
nar os pontos de interseção.
Para n = 0 achamos os pontos P1
(
3,
π
6
)
, P2
(
3,−π
6
)
,
P3
(
−3, π
3
)
e P4
(
−3,−π
3
)
.
Para n = 1 achamos os pontos P5
(
3,
7π
6
)
,
P6
(
3,−5π
3
)
, P7
(
−3, 4π
3
)
e P8
(
−3, 2π
3
)
.
Para outros valores de n os pontos que serão obtidos se
igualam a um dos Pi , i ∈ {1, 2, . . . , 8}.
ATIVIDADE
A39. Determine as interseções das curvas C1 e C2, analitica-
mente:
(a)
{
C1 : r = 2(1 + cos(θ))
C2 : θ =
π
4
(b)
{
C1 : r = 6 sen(2θ)
C2 : r = −3
(c)
{
C1 : r = 2(1− cos(θ))
C2 : r
2 = 16 cos(2θ)
(d)
{
C1 : r = 4− 2 sen(θ)
C2 : r = −2 + 2 sen(θ)
GABARITO
17 (a) 5pi
6
; (b) 7pi
6
; (c) 5pi
3
.
18
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
A
B
C
D
EF
G
H
I
J
K
L
M
N
.
19 . 20 (b) P3(1, 120◦), P3(1, 480◦), P3(−1, 300◦), P4(
√
2, 45◦),
P4(−
√
2,−135◦), P4(−
√
2, 225◦) (c) P1
(
3
2
,−3
√
3
2
)
; P5(0, 0);
P7(cos 3θ, sen 3θ); (d) P2 . 21 . 22 . 23 . 24 . 25 . 26 . 27 . 28 . 29 . 30 . 31
. 32 . 33 . 34 . 35 . 36 . 37 . 38 . 39
(a) S = {(0, 0), (2 + √2,pi/4), (2 − √2, 5pi/4)}
(b) S = {(3,pi/12), (3, 5pi/12), (3, 13pi/12), (3, 17pi/12)} ∪
{(−3, 7pi/12), (−3, 11pi/12), (−3, 19pi/12), (3, 23pi/12)}
(c) S = {(0, 0), (4, pi), (4/7, acos(5/7)(I Q)), (4/7,− acos(5/7)(IV Q))}
(d) S = {(−3,−11pi/6), (−3, 7pi/6)}.
22
AULA 04
INTEGRAIS DUPLAS EM COORDE-
NADAS POLARES
Se tivéssemos que cal-
cular o volume do sólido
que está sob o parabo-
lóide z = x2+y2, acima
do plano xy e dentro do
cilindro x2 + y2 = 2x , o
determinaríamos por:
V (S) =
x
D
(x2+y2) dA,
em que
D = {(x , y); (x−1)2+y2 = 1}.
x
y
z
Esta é uma região do Tipo I e, então,
= V (S)
=
∫ 1
0
∫ √1−(x−1)2
−
√
1−(x−1)2
(x2 + y2) dy dx
=
∫ 1
0
2x2
√
1− (x − 1)2 + 2
3
(
√
1− (x − 1)2)3 dx
O cálculo desta integral é muito trabalhoso e uma pergunta
natural é: existe uma forma mais simples de obtê-la? A res-
posta é: pode existir um modo mais fácil, porém, se existir um
modo, este pode ser quando mudamos o sistema de coordena-
das uma vez que o valor da integral iterada não é modificada.
Por exemplo, considere as regiões circulares:
D1 = {(x , y) ∈ R2; x2 + y2 ≤ 1}
D2 = {(x , y) ∈ R2; 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, 0 ≤ y}
Se fizermos
x = r cos(θ)
y = r sen(θ)
,
então as regiões D1 e
D2 passam a ser, res-
pectivamente,
x
y
θ
R1 = {(r , θ); 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π}
R2 = {(r , θ); 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π}
A região D passa a ser R = {(r , θ) : −π
2
≤ θ ≤ π
2
, 0 ≤ r ≤
2 cos(θ)}, pois, substituindo-se x = r cos(θ) e y = r sen(θ) na
equação x2 + y2 = 2x , temos que r = 2 cos(θ).
Será, então, que
V (S) =
∫ pi
2
−pi
2
∫ 2 cos(θ)
0
r2 dθ dr?
Antes de responder, note o que ocorre com f (x , y) = 1 de-
finida em Da disco de centro na origem e raio fixado a.
A integral dupla de f em Da é
x
Da
1 dx dy = πa2,
pois é a área da região Da.
Em coordenadas polares, temos:
x
R
1 dr dθ =
∫ a
0
∫ 2pi
0
1 dr dθ = 2πa.
Para se calcular a integral dupla de f (x , y) em coordenadas
polares devemos, além de descrever a região e escrever a fun-
ção f (x , y) em coordenadas polares, multiplicar f por um fator
de correção.
O que vale em coordenadas polares é a fórmula
x
D
f (x , y) dx dy =
x
R
f (r cos(θ), r sen(θ))r dr dθ.
A fórmula acima pode ser provada diretamente da definição
de integral (soma de Riemann) e o fator r aparece quando se
escreve A(Ri ) em função de r e θ.
Retornando ao cálculo do volume da região descrita no início
do texto usando a fórmula em coordenadas polares, temos:
V (S) =
∫ pi
2
−pi
2
∫ 2 cos(θ)
0
r2r dr dθ = 4
∫ pi
2
−pi
2
cos4(θ) dθ
= 8
∫ pi/2
0
(
1 + cos(2θ)
2
)2
dθ
=
[
2
3θ
2
+ sen(2θ) +
sen(4θ)
8
]pi
2
0 =
3π
2
ER 19. Calcule
x
D
(3x + 4y2) dA, em que
D = {(x , y); 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, 0 ≤ y}.
Solução:
x
D
(3x + 4y2) dA =
∫ pi
0
∫ 2
1
(3r cos(θ) + r2 sen2(θ))r dr dθ
=
∫ pi
0
[
r3 cos(θ) + r4 sen2(θ)
]2
1
dθ =
15π
2
ATIVIDADES
A40. Calcule
x
R
5xydA, em que R é a região delimitada pelas
curvas de equações x2 + y2 = 6x e x2 + y2 = 18, situada no
primeiro quadrante.
Para ver a solução clique aqui.
23
A41. Escreva a integral que determina a área da região deli-
mitada pelas curvas x2 + y2 = 9, r = 3[1+
√
2 cos(θ)], abaixo
da reta y = x e situada no primeiro quadrante. Em seguida,
determine seu valor.
Para ver a solução clique aqui.
A42. Use integral dupla para calcular a área interior à lemnis-
cata r2 = 2a2 cos(2θ) e exterior à circunferência de raio a.
A 43. Faz-se um buraco cilíndrico de raio b passando pelo
centro de uma esfera de raio a.
(a) Calcule o volume do buraco. Observe que esta fórmula
dá o volume da esfera quando a = b.
(b) Calcule o volume do sólido em forma de anel que restou.
Expresse esse volume em termos da altura h do anel. Ob-
serve que esse volume depende apenas de h e não do
raio a ou do raio b!
A44. Calcule as integrais:
(a)
x
R
x dx dy , onde R é o disco de centro na origem e raio
5.
(b)
x
R
xy dx dy , onde R é a região do primeiro quadrante
limitada pelas circunferências x2+ y2 = 4 e x2+ y2 = 25.
(c)
x
R
1√
x2 + y2
dx dy , onde R é a região interior à car-
dióide r = 1 + sen(θ) e exterior à circunferência r = 1.
(d)
x
D
(x2 + y2) dx dy , onde D é a região limitada pelas es-
pirais r = θ e r = 2θ, com 0 ≤ θ ≤ 2π.
A45. Determine o volume da região interior à esfera x2 + y2 +
z2 = 4a2 e exterior ao cilindro x2 + y2 = 2ax , com a > 0.
24
AULA 05
MASSA
A massa é a magnitude física que permite exprimir a quanti-
dade de matéria contida num corpo. No Sistema Internacional,
a sua unidade é o quilograma (kg) e a palavra deriva do termo
latim massa.
Relativamente à magnitude física, a noção de massa surge
a partir da confluência de duas leis: a Lei da Gravitação Uni-
versal e a Segunda Lei de Newton. De acordo com a gravi-
tação universal, a atração entre dois corpos é proporcional ao
produto de duas constantes (a chamada massa gravitacional),
pelo que a massa gravitacional é uma propriedade da matéria
em virtude da qual dois corpos se atraem.
No caso da Segunda Lei de Newton, a força aplicada sobre
um corpo é diretamente proporcional à aceleração que sofre.
De acordo com a Organização Internacional de Metrologia
Legal, a massa convencional de um corpo é igual à massa de
um padrão de densidade igual a 8000 kg/m3, que equilibra no
ar o respectivo corpo em condições convencionalmente esco-
lhidas (temperatura do ar igual a 20oC e densidade do ar igual
a 0,0012 g/cm3).
Leia mais: Conceito de massa - O que é, definição e signifi-
cado.
A massa total de um sistema de k partículas cuja massa de
cada partícula é mi , i = 1, . . . , k, é a soma m = m1 + m2 +
. . .+mk .
Seja uma lâmina ou placa fina plana cujo formato é uma
região D limitada do plano. Se ρ(x , y) é uma função contínuaem D que representa a densidade superficial de massa, então
a massa total deD é “a soma das massas em cada ponto (x , y)
de D”.
Sendo assim, faz sentido definir a massa de D como
M =
x
D
ρ(x , y) dA
já que ρ(x , y) dA pode ser interpretado como a massa do ele-
mento de área dA.
CENTRO DE MASSA
O centro de massa de um sistema físico consiste nas coor-
denadas de um ponto que são obtidos a partir das coordena-
das das partículas deste sistema, no qual se considera situada
toda a massa concentrada, quando se analisa o movimento do
referido sistema, no interior de um campo de forças homogê-
neo e exterior.
Para se calcular essas coordenadas, quando temos um sis-
tema finito de partículas, efetuamos uma média ponderada das
coordenadas destas, tendo como pesos suas respectivas mas-
sas.
Leia mais: centro de massa
Fazendo, analogia a um sistema finito de partículas temos
que o centro de massa de uma lâmina é o ponto
(x , y) =
(
1
M
x
D
xρ(x , y) dA,
1
M
x
D
yρ(x , y) dA
)
.
Quando a função densidade é constante (ρ(x , y) = k), o
ponto (x , y) é chamado de centróide da lâmina (ou da região
D).
ER 20. A densidade de cada ponto de uma placa semicircular
é proporcional à distância ao centro do círculo. Encontre o
centro de massa da placa.
Solução: Vamos colocar a placa na parte superior do
circulo de raio a. A distância de (x , y) ao centro (origem) é√
x2 + y2. Portanto, a densidade é ρ(x , y) = K
√
x2 + y2,
para alguma constante K .
Calculemos, primeiramente, a massa
M =
x
D
K
√
x2 + y2 dA =
∫ pi
0
∫ a
0
(Kr)r dr dθ =
Kπa2
3
.
Como a região é simétrica com relação ao eixo y , temos que
x = 0 e
y =
1
M
x
D
yρ(x , y) dA
=
3
Kπa3
∫ pi
0
∫ a
0
r sen(θ)(Kr)r dr dθ =
3a
2π
.
Logo, o centro de massa é o ponto
(
0,
3a
2π
)
.
Observação: se a densidade fosse constante, então o
centro de massa seria o ponto (0, (4a)/2π).
MOMENTO DE INÉRCIA
Em mecânica, o momento de inércia, de inércia de massa ou
tensor de inércia expressa o grau de dificuldade em se alterar
o estado de movimento de um corpo em rotação.
Diferentemente da massa inercial (que é um escalar), o mo-
mento de inércia também depende da distribuição da massa
em torno de um eixo de rotação escolhido arbitrariamente.
Quanto maior for o momento de inércia de um corpo, mais difí-
cil será fazê-lo girar ou alterar sua rotação. Contribui mais para
o aumento do valor do momento de inércia a porção de massa
que está afastada do eixo de giro. Um eixo girante fino e com-
prido, com a mesma massa de um disco que gira em relação
ao seu centro, terá um momento de inércia menor que este.
Sua unidade de medida, no SI, é quilograma vezes metro ao
quadrado (kg ·m2).
Por definição, o momento de inércia J de uma partícula de
massa m e que gira em torno de um eixo, a uma distância r
dele é:
J = m · r2.
Se um corpo é constituído de n massas pontuais (partícu-
las), seu momento de inércia total é igual à soma dos momen-
tos de inércia de cada massa:
J =
n∑
i=1
mi r
2
i ,
25
sendo mi a massa de cada partícula e ri sua distância ao eixo
de rotação.
Para uma placa D, podemos calculá-lo integrando para todo
o corpo D o produto da massa m em cada ponto pelo quadrado
da distância r até o eixo de rotação:
J =
∫
D
r2 dm.
Considerando que a placa D possui densidade de massa
ρ(x , y), temos que as definições dos momentos de inércia com
relação aos eixos x e y são, respectivamente:
Ix =
x
D
y2ρ(x , y) dA e Iy =
x
D
x2ρ(x , y) dA.
O momento de inércia polar (ou com relação à origem) é
definido por
I0 = Ix + Iy =
x
D
(y2 + x2)ρ(x , y) dA.
ATIVIDADES
A46. Encontre a massa, o centro de massa e os momentos de
inércia de uma lâmina de formato D e densidade (x , y) para:
(a) D a região do primeiro quadrante limitada pela parábola
y = x2 e a reta y = 1; ρ(x , y) = xy .
(b)D a região interior a circunferência x2+y2 = 1 no primeiro
quadrante; a densidade em cada ponto é proporcional ao
quadrado da sua distância à origem.
A47. Determine a massa e o centro de massa da lâmina que
ocupa a região D e tem densidade ρ, nos seguintes casos:
(a) D = {(x , y);−1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} e ρ(x , y) = x2;
(b) D é o triângulo de vértices (0, 0), (2, 1), (0, 3) e ρ(x , y) =
x + y ;
(c) D é a região do primeiro quadrante limitada pela parábola
x2 = y e a reta y = 1 e ρ(x , y) = xy ;
(d) D é a região limitada pela parábola y2 = x e a reta y =
x − 2 e ρ(x , y) = 3;
(e) D = {(x , y); 0 ≤ y ≤ sen(x), 0 ≤ x ≤ π} e ρ(x , y) = y .
A48. Determine os momentos de inércia Ix , Iy e I0 das lâminas
descritas nos ítens (c) e (d) do exercício anterior.