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Universidade Estadual de Feira de Santana — UEFS
Departamento de Cieˆncias Exatas — DEXA
Disciplina: EXA 702 – GEOMETRIA ANALI´TICA E A´LGEBRA VETORIAL
Professor: Dilcesar Dantas
Exerc´ıcios - PRODUTO ENTRE VETORES.
1. Dados os vetores ~u = (2, 0,−3), ~v = (1, 1, 1), calcule:
a) ~u • ~v
b) (3~u) • (−2~v)
c) (~u+ ~v) • (~u− ~v)
d) o aˆngulo entre ~u e ~v
e) a projec¸a˜o ortogonal de ~u sobre ~v
R.: -1; 6; 10; arccos(
−1√
39
); (
−1
3
,
−1
3
,
−1
3
)
2. Dados A = (−1, 0, 2), B = (−4, 1, 1), e C = (0, 1, 3), determine ~x sabendo que
2~x−−−→AB = ~x+ (−−→BC • −−→AB)−→AC.
3. Determine x de modo que se tenha ~u ⊥ ~v nos casos
a) ~u = (x, 0, 3), ~v = (1, x, 3)
b) ~u = (x, 2, 4), ~v = (x,−2, 3)
c) ~u = (x,−2, 3), ~v = (−1, x, x)
R. : −9, na˜o existe x, todo no real x
4. Determine o vetor ~u, sabendo que
a) ‖~u‖ = 3√3, ~u ⊥ ~v = (2, 3,−1), ~u ⊥ ~w = (2,−4, 6). R. : ±(−3, 3, 3);
b) ~u e ~v = (−4, 2, 6) sa˜o colineares e ~u • (−1, 4, 2) = −12. R. : (2,−1,−3);
c) ‖~u‖2 = 2, o aˆngulo entre ~u e (1,−1, 0) e´ 45o e ~u e´ ortogonal a (1, 1, 0).
R. : (
√
2
2
,−
√
2
2
,±1)
5. Calcule ‖2~u+ 4~v‖ dados ‖~u‖ = 1, ‖~v‖ = 2, e aˆngulo entre ~u e ~v e´ 2
3
pi radianos.
R. : 2
√
13
6. Seja ABC um triaˆngulo equila´tero de lado unita´rio, mostre que
−−→
AB • −−→BC +−−→BC • −→CA+−→CA • −−→AB = −3
2
.
7. Determine os aˆngulos internos do triaˆngulo de ve´rtices A = (2, 1, 3);B = (1, 0,−1);C =
(−1, 2, 1).
R. : arccos( 5
3
√
7
); arccos( 4
3
√
6
); arccos( 2√
42
).
8. Determine m para que o aˆngulo entre ~u = (2, 1,−1) e ~v = (1,−1,m+ 2) seja de pi
3
rad.
1
9. Sejam ~u e ~v vetores tais que ‖~u‖ = √5, ‖~v‖ = 1 e o aˆngulo entre ~u e ~v e´ 45o. Calcule
a) o aˆngulo entre ~u+ ~v e ~u− ~v.
b) o comprimento do vetor 3~u− 2~v.
R. : arccos( 4√
26
),
√
49− 6√10
10. Decomponha ~w = (−1,−3, 2) na soma ~u + ~v, sendo ~u paralelo a (0, 1, 3) e ~v ortogonal a
este u´ltimo. R. : ~u = 110(0, 3, 9), ~v =
1
10(−10,−33, 11)
11. Determine r ∈ R tal que (~u− r~v) seja ortogonal a ~v.
12. Prove que os pontos A = (5, 1, 5), B = (4, 3, 2) e C = (−3,−2, 1) sa˜o ve´rtices de um
triaˆngulo retaˆngulo.
13. Sejam A = (2, 1, 3);B = (m, 3, 5);C = (0, 4, 1) ve´tices de um triaˆngulo retaˆngulo em A.
a) Calcule o valor de m.
b) Determine o pe´ da altura relativa ao ve´rtice A.
R. : m = 3, (5126 ,
87
260 ,
94
26)
14. Dada uma base ortonormal {~i,~j,~k} e um vator na˜o nulo ~v, sejam α, β, γ o aˆngulo que ~v
forma com os vetores ~i,~j,~k respectivamente.
a) Mostre que cos2 α+ cos2 β + cos2 γ = 1.
(Os nu´meros reais cosα, cosβ, cos γ sa˜o ditos cossenos diretores de ~v)
b) Determine os cossenos diretores de ~v = (1,−3,−√6).
15. Mostre que
a) ‖~v‖~u+ ‖~u‖~v e´ ortogonal a ‖~v‖~u− ‖~u‖~v
b) ‖~u+ ~v‖2 = ‖~u− ~v‖2 ⇔ ~u • ~v = 0
c) |~u • ~v| = ‖~u‖.‖~v‖ ⇔ ~u e ~v sa˜o colineares.
d) ~u ⊥ (~v − ~w) e ~v ⊥ (~w − ~u) ⇒ ~w ⊥ (~u− ~v)
e) ‖~u+ ~v‖2 − ‖~u− ~v‖2 = 4~u • ~v
16. Mostre que as diagonais de um losango sa˜o representantes de vetores ortogonais.
Bons estudos, divirtam-se!!!!
2