Aulas Geometria Analítica

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Geometria Analítica — um tratamento vetorial Capítulo 1 — Vetor
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Geometria Analítica — um tratamento vetorial Vetor
1 – 1 Prof. Dilcesar Dantas
VETORVETOR
Geometria Analítica — um tratamento vetorial Vetor
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Segmentos orientados
A B
Definição 1. Chamamos segmento orientado
a todo par ordenado (A; B) de pontos no
espaço.
Notação: AB
Figura 1-1
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Os pontos A e B são ditos origem e
extremidade do segmento orientado AB,
respectivamente.
Obs:
1) Se A ≠ B então AB ≠ BA
2) O segmento AA é dito segmento nulo.
Um segmento orientado do tipo (A;A) é
chamado segmento nulo.
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Definição 2. Dizemos que os segmentos
orientados AB e CD possuem a mesma
direção se a reta suporte de A e B é paralela
à reta suporte de C e D. (reta suporte é a
reta que contém os dois pontos), caso AB e
CD sejam não nulos.
BA
CD
r
s
r // s 
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Para verificar o sentido de vetores é preciso
que eles tenham a mesma direção.
Sejam AB e CD segmentos orientados de
mesma direção.
Para analisar o sentido de AB e CD vamos
considerar dois casos.
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Figura 1-2
1º CASO
A reta suporte de A e B é diferente da reta
suporte de C e D.
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� AB e CD tem o mesmo sentido se AC ∩ BD = ∅;
� AB e CD tem o sentidos opostos se AC ∩ BD ≠ ∅.
Vamos para o segundo caso!
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Figura 1-3
2º CASO
A reta suporte de A e B coincide com a reta
suporte de C e D.
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Considere os pontos E e F tais que EF tem o
mesmo sentido de AB. Então AB e CD tem o
mesmo sentido se EF e CD tem o mesmo
sentido. Caso contrário AB e CD tem
sentidos opostos.
ExercícioExercício
1. Construa dois segmentos AB e CD (de
mesma reta suporte) tais que AB e CD tem
sentidos opostos mas AC ∩ BD = ∅.
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Exemplo: Os segmentos orientados AB e BA
possuem o mesmo comprimento, a mesma
direção e sentidos opostos
(Escolha: A´B´ com mesmo sentido de AB)
BA
r
s
B´A´
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Definição 3. Dizemos que os segmentos
orientados AB e CD são equipolentes se,
i) AB e CD são nulos ou
ii) AB e CD são ambos não nulos e
possuem a mesma direção, o mesmo
comprimento e o mesmo sentido.
(Indica-se a equipolência entre AB e CD por AB ~ CD)
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Equipolentes a AB: CD e EF
Não equipolentes a AB:
GH (Não tem a mesma direção de AB)
IJ (Não tem o mesmo sentido de AB)
KL (Não tem o mesmo comprimento de AB)
BA DC
FE
JI
LK
G
H
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Proposição. A relação de equipolência é
uma relação de equivalência sobre o
conjunto dos segmentos orientados, ou seja,
i) AB ~ AB (reflexiva)
ii) AB ~ CD ⇒ CD ~ AB (simetria)
iii) AB ~ CD e CD ~ EF ⇒ AB ~ EF (transitiva)
Obs: ~ (denota relação de equipolência)
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Definição 4. Chamamos vetor determinado
pelo segmento orientado AB ao conjunto
formado por todos os segmentos
equipolentes a AB. Este conjunto é denotado
por AB, isto é, AB = {CD | CD ~ AB}
Obs:
1) É comum denotar vetores por letras
minúsculas com uma seta.
Exemplo: a, b, c
, x, y, z
, u, v.
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2) VETOR NULO: é o conjunto formado por
todos os segmentos nulo.
Notação: 0.
4) AB = CD ⟺ AB ~ CD;
3) VETOR OPOSTO: O vetor BA é dito vetor
oposto de AB.
Notação: BA = - AB
Oposto
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5) u e v tem a mesma direção se seus
representantes (isto é, cada elemento destes
conjuntos) possuem a mesma direção.
Notação: u // v
6) Os vetores u e v possuem o mesmo
sentido se seus representantes possuem o
mesmo sentido.
7) Chamamos comprimento, módulo ou
norma de um vetor u ao comprimento de um
de seus representantes.
Notação: ||u|| denota o comprimento do vetor
u.
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8) O vetor u é dito unitário se ||u|| = 1.
9) Dado v ≠ 0, o vetor �
| � |
é um vetor unitário
chamado versor de v.
10) O conjunto formado por todos os vetores
do espaço será denotado por V3, e o
conjunto formado por todos os pontos do
espaço será denotado por E3 ou R3.
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Operações com VetoresOperações com Vetores
1) Adição:
Dados os �, �
 ∈ �� considere �, , ! ∈ "�
tais que � = � e �
 = !.
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A soma entre � e �
, denotado por � + �
, é o
vetor cujo representante é o segmento
orientado AC, isto é,
� + �
 = � + ! = �!
Obs: Podemos somar dois vetores no
espaço considerando representantes com a
mesma origem. Neste caso a soma entre
eles é a diagonal principal do paralelogramo
gerado por estes vetores.
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Figura 1-4
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Figura 1-5
PROPRIEDADESPROPRIEDADES
Sejam �, �
 e % vetores quaisquer. Valem as
propriedades:
A1) Associativa: (� + �
) + % = � + (� + %)
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A2) Comutativa: � + �
 = �
 + �.
A3) Elemento Neutro. (o vetor nulo)
∀ � ∈ ��, � + 0 = � = 0 + �.
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A4) Elemento Oposto.
∀ � ∈ ��, ∃! *
 ∈ �� tal que � + *
 = 0.
Definição: Chamamos de subtração entre �
e �
 e denotado por � − �
, à soma de � com
o oposto de �
, ou seja,
� − �
 = � + − �
 .
Geometricamente,
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O vetor � − �
 é a diagonal secundária do
paralelogramo gerado por � e �
.
Exemplo:
Prove que:
1) � + �
 = � + % ⟹ �
 = %
2) � + �
 = % + �
 ⟹ � = %