Geometria Analítica - Vetores e Escalares

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Geometria Analítica — um tratamento vetorial Capítulo 1 — Vetor
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Geometria Analítica — um tratamento vetorial Multiplicação por escalar
1 – 1 Prof. Dilcesar Dantas
Produto de número real por vetorProduto de número real por vetor
�
�� ��
ℝ
���?
|
Definição: Dados α ∈ ℝ e v ∈ V�, definimos
a multiplicação de α por v e denotamos por
αv ao vetor com as seguintes propriedades:
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i) αv tem a mesma direção de v;
ii) αv tem o mesmo sentido de v se α > 0 e
sentido contrário se α < 0;
iii) ||αv|| = | α |||v||, desde que α ≠ 0 e v ≠ 0.
Obs:
1) Se | � | > 1 (� < -1 ou � > 1), então
||αv|| = | α |||v|| > ||v||.
2) Se | � | < 1 (−1 < � < 1), então
||αv|| = | α |||v|| < ||v||.
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Graficamente, temos
��
���; � > 1
���; � < - 1
���; -1 < � < 0
���; 0 < � < 1
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Obs: 
Se � é um número real não-nulo, a notação 
�
�
(ou ��/�) significa �
�
. ��. 
Propriedades:
∀ �, � ∈ ℝ; ∀ �, ��, � ∈ �� temos:
M1) � � + �� = �� + ���;
M2) � + � � = �� + ��;
M3) �� � = � �� = �(��);
M4) 1. � = �.
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Exemplo: (Proposição) (Regras de sinais)
Prove as regras de sinais abaixo:
i) (−�)�� = −(���);
ii) � −�� = − ��� ;
iii) − −�� = ��;
iv) −� −�� = ���.
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Soma de um ponto com um vetorSoma de um ponto com um vetor
Definição: Dado um ponto P ∈ !� e um vetor
v ∈ V� , chamamos soma de P com v à
extremidade do representante de v cuja
origem vetor é P.
Notação: " + ��.
��
" + ��?��
!� p.
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Figura 1-3
Definição: P − �� = " + (−��).
PP − ��
��−��
Obs:
Q = P + �� ⟺ "$ = ��
Ou seja, " + "$ = $
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Figura 1-2
Propriedades:
P1) " + 0 = ";
P2) " + � = " + �� ⇒ � = ��;
P3) " + � + �� = " + � + �� ;
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P4) & + � = ' + �;
P5) " − �� + �� = ".
ExercíciosExercícios
1) Em um triângulo ABC considere M, P, N,
pontos médios de AB, BC e AC
respectivamente. Obtenha os vetores
&", '( e )* em função de &' e &).
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2) Em em triângulo ABC, considere o ponto
X sobre AB tal que AX é a metade de XB.
Escreva )+ em função de )& e )'.
A B
C
M
PN
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3) Mostre que em um quadrilátero qualquer
ABCD, cujos diagonais são AC e BD e tais
que M é o ponto médio de AC e N é o ponto
médio de BD tem-se
*( = 
�
,
(&' − -)).
Qual é a conclusão se ABCD for um
paralelogramo?
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4) Prove que o segmento que une os pontos
médios de dois lados de um triângulo é
paralelo ao 3º lado e que seu comprimento é
a metade da medida deste lado.
5) Prove que se os pontos médios dos lados
de um quadrilátero qualquer são vértices de
um 2º quadrilátero então este é um
paralelogramo.
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6) Prove que as retas suportes de duas
medianas de um triângulo se encontram em
um único ponto.
7) Prove que as três medianas de um
triângulo ABC se encontram em um único
ponto que divide cada mediana na razão de
2 para 1 a partir de cada vértice.