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08/09/2014 1 Geometria Analítica — um tratamento vetorial Dependência e Independência Linear 1 – 1 Prof. Dilcesar Dantas Dependência e Independência LinearDependência e Independência Linear Definição: (Geométrica). (i) O conjunto {��} é linearmente dependente (LD) se �� = 0 e será linearmente independente (LI) se �� ≠ 0; (ii) O conjunto {�, ��} é LD se � e �� são paralelos e LI caso contrário; (iii)O conjunto {�, ��, } é LD se �, ��, são coplanares, ou seja, se estes vetores possuem representantes no mesmo plano e LI caso contrário. Geometria Analítica — um tratamento vetorial Dependência e Independência Linear 1 – 2 Prof. Dilcesar Dantas (iv)Em �, todo conjunto finito com 4 ou mais elementos é, por definição, LD. Geometricamente / graficamente, Geometria Analítica — um tratamento vetorial Dependência e Independência Linear 1 – 3 Prof. Dilcesar Dantas Exemplos. 1) Se ABC é um triângulo e AN, BP e CM são suas medianas então os conjuntos, {� , ��, �} e {��, �, ��} são LD, pois seus vetores possuem representantes no plano determinado pelos pontos A, B, C. 2) Se AB é um segmento não nulo e C e D são pontos de AB então o conjunto {� , ��} é LD, pois estes vetores possuem representantes na reta que passa por A e B. BA C D 08/09/2014 2 Geometria Analítica — um tratamento vetorial Dependência e Independência Linear 1 – 4 Prof. Dilcesar Dantas Definição (Combinação Linear) Sejam ���, … , ��� e ��, … , �� ∈ ℝ. O vetor �� = ����� + ⋯ + ����� é chamado combinação linear de ���, … , ��� com os coeficientes ��, … , ��. O vetor � é dito combinação linear de ���, … , ��� se existirem ��, … , �� ∈ ℝ tais que � = ����� + ⋯ + �����. Exemplo 1. No triângulo ABC abaixo temos que ��, �, �� são combinação lineares de AB e AC, pois, Geometria Analítica — um tratamento vetorial Dependência e Independência Linear 1 – 5 Prof. Dilcesar Dantas A B C M P N Exemplo 2. O vetor nulo é combinação linear de quaisquer n vetores {���, … , ���}, pois 0 = 0��� + ⋯ + 0���. Obs: Se somente existir uma maneira de calcular o vetor 0 será no conjunto LI, se houver mais de uma será no conjunto LD. Geometria Analítica — um tratamento vetorial Dependência e Independência Linear 1 – 6 Prof. Dilcesar Dantas Proposição: O conjunto {���, … , ���} (� ≥ 2) é LD se, e somente se, um dos vetores é combinação linear dos demais. Corolário 1: Todo conjunto que contém o vetor nulo é LD. Corolário 2: O conjunto {�, ��} é LD se, e somente se, existe � ∈ ℝ tal que � = ��� ou �� = ��. Corolário 3: Se {�, ��, } é LI e !� é um vetor qualquer então existem �, �, " ∈ ℝ tais que !� = �� + ��� + " . 08/09/2014 3 Geometria Analítica — um tratamento vetorial Dependência e Independência Linear 1 – 7 Prof. Dilcesar Dantas Figura 1-4 A equação ����� + ⋯ + ����� = 0 (*) Possuem pelo menos uma solução dada por �� = �# = ⋯ = �� = 0 (solução trivial) Proposição: O conjunto {���, … , ���} (� ≥ 2) será LD se, e somente se, a equação (*) possui outras soluções além da trivial, isto é, existe pelo menos um 1 ≤ & ≤ � tal que ����� + ⋯ + �'��' + ⋯ + ����� = 0 com �' ≠ 0. Geometria Analítica — um tratamento vetorial Dependência e Independência Linear 1 – 8 Prof. Dilcesar Dantas Corolário: O conjunto { ���, … , ��� } é LI se, e somente se, a única solução da equação (*) for a trivial. Exemplos: No triângulo ABC abaixo, o conjunto {��, � , ��} é LD pois a equação �� + ��� + "�� = 0 Admite a solução não trivial. � = � # � = � # " = −1 Exemplo. Verifique que se {�, ��, } é LI e ��� + �#�� + �� = ��� + �#�� + �� Então �� = ��, �# = �#, �� = ��. Geometria Analítica — um tratamento vetorial Dependência e Independência Linear 1 – 9 Prof. Dilcesar Dantas Base em �Base em � Sabemos que (i) Se E = {)��, )�#, )��} é LI então ∀ �� ∈ �, ∃�, �, " ∈ ℝ tais que �� = �)�� + �)�# + ")��. (ii) Esta combinação linear é única para cada vetor �� dado. Portanto, se E = {)��, )�#, )��} é LI então ∀ �� ∈ �, ∃! -�, -#, -� ∈ ℝ tal que �� = -�)�� + -#)�# + -�)��. 08/09/2014 4 Geometria Analítica — um tratamento vetorial Dependência e Independência Linear 1 – 10 Prof. Dilcesar Dantas Definição: Todo conjunto E = {)��, )�#, )��} é LI é chamado base de �. Os números reais -�, -#, -� que aparecem na equação acima são ditos coordenadas de �� na base E. NOTAÇÃO: �� = (-�, -#, -� )0 ou simplesmente �� = (-�, -#, -�). Isto é, �� = (-�, -#, -� )0 ⟺ �� = -�)�� + -#)�# + -�)��. Geometria Analítica — um tratamento vetorial Dependência e Independência Linear 1 – 11 Prof. Dilcesar Dantas Igualdade Sejam � = (-�, -#, -� )0, �� = (2�, 2#, 2� )0 , � = �� ⟺ -�)�� + -#)�# + -�)�� = 2�)�� + 2#)�# + 2�)��. Adição Sejam � e �� como antes, assim � + �� = (-�)��+-#)�# + -�)��) + (2�)�� + 2#)�# + 2�)��). Geometria Analítica — um tratamento vetorial Dependência e Independência Linear Multiplicação por escalarMultiplicação por escalar Sejam � ∈ ℝ e � = (-�, -#, -� )0 �� = �(-�)�� + -#)�# + -�)��) Exemplos: Fixado uma base em �, considere os vetores � = (1, 0, −1)0 e �� = (2, −1, 3)0 . Obtenha as coordenadas do vetor -� na equação 2-� − �� = 3�. 08/09/2014 5 Geometria Analítica — um tratamento vetorial Dependência e Independência Linear Proposição: Seja E = {)��, )�#, )��} uma base de �. (i) Os vetores � = (-�, 2�, 4� )0 e �� = (-#, 2#, 4# )0 são LD se, e somente se, suas coordenadas são proporcionais, ou seja, se -#, 2#, 4# ≠ 0 então 56 57 = 86 87 = 96 97 e se uma das coordenadas de �� é nula então a coordenada correspondente de � também o é. Exemplo. (1, 0, 3) e (1, 1, 1). Geometria Analítica — um tratamento vetorial Dependência e Independência Linear (ii) Os vetores � = (-�, 2�, 4� )0 , �� = (-#, 2#, 4# )0 e = (-�, 2�, 4� )0 são LI, se, e somente se, -� 2� 4� -# 2# 4# -� 2� 4� ≠ 0. Propriedades: (i) O sistema AX = B (onde A é quadrada) tem única solução ⟺ :);� ≠ 0. (ii) :);� = :);�<, onde �< é a transposta de A. Geometria Analítica — um tratamento vetorial Dependência e Independência Linear Exemplo. Verifique se os conjuntos abaixo são LI ou LD. 1) {(-3, 2, 1), ( � # , -1, − � # )} 2) {(-1, 2, 0), (2, -4, 0)} 3) {(1, -1, 0), (0, -1, 1), (-1, 0, -1)}
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