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07/04/2015
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Geometria Analítica — um tratamento vetorial Produto Escalar
Produto EscalarProduto Escalar
Dado uma base ortonormal {��, ��, �} do espaço
considere os vetores
� = �	�� + �	�� + �	� = (�	, �	, �	)
� = ���� + ���� + ��� = (��, ��, ��)
definimos o produto escalar entre � e 
� ao
número � ⦁ 
� dado por
� ⦁ 
� = �	. �� + �	. �� + �	. ��
Exemplo: Se � = (-1, 13, 1) e 
� = (6, 1, 6) então
� ⦁ 
� = 13.
Geometria Analítica — um tratamento vetorial Produto Escalar
Propriedades: ∀�, 
�, � ∈ �� e ∀� ∈ ℝ, tem-se
que:
1) � ⦁ 
� = 
� ⦁ �;
2) � + 
� ⦁ � = � ⦁ � + 
� ⦁ �;
3) �� ⦁ 
� = �(�⦁ 
�) = �⦁(�
�);
4) � ⦁ � = � 2
 
 ⇒ � = � ⦁ �
5) � ⦁ � = 0 ⟺ � = 0
Geometria Analítica — um tratamento vetorial Produto Escalar
Exemplo 1: FALSO OU VERDADEIRO?
� ⦁ 
� = 0 ⇒ � = 0 �� 
� = 0
Exemplo 2:
� = (1, 0, 1) ≠ 0
� = (0, 1, 0) ≠ 0
Relembrando: Lei dos cossenos.
"# � = $" � + $# � − 2 $" $# #&' (
A B
C
(
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Geometria Analítica — um tratamento vetorial Produto Escalar
Proposição:
Se � e 
� são vetores não nulos e 0 ≤ ( ≤ π é o 
ângulo entre � e 
� então
8�9( =
�⦁
�
� 
�
Corolário 1:
Seja ( o ângulo entre dois vetores � e 
� (não-
nulos)
1) ( é agudo ⟺ �⦁
� > 0;
2) ( é obtuso ⟺ �⦁
� < 0.
Geometria Analítica — um tratamento vetorial Produto Escalar
Corolário 2:
Dois vetores são ortogonais se, e somente se, 
�⦁
� = 0. 
Exemplos:
1) Calcule o ângulo entre � = (2, 0, −1) e 
� = (1,1,1);
2) Mostre que os pontos A = (1, 2, -1), 
B = (-1, 0, -1) e C = (2, 1, 2) são vértices 
de um triângulo retângulo.
Geometria Analítica — um tratamento vetorial Produto Escalar
Proposição:
Quaisquer que sejam �, 
� ∈ �� temos:
1) �⦁
� ≤ � 
� (Desiqualdade de Schwarz)
2) � + 
� ≤ � + 
� (Desigualdade 
Triangular)
Projeção Ortogonal
�	 �	
�
�
�
�
����
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Geometria Analítica — um tratamento vetorial Produto Escalar
Problema:
Dado um vetor 
� ≠ 0 encontrar �	 ∥ 
�, �� ⊥ 
� e 
� = �	 + ��.
Notação: RS�TU � =
V⦁U
U W
. 
�
Exercício:
Determine o pé da altura do triângulo ABC 
relativo ao vértice A, dados:
A = (1, 1, 1); B = (0, 1, 1) ; C = (1, 0, 1)
Geometria Analítica — um tratamento vetorial Produto Escalar
Produto VetorialProduto Vetorial
Considere uma base ortonormal positiva {��, ��, �}
do espaço considere os vetores
��
��
�
Dados vetores � = (�	, �	, �	) e 
� = (��, ��, ��)
definimos o produto vetorial entre � e 
� da
seguinte forma
Geometria Analítica — um tratamento vetorial Produto Escalar
� × 
� =
�� �� �
�	 �	 �	
�� �� ��
=
= �	�� − �	�� �� + ���	 − �	�� �� + �	�� − ���	 �
Exemplo: Calcule � × 
�, dados � = 1, 3, −1 e 
� = 2, 1, 2 .
1) � × � = 0
(Se duas linhas de uma matriz são iguais o seu
determinante é zero)
# Propriedades #
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Geometria Analítica — um tratamento vetorial Produto Escalar
2) � × 
� = − 
� × � (não é comutativo)
(Se permutamos duas linhas de uma matriz então
seu determinante troca de sinal)
3) λ � × 
� = �� × 
� = � × �
� ∀� ∈ ℝ
(Ao multiplicarmos uma linha de uma matriz por
um número real, o determinante da nova matriz
fica multiplicado por esta constante)
4) � + 
� × � = � × � + 
� × �
5) � × 
� ⊥ � e � × 
� ⊥ 
�
Geometria Analítica — um tratamento vetorial Produto Escalar
6) Se {�, 
�} é L.I então o conjunto {�, 
�, � × 
�} é
uma base positiva.
7) Se � e 
� são vetores não nulos e 0 ≤ ( ≤ \
então � × 
� = � . 
� . 9]^ (
Obs: � × 
� ≠ � . 
� . 9]^ (
�
�
� × 
�
Geometria Analítica — um tratamento vetorial Produto Escalar
8) � × 
� = 0 ⟺ {�, 
�} é L.D.
9)
Exemplo: Calcule (2�� − ��) × (−� + ��).
�� ��
�
+
�� × �� = � = −�� × ��
�� × � = �� = −� × ��
� × �� = �� = −�� × �
�� × �� = �� × �� = � × � = 0
10) O produto vetorial não é associativo.
Exemplo: �� × (�� × ��) e (�� × ��) × ��
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Geometria Analítica — um tratamento vetorial Produto Escalar
# Interpretação Geometrica #
Sejam � e 
� vetores não nulos e ( o ângulo entre
eles. Suponha � e 
� não paralelos. Considere o
paralelogramo gerado por � e 
�.
A área do paralelogramo é dada por: base x altura.
∴ base = �
sen ( =
a
U
⟹ ℎ = 
� . 9]^ (.
�
�
�
�
h
(
Geometria Analítica — um tratamento vetorial Produto Escalar
Portanto,
Área do paralelogramo é igual a
� . 
� . 9]^( = � × 
� (Propriedade 7)
Considere um triângulo ABC. Seja D o quarto
vértice do paralelogramo gerado por $" e $#.
Temos:
Área (∆ ABC) =
	
�
Área (⍚ABCD)
=
	
�
$" × $# .
Geometria Analítica — um tratamento vetorial Produto Escalar
Exemplo 1: Calcule o valor de � ∈ ℝ para que a
área do triângulo de vértice A = (1, -2, 1), B = (-1,
�, 3) e C = (2, -1, 4) seja
� 	f
�
.
Exemplo 2: Sabendo que � e 
� determinam um
paralelogramo de área 1, qual é a área do
paralelogramo gerado por � – 2
� e 
� – 3�.
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Geometria Analítica — um tratamento vetorial Produto Escalar
Produto MistoProduto Misto
Proposição: Se � = (�	, �	, �	), 
� = (��, ��, ��) e
� = (��, ��, ��) então
[�, 
�, �] =
�	 �	 �	
�� �� ��
�� �� ��
Exemplo: Calcule [�, 
�, � ], dado � = (1, 0, 1) ,
� = (1, 1, 1) e � = (0, 3, 3).
Sejam �, 
�, � ∈ ��. O produto misto entre �, 
� e
� é o número real definido por:
[�, 
�, �] = �⦁(
� × �)
Geometria Analítica — um tratamento vetorial Produto Escalar
Exemplo 1: Resolva o exemplo anterior usando
esta proposição.
Proposição:
1. O produto misto é trilinear, isto é,
a) [i� + j��, 
�, �] = i �, 
�, � + j ��, 
�, �
b) [�, i
� + j��, �] = i �, 
�, � + j �, ��, �
c) [�, 
�, α� + j��] = i �, 
�, � + j �, 
�, ��
Geometria Analítica — um tratamento vetorial Produto Escalar
2. O produto misto troca de sinal se permutamos
dois vetores, ou seja,
�, 
�, � = −[�, �, 
�]
�, �, 
� = −[�, 
�, �]
�, �, � = −[
�, �, �]
Corolário.
�⦁ 
� × � = (� × 
�)⦁�
Proposição. O conjunto { �, 
�, � } é L.D se, e
somente se, �, 
�, � = 0.
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Geometria Analítica — um tratamento vetorial Produto Escalar
# Interpretação Geometrica #
O volume de um paralelepipedo é dado por:
V = Área (base) x altura.
A base é o paralelogramo gerado por � e 
� então:
Área (base) = � × 
�
Geometria Analítica — um tratamento vetorial Produto Escalar
Se ( é o ângulo entre � e a altura do
paralelepípedo então 8�9( =
lmnVol
p
⟹
qrs�Sq = � . 8�9(.
(supondo, inicialmente, 0 ≤ ( ≤
t
�
)
V = � × 
� . � . 8�9( = � × 
� ⦁ � = �, 
�, � ,
pois ( é o ângulo entre � × 
� e �
Do mesmo modo, se
t
�
≤ ( ≤ \, então
V = − �, 
�, �
Portanto, V = �, 
�, � .
Geometria Analítica — um tratamento vetorial Produto Escalar
Conclusão: Se {�, 
�, �} é L.I então o volume do
paralelepípedo gerado por �, 
�, � e dado por:
V = �, 
�, �
Volume de tetraedro.
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Geometria Analítica — um tratamento vetorial Produto Escalar
O volume de um tetraedro é dado por:
V =
	
�
da área da base x altura.
V =
	
�
.
	
�
$" × $# x altura.
Note que $" × $# x altura é o volume do
paralelepípedo gerado por $", $# e $u.
Portanto o volume do tetraedro ABCD é
V = 
	
v
[$", $#, $u]
Geometria Analítica — um tratamento vetorial Produto Escalar
Exemplo 1: Calcule o volume do paralelepípedo
gerado por: � = 2, −2, 0 , 
� = 0, 1, 0 e
� = −2, −1, −1 .
Exemplo 2: Determine o valor de x para o volume
do tetraedro ABCD, seja 2, dados A = (1, 0, 0), B =
(0, 1, 0), C = (0, 0, 1) e D = (4, 2, x).