Lógica Matematica

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10/08/2017
Lógica Matemática
Professor Fabriccio Dias Canhete
E-mail: fabricciocanhete@yahoo.com.br
Goiânia, Agosto de 2017
Curso: Ciência da Computação
Conteúdo programático
• Módulo 1: 
• Apresentação do conteúdo programático. Bibliografia. 
• Introdução: panorama histórico da disciplina; Matemática como 
Ciência Dedutiva. Implicações, possibilidades de diversas 
“lógicas”.
• Módulo 2:
• Cálculo Proposicional: tratamento intuitivo.
• Argumento e Premissas;
• Proposições e conectivos. 2
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Conteúdo programático
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• Módulo 3:
• Operações Lógicas (Negação, Conjunção, Disjunção, Disjunção 
Exclusiva; Condicional, Bicondicional);
• Tabelas de Verdade; Tautologia, Contradições e Contingências. 
• Módulo 4:
• Equivalência e Implicações Lógicas; Propriedades;
• Proposições associadas a uma condicional;
• Substituição nas formas proposicionais;
• Conjuntos Completos de Conectivos;
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Conteúdo programático
• Módulo 5
• Conectivo de Sheffer;
• Validade de argumentos;
• Regras de Inferência;
• Técnicas Dedutivas: direta, conclusão condicional, bicondicional;
• Falácias.
• Módulo 6:
• Álgebra dos Conjuntos
• Relação de Pertinência;
• Determinação de um Conjunto;
• Tipos de Conjuntos;
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Conteúdo programático
• Módulo 7:
• Relações entre Conjuntos: Inclusão, Igualdade, partes;
• Operações com Conjuntos: união, intersecção, diferença, 
complementação.
• Módulo 8: 
• Silogismos.
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• Avaliações: Np1 e Np2 (100% da nota);
• Avaliações Substitutiva e Exame: (Não contemplam trabalhos);
• Proibido gravar (áudio e vídeo das aulas).
Avisos
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• O que é lógica?
É a ciência que estuda princípios e métodos de inferência, 
tendo o objetivo principal de determinar em que condições 
certas coisas se seguem (são consequência), ou não de 
outras.
Matemática como Ciência Dedutiva
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• Validade e forma
Quando falamos em lógica, estamos falando de 
argumentos.
Um argumento é válido se qualquer circunstância que 
torna suas premissas verdadeiras faz com que sua 
conclusão seja automaticamente verdadeira.
Matemática como Ciência Dedutiva
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• Exemplo:
Matemática como Ciência Dedutiva
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• Proposição
Chama-se proposição todo o conjunto de palavras ou 
símbolos que exprimem um pensamento de sentido 
completo.
As proposições transmitem pensamentos, isto é, afirmam 
fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de 
determinados entes.
Proposições e Conectivos
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• Proposição
Exemplos:
a) A lua é um satélite da Terra.
b) Recife é a capital de Pernambuco.
c) � > 5
d) Sen �
�
= 1
Todas as proposições são verdadeiras.
Proposições e Conectivos
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• Proposição
A lógica matemática adota como regras fundamentais do 
pensamento os dois princípios:
• Princípio da não contradição: uma proposição não pode 
ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
• Princípio do terceiro excluído: Toda proposição ou é 
verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes 
casos e nunca um terceiro.
Proposições e Conectivos
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Proposições e Conectivos
• Proposição
Exemplos:
e) Vasco da Gama descobriu o Brasil.
f) 3/5 é um número inteiro
g) O número � é racional.
h) tan �
	
= 2
Todas as proposições são falsas.
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Proposições e Conectivos
• Valores lógicos das proposições 
Definição: 
Chama-se valor lógico de uma proposição a verdade se a 
proposição é verdadeira e a falsidade se a proposição é 
falsa.
Os valores lógicos verdade e falsidade de uma proposição 
designam-se abreviadamente pelas letras V e F, 
respectivamente.
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Proposições e Conectivos
• Valores lógicos das proposições 
Logo, o que os princípios da não contradição e do terceiro excluído 
afirmam que:
Toda proposição tem um, e um só dos valores V, F.
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Proposições e Conectivos
• Exemplo:
Consideremos as proposições:
a) O mercúrio é mais pesado que a água.
b) O sol gira em torno da terra.
O valor lógico da proposição A é V e o valor lógico da proposição B é 
F.
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Proposições e Conectivos
• Proposições simples e compostas
As proposições podem ser classificadas em simples ou compostas.
Chama-se proposições simples aquela que não contém nenhuma 
outra proposição como parte integrante da mesma.
As proposições simples são geralmente designadas pelas letras 
latinas minúsculas p, q, r, s, ..., chamadas letras proposicionais.
Exemplos:
p: Carlos é careca.
q: Pedro é estudante.
r: O número 25 é quadrado perfeito.
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Proposições e Conectivos
• Proposições simples e compostas
Chama-se proposições composta aquela formada pela combinação de 
duas ou mais proposições.
As proposições compostas são habitualmente designadas pelas letras 
latinas maiusculas P, Q, R, S, ..., chamadas letras proposicionais.
Exemplos:
P: Carlos é careca e Pedro é estudante.
Q: Carlos é careca ou Pedro é estudante.
R: Se Carlos é careca, então Pedro é feliz.
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Proposições e Conectivos
• Conectivos
Chamam-se conectivos palavras que se usam para formar novas 
proposições a partir de outras.
Exemplos:
P: O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito.
Q: O triângulo ABC é retângulo ou isósceles.
R: Não está chovendo.
T: O triângulo ABC é equilátero se e somente se é equiângulo.
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Proposições e Conectivos
• Conectivos 
São conectivos usuais na lógica matemática as palavras que estão 
grifadas, isto é:
“e”, “ou”, “não”, “se ... então...”, “... se e somente se”
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Proposições e Conectivos
• Tabela verdade 
Segundo o princípio do terceiro excluído, toda 
proposição simples p é verdadeira ou é falsa, isto 
é, tem o valor lógico V(verdade) ou o valor lógico 
F(falso).
Em se tratando de uma proposição composta a 
determinação do seu valor lógico, conhecido o 
valores lógicos das proposições simples 
componentes, se faz com base no seguinte 
princípio:
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Proposições e Conectivos
• Tabela verdade 
O valor lógico de qualquer proposição composta depende 
unicamente dos valores lógicos das proposições simples 
componentes, ficando por eles univocamente determinado.
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Proposições e Conectivos
• Tabela verdade 
No caso de uma proposição composta cujas proposições 
simples componentes por p e q, as únicas atribuições de 
valores lógicos a p e q são:
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Proposições e Conectivos
• Tabela verdade 
No caso de uma 
proposição composta 
cujas proposições simples 
componentes por p, q e r, 
as únicas atribuições de 
valores lógicos a p, q e r 
são:
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Proposições e Conectivos
• Tabela verdade 
O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p).
Assim exprime-se que p é verdadeira (v) escrevendo V(p) = V
Analogamente, exprime-se que p é falsa (f), escrevendo V(p) = F
Exemplo:
p: O sol é verde.
q: Um hexágono tem 9 diagonais.
r: 2 é raíz da equação 
� + 3
 − 4 = 0
V(p) = F
V(q) = V
V(r) = F
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Proposições e Conectivos
• Exercício:
Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes 
proposições.
a: O número 17 é primo.
b: Fortaleza é a capital do Maranhão.
c: Tiradentes morreu afogado.
d: (3 + 5)�= 3� + 5�
e: O valor archimediano de � é ��
�
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Proposições e Conectivos
• Exercício:
Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes 
proposições.
f: -1 < -7
g: 0,131313... é uma dízima periódica simples.
h: As diagonais de um paralelogramo são iguais.
i: Todo polígono regular convexo é inscritível.
j: O hexaedro regular tem 8 arestas.