Aula 1.1

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Conversão de Energia II
Aula 1.1
Circuitos Magnéticos
Prof. João Américo Vilela
Departamento de Engenharia Elétrica
Bibliografia
Conversão de Energia II
FITZGERALD, A. E., KINGSLEY Jr. C. E UMANS, S. D. Máquinas Elétricas: 
com Introdução à Eletrônica De Potência. 6ª Edição, Bookman, 2006.
Capítulo 1 – Circuitos magnéticos e materiais magnéticos 
KOSOW, I. Máquinas Elétricas e Transformadores. 
Editora Globo. 1986.
Não comenta muito sobre circuito magnéticos 
TORO, V. Del, MARTINS, O. A. Fundamentos de 
Máquinas Elétricas. LTC, 1999. 
Capítulo 1 – Teoria e circuitos magnéticos Pag. 1 - 33
Bim, Edson. Máquinas Elétricas e Acionamento. 
Editora Elsevier, 2009.
Capítulo 1 – Circuitos magnéticos Pag. 1 - 34 
Intensidade do campo magnético
Conversão de Energia II
O campo elétrico [E] que produz a diferença de potencial (tensão) no 
circuito elétrico é análogo a intensidade do campo magnético [H] que 
produz a força magnetomotriz (Fmm) no circuito magnético.
Intensidade do campo magnético
Conversão de Energia II
O campo elétrico [E] que produz a diferença de potencial (tensão) no 
circuito elétrico é análogo a intensidade do campo magnético [H] que 
produz a força magnetomotriz (Fmm) no circuito magnético.
ldHFmmldEv
B
A
B
A
BA ⋅−=⇔⋅−= ∫∫
Onde:
Fmm = força magnetomotriz [Ae];
H = intensidade do campo magnético [A/m];
E = campo elétrico [V/m];
v = força eletromotriz do circuito elétrico (tensão) [V].
Lei circuital de Ampère
Conversão de Energia II
A lei circuital de Ampère estabelece que a integral de linha do vetor 
intensidade do campo magnético [H] em torno de uma trajetória fechada é 
igual à corrente total enlaçada pela trajetória. 
Onde:
H = intensidade do campo magnético;
i = corrente [A];
dl = elemento de comprimento da 
trajetória escolhida [m];
∑∫ =⋅ ildH
C
Essa equação relaciona a corrente com a 
intensidade do campo magnético produzido 
por essa corrente.
Lei circuital de Ampère
Conversão de Energia II
Pela lei de Ampère para determinação do campo em um ponto da trajetória 
escolhida, distante perpendicularmente r1 do condutor, resulta em:
1
111 2
2
r
iHirH
⋅⋅
=⇒=⋅⋅⋅
pi
pi
Força magnetomotriz
Conversão de Energia II
O sentido do fluxo magnético gerado é dado pela regra da mão direita. 
A corrente que circula pelo condutor 
multiplicado pelo número de espiras do 
enrolamento definem a força 
magnetomotriz [Fmm] que é análoga à 
tensão ou força eletromotriz do circuito 
elétrico.
INFmm ⋅=
Onde:
Fmm = força magnetomotriz [Ae];
N = número de espiras;
I = corrente que circula pelas espiras [A];
Força magnetomotriz
Conversão de Energia II
A força magnetomotriz é o produto da corrente nas espiras pelo número 
de espiras que envolve o material magnético. Essa corrente produz uma 
intensidade de campo magnético que multiplicado pelo comprimento 
médio do circuito magnético também fornece a Fmm. 
C
C
lHldHINFmm ⋅=⋅=⋅= ∫
Onde:
Fmm = força magnetomotriz [Ae];
N = número de espiras;
I = corrente que circula pelas espiras [A];
lC = comprimento médio do circuito 
magnético [m].
Exercício
Conversão de Energia II
A bobina de um núcleo magnético toroidal de comprimento médio igual a 
29 [cm] tem 100 espiras. Determine o campo magnético no núcleo quando 
a corrente contínua é 0,0166 [A]. Supor que o campo seja uniforme.
Fluxo e densidade de fluxo magnético
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sdsdJi
S
∫∫ ⋅=⇒⋅=
S
Bφ
Onde:
J = densidade de corrente [A/m2];
B = densidade de fluxo [Wb/m2];
Φ = fluxo magnético [Wb];
S = superfície plana na qual passa o 
fluxo ou corrente [m2];
Os circuitos magnéticos são mais facilmente compreendidos quando feita 
uma analogia com os circuitos elétricos.
Nessa analogia a corrente do circuito elétrico é comparada ao fluxo 
magnético no circuito magnético.
Fluxo e densidade de fluxo magnético
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αφ cos⋅⋅= SB
Onde:
B = densidade de fluxo [Wb/m2];
Φ = fluxo magnético [Wb];
S = superfície plana na qual passa o 
fluxo ou corrente [m2];
Quando a densidade de fluxo é constante ao longo de toda superfície 
analisada, temos:
A unidade da densidade de fluxo é o Tesla representado por [ T ], que é 
igual a [Wb/m2].
Fluxo e densidade de fluxo magnético
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Cm AB ⋅=φ
Onde:
B = densidade de fluxo [Wb/m2];
Φ = fluxo magnético [Wb];
AC = superfície plana na qual passa o 
fluxo [m2];
A densidade de fluxo num circuito magnético com seção constante, tende 
a ser uniforme, assim:
Relutância magnética
Conversão de Energia II
A relação entre tensão e corrente permite calcular a resistência do circuito 
elétrico, de forma análoga a relação entre força magnetomotriz e fluxo 
permite calcular a relutância do circuito magnético.
Os imãs permanentes são fontes de fluxo magnético, análogas às fontes 
de corrente em circuitos elétricos.
φ
Fmm
i
vR =ℜ⇔=
Permeabilidade relativa do material magnético é análogo a condutividade 
do material num circuito elétrico.
H
B
C =µ Obs. A permeabilidade do material não é constante.
)]/([104 70 AmWb ⋅⋅⋅=
−piµ μ0 = permeabilidade magnética no do vácuo
Circuitos magnéticos
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Abaixo temos um dado dispositivo magnético formado por dois materiais 
ferromagnéticos de permeabilidade μC e μC1 de comprimentos médios lC e 
lC1. 
A força magnetomotriz e gerada pela 
corrente que circula pelas N espiras da 
bobina. 
Vamos considerar que todo o fluxo 
magnético está confinado no interior do 
núcleo.
Considerando também que o fluxo está 
distribuído de forma uniforme dentro do 
núcleo.
Circuitos magnéticos
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Podemos construir o circuito magnético desse dispositivo, sendo sua 
analise semelhante a utilizada num circuito elétrico. Em virtude, da 
semelhança dos dois circuitos.
A fonte Ni no circuito magnético equivale a uma fonte de tensão no circuito 
elétrico.
Circuitos magnéticos
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Pensando em termos de circuito elétrico, cada resistor ficaria submetido a 
uma parcela da tensão total. Aqui cada material magnético fica submetido 
a uma parcela da força magnetomotriz.
11 CCCC lHlHldH ⋅+⋅=⋅∫
iNldH ⋅=⋅∫
11 CCCC lHlHiN ⋅+⋅=⋅
Circuitos magnéticos
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Considerou-se que a densidade de fluxo é constante na seção transversal 
 do núcleo. Sendo o fluxo perpendicular a seção transversal.
11 CCCCm ABAB ⋅=⋅=φ
CCC HB ⋅= µ
Vamos considerar constante a 
permeabilidade relativa dos materiais.
Sendo:
111 CCC HB ⋅= µ
Temos:
CCCm AH ⋅⋅= µφ 111 CCCm AH ⋅⋅= µφ
Circuitos magnéticos
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Colocando em evidência a intensidade do 
campo magnético.
CC
m
C A
H
⋅
=
µ
φ
11
1
CC
m
C A
H
⋅
=
µ
φ
Substituído na equação da força 
magnetomotriz.
1
11
C
CC
m
C
CC
m l
A
l
A
iN ⋅
⋅
+⋅
⋅
=⋅
µ
φ
µ
φ
Manipulando a equação, obtemos:
11
1
CC
C
CC
C
m A
l
A
liN
⋅
+
⋅
=
⋅
µµφ
Circuitos magnéticos
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A força magnetomotriz dividido Colocando em evidência a intensidade do 
campo magnético pelo fluxo equivale a relutância do circuito magnético.
A relutância dos matérias utilizados no 
núcleo podem ser calculadas da seguinte 
forma:
11
1
CC
C
CC
C
m A
l
A
liN
⋅
+
⋅
=
⋅
µµφ
CC
C
C A
l
⋅
=ℜ
µ 11
1
1
CC
C
C A
l
⋅
=ℜ
µ
Assim:
( )1CCmiN ℜ+ℜ=⋅ φ
Circuitos magnéticos
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A equação do circuito magnético é análoga à lei das tensões elétricas de 
Kirchhoff.
∑∑ ⋅ℜ=
k
kk
k
kFmm φ
A lei das correntes elétricasde Kirchhoff pode ser aplicada ao circuito 
magnético de forma análoga.
0=∑
x
xφ
Equações
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Força Magnetomotriz [Ae] => C
C
lHldHINFmm ⋅=⋅=⋅= ∫
∑∫ =⋅ ildH
C
A lei circuital de Ampère => 
sd∫ ⋅=
S
BφFluxo magnético através da área Ac =>
Fluxo magnético uniforme na seção reta Ac => CAB ⋅=φ
)]/([104 70 AmWb ⋅⋅⋅=
−piµPermeabilidade => HHB r 0µµµ =⋅=
( )1CCmiNFmm ℜ+ℜ=⋅= φForça Magnetomotriz [Ae] =>
Relutância =>
CC
C
C A
l
⋅
=ℜ
µ
Exercício
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No circuito magnético mostrado abaixo, os matérias possuem 
permeabilidade μC = 5.103.μ0 e μC1 = 20.103.μ0 na faixa de fluxo escolhido 
para a sua operação. Sendo lC = 99 [cm], lC1 = 1 [cm] e AC = AC1 = 100 
[cm2]. Para uma corrente de 1 [A] circulando na bobina de 100 espiras 
determine:
a) O fluxo magnético;
b) A intensidade do campo magnético exigida para cada um dos 
materiais;
c) A corrente na bobina para que a densidade de fluxo BC1 = 1,25T;
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