Aula 1.2

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Conversão de Energia II
Aula 1.2
Circuitos Magnéticos
Prof. João Américo Vilela
Departamento de Engenharia Elétrica
Bibliografia
Conversão de Energia II
FITZGERALD, A. E., KINGSLEY Jr. C. E UMANS, S. D. Máquinas Elétricas:
com Introdução à Eletrônica De Potência. 6ª Edição, Bookman, 2006.
Capítulo 1 – Circuitos magnéticos e materiais magnéticos
KOSOW, I. Máquinas Elétricas e Transformadores. 
Editora Globo. 1986.
Não comenta muito sobre circuito magnéticos 
TORO, V. Del, MARTINS, O. A. Fundamentos de 
Máquinas Elétricas. LTC, 1999. 
Capítulo 1 – Teoria e circuitos magnéticos Pag. 1 - 33
Bim, Edson. Máquinas Elétricas e Acionamento. 
Editora Elsevier, 2009.
Capítulo 1 – Circuitos magnéticos Pag. 1 - 34
Circuito magnético
Conversão de Energia II
Entreferro: Um espaço com ar entre as faces polares do material
magnético. Nessa região o ar passa a ser o meio para o fluxo com
permeabilidade µ0.
Não há motivos para o fluxo ficar concentrada na
área do entreferro, já que não existe um meio de
alta permeabilidade. Dessa forma, ocorre o
espraiamento do fluxo, sendo esse efeito
modelado pelo aumento da área efetiva de
entreferro.
( ) ( )ggg lblaA +⋅+=′
2lg)( +⋅pi=′ rAg
Para um núcleo circular
Exercício
Conversão de Energia II
No circuito magnético mostrado abaixo, os matérias possuem
permeabilidade µC = 5.103.µ0 e µg = µ0 na faixa de fluxo escolhido para a
sua operação. Sendo lC = 99 [cm], lg = 1 [cm], AC = 100 [cm2] e Ag = 10 x
10 cm. Para uma corrente de 1 [A] circulando na bobina de 100 espiras,
determine o fluxo magnético.
Produção do campo magnético
Conversão de Energia II
Analogia entre circuitos magnéticos e elétricos
JE ⋅= ρ
Densidade de fluxo Densidade de corrente
( ) ρρ
E
AlA
lE
RA
V
A
IJ =
⋅⋅
⋅
=
⋅
==( ) HAlA
lH
A
F
A
B mm ⋅=
⋅⋅
⋅
=
ℜ⋅
== µ
µ
φ
/
µ
BH =
Onde:
B = densidade de fluxo [Wb/m2];
Φ = fluxo magnético [Wb];
A = superfície plana na qual passa o fluxo [m2];
Fmm = Força magnetomotriz [Ae];
H = intensidade do campo magnético [A/m];
µ = permeabilidade magnética do material 
[Wb/(A.m)];
Onde:
J = densidade de corrente [A/ m2];
I = Corrente elétrica [A];
A = superfície plana na qual passa a corrente 
[m2];
V = força eletromotriz do circuito elétrico [V].
E = campo elétrico [V/m];
ρ = resistividade do material [Ω/m];
Tipos de materiais magnéticos
Conversão de Energia II
No vácuo a densidade de fluxo magnético aumenta de forma linear com o 
aumento da intensidade do campo magnético
HB ⋅= 0µ
Entretanto, percebemos que a permeabilidade é baixa, resultando num 
baixo fluxo magnético.
Para obter uma elevada densidade de fluxo magnético é necessário um
material com elevada permeabilidade magnética, materiais que
apresentam essa características são chamados de materiais
ferromagnéticos.
Tipos de materiais magnéticos
Conversão de Energia II
Os materiais são classificados em função do valor da sua permeabilidade
relativa (µr).
Diamagnéticos => São os materiais que ao serem submetidos ao campo
magnético repelem as linhas de campo (B<0), esses materiais são
repelidos por imãs.
A permeabilidade relativa desses materiais e ligeiramente inferior a 1.
Exemplos: cobre, bismuto, carbono, prata, ouro, mercúrio, chumbo e
zinco.
Os materiais podem ser classificados em três categorias:
HHB rC ⋅⋅=⋅= 0µµµ
Tipos de materiais magnéticos
Conversão de Energia II
Exemplos: alumínio, cromo, potássio, manganês, sódio e zircônio.
Paramagnéticos => São os materiais que apresentam permeabilidade
relativa ligeiramente superior a 1. Como essa permeabilidade é
praticamente igual a 1, eles são conhecidos como materiais não
magnéticos.
Ferromagnéticos => São os materiais que apresentam elevada
permeabilidade relativa com valores na faixa 102< µr <106. A
permeabilidade relativa desses materiais depende da temperatura e da
intensidade do campo magnético.
Exemplos: ferro, níquel, cobalto, gadolínio, disprósio e ligas de óxido.
Tipos de materiais magnéticos
Conversão de Energia II
Os domínios magnéticos são regiões microscópicas nas quais os seus
átomos estão polarizados em uma dada direção, formando assim
pequenos imãs.
Os materiais ferromagnéticos apresenta uma permeabilidade relativa alta
devido aos domínios magnéticos do material.
A figura representa o fenômeno de magnetização de um material magnético
policristalino devido a um campo externo (H).
Tipos de materiais magnéticos
Conversão de Energia II
Percebemos que a relação entre B
e H não é linear nos materiais
ferromagnéticos
Característica de magnetização BH de aços siliciosos GO e GNO na
frequência de 60 Hz.
HB r ⋅⋅= 0µµ
Para valores elevados da
intensidade de campo (H) a
densidade de fluxo começa a
chegar num limite que chamamos
de saturação.
Tipos de materiais magnéticos
Conversão de Energia II
Para cada valor de H existe uma permeabilidade relativa do material
diferente. O gráfico abaixo mostra a permeabilidade relativa em função da
intensidade do campo.
HB r ⋅⋅= 0µµ
Histerese e curva de magnetização normal
Conversão de Energia II
Quando o campo magnético é retirado os domínios magnéticos não se
desfazem totalmente ficando uma magnetização residual.
Dessa forma a linha de coordenadas BH para valores crescentes de H
não é coincidente com aquela obtida para os valores decrescentes.
A curva de magnetização normal ocorre
quando o material está totalmente
desmagnetizado e é submetido a um
campo magnético.
Histerese e curva de magnetização normal
Conversão de Energia II
Quando H atinge zero a densidade de fluxo magnética não é nula, sendo
denominada de densidade de fluxo residual.
Quando o material foi completamente saturado a densidade de fluxo
residual é denominada de retentividade.
Histerese e curva de magnetização normal
Conversão de Energia II
A intensidade do campo magnético necessário para para reduzir a
densidade de fluxo magnético a zero é chamada de força coerciva.
O valor máximo da força coerciva é chamado de coersividade.
Perdas de potência no núcleo ferromagnético
Conversão de Energia II
As perdas totais no núcleo magnético, também chamadas perdas-ferro,
são divididas em duas perdas histerese Ph e perdas por corrente
parasiras PP.
Perdas por histerese
Phfe PPP +=
n
mhh BKfvP ⋅⋅⋅=
A área interna do laço de histerese representa as perdas por unidade de
volume do material por ciclo de magnetização. Esse energia é convertida
em calor.
Onde:
Ph = Perdas por histerese [W];
v = volume total do material [m3];
f = frequência de variação do fluxo [Hz];
Kh = constante que depende do material;
Bm = Valor máximo da densidade de fluxo;
n = depende do material empregado, situa-se 
na faixa de 1,5 < n < 2,5;
Perdas de potência no núcleo ferromagnético
Conversão de Energia II
Perdas por histerese
A área interna ao laço da histerese
representa as perdas por unidade
de volume do material por ciclo de
magnetização.
Perdas de potência no núcleo ferromagnético
Conversão de Energia II
Perdas por correntes parasitas
222
mPP BfKvP ⋅⋅⋅⋅= τ
Onde:
PP = Perdas por corrente parasitas [W];
v = volume total do material [m3];
t = espessura de laminação
f = frequência de variação do fluxo [Hz];
Kh = constante que depende do material;
Bm = Valor máximo da densidade de fluxo;
Perdas de potência associada com as correntes circulantes que existem
em percursos fechados dentro do corpo de um material ferromagnético e
causam uma perda indesejável por aquecimento.
Uma das formas de reduzir as 
perdas por corrente parasitas 
e construir o núcleo com 
chapas laminadas e isoladas 
eletricamente entre si.
Fluxo concatenado e indutância
Conversão de Energia II
O fluxo concatenado é o fluxoque circula por dentro de um enrolamento
de N espiras.
][WbN φ⋅=λ
][
i
L Hλ=
Para um circuito magnético no qual existe uma relação linear entre B e H, 
devido à permeabilidade constante do material ou à predominância do 
entreferro, podemos definir a relação fluxo (Φ) por corrente (i) por meio da 
indutância (L).
A unidade da inutância é o henry [H] ou Weber por ampere [Wb/A].
Fluxo concatenado e indutância
Conversão de Energia II
Manipulando a equação de indutância obtemos:
TotalTotal
NiN
i
N
i
N
ℜ
=
ℜ
⋅
⋅=
φ⋅
=
λ
=
2
i
L
Considerando a indutância do núcleo desprezivel em comparação com a
do entreferro, a indutância pode ser calculada por:
g
g
Total l
ANN ⋅µ⋅
=
ℜ
=
0
22
L
Exercício
Conversão de Energia II
Na figura abaixo a bobina é enroladas com N=1000 espiras. As dimensões do 
circuito magnético são:
Profundidade do material magnético em todo o circuito magnético = 2 cm;
Área das seções retas dos percursos A1 e A2 = 4 cm2;
Área das seções retas dos percursos A3 = 6 cm2;
Comprimento dos caminhos l1 e l2 =16 - 0,05=15,95 cm;
Comprimento do caminho l3 = 6 cm;
O material é do tipo chapas de aço silício (silicon sheet steel). Considerando o
espraiamento e a dispersão magnética. Com base nessas informações responda:
a) Quantos ampères são necessários na bobina para produzir uma densidade de 
fluxo de 1,0 T no entreferro?
Exercício
Conversão de Energia II
A curva BxH do aço fundido e
apresentada.
Exercício
Conversão de Energia II
No circuito magnético mostrado abaixo, temos as seguintes informações:
lC = 99 [cm], lg = 1 [cm], AC = 100 [cm2] e Ag = 10 x 10 cm. Para uma
densidade de fluxo na material magnético de B = 1 [Wb/m2], determine a
corrente “i” circulando na bobina de 100 espiras, necessária para produzir
essa densidade de fluxo.(desprezar espraiamento do fluxo) (Resp. I = 81,16 [A])
Curva normal de magnetização do 
material utilizado no circuito 
magnético do exercício.
Exercício proposto
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Um circuito magnético com um único entreferro está mostrado na figura abaixo. As
dimensões do núcleo são:
Área da seção reta Ac = 1,8x10-3 [m2] (lados 1x10-2 [m] por 1,8x10-1[m]);
Comprimento médio do núcleo lc = 0,6 [m];
Comprimento do entreferro g = 2,3x10-3 [m];
N = 83 espiras.
Supondo que o núcleo tenha permeabilidade de µ=2500µ0, não desprezar o
espraiamento no entreferro.
a) Calcule a relutância do núcleo Rc e a do entreferro Rg;
(Resp. Rc = 1,06.105 [A/Wb]; Rg = 8,17.105 [A/Wb])
b) Para uma corrente de i = 1,5A,Calcule o fluxo total; (Resp. Φ =1,35.10-4 [Wb])
c) Fluxo concatenado da bobina; (Resp. λ =1,12.10-2 [Wb])
d) Indutância L da bobina. (Resp. L =7,47 [mH])