Matemática Financeira com Calculadora HP 12C

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MATEMÁTICA FINANCEIRA COM HP-12C 
Prof. Ésio de Siqueira 
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Capítulo 1 
1. CONCEITOS GERAIS DE JUROS 11 
1.1 JUROS 11 
1.2. TAXAS DE JUROS 11 
1.3. DIAGRAMA FLUXO DE CAIXA 12 
1.4. TIPOS DE JUROS 13 
1.5. SIMBOLOGIA 14 
Capítulo 2 
2. CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 16 
2.1. JUROS SIMPLES 16 
2.2. MONTANTE SIMPLES 18 
2.3. UTILIZAÇÃO DA HP-12C NO CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES 20 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENVOLVENDO CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 22 
Capítulo 3 
3. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA25 
3.1. JUROS COMPOSTOS 25 
3.2. MONTANTE COMPOSTO 25 
3.3. FUNÇÕES FINANCEIRAS UTILIZADAS EM JUROS COMPOSTOS 26 
3.4. FÓRMULA PARA DEMONSTRAR OS JUROS COMPOSTOS 33 
3.5. JUROS COMPOSTOS COMPARADOS AOS JUROS SIMPLES 34 
Capítulo 4 
4. TAXAS DE JUROS 40 
4.1. JUROS PROPORCIONAIS 40 
4.2. TAXAS DE JUROS EQUIVALENTES (JUROS COMPOSTOS) 41 
4.2.1. Taxas Equivalentes 41 
4.3. TAXAS EFETIVAS E NOMINAIS 43 
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4.4. CÁLCULO DO MONTANTE COMPOSTO COM TAXA NOMINAL 44 
4.6. COMO PROGRAMAR TAXAS EQUIVALENTES NA HP-12-C 46 
4.7. TAXAS E ÍNDICES VARIÁVEIS/ INFLAÇÃO 47 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENVOLVENDO JUROS COMPOSTOS 50 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENVOLVENDO EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 63 
Capítulo 5 
5. DESCONTO69 
5.1. CONCEITO DE DESCONTO 69 
5.2. DESCONTO SIMPLES 70 
5.2.1. Desconto Racional - Por Dentro 70 
5.2.2. Desconto Comercial - Por Fora 70 
5.2.3. Desconto Bancário - Por Fora 71 
5.2.4. Outra Forma de Calcular a Taxa Efetiva 74 
5.2.5. Exercício com base nas Operações Bancárias 75 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENVOLVENDO DESCONTO SIMPLES 77 
5.3. DESCONTO COMPOSTO 78 
5.3.1. Desconto Comercial - Por Fora 78 
5.3.2. Desconto Racional – Por Dentro 79 
5.3.3. Assunção de Compromisso 80 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENVOLVENDO DESCONTO COMPOSTO 82 
Capítulo 6 
6. SÉRIES UNIFORMES 84 
6.1. SÉRIES DE PAGAMENTOS E RECEBIMENTOS 84 
6.2. RENDAS 84 
6.3. DEFINIÇÕES 84 
6.4. CLASSIFICAÇÃO DE ANUIDADES 84 
6.5. MODELO BÁSICO 85 
6.6. VALOR ATUAL DO MODELO BÁSICO 86 
6.7. MONTANTE DO MODELO BÁSICO 89 
6.8. VALOR PRESENTE DE UMA RENDA ANTECIPADA 90 
6.9. VALOR PRESENTE DE UMA RENDA DIFERIDA 91 
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6.10. VALOR FUTURO DE UMA RENDA ANTECIPADA 91 
6.11. VALOR FUTURO DE UMA RENDA DIFERIDA 92 
6.12. COEFICIENTES DE FINANCIAMENTO COM HP-12C 92 
6.13. CÁLCULO DA TAXA DE JUROS A PARTIR DO COEFICIENTE 95 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENVOLVENDO SÉRIES UNIFORMES 106 
Capítulo 7 
7. FLUXO DE CAIXA 109 
7.1. TAXA INTERNA DE RETORNO – IRR 109 
7.2. PASSOS PARA INTRODUÇÃO DE UM FLUXO DE CAIXA 110 
7.3. REVISÃO DE UM FLUXO DE CAIXA 113 
7.4. COMO ALTERAR UM FLUXO DE CAIXA 114 
7.5. COMO ALTERAR UM NÚMERO DE OCORRÊNCIAS CONSECUTIVAS 
IGUAIS 115 
7.6. VALOR PRESENTE LÍQUIDO – NPV 115 
Capítulo 8 
8. EMPRÉSTIMOS E AMORTIZAÇÕES 124 
8.1. SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO – SFA 124 
8.2. EXERCÍCIO PRÁTICO COM HP-12 C 125 
8.3. ROTINA DO CÁLCULO DA TABELA PRICE 127 
8.4. COMO CALCULAR OS DADOS DE UMA LINHA DE ORDEM "t" 128 
8.5. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC 129 
8.6. PLANILHAS DE EMPRÉSTIMO COM CARÊNCIA 131 
8.7. CUSTO EFETIVO DE UM EMPRÉSTIMO/FINANCIAMENTO 132 
Capítulo 9 
9. MANUAL DA HP-12C 134 
9.1. INTRODUÇÃO 134 
9.2. LIGANDO E DESLIGANDO A CALCULADORA 134 
9.3. PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS 135 
9.4. ADEQUAÇÃO DA MÁQUINA 136 
9.4.1. Eliminação de dados armazenados 136 
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9.4.2. Trocar o ponto pela vírgula 136 
9.4.3. Número de casas decimais no visor 137 
9.4.4. Trocar o sinal de um número 137 
9.4.5. Adequação da função calendário 138 
9.4.6. Anúncio “C” 138 
9.5. FUNÇÕES DE LIMPEZA 139 
9.6. TESTES 140 
9.7. REGISTRADORES DE ARMAZENAMENTO 141 
9.7.1. Registro da pilha automática (pilhas operacionais) 141 
9.7.2. Registradores de Armazenamento de Dados 143 
9.7.2.1. Armazenamento e Recuperação de Números 143 
9.7.2.2. Como limpar as memórias 145 
9.7.2.3. Operações aritméticas utilizando os registradores 145 
9.8. CALCULOS EM CADEIA 145 
9.9. PRINCIPAIS FUNÇÕES ALGÉBRICAS 147 
9.9.1. Potenciação 147 
9.9.2. Inverso de um número 148 
9.9.3. Radiciação 148 
9.9.4. Logaritmo 149 
9.10. FUNÇÕES AUXILIARES 150 
9.10.1. Tecla X><Y 150 
9.10.2. Tecla R↓ 151 
9.10.3. Função RND 151 
9.10.4. Função FRAC 151 
9.10.5. Função INTG 152 
9.11. FUNÇÕES PERCENTUAIS 152 
9.11.1. Percentagem de um número 152 
9.11.2. Variação percentual 153 
9.11.3. Percentagem do total 154 
9.12. FUNÇÃO CALENDÁRIO 155 
9.12.1. Variação de dias entre duas datas 155 
9.12.2. Cálculo de datas futuras e passadas 157 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE O FUNCIONAMENTO DA CALCULADORA 
HP 12-C 164 
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A Matemática Financeira tem se constituído, hoje em dia, matéria de muita 
procura não somente pelos homens ligados ao mercado financeiro, mas também 
pelos empresários de negócio de forma geral. 
Erros grosseiros, como o de confundir juros nominativos com juros efetivos, 
ou taxas de juros equivalentes com taxas proporcionais, juros descontados com 
juros antecipados, são cometidos constantemente, e tem derrubado executivos. 
Incorrer em certos erros na Matemática Financeira pode ser fatal. 
 Determinados erros de Matemática somente seriam explicáveis há 25 ou 30 
anos atrás, quando se desconheciam as pequenas calculadoras eletrônicas e se 
recorriam às complexas tábuas de logaritmos, tão detestadas nas escolas pelos 
que não gostam de matemática. Hoje em dia, o bom entendimento da Matemática 
Financeira já se tornou uma realidade com o advento das calculadoras financeiras 
e das Planilhas Eletrônicas, assim os erros grosseiros, já não são tão praticados 
como antigamente. 
 A presente apostila tem a finalidade de desenvolver, de forma prática, 
questões básicas da Matemática Financeira, com o apoio da calculadora HP-12C. 
Aliás, essa calculadora se constitui numa das mais sofisticadas e completas 
ferramentas destinadas a facilitar o entendimento dos cálculos financeiros, devido 
a sua capacidade de programação e armazenamento de dados, assim como, a 
sua forma moderna de calcular, baseada no Sistema RPN (Reverse 
PolishNotation), ou seja, Notação Polonesa Reversa, cuja instrução vem sempre 
depois do valor, o que permite um cálculo bem mais rápido do que nas demais 
calculadoras. 
Aliás, a calculadora HP-12C se constitui um fenômeno, pois nos dias de 
hoje dificilmente um equipamento eletrônico consegue resistir ao avanço 
tecnológico por muito tempo. A HP-12C Foi lançada pela empresa de informática 
e tecnologiaestadunidenseHewlett-Packard em 1981. Com mais de trinta anos 
essa calculadora consegue ser a mais procurada do mundo, superando em 
vendas todas as outras calculadoras modernas do gênero. 
 
RESUMO HISTÓRICO DAS MINI-CALCULADORAS 
 
 O aparecimento do Ábaco apareceu em várias civilizações em formas 
diferentes. Alguns historiadores afirmam que
o primeiro aparecimento se deu na 
Babilônia por volta do século XVII AC. Sendo que ao longo da história houve 
desenvolvimentos para facilitar os cálculos. Poderíamos citar a Régua de Cálculo 
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inventada logo depois de Napier ter introduzido os logaritmos no século XVI; a 
Pascaline inventada por Pascal em 1643; a máquina de calcular de Leibnitz que 
apareceu em 1694; a máquina de Diferenças de Babbage, projetada por volta de 
1830 que é considerada a antecessora direta do moderno computador digital que 
exigia muita precisão na sua fabricação e que por isso somente pode ser 
construída no século XX, apenas como curiosidade; o tabulador Hollerith feito 
para o Censo americano de 1890; e o Analisador Diferencial de Bush, construído 
em 1929 sendo o antecessor do moderno Computador Analógico. 
 Os Computadores Analógicos e Digitais foram desenvolvidos durante a II 
Guerra Mundial e apesar de terem revolucionado os cálculos matemáticos, indo 
além das máquinas de calcular não ofereciam facilidades ao público em geral. 
 Nos anos cinquenta já havia a venda desde Ábacos e Réguas de Cálculo até 
Computadores Digitais e Analógicos passando por uma grande variedade de 
calculadoras mecânicas e eletromecânicas capazes de fazer as quatro operações 
aritméticas e algumas até de imprimir resultados. 
 Na década de sessenta apareciam várias calculadoras de mesa com 
capacidade de armazenar programas internamente e em cartões magnéticos. 
 Na década de setenta o avanço da micro eletrônica fez aparecer as mini-
calculadoras, inicialmente somente com as quatro operações aritméticas com 
desempenho espantoso e rapidez chegando muito próximo as calculadoras de 
mesa e aos computadores digitais. 
 Hoje, existe uma infinidade de calculadoras modernas que não somente 
calcula as quatro operações mais realizam cálculos financeiros e científicos da 
mais alta complexidade e algumas até são programáveis inclusive imprimindo 
resultados. Apesar do avanço da micro-informática as calculadoras continuam 
sendo muito procuradas pela facilidade de manuseio e precisão nos cálculos. 
 
RESUMO HISTÓRICO DOS JUROS 
 
A Matemática Financeira sempre foi o grande suporte para compreensão do 
comportamento do dinheiro no tempo. Muito antes da existência dos 
computadores e das calculadoras eletrônicas de alta resolução, os cálculos 
financeiros eram bastante utilizados com o apoio da álgebra financeira. Cálculos 
mais complexos como o da taxa de juros de uma série de pagamentos uniformes 
ou o complicado cálculo da taxa interna de retorno já eram bastante utilizados nos 
projetos financeiros e resolvidos através de tentativas e erros. 
Hoje, no mundo globalizado, a Matemática Financeira tem seu papel 
fundamental e com o auxílio das calculadoras científicas, principalmente das 
calculadoras financeiras, bem como do uso das planilhas eletrônicas, os cálculos 
ficam mais fáceis e bastante acessíveis, não somente para o estudante que há 
algumas décadas atrás sofriam com tábuas financeiras e tábuas de logaritmos 
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para cálculos de coeficientes, mas também para os executivos de uma forma 
geral. Com esse ferramental as decisões tornam-se mais fáceis de serem tomadas 
e os projetos financeiros podem ser formulados com um maior grau de precisão. 
A história está sempre repleta de restrições com relação aos juros ou contra 
a usura. Sempre houve preconceito de ordem religiosa, moral e ética com relação 
à cobrança de juros. O entendimento dos juros é importante para um completo 
domínio do complexo mercado financeiro. “Vamos entender juros a partir da 
antiguidade, começando pela interpretação dos versículos 19 e 20 do capítulo 23 
de Deuteronômio: Vs. 19 –” Do teu irmão não exigirás juros: nem de dinheiro, nem 
de comida, nem de qualquer outra coisa que se empreste a juros. Vs. 20 – Do 
estrangeiro podes exigir juros, porém do teu irmão não os exigirás para que o 
Senhor teu Deus te abençoe em tudo que puseres a mão na terra na qual 
passareis a possuir”. 
A interpretação desses versículos teve curiosas consequências: os judeus 
(israelitas) consideravam irmãos os descendentes das doze tribos de Jacó. Os 
demais seriam estrangeiros. A Igreja Católica mais universalista considerava 
“irmãos” todos os seres vivos da terra. Tudo isso explica a predominância do 
capital judeu na atividade financeira daquela época até nossos dias. O mais 
interessante é que mesmo condenando enfaticamente os juros, a predominância 
dos judeus foi compartilhada com os lombardos e outros banqueiros cristãos que 
procuravam toda sorte de subterfúgio para esconder a cobrança de juros. 
Ao longo da história podemos destacar os seguintes pensamentos: 
a) ARISTÓTELES (384 AC – 322 AC): Condena os juros como pior forma 
de se ganhar dinheiro e, por considerar a moeda como algo estéril (cuja 
única utilidade é aumentar a velocidade das trocas), condena também a 
acumulação de dinheiro. 
b) DIREITO ROMANO: Base jurídica para a concepção do capitalismo 
mercantil do Renascimento era muito mais prático e liberal em relação ao 
juro e à acumulação de riquezas; 
c) PENSAMENTO GREGO: Irá fornecer a base filosófica à mensagem dos 
escolásticos que predominará durante a idade média. Os pensadores 
católicos da idade média absorverão completamente a condenação 
aristotélica da acumulação de capital e da cobrança de juros; 
d) SANTO AGOSTINHO (354 – 430): Acreditava que o comercio 
distanciava o homem do seu desejo de encontrar Deus e condenava 
explicitamente tanto a acumulação de riquezas como a cobrança de 
juros; 
e) SÃO TOMÁS DE AQUINO (1226 – 1274): Procurou promover a 
reconciliação entre os dogmas católicos sobre a prática econômica e a 
realidade do sistema econômico, mas era intransigente quanto à 
cobrança de juros; 
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f) IDADE MÉDIA: A cobrança de juros tornou-se impossível de se evitar no 
regime capitalista. Vários subterfúgios foram desenvolvidos para ocultar 
a cobrança de juros: formalmente a quantia a ser paga era idêntica 
àquela que se recebia não havendo a cobrança de juro formal. Na 
realidade o credor entregava uma quantia menor do que rezava o 
contrato ou recebia mais do que o documento determinava. As taxas de 
juros da idade média variavam de 5% a 24% ao ano. O nível das taxas 
de juros dependia do grau de risco enfrentado pelo emprestador. Há 
registros, inclusive, de que os lombardos cobravam juros de até 100% ao 
ano. A igreja passou a admitir a mora (damnumemergens) e o juro como 
compensação pela perda de oportunidadede lucros por quem empresta 
(lucrumcessans). Há também o reconhecimento dos juros como 
cobertura dos riscos assumidos pelo emprestador (periculum sortis); 
g) LUTERO (1483 – 1546) O mesmo pensamento de São Tomás de 
Aquino; 
h) CALVINO (1509 – 1564): Admite os empréstimos a juros no nível 
religioso, bem como todas as demais características do Sistema 
Capitalista: o lucro, o comércio e a acumulação de riquezas. É nesse 
novo contexto religioso e no cenário do Renascimento que se inicia o 
processo de inversões de capitais mercantis na agricultura 
transformando latifundiários em banqueiros e comerciantes. O lucro do 
capitalista comerciante é identificado ao interesse nacional. 
 
OS JUROS NA ATUALIDADE 
 
Hoje o juro mais do que nunca continua exercendo seu papel de relevante 
importância no mercado financeiro mundial. No Brasil tem como parâmetro a taxa 
básica de juros que compreende a menor taxa de juros vigente em uma economia, 
e atua como taxa de referência
para todos os contratos. A taxa básica no Brasil é 
também conhecida como SELIC definida pelo COMITÊ DE POLÍTICA 
MONETÁRIA (COPOM) do Banco Central. É a taxa de juros vigente no mercado 
interbancário que é utilizada na aplicação de empréstimos entre bancos para 
operações de um dia (overnight). A taxa básica de juros remunera os títulos da 
dívida pública e é um relevante instrumento da política monetária e fiscal. A SELIC 
é também instrumento do governo para controlar o consumo (custo do crediário) e 
o processo inflacionário. 
Nos Estados Unidos a taxa básica é controlada pelo Comitê Federal de 
Mercado Aberto – FED (Sistema de Bancos Centrais do EUA) com base na 
remuneração do FEDERAL FUNDS, que lastreiam empréstimos interbancários. 
 
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Na Europa vigora a taxa preferencial de juros (PRIME RATE) cobrada dos 
clientes preferenciais, isto é, aqueles que têm melhores avaliações de crédito. É 
determinada pelas condições de mercado como custos bancários, expectativas 
inflacionárias, remuneração e outros ativos. A taxa preferencial tende a ser a 
referência para todo o setor do mercado financeiro e normalmente tende a ser a 
menor taxa do mercado. 
De um modo geral a taxa preferencial supera em alguns casos a taxa básica. 
Na Inglaterra e na EUROZONA a taxa preferencial é o parâmetro para o mercado 
interbancário, funcionando assim como taxa básica. A LIBOR (London 
InterbankOffered Rate) remunera os grandes empréstimos entre os bancos 
internacionais que operam no mercado londrino e os empréstimos para 
instituições governamentais. A EURIBOR (Euro InterbankOffered Rate) é a taxa 
utilizada no interbancário da EUROZONA. 
 
 
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1.CONCEITOS GERAIS DE JUROS 
 
 
1.1JUROS 
 
Pagamento pelo uso do capital emprestado; Custo do capital de terceiros 
colocados à nossa disposição;Remuneração do capital investido; Aluguel do 
dinheiro. 
A noção de juros decorre do fato de que as pessoas preferem usufruir os 
seus bens no presente e não no futuro. Havendo uma preferência temporal para 
consumir as pessoas querem uma recompensa que nada mais é do que juros. 
 
 
1.2.TAXAS DE JUROS 
 
A taxa de juros é a razão entre ganho (juros) e o capital. É um coeficiente 
que determina o valor do juro, ou seja, a remuneração do fator capital, utilizado 
durante certo período de tempo. As taxas de juros se referem a uma unidade de 
tempo (dia, mês, bimestre, semestre, ano, etc.) e podem ser: percentual e 
unitária. 
 
(1.1) 
 
 
Taxa Percentual: "Centos" do capital, ou seja, o valor dos juros para cada 
centésima parte do capital. 
 
O capital de R$ 1000 aplicado a 20% a.a rende de juros o final desse período: 
 
 Juros= 20 x 1000= R$ 200,00 
 100 
 
 
Taxa Unitária: Representa o rendimento de cada unidade de capital em curto 
período de tempo. 
Juro = 1000 x 0,20 = R$ 200,00 
 
 
 ganho 
 capital i= 
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TAXA 
PERCENTUAL 
TRANSFORMAÇÃO TAXA UNITÁRIA 
2% 
9% 
10% 
15% 
180% 
2300% 
2/100 
9/100 
10/100 
15/100 
180/100 
2300/100 
0,02 
0,09 
0,10 
0,15 
1,80 
23,0 
 
Ou seja:2% a.m. ou0,02 a.m. 
10% a.t. ou0,10 a.t. 
180% a.a ou1,80 a.a 
 
 Os matemáticos financeiros modernos trabalham, sempre, com a forma 
unitária, por simplificar as fórmulas e consequentemente os cálculos. 
 
 
1.3.DIAGRAMA FLUXO DE CAIXA 
 
Fluxo de Caixa representa entradas e saídas de capital ao longo do tempo. 
Chamamos a representação gráfica do Fluxo de Caixa de Diagrama de Fluxo de 
Caixa: 
 
 
 Ex.:Entrada de caixa ( + ) 
 0 1 2 3n 
 
Saída de caixa( - ) 
 
 
A linha horizontal representa o tempo, o ponto Zero,o momento inicial, os 
demais pontos representam os períodos de tempo (datas). Os vetores apontados 
para cima indicam entradas de capital (recebimentos) e os vetores apontados 
para baixo indicam saídas ou aplicações de dinheiro. 
 
 
 
 
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1.4.TIPOS DE JUROS 
 
Juros Simples- os juros de cada período são calculados sempre em função do 
capital inicial. 
 
Juros Compostos- os juros de cada período são calculados sobre o capital mais 
os juros auferidos no período anterior, caracterizando assim uma Progressão 
Geométrica (PG). 
 
Ex.:Um aplicador investiu R$ 100 à taxa de 10% a.a. Qual será o saldo devedor 
no final dos próximos quatro anos. 
 
Final do 
 
Esc 
Capitalização 
Simples 
Capitalização 
Composta 
Período Saldo Juros/Ano Sal.Final Saldo Juros/Ano Sal.Final 
- 0 - - 100,00 - - 100,00 
1º ano 1 100,00 0,1 x 100 = 
10 
110,00 100,00 0,1 x 100 = 
10 
110,00 
2º ano 2 110,00 0,1 x 100 = 
10 
120,00 110,00 0,1 x 110 = 
11 
121,00 
3º ano 3 120,00 0,1 x 100 = 
10 
130,00 121,00 0,1 x 121 = 
12,10 
133,10 
4º ano 4 130,00 0,1 x 100 = 
10 
140,00 133,10 0,1 x 133,10 = 
13,31 
146,41 
Obs.: SAL. FINAL = Representa o saldo no final de cada ano. 
 
 
Comparação Gráfica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
150 
140 
130 
120 
110 
100 
 
 0 1 2 3 4 ------- n 
Juros composto 
 
 
Juros simples 
 
 N = 1 JS = JC 
 N > 1 JC > JS 
 N < 1 JC < JS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Juros Simples - características: 
 
a) Somente o capital inicial rende juros; 
b) O dinheiro cresce linearmente ao longo do tempo; 
c) O dinheiro cresce em progressão aritmética; 
d) Os juros são proporcionais. 
 
Juros Compostos - características: 
 
a) O dinheiro cresce mais rapidamente do que os juros simples; 
b) O dinheiro cresce exponencialmente ao longo do tempo; 
c) Os juros não são proporcionais. 
 
 
1.5. SIMBOLOGIA 
 
A simbologia é um sério complicador no estudo da matemática financeira 
isto porque não existem símbolos padronizados como, por exemplo, na 
matemática pura, na física, na química, etc. Cada autor procura personalizar seus 
livros com uma simbologia própria. Assim os símbolos mudam de livro para livro, 
de escola para escola de professor para professor. Assim fica difícil para quem 
está iniciando os estudos em matemática financeira entender diferentes símbolos 
para um mesmo conceito. 
 
Por exemplo é comum encontrar nos livros o símbolo para: 
 
capital: "P", "C", "Co", "VP", ou "PV"; 
 
para o montante:"S", "M","VF" ou "PV"; 
 
para a taxa:"i", "t", "h"ou uma letra grega como por exemplo ""; 
 
para o tempo: "n", "t", etc. 
 
Neste trabalho adotaremos a simbologia das calculadoras financeiras que é 
compatível com as Planilhas Eletrônicas. Dessa forma utilizaremos: 
 
 
 
 
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FINANC CIENT 
PV P Principal; valor presente, valor aplicado, investimento inicial, etc. 
FV S Montante, valor futuro, valor de resgate, etc. 
i i Taxa de juros. 
N n Número de períodos 
INT J Calcula os Juros Simples (HP-12C) 
PMT R Prestações, pagamentos ou recebimentos periódicos, etc. 
CFj FCJ Fluxo de Caixa de ordem
“j” 
CF0 FC0 Fluxo de Caixa Inicial 
NJ NJ Número de Fluxos repetido 
NPV VPL Valor Presente líquido 
IRR TIR Taxa Interna de retorno 
 
Ao longo do estudo utilizaremos outros símbolos complementares utilizados 
nos livros mais atualizados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
 
 
2.1. JUROS SIMPLES 
 
A capitalização simples é aquela em que a taxa de juros, no final de cada um 
dos períodos de capitalização, incide somente sobre o principal. 
 
O valor dos juros é calculado a partir da seguinte expressão: 
 
 
(2.1) 
 
 
Fórmulas derivadas: 
 
(2.2) 
 
 
(2.3) 
 
 
(2.4) 
 
 
Exemplos 
 
1. Um capital de R$ 200.000,00 foi aplicado à taxa de 2,25% a .m., no regime de 
juros simples, durante um semestre. Qual o valor dos juros acumulados neste 
período: 
 
 PV = 200.000 i = 2,25% a .m. n = 6 meses 
 
 
 
 
 
 
 J = PV. i . n 
 J 
 i . n 
PV = 
 J 
 PV . n 
 i = J = PV. i . n 
J 
PV . i 
 n = 
 Solução: 
 
J = 200.000 x 0,0225 x 6 = 27.000,00 
 
HP-12C→ 200.000 0,0225 6 
 
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2. Uma pessoa tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% 
a.m. durante 10 meses. Ao final do período, calculou em R$ 300.000 o total dos 
juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo. 
 
 J = 300.000 i = 6% a .m. n = 10 meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Um capital de R$ 1.200,00 foi aplicado num fundo de investimento por 12 
meses, produzindo um juro de R$ 720,00. Determinar a taxa de juro: 
 
 PV = 1200 n = 12 m j = 720,00 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: Multiplicamos por 100 por estarmos lidando com taxas unitárias. 
 
4. Um capital de R$ 4.800 foi aplicado à taxa de 3,5% a.m., produzindo juros de 
R$ 730,80. Calcular por quanto tempo ficou aplicado o capital: 
 
 PV = 4.800 i = 3,5% a.m. j = 730,80 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 
n = _730,80 = 4,35 
 4.800 x 0,035 
 
HP-12C→ 730,80 4.800 0,035 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 
PV = 300.000 = 300.000 = 500.000,00 
 0,06 x 10 0,60 
 
HP-12C→ 300.000 0,06 10 
 
 Solução: 
 
i = 720 = 5% a. m. 
 1.200 x 12 
 
HP-12C→ 720 1200 12 100 
 
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2.2. MONTANTE SIMPLES 
 
 O montante representa o capital mais o rendimento (juros) e pode ser 
assim representado: 
 
 FV = PV + J 
 
 FV = PV + PV. i . n 
 
 (2.5) 
 
 
Fórmulas Derivadas: 
 
(2.6) 
 
 
 
 (2.7) 
 
 
 
(2.8) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 
Resposta: 4 meses e ... 
Com uma regra de três resolvemos: 
 1 Mês está para 30 dias assim como 0,35 está para quantos dias? 
1 30 
 0,35 x ou seja, 30 x 0,35 = 10,5 
 
Resposta: 4 meses e 10 dias 
 
 
 
 
 
 
FV = PV.(1 + i.n) 
FV = PV.(1 + i.n) 
 FV 
 (1 + i.n) 
 PV = 
FV 
 PV 
 n 
 
 i = 
 – 1 
FV 
 PV 
 i 
 
 – 1 
 n = 
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Exemplos 
 
1. Uma pessoa aplica R$ 8.500,00 a uma taxa de juros linear de 7% a.m. pelo 
período de 4 meses. Qual o montante? 
 
PV = 8.500 i = 7% a.m. n = 4 meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Uma operação a juros simples rendeu R$ 9.300. Sabendo-se que a taxa de 
juros é de 6% a .m. e o tempo 48 dias determinar o valor do principal. 
 
FV = 9.300 i = 6% a.m. n = 48 dias (48/30) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Calcular a taxa de juros mensal em uma operação de juros simples resultado 
de aplicação de R$ 12.000, durante 90 dias, que proporcionou um resgate de 
R$ 13.260 no seu rendimento: 
 
 PV = 12.000 FV = 13.260 n = 90 dias( 3 meses) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 
PV = 9.300 = 8.485,40 
 1 + 0,06 x 48 
 30 
 
HP-12C→ 9.300 I 0,06 48 30 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 
FV = 8.500.(1+ 0,07 x 4) = 10.880,00 
 
 
HP-12C→ 8.500 1 0,07 4 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 
13.260 
i = 12.000= 3,5% a.m. 
3 
 
HP-12C → 13.260 12.000 1 3 100 
 
 
 
 
 
 
 
 – 1 
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4. Qual o tempo necessário para que um capital de R$ 18.800 aplicado a uma 
taxa de juros simples de 4,5% a .m proporcione um resgate de R$ 24.510,50. 
 
PV = 18.800 FV = 24.510,50 i = 4,5% a .m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3. UTILIZAÇÃO DA HP-12C NO CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES 
 
Para o cálculo dos juros simples a HP-12C tem utilização limitada, pois só 
calcula os juros e o montante. Além do mais a introdução do período tem que 
ser em dias e a taxa expressa em termos anuais: 
 
 INT 
 
 
 
tempo valorpresente 
 
taxa de juros 
 
Rotina: 
a) limpar os registradores financeiros f FIN 
b) Introduzir o período em dias "n" 
c) Introduzir a taxa de juros anual "i" 
d) Introduzir o principal CHS PV 
e) Pressionarf INT para obtenção dos juros calculados na base de um ano de 
360 dias. 
f) Pressionar (+) para obter o montante. 
 
 Solução: 
 
24.510,50 
n=18.800= 6,75 
 0,045 
 
HP-12C → 24.510,50 18.800 1 0,045 
 
Resposta correta: 6 meses e 22 dias. 
 
 
 
 
 – 1 
n i PV 
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Exemplos 
 
1. Uma pessoa aplicou R$ 350.000 a uma taxa de juros simples de 5% a .m, pelo 
período de 6 meses. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Um empréstimo de R$ 8.000,00, foi concedido por uma empresa a um 
funcionário que se prontificou a pagar no final de quatro meses, à taxa de juros 
simples de 3% ao mês. Calcular os juros pagos pelo funcionário e montante 
utilizado para liquidação dos do débito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO 
 
 0,00 Limpa a memória financeira 
350000 
350.000,00 Entra com o valor presente 
60 
60,00 Entra com a taxa anual 
180 
180,00 Entra com tempo em dias 
 
105.000,00 Calcula os juros simples 
 
455.000,00 Calcula o montante 
 
103.561,64 Valor dos juros – Ano Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO 
 
 0,00 Limpa a memória 
financeira 
8.000,00 
8.000,00 Entra com o valor 
presente 
3 12 
36,00 Entra com a taxa anual 
4 30 
120,00 Entra com tempo em 
dias 
 
960,00 Calcula os juros simples 
 
8.960,00 Calcula o montante 
 
946.85 Valor dos juros – Ano 
Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENVOLVENDO CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
 
 
1. Qual a taxa de juros simples que aplicada
a um capital de R$ 300.000,00 
gera um montante de R$ 354.000,00 em seis meses? 
 
Resposta: 3% a m. 
 
2. Qual o juro simples total pago pelo empréstimo de R$ 100.000,00 durante 
30 dias as taxas variáveis de 1,5% a m. (durante 12 dias); 1,8% a m. 
(durante 08 dias) e 2,3% am. (durante 10 dias)? 
 
Resposta: R$ 1.846,67 
 
3. O montante de um capital de R$ 66.000,00 ao final de 14 meses é 
determinado adicionando-se R$ 55.440,00 de juros. Calcular a taxa linear 
mensal e anual utilizada. 
 
Resposta: 6% a m. 72% a a. 
 
4. Um eletrodoméstico é vendido em quatro pagamentos mensais e iguais. 
O primeiro pagamento é efetuado no ato da compra, e os demais são 
vendidos em 30, 60 e 90 dias. Sendo de 5% ao mês a taxa linear de juros, 
pede-se calcular até que valor interessa adquirir o bem à vista; (valor 
percentual). 
 
Resposta: 93,28% 
 
5. Um investidor com certo volume de capital deseja diversificar suas 
aplicações no mercado financeiro. Para tanto aplica 60% do capital numa 
alternativa de investimento que paga 25,2% a a. pelo prazo de 60 dias. A 
outra parte é investida numa conta de capitalização por 30 dias sendo 
remunerada pela taxa linear de 2,5% ao mês. O total dos rendimentos 
auferidos pelo aplicador atinge R$ 19.520,00. Pede-se calcular o valor de 
todo capital investido; 
 
Resposta: R$ 554.545,45 
 
 
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6. Um título com renda final negociado no mercado financeiro está pagando 
27.6% ao ano de juros simples. A alíquota do imposto de renda é de 20% 
e incide sobre o valor dos rendimentos, sendo pago no momento da 
aplicação. Determinar a taxa anual líquida(após o IR) de rentabilidade do 
investidor; 
 
Resposta: 20,92% a. a. 
 
7. Uma aplicação de R$ 150.000,00 é efetuada pelo prazo de 03 meses à 
taxa de juros simples de 36% a.a.Que outra quantia deve ser aplicada por 
dois meses à taxa linear de 24% a.a. para se obter o mesmo rendimento 
financeiro? 
 
Resposta: R$ 337.500,00 
 
8. O valor de resgate de um título é 140% maior que o valor da aplicação. 
Sendo de 30% a.a. a taxa de juros simples, pede-se calcular o prazo da 
aplicação; 
 
Resposta: 56 meses 
 
9. Se o valor atual de um título é igual a 4/5 de seu valor nominal e o prazo 
de aplicação for de 10 meses. Qual a taxa de juros simples mensal 
considerada; 
 
Resposta: 2,5% a.m. 
 
10. Um capital aplicado por 8 meses formou um montante de R$ 8.140,00 e 
em seguida (no final do oitavo mês) aplicado por mais 15 meses 
gerando um novo montante de R$ 10.450. Qual o valor aplicado? 
 
Resposta: 7.069,95. 
 
11. Dois terços de um capital(2/3) foram investidos a 9,8% ao ano e o 
restante a 11% ao ano. No fim de três anos a diferença entre os juros 
auferidos é de RS 180,00. Qual o valor do capital investido? 
 
Resposta: 2.093,02. 
 
 
 
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12. Determinado aparelho custa à vista R$1.000,00, podendo ser vendido 
com entrada de 20% mais uma prestação de R$ 856,00 no final de 35 
dias. Calcular a taxa de juros simples anual cobrada pela loja. 
 
Resposta: 72% a.a. 
 
13. Qual o prazo que um investidor deve aguardar para ganhar em uma 
aplicação o equivalente a 1/5 do seu valor investido, a uma taxa de juros 
simples de 16% ao ano. 
 
 Resposta: 1 ano e 3 meses 
 
14. Uma empresa contrai um empréstimo de R$ 750.000,00 à taxa de juros 
simples de 3,3% ao mês. Em determinada data liquida esse empréstimo 
pelo montante de R$ 923.250,00 e contrai nova dívida de R$ 400.000,00 
pagando uma taxa linear mais baixa. Este último empréstimo é 
resgatado é liquidado dez meses depois pelo montante de R$ 496.000,00. 
Calcular: a) o prazo do primeiro empréstimo e o valor dos juros pagos; 
b) a taxa de juros simples mensal e anual cobrada no segundo 
empréstimo. 
 
Resposta: a) 7 meses; R$ 173.250,00; 
 b) 2,4% ao mês; 28,8% ao ano 
 
15. Qual o tempo necessário para triplicar um capital aplicado à taxa 
 á taxa de juros simples de 12% ao trimestre? 
 
Resposta: 16 trimestres e 2 meses. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 
 
3.1. JUROS COMPOSTOS 
 
É aquela que no final de cada período os juros são incorporados ao capital 
para renderem juros no período seguinte, ou seja, a taxa de juros incide sobre o 
principal acrescido dos juros acumulados no período anterior. 
 
Ex.: 100 a 10% ao período 
PERÍODO SALDO INICIAL JUROS SALDO FINAL 
0 
1 
2 
3 
4 
- 
100,00 
110,00 
121,00 
133,10 
- 
10,00 
11,00 
12,10 
13,31 
100,00 
110,00 
121,00 
133,10 
146,41 
 
Como pode ser observado o crescimento dos juros deixa de ser linear e 
passa a ser exponencial. Nos juros compostos não existe a proporcionalidade dos 
juros simples o que inviabiliza os cálculos efetuados através de regra de três. 
 
 
3.2.MONTANTE COMPOSTO 
 
Se formos capitalizar o principal em cada período pelo fator de capitalização 
(1+ i), chegaremos a fórmula do montante composto: 
 
FV1 FV2 FV3 FVn 
 (1+i) (1+i) (1+i) … 
 0 1 2 3 n 
PV 
 
 FV1 = PV (1+i) 
FV2 = FV1 (1+i) = PV.(1+i)(1+i) = PV (1+i)² 
 FV3 = FV2 (1+i) = PV.(1+i)²(1+i) = PV (1+i)³ 
......................................................................... 
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 FV n = FV n - 1 (1+i) = PV(1+i)
n-1. (1+i) = PV(1+i) n 
 
Considerando FVn = FV temos que: 
 
 
(3.1) 
 
 
 
Fórmulas Derivadas: 
 
(3.2) 
 
 
 
(3.3) 
 
 
 
(3.4) 
 
 
 
 
3.3.FUNÇÕES FINANCEIRAS UTILIZADAS EM JUROS COMPOSTOS 
 
 
 
 
 
tempo valor presente valor futuro 
 
 taxa de juros pagamentos periódicos 
 
 Ao contrário dos juros simples o software dos juros compostos é mais 
dinâmico, utilizando as cinco funções, bastando somente compatibilizar tempo e 
taxa, o seja, ambos têm que ter a mesma unidade de tempo. Para cálculo dos 
juros compostos basta ter três variáveis definidas e uma quarta para definir. Em 
alguns que veremos mais na frente lidamos com quatro variáveis definidas e uma 
quinta a definir. Vejamos agora como se calcula os juros compostos com a 12C: 
 
 
FV= PV.(1 + i)n 
n i PV PMT FV 
FV= PV.(1 + i)n 
 FV 
 (1 + i)n 
 PV = 
 
FV 
 PV 
 
 
 – 1 i = 
 n 
FV 
 PV 
 ln (1+i) 
 
n = 
 ln 
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Exemplos 
 
1. Uma pessoa aplicou R$ 12.000 a taxa de juros compostos de 3% ao mês 
durante quatro meses. Calcular o montante e os juros: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Uma pessoa aplicou certa quantia em um fundo de renda fixa à taxa de 2% ao 
mês, durante 6 meses, e obteve um resgate de R$ 48.000. Calcular o valor 
aplicado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO 
 
 0,00 Limpa a memória financeira 
12.000,00 
-12.000,00 Entra com o valor do 
principal 
3 
3,00 Entra com a taxa mensal 
4 
4,00 Entra com tempo em meses 
 
13.506,11 Calcula o montante 
 
1.506,11 Calcula os juros compostos 
(FV – PV) 
Observe que os dados deste problema foram os mesmos para
o cálculo dos 
juros simples. Compare os resultados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 PV 
Solução: 
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO 
 
 0,00 Limpa a memória financeira 
48.000 
-48.000,00 Entra com o valor futuro 
2 
2,00 Entra com a taxa mensal 
6 
6,00 Entra com tempo em meses 
 
42.622,63 Calcula o investimento inicial 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Uma empresa investiu R$ 230.000 durante três meses em um fundo de 
investimento e obteve um montante de R$ 242.644,90. Calcular a taxa de juros 
compostos envolvida na operação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Uma empresa aplicou R$ 560.000 em um Banco à taxa de juros compostos de 
1,5% ao mês e obteve um resgate de R$ 601.485,32. Calcular o tempo da 
operação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO 
 
 0,00 Limpa a memória financeira 
230.000 
230.000,00 Entra com o valor presente 
242.644,90 
242.644,90 Entra com o valor de 
resgate 
3 
3,00 Entra com tempo em meses 
 
1,80 Calcula a taxa de juros 
 
Cont. Solução: 
É importante observar que a ordem de entrada dos dados não influencia no 
resultado. Entretanto, devemos obedecer a convenção do fluxo de caixa: 
entrada e saída de capital. Porquanto deve-se entrar com o PV e o FV com 
sinais trocados, caso contrário a calculadora não executará o cálculo e 
apresentará no visor a mensagem de erro: ERROR 5 ( falha na convenção 
de caixa). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO 
 
 0,00 Limpa a memória financeira 
560.000 
-560.000,00 Entra com o valor presente 
601.485,32 
601.485,32 Entra com o valor de resgate 
1,5 
1,50 Entra com a taxa mensal 
 
5,00 Calcula o tempo 
 
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Cont. Solução: 
 
Este resultado não corresponde à realidade, ou seja, não está correto, pois se 
pressionarmos a função FV, novamente, vamos verificar que o montante se 
altera e o mostrador da calculadora vai acusar um valor de R$ 603.279,04, o 
que demonstra que o resultado cinco, obtido no cálculo, está arredondado 
para mais. A calculadora vai sempre apresentar um cálculo alterado quando o 
fator tempo for fracionário. Esta é uma das poucas deficiências de nossa 
calculadora HP-12C. Neste caso aconselhamos o seguinte: 
 
 
a) Calcular o tempo pelo método científico, ou seja, através de logaritmos. 
 
b) Ou transformar a taxa na menor unidade de tempo, no caso, em dia, pelo 
método exponencial e calcular a quantidade de dias para transformar em 
outra unidade de tempo. 
 
O método científico (algébrico) é o mais exato, portanto vamosresolver nosso 
problema através de logaritmos: 
 
Considerando afórmula do montante: FV = PV ( 1 + i )n temos que: 
 
FV/PV = (1 + i)n 
 
Utilizando-se a propriedade matemática dos logaritmos de que o logaritmo de 
uma potência é igual ao expoente multiplicado pelo logaritmo da base, temos: 
 
ln (FV/PV) = n.ln (1 + i) onde n = ln (FV/PV) / ln (1 + i ) portanto: 
 
n = ln(601.485,32 / 560.000) / ln (1 + 0,015) = 4,8 . 
 
 Daí temos um resultado de 4 meses e 24 dias ( os dias são calculados 
multiplicando-se a fração do mês 0,80 pela quantidade de dias do mês, 
considerando ano comercial, ou seja 30 dias). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. Uma fundação aplicou R$1.500.000 em um certificado de depósito bancário – 
CDB, a uma taxa pré-fixada de 1,4% ao mês, pelo prazo de 38 dias. Calcular: 
a) Valor do resgate bruto 
b) Imposto de renda 
c) Resgate líquido 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Outros exemplos comparando-se o cálculo algébrico como financeiro. 
 
1. Qual o montante de uma aplicação no total de R$ 175.000, pelo período de 3 
meses a uma taxa de 2% a .m, no regime de juros compostos: 
 
PV = 175.000 i = 2% a .m. n = 3 meses 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO 
 
 0,00 Limpa a memória financeira 
1.500.000 
-1.500.000,00 Entra com o valor presente 
1,4 
1,40 Entra com a taxa 
38 30 
1,27 Entra com tempo 
 
1.526.649,48 Calcula o resgate bruto 
 
26.649,48 Calcula o rendimento bruto 
20 
5.329,90 Calcula o imposto de renda 
- 21.319,59 Calcula o valor do 
rendimento líquido 
 
1.521.319,59 Calcula o valor do resgate 
líquido 
 
 CHS 
 PV 
 Solução: 
HP-12C → 175.000 1,02 3 
 
 
 
 
 
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 31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Qual a taxa de juros mensal que aplicada durante 120 dias , em um capital R$ 
88.000 rende R$ 95.366,14? 
 
PV = 88.000 FV = 95.366,14 n = 120 dias ( 4 meses) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cont. Solução: 
 
HP-12C →ROTINA FINANCEIRA 
 
Limpa o visor 
175000 Principal 
3 Introduz o período 
2 Introduz a taxa 
185.711,40 Valor do montante 
 
EXCEL →= VF (2%; 3; 0; -175.000; 0) 185.711,40 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 
 
 
 
 
 
HP-12C → 95.366,14 88.000 4 1 100 
 
 
HP-12C →ROTINA FINANCEIRA 
 
 
95.366,14 
88.000 
4 
 2,03 
 
EXCEL →= TAXA (4; 0; -88.000; 95.366; 4; 0) 
 
 
 
 
 – 1 
4 
 i = =2,03% a.m. 95.366,14 
88.000,00 
 
 
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 32 
 
3. Qual o prazo de aplicação necessária para um capital de R$ 750.000, a uma 
taxa de juros compostos de 1,8% a. m produzir o montante de R$ 839.662,38. 
 
PV = 750.000 FV = 839.662,38 i = 1,8% a .m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 
 
 
 
 
Ou seja,06 meses e 10 dias 
 
HP-12C→839.662,38 750.000 1,018 
 
 
HP-12C →ROTINA FINANCEIRA 
 
Limpa registradores financeiros 
839.662,38 Introduz o montante 
750.000 Introduz o principal 
1,8 Introduz a taxa 
7 Tempo 
 
Obs.: Se pressionarmos a tecla FV para ver qual o montante produzido em 
n=7 vamos verificar que o período não é correto, pois conforme vemos no 
cálculo algébrico a resposta correta é 6 meses e 10 dias. A HP-12C sempre 
arredonda para maior. No cálculo do período aconselhamos a solução pelo 
método algébrico (através de logaritmos) ou utilizando a taxa equivalente 
diária (estudada no terceiro capítulo desta apostila). 
 
 
 
 
n = = = 6,33 
839.662,30 
750.000,00 
ln (1+0,018) 
 
 ln 
0,112927 
0,01784 
 
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 33 
 
4. Um aplicador investiu R$ 200.000, pelo período de 8 meses à taxa de juros 
compostos de 28% a .a. Calcular o montante da operação. 
 
PV = 200.000 n = 8 i = 28% a . a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.4.FÓRMULA PARA DEMONSTRAR OS JUROS COMPOSTOS 
 
 
J = FV – PV 
 
J = PV( 1+i ) n - PV 
 
(3.5) 
 
 Solução: 
 
FV = 200.000 (1 + 0,28) 8/12= 235.778,02 
 
HP-12C → 200.000 1,28 8 12
HP-12C →ROTINA FINANCEIRA 
 
Limpa registradores financeiros 
200.000 Introduz o principal 
28 Introduz a taxa 
8 12 Introduz o período 
 235.778,02 
 
Obs.: Caso a máquina estivesse sem o anúncio "c" no "display" o resultado 
teria um valor maior uma vez que quando o período for fracionário a 
calculadora interpola linearmente e efetua o cálculo da parte fracionária no 
regime de juros simples. Experimente tirar o anúncio "c" da calculadora 
pressionando as teclas (STO e EEX) e pressione FV. O resultado do montante 
passa a ser R$ 237.333,33. Chamamos a atenção para que o anúncio "c" 
fique sempre aceso no visor da calculadora. Para recolocá-lo basta repetir a 
operação STO EEX. 
 
EXCEL →= VF (2%; 3; 0; -175.000; 0) 185.711,40 
 
 
 
 
 
J= PV.[(1 + i)n – 1] 
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 34 
 
 
3.5. JUROS COMPOSTOS COMPARADOS AOS JUROS SIMPLES 
 
Façamos a comparação de uma aplicação de R$ 20.000,00 à taxa de 
2%a.m. 
 
Período em dias/mês 
Montante Simples 
FV = PV(1 + in) 
Montante Composto 
FV = PV (1+i)n 
 
5 dias 
 
15 dias 
 
25 dias 
 
30=1mês 
 
3 meses 
 
4 meses 
 
5 meses 
 
20.066,67 
 
20.200,00 
 
20.333,33 
 
20.400,00 
 
21.200,00 
 
21.600,00 
 
22.000,00 
 
20.066,11 
 
20.199,01 
 
20.332,78 
 
20.400,00 
 
21.224,16 
 
21.648,64 
 
22.081,62 
 
 
 Daí comprovamos que quando "n" for menor que 1 período ( período da 
taxa) os juros simples são maiores que os juros compostos. Quando "n" for igual a 
1 os juros compostos são iguais aos juros simples e quando "n" for maior do que 1 
os juros compostos são maiores do que os juros simples. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 35 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE JUROS COMPOSTOS 
 
PROBLEMA 01 
 
Um empresário efetuou um pagamento a um Banco de R$ 400.000, referente 
ao valor de um empréstimo contraído há dois anos. A taxa de juros foi de 4,5% 
ao mês. Calcular o valor do empréstimo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 02 
 
 Uma determinada loja financia um bem de consumo durável no valor de R$ 
1.600, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 5.251,21 
no final de 27 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? 
 
 
 
 Solução: 
TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
 
0,00 Limpa Registradores. 
400.000 
400.000,00 Valor Futuro. 
24 24,00 Prazo (meses). 
4,5 4,5 Taxa Mensal. 
 
-139.081,39 Valor Emprestado. 
 
NOTAS 
1. A calculadora HP - 12C foi concebida segundo o conceito de fluxo de caixa; 
assim sendo, às entradas de caixa está associado o sinal (+) e às saídas de 
caixa o sinal ( - ). Portanto, essa resposta, com sinal negativo, apenas indica 
que R$ 139.081,39 é uma saída de caixa e R$ 400.000,00 uma entrada de 
caixa (problema enfocado do ponto de vista do banco. 
 
2. Ao invés de pode-se usar também
. 
 
3. É importante lembrar que a função REG apaga os registradores. 
 
 
 
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 36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 03 
 
 Qual o prazo necessário para que um empréstimo de R$ 88.000 possa ser 
quitado em um único pagamento de R$ 150.000 sabendo-se que a taxa é de 
32,25% ao ano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
 
0,00 Limpa registradores. 
16000 
16.000,00 Valor do Financiamento 
52512.15 52.512,15 Valor futuro 
27 27,00 
Prazo do Financiamento 
(em meses) 
 
4,50 Taxa mensal 
 
 
 
 PMT 
 Solução: 
 
TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
 
0,00 Limpa registradores 
88.000 
-88.000,00 Valor do Empréstimo 
150.000 110.624,65 Valor do Resgate 
32,25 32,25 Taxa anual 
 2,00 Prazo anos 
 
Obs.: Esta resposta não corresponde à realidade, uma vez que o prazo 
correto é 1,9 que corresponde a um ano, dez meses e 26 dias. Para tanto é 
necessário aplicar o logaritmo: 
 
 
 
 
 
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 37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 4 
 
Qual o montante correspondente a uma aplicação de R$ 200.000, pelo prazo de 
16 meses, a uma taxa de 1,8% ao mês. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cont. Solução: 
 
TECLA VISOR SIGNIFICADO 
 
150.00,00 Recupera o valor de resgate 
 
88.000,00 Recupera valor do empréstimo e 
troca sinal 
 
1,704545 Razão entre FV e PV 
 
0,533298 Logaritmo da razão 
 100 1 
 
1,3225 Recupera a taxa e transforma 
em fator 
 
0,279524 Calcula o logaritmo do fator 
 
1,907882 Prazo fracionado em ano 
Aplicar a regra de três: 
1/12 = 0,9/x ... x= 10 meses 
1/30 = 0,89/x ... x= 27 dias 
Resposta:1ano 10 
meses e27 dias 
Obs.: Quando se trata de prazo devem-se utilizar os recursos do logaritmo, 
pois a calculadora arredonda a resposta, o que pode acarretar distorções 
significativas no cálculo. 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 
TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
 
0,00 Limpa registradores 
200.000 
200.000,00 Valor da Aplicação 
16 
16,00 Prazo (em meses) 
1,8 
3,39 Taxa mensal 
 
-266.069,10 Valor do Montante 
 
 
 
 
 
 
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PROBLEMA 5 
 
Um título deverá ser resgatado por R$ 250.000 no seu vencimento, o que 
ocorrerá dentro de sete meses. Sabendo-se que o rendimento desse título é de 
48% ao ano, determinar o seu valor presente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 6 
 
Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 
TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
 
0,00 Limpa registradores 
250.000 
-250.000,00 Valor de resgate 
48 
48,0 Taxa anual 
7 12 
0,5833 Prazo (em fração de ano) 
 
198.893,54 Valor presente 
 
Obs: O indicador “C” deve estar aceso no lado direito do visor, caso contrário a 
calculadora fará interpolação linear (quando o tempo for menor do que o prazo 
da taxa) e o cálculo será alterado para maior. Utilize a função STO EEX para 
posicionar o “C”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 
TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
1.02 
1,02 Forma o fator 
12 1 
0,27 Taxa anual (forma unitária) 
100 
26,82 Taxa anual (percentual) 
 
 
 
 
 
 
 
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 39 
 
PROBLEMA 7 
 
Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Essas questões (6 e 7) serão melhor compreendidas após o estudo do 
capítulo destinado a taxas de juros (IV). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 
TECLAS VISOR SIGNIFICADO 
1.60103 
1,60103 Forma o fator 
12 
1,04 Fator mensal 
1 100 
4,00 Taxa Mensal (percentual) 
 
 
 
 
 
 
 
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 40 
 
 
 
 
4. TAXAS DE JUROS 
 
 
4.1.JUROS PROPORCIONAIS 
 
São as taxas de juros simples cujo crescimento é linear, ou seja, cresce em 
linha reta (progressão aritmética). 
 
Ex.: 60% a.a. corresponde a 5% a.m.
Cálculo: 60/12 = 5 
 
 0,5% a.m. corresponde a 6% a.a. 
 Cálculo: 0,5 x 12 = 6 
 
As taxas de juros simples são, como vimos, proporcionais e também 
equivalentes, pois uma ou mais taxas aplicadas em um mesmo capital, por um 
mesmo período de tempo rendem um mesmo montante. 
 
 
Exercícios 
 
1. Calcular a taxa anual equivalente a 2% a.d. 
Resp. 720% a.a. 
 
2. Calcular a taxa diária equivalente a 9% a.b. 
Resp. 0,15 % a.d. 
 
3. Calcular a taxa diária equivalente a 6% a.m. 
Resp. 0,2% a.d. 
 
4. Calcular a taxa para 58 dias equivalente a 10% a.m. 
Resp. 19,33% em 58dias 
 
5. Calcular a taxa para 90 dias equivalente 8% a.s. 
Resp.4% a.t. 
 
 
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 41 
6. Calcular a taxa anual equivalente a 0,0041% a.d. 
Resp. 1,476% a.a. 
 
7. Calcular a taxa mensal equivalente a 28% em 196 dias 
Resp. 4,28% a.m. 
 
 
Obs.: Nos juros simples a taxa equivalente é também proporcional. 
 
 
 
4.2. TAXAS DE JUROS EQUIVALENTES (JUROS COMPOSTOS) 
 
 
4.2.1.Taxas Equivalentes 
 
Duas ou mais taxas são equivalentes no regime de juros compostos quando 
aplicadas em um mesmo capital no mesmo período rendem o mesmo montante. 
Como vemos a definição é idêntica à equivalência de taxas na capitalização 
simples, entretanto é bom lembrar que nos juros compostos o comportamento da 
taxa é exponencial não cabendo, portanto a prática de dividir e multiplicar taxas. 
 
60% a.a. corresponde a 3,994411% a.m. 
Extrair a raiz 12 do fator 1,60 diminuir 1 e multiplicar por 100. 
Vejamos com a HP-12C: 60 enter 100 divide 1 + 12 1/x Yx 1 - 100 x 
 
0,5% a.m. corresponde a 6,17% a.a. 
Eleve o fator 1,005 a potência 12 diminuir 1 e multiplicar por 100. 
Vejamos com a HP-12C: 0,5 enter 100 divide 1+ 12 Yx 1 - 100x 
 
 
(4.1) 
 
Onde: 
 
iq = taxa que quero 
it= taxa que tenho 
q = tempo que quero 
t = tempo que tenho 
 
 
 
i q= (1 + i t) 
q/t
 -1 
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EXERCÍCIOS 
 
1. Calcular as taxas equivalentes: 
 
a) 3% a.m. equivalente à taxa anual Resp. 42,58% a.a. 
b) 50% a.a. equivalente ao bimestre Resp. 6,99% a.b. 
c) 0,5% a.m. equivalente ao semestre Resp. 3,04% a.s. 
d) 0,0048% a.d. equivalente ao ano Resp. 1,74% a.a. 
e) 15% ao semestre equivalente ao ano Resp. 32,25% a.a 
f) 4% a. t. equivalente ao quadrimestre Resp. 5,37% a. q. 
g) 10% a. s. equivalente em 211 dias Resp. 11,83% em 211 dias 
h) 1% em 12 dias equivalente em 180 dias Resp. 16,10% a. s 
i) 8% a. q. equivalente em 28 dias Resp. 1,81% em 28 dias 
j) 50% em 400 dias equivalente ao ano Resp. 44,04% a.a. 
k) 70% em 700 dias equivalente em 3 dias Resp. 0,2277% em 3 dias 
l) 20% ao ano equivalente ao dia Resp. 0,05% a. d. 
m) 0,067 em 4 dias equivalente ao semestre Resp. 3,06% ao semestre 
n) 21,75% ao ano equivalente ao mês Resp. 1,65% a.m. 
o) 30% ao equivalente ao semestre Resp. 14,02% a.s. 
p) 1,5% em 45 dias equivalente ao mês Resp. 1% a.m. 
q) 8% ao dia equivalente em 15 dias Resp. 217,22% em 15 dias 
r) 60% ao ano equivalente ao trimestre Resp. 12,47% a.t. 
s) 115.000% a.a. equivalente ao mês Resp. 79,92% a.m. 
t) 80% a.m. equivalente ao ano Resp. 115.583,14% a.a 
u) 0,88% ao mês equivalente ao ano Resp. 11,09% a.a. 
v) 1,08% ao mês equivalente ao trimestre Resp. 3,28% a.t. 
w) 29% ao ano equivalente ao mês Resp. 2,14% a.m. 
x) 6% ao ano equivalente ao mês Resp. 0,49% a.m. 
y) 8% ao mês equivalente ao ano Resp. 151,82% a.a. 
z) 0.0058 ao dia equivalente em dois anos Resp. 4,26% em 2 anos 
 
 
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CURIOSIDADE 
 
As taxas acima retratam as diversas fases da realidade da economia brasileira e 
mundial. As mais baixas representam épocas de inflação baixa como a que 
estamos vivendo na época do Real e as mais altas representam a época da 
inflação galopante como aquelas registradas no governo de Sarney. Outras, 
entretanto, não espelham a realidade, mas servem para mostrar como as taxas se 
comportam em termos de tamanho. 
 
 
4.3. TAXAS EFETIVAS E NOMINAIS 
 
Quando o período da taxa é diferente dos períodos de capitalização. 
 
Ex.: 6% a.a. capitalizado mensalmente 
 2,8% ao mês capitalizado diariamente 
 
Cálculo da taxa Efetiva a partir da taxa nominal: 
 
 
(4.2) 
 
 
j = taxa nominal 
k = períodos de capitalização 
i = taxa efetiva 
 
Obs.:Lembre-se o resultado tem que ser multiplicado por 100 
 
6% ao ano capitalizado mensalmente (Poupança) 
i = ( 1 + 0,06/12)¹² - 1 = 6,17% a.a. 
 
2,8% a.m. capitalizado diariamente 
i = ( 1 + 0,028/30)³º - 1 = 2,83% a.m. 
 
Caso queiramos encontrar uma taxa Nominal a partir da taxa efetiva 
utilizamos a fórmula abaixo, que é a transformação algébrica da fórmula da taxa 
efetiva: 
 
(4.3) 
 
i = (1 + j/k )
k
 - 1 
 j =k. [(1 + i )
1/k
 - 1] 
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 44 
 
Lembrem-se: A taxa efetiva é aquela cujo período de capitalização coincide com 
o período da taxa. Como exemplo, podemos citar todas as taxas dos exercícios 
anteriores onde não se fala em períodos de capitalização. 
 
4.4. CÁLCULO DO MONTANTE COMPOSTO COM TAXA NOMINAL 
 
Podemos calcular o montante composto utilizando a seguinte fórmula: 
 
 
(4.4) 
 
 
Exemplo 
 
1. Um empréstimo de R$ 7.000,00 foi concedido para pagamento em só vez no 
final de um ano e meio, à taxa negociada foi de 60% ao ano com capitalização 
mensal. Calcular o valor no ato da liquidação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 FV =PV. (1 + j/k )
k.n
 - 
1] 
 Solução: 
 
 Algébrica: FV = 7.000.(1+0,60/12)12 x 1,5 = 16.846,33 
{ 7000 E 0,60 E 1 + 12 E 18 : Yx X } 
 
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO 
 
 0,00 Limpa a memória financeira 
7000 
7.000,00 Entra com o valor presente 
60 12 
5,00 Entra com a taxa mensal 
12 1,5 
18,00 Períodos de capitalização 
 
16.846,33 Calcula 
16 455.000,00 Calcula o montante 
 
103.561,64 Valor dos juros – Ano Civil 
 
 
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 45 
 
EXERCÍCIOS DE EQUIVALÊNCIA ENVOLVENDO TAXAS NOMINAIS E 
EFETIVAS 
 
 
a) Calcular a taxa efetiva anual equivalente à: 
 
1) 24% a.a. com capitalização mensal 
2) 28% a.a. com capitalização trimestral 
3) 21% a.a. com capitalização quadrimestral 
4) 40% a.a. com capitalização semestral 
5) 30% a.a. com capitalização anual 
 
 
b) Calcular a taxa Nominal a partir da taxa Efetiva: 
 
6) 90% a.a. equivalente a taxa Nominal c/ cap. Mensal 
7) 60% a.a. equivalente a taxa nominal c/cap. Trimestral 
8) 30% a.s. equivalente a taxa Nominal c/cap. Bimestral 
9) 3% a.m. equivalente a taxa Nominal c/cap. Diária 
 
 
c) Calcular ainda: 
 
 10) 60% a.a. c/cap. Mensal equiv. Taxa anual c. cap. trimestral 
11) 40% a.a. c/cap. Trimestral equiv. Taxa anual com cap. Quadrimestral 
12) 30% a.s. c/cap. Bimestral equiv. Taxa trimestral com cap. Mensal 
13) 38% a.a. c/cap. Quadrimestral equivalente a taxa efetiva mensal 
14) 58% a.a. c/cap. Mensal equivalente a taxa efetiva anual. 
15) 8% a.m. c/cap. Quinzenal equiv. A taxa trimestral c/cap. Mensal 
 16) Qual a taxa de juros simples equivalente à taxa de 48% a.a. com 
capitalização trimestral durante o prazo de 2 anos? 
17) Taxa anual efetiva equivalente a 12% a.a. c/cap. Mensal 
18) Taxa efetiva semestral equiv. A 6% a.a. com cap. Trimestral 
19) 28% a.a. equivalente aos
seguintes períodos: 
a) Mensal 
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 46 
b) Bimestral 
c) Trimestral 
d) Quadrimestral 
e) Semestral 
f) 8 meses 
g) 15 dias 
h) 1.000 dias 
i)01 dia 
j) 98 dias 
k) 211 dias 
 
 
4.6.COMO PROGRAMAR TAXAS EQUIVALENTES NA HP-12-C 
 
 
 
 
EXECUTANDO O PROGRAMA 
 
Taxa que tem  
 
 
Tempo que quer dividido pelo  tempo que tem(q/t) 
 
 
 
 
entra no módulo de programação da calculadora 
 
limpa a memória de programação 
 
recupera a taxa de juros 
 100 1 
sai do módulo de programação da calculadora 
 
recupera o tempo e eleva 
 1 100 
subtrai 1 e multiplica por 100 
 
sai do módulo de programação da calculadora 
 + 
R/S 
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 47 
4.7. TAXAS E ÍNDICES VARIÁVEIS/ INFLAÇÃO 
 
 
Operações financeiras que envolvem taxas de juros diferentes como, por 
exemplo, a poupança que todo mês apresenta uma taxa de juros variável em 
função da inflação. Também variam mês a mês os diversos índices de preço 
como INPC, INCC, IGP-DI, IGP-M além de parâmetros fiscais como UFIR e 
outros. 
Fórmula para o cálculo das taxas variáveis acumuladas: 
 
 
(4.5) 
 
 
 
Leia-se: produtório das taxas variáveis 
 
 
Exemplos 
 
1. Em determinada época a poupança apresentou as seguintes taxas de 
jurosmensal: Janeiro: 1,08 - fevereiro: 1,21 - março: 1,34.Calcular a 
taxa acumulada do primeiro trimestre: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Um investidor aplicou em fundo de poupança R$ 10.000,00 às taxas de 1,03%, 
2,01%, 1,8% e 1,667% nos quatro meses da aplicação. Qual o montante 
resgatado no final do quadrimestre? 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
iac = ( 1+ 0,0108) ( 1+ 0,0121) ( 1+ 0,0134) - 1 = 3,67 % 
 
Caso queiramos calcular o montante com taxas variáveis utilizamos a 
seguinte fórmula: 
 
 FV = PV . 𝜋. (1 + it) 
 
n 
 
t=1 
Solução: 
Aplicando-se a fórmula: 
 
FV = 10.000 . ( 1 + 0,0103) . ( 1 + 0,0201) . ( 1 + 0,018) . ( 1+ 0,01667) = 
 
FV = 10.666,47 
 
iac = 𝜋(1 + it) - 1 
 
n 
 
t=1 
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 48 
 TAXA REAL ( r ) 
 TAXA APARENTE (i) 
 TAXA DE INFLAÇÃO (I) 
 
Podemos afirmar que: ( 1 + i ) = ( 1 + r ) . ( 1 + I ) 
 
Por dedução podemos calcular a taxa aparente (ganho aparente): 
 
 
Taxa Aparente: 
 
(4.6) 
 
 
 
Taxa Real: 
 
 (4.7) 
 
 
 
Taxa de Inflação: 
 
(4.8) 
 
 
 
A taxa real considera os efeitos inflacionários do período considerado. Para 
obtê-la se faz necessário expurgar a perda ou ganho inflacionário decorrente do 
processo da alta geral dos preços. A taxa real representa a taxa de juros acima da 
inflação paga ou ganha em uma operação. Ela pode ser positiva ou negativa 
dependendo se a taxa de inflação excedeu ou não a taxa efetiva. A taxa de 
inflação é a razão entre a taxa aparente e a taxa real. 
 
 
 
 
 
 
 
 i = (1 + r).(1 + I) - 1 
 (1 + i) 
 (1 + I) 
r = - 1 
 (1 + i) 
 (1 + r) 
I = - 1 
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 49 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1. Uma aplicação rende juros reais de 6% a.a. capitalizados mensalmente. Qual a 
taxa de juros efetivas anual ganha pela aplicação e qual a taxa de rendimento 
anual real se a taxa de inflação foi de 4,8%. 
 
Dados:i = 6 
 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Durante um trimestre a inflação apresentou as seguintes taxas: 3% ; 1,95% e 
1,98%. Sabendo-se que no mesmo período uma aplicação apresentou taxa de 
4%, calcular o ganho ou prejuízo real em termos percentuais e a taxa média da 
inflação. 
 
 Dados:i = 4% a t. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 
 i = 1 + . (1 + 0,048) – 1 = 
 
 
i = 1,005 x 1,048 - 1 = 11,26%. aa 
 
Significa dizer que a taxa aparente da operação é: 11,26% a.a. 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
I1 = 3,00 
I2 = 1,95 
I3 = 1,98 
 
Onde: 
 
 
 
 
Significa dizer que a aplicação apresentou uma taxa real negativa, ou seja, 
houve um prejuízo real de – 2,88% no trimestre. 
 
Taxa média de inflação é simplesmente a descapitalização da taxa trimestral 
de inflação para a taxa mensal que corresponde a média geométrica: 
 
 Im = [ (1 + 0,03) (1 + 0,0195) ( 1 + 0,0198)] 1/3 – 1 = 2,3% ao mês 
 
0,06
12
 
12 
 
 (1 + i ) 
π (1 + it ) 
r = n 
 
t=1 
 
 (1 + 0,04 ) 
 (1 + 0,03).(1+ 0,0195).(1+ 0,0198) 
r = = - 2,88% 
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 50 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENVOLVENDO JUROS COMPOSTOS 
 
1. Admita que uma empresa irá necessitar de R$ 330.000 em 11 meses e R$ 
470.000,00 em 14 meses. Quanto deverá ela depositar hoje numa 
alternativa de investimento que oferece uma taxa efetiva de rentabilidade 
de 80% a.a. 
Resposta: R$ 429.281,49 
 
2. Uma taxa efetiva de juros quadrimestrais é utilizada em um investimento 
gerando um total de juros, ao final de 2 anos, igual a 270% do valor do 
capital aplicado. Determinar essa taxa de juros. 
 
Resposta: 24,3656% a.q. :. 92,3538% a.a. 
 
3. Uma pessoa deve a outra a importância de R$ 1.200,00. Para a liquidação 
da dívida propõe as seguintes condições de pagamento: R$ 350,00 ao 
final de 2 meses; R$ 400,00 ao final de 4 meses; R$ 170,00 ao final de sete 
meses e o restante ao final de um ano. Sendo de 9% am a taxa de juros 
cobrada no empréstimo pede-se calcular o último pagamento. 
 
Resposta: R$ 1.487,95. 
 
4. Um investidor depositou num banco um valor a juros compostos. 
Sabendo-se que após 6 meses tinha um saldo de R$ 2.859,80 e, passados 
mais cinco meses, o saldo passou a R$ 3.096,02, calcule quanto foi 
aplicado. 
Resposta: R$ 2.600,00 
 
5. Uma determinada mercadoria foi adquirida em quatro pagamentos 
bimestrais de R$ 140.000,00. Alternativamente, esta mesma mercadoria 
poderia ser adquirida pagando-se 20% de seu valor de entrada e o 
restante ao final de um semestre. Sendo de 72% a.a. a taxa nominal de 
juros com capitalização mensal a ser considerada nesta operação pede-
se calcular o valor da prestação vencível ao final do semestre. 
Resposta: R$ 478.920,20 
 
 
 
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 51 
6. Quanto um investidor pagaria hoje por um título de valor nominal de R$ 
900.000,00 com vencimento para daqui a um semestre. Sabe-se que esse 
investidor está disposto a realizar a aplicação somente se auferir uma 
rentabilidade efetiva de 120% a.a. 
Resposta: R$ 606.779,88 
 
7. Uma loja está oferecendo uma mercadoria no valor de R$ 90.000,00 com 
desconto de 12% para pagamento a vista. Outra opção de compra é pagar 
os noventa mil após 60 dias sem desconto. Calcular o custo efetivo 
mensal de venda a prazo. 
 
Resposta: 6,6% a.m. 
 
8. Uma pessoa adquiriu um equipamento por R$ 2.000,00 a vista, mais duas 
prestações iguais de R$ 2.000,00 cada uma. Estas prestações foram 
pagas um e dois meses após a compra. Suponha a taxa de juros de 5% 
a.m. O equipamento ficou em estoque e não sofreu depreciação. Calcule o 
preço de venda do equipamento seis meses após sua aquisição para que 
não haja lucro nem prejuízo nessa transação. 
Resposta: R$ 7.663,77 
 
9. Uma Fundação aplicou R$ 100.000,00, sendo uma parte no Banco A à 
taxa de 4% a.m. e a outra parte no Banco B a taxa de 6% a.m. O prazo de 
aplicação foi
mesmo, ou seja 10 meses. Se após esse tempo os 
montantes forem iguais nos dois bancos, quais os capitais aplicados e 
qual o valor de cada montante? 
 
Resposta: PV(A) 54.747,70 PV(B) 45.252,30 
FV(A) 81.039,91 FV(B) 81.039,97 
 
10. O BANFCAP empresta a uma empresa determinada quantia que deverá 
ser liquidada no final do nono mês pelo valor de R$ 1.304.773,18. 
Determinar o valor que deve ser abatido no ato da contratação, uma vez 
que a empresa deseja limitar esse pagamento final em R$ 1.200.000,00, 
sabendo-se que o Banco opera no regime de juros compostos, à taxa de 
3% a.m. 
Resposta: R$ 80.299,91 
 
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 52 
11. O capital de R$ 40.000,00 é aplicado é aplicado durante seis meses e 
rende R$ 19.000,00 de juros compostos. Se a aplicação fosse de 8 meses, 
qual seria o montante. 
 
Resposta: R$ 67.160,82 
 
12. Uma dívida de 20.000,00 vencível em 60 dias foi negociada com dois 
pagamentos iguais para 90 e 120 dias. Se a negociação é realizada à taxa 
de 60% ao ano, com capitalização mensal, qual o valor de cada parcela. 
 
 Resposta: R$ 10.756,10 
 
13. Uma aplicação do capital PV foi efetuada à taxa de juros compostos de 
6% ao mês, por dez meses. A que taxa mensal de juros simples devemos 
aplicar o PV, pelo mesmo prazo, para obter o mesmo montante. 
 
Resposta: 7,91% ao mês 
 
14. Um investidor aplicou R$ 20.000,00, durante quatro anos à taxa nominal 
de 14% ao ano com capitalização semestral. Ao término desse período 
somente os juros ganhos foram reaplicados por 15 meses á taxa nominal 
de 12% ao trimestre capitalizada mensalmente. Qual o rendimento dessa 
última operação? 
 
Resposta: R$ 11.504,53. 
 
15. Uma pequena empresa tomou um empréstimo. O primeiro por três meses 
a juros compostos de 5% ao mês e o segundo por dez meses a juros 
compostos de 4% ao mês. Sabendo-se que pagou ao todo R$ 11.181,14 de 
juros, qual o valor do primeiro empréstimo, sabendo-se que ele foi igual a 
metade do segundo. 
 
Resposta: R$ 10.000,00 
 
 
 
 
 
 
 
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 53 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ENVOLVENDO EQUIVALÊNCIADE CAPITAIS 
 
1. ANA CARLA tem condições de aplicar seu dinheiro a 3,5% AM no 
mercado de capitais. Se um amigo lhe pedir emprestado R$ 12.000,00 por 
um ano, quanto deverá devolver para que sua aplicação seja equivalente 
neste período? 
 
Achar o Valor Futuro: FV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. ANDREZA possui em seus haveres dois títulos de R$ 4.000,00 e R$ 
5.000,00, com vencimento para 180 e 360 dias. Pretendendo comprar uma 
máquina industrial, procura descontar os títulos em um Banco. A gerente 
GABRIELA que é sua amiga avisa-lhe que a taxa nominal é de 30%AA, 
contudo a capitalização é mensal. ANDREZA aceita as condições do 
Banco, pois o valor a receber é igual ao preço da máquina. Qual é o seu 
valor? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12.000 3,5 12 → 18.182,82 
 
 
 
 
 
 
 
 CHS PV i n 
PV = 12.000,00 
 Fv=? 
 
0 n=12 
 Solução: 
 
Trata-se de uma operação de desconto composto com a taxa nominal 
capitalizada mensalmente: 30/12=2,5% AM. Somente podemos dividir taxa 
de juros compostos nessa situação em que o período da taxa é diferente do 
período de capitalização. 30% AA c/c mensal é nominal; 2,5% AM já é a taxa 
efetiva mensal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12.0003,5 12 → 18.182,82 
 
 
 
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 54 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Para viajar a negócio daqui a um ano CATARINA vende o seu carro hoje e 
um terreno a 6 meses aplicando o dinheiro em uma instituição que paga 
40%AA. O carro será vendido por R$ 30.000,00 e o terreno por 
R$250.000,00, sendo que na viagem ela pretende gastar R$ 300.000,00 
incluindo despesas de viagem e a compra de equipamentos para sua 
indústria. Que saldo poderá deixar aplicado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cont. Solução: 
 
 
 
Solução: Somar o valor 
atual dos títulos 
 
 
 
 
 
 4.000 2,5 6 → 3.449,19 
 
5.000 12 → 3.717,78 
 
3.449,19 + 3.717,78= 7.166,97 
 
 
Observem que não foi necessário entrar com as funções FIN e i, pois apenas 
substituímos as variáveis alteradas: PV e n. 
 
 
 
 
 12.0003,5 12 → 18.182,82 
 
 
 
 
 
 
 
 CHS i n PV 
 CHS n PV 
4000 5000 
 
 
 
 0 6 12 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 30.000 250.000 300.000 
 
 
 
 0 6 meses 12 meses 
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4. MARCELA comprou uma enciclopédia, sem dar nada de entrada sob 
condições de pagá-la em quatro parcelas quadrimestrais de R$ 1.000,00. 
Como opção, o gerente da livraria lhe propôs uma entrada de R$ 1.500,00 
e o saldo para 1 ano. De quanto será este saldo, se a taxa de juros for de 
3% AM? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cont. Solução: 
 
Taxa: 40% AA  Taxa efetiva anual que poderá ser convertida para mensal. 
Nesse caso pode-se, também, se trabalhar com a fração do ano: Solução da 
questão: 
 
 
30.000 40 1 → 42.000,00 
 
250.000 6 12 → 295.803,99 + 
 
337.803,99 
 
300.000 X><Y - →37.803,99 (valor que poderá ficar aplicado no final de um 
ano) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CHS PV i 
 CHS PV 
 1.000 
 
 
 
 0 1 2 3 4 
 1.500 X 
 
 
 
 0 n = 1 ano 
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5. O preço de um terreno é de R$ 50.000,00 ou R$ 60.000,00 a prazo. No 
segundo caso o comprador deverá dar 20% como entrada e o restante em 
duas parcelas iguais semestrais. Se a taxa de juros de mercado for de 
30%AA. Qual será a melhor opção? 
 
À vista: 50.000 
À prazo: 60.000 
 20% de entradas: 12.000 
 Mais duas prestações de 24.000 
 Taxa: 30% ao ano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cont. Solução: 
 
1.000 
 
1,03 4 1 100 4 → 
 
3.002,44 →1.500 
 
[1.502,44] 3 12 → 2.142,12 
 
A taxa dada é 3% AM, nesse caso para a primeira opção teremos que convertê-la 
para quadrimestre. Para segunda opção trabalha-se com a taxa mensal 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
24.000 
2 
1,30 2 1 100 [14,02...] 
 
 
 
 
 
 
 12.000 24.000 24.000 
 
 
 
 0 6 12 
 
 60.000 
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6. FLÁVIO aplicou R$ 100.000,00 em um Banco que paga 25% AA. 
Pretendendo retirar o montante na época da colheita (6 meses) para evitar 
problemas de capital de giro. Entretanto, decorridos 3 meses ele