(8ª lista CDI - Taxas relacionadas)

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
Campus Toledo 
 
Curso: Engenharia Civil 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
Professora: Regiane Slongo Fagundes 
Lista 8 de Exercícios 
Conteúdo Abordado: 
• Taxa de variação e taxas relacionadas 
 
 
1) Se V for o volume de um cubo com aresta de comprimento x e à medida que o tempo 
passa o cubo se expande, encontre /dV dt em termos de /dx dt . 
R: 2/ 3 /dV dt x dx dt= 
 
2) (a) Se A for a área do círculo com raio r e à medida que o tempo passa o círculo se 
expande, encontre /dA dt em termos de /dr dt . 
(b) Suponha que o óleo sai por uma ruptura de um petroleiro e espalha-se em um padrão 
circular. Se o raio do óleo derramado cresce a uma taxa constante de 1m/s, quão rápido a 
área do derramamento está crescendo quando o raio é igual a 30m? 
 
3) Se 3 2y x x= + e / 5dx dt = , encontre /dy dt quando x=2. R: 70 
 
4) Se 2 2 25x y+ = e / 6dy dt = , encontre /dx dt quando y=4. 
 
5) Se 2 2 , / 2 e / 3z x y dx dt dy dt= + = = , encontre /dz dt quando x=5 e y=12. 
 R: 4613± 
 
Nos exercício de 6 a 9, responda: 
(a) Quais são as grandezas dadas no problema? 
(b) Qual a grandeza desconhecida? 
(c) Faça um desenho da situação para qualquer instante t. 
(d) Escreva uma equação que relacione as grandezas. 
(e) Termine resolvendo o problema. 
 
6) Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 1 mi, a 500 mi/h, e passa diretamente 
sobre uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a distância do avião até a 
estação está crescendo quando ele está a 2 mi além da estação. R: 250 3 mi/h 
 
7) Se uma bola de neve derrete de forma que a sua área de superfície decresce a uma taxa de 
1cm2/min, encontre a taxa segundo a qual o diâmetro decresce quando o diâmetro esta a 
10cm. 
 
8) Uma luz de rua é colocada no topo de um poste de 15 pés. Um homem com 6 pés de 
altura anda afastando-se do poste com uma velocidade de 5pés/s de acordo com uma 
trajetória reta. Com que velocidade se move o topo de sua sombra quando ele está a 40 
pés do poste? R: 25/3 pés 
 
9) Ao meio dia, o navio A está a 150km a oeste do navio B. O navio A está navegando para 
leste a 35 km/h, e o navio B está navegando para norte a 25km/h. Quão rápido estará 
variando a distância entre os navios às 4 horas da tarde? 
 
10) Dois carros iniciam o movimento de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 60 mi/h, e o 
outro para o oeste a 25mi/h. A que taxa esta crescendo a distancia entre os carros duas 
horas depois? R: 65 mi/h 
 
11) Um holofote sobre o chão ilumina uma parede 12m de distância dele. Se um homem de 
2m de altura anda do holofote em direção à parede a uma velocidade de 1,6m/s, quão 
rápido decresce sua sombra sobre a parede quando ele está a 4m dela? 
 
12) A altura de um triângulo cresce a uma taxa de 1cm/min, enquanto a área do triângulo 
cresce a uma taxa de 2cm2/min. A que taxa está variando a base do triângulo quando a 
altura é 10cm e a área, 100 cm2? R: -1,6 cm/min 
 
13) Um bote é puxado em direção ao ancoradouro por uma corda que está atada na proa do 
bote e que passa por uma polia sobre o ancoradouro ( que está 1m mais alto que a proa). 
Se a corda for puxada a uma taxa de 1m/s, quão rápido está aproximando o bote do 
ancoradouro quando ele estiver a 8m dele? 
 
14) Ao meio-dia, um navio A está 100 km a oeste do navio B. O navio A está navegando para 
o sul a 35km/h, e o B está indo para o norte a 25km/h. Quão rápido está variando a 
distância entre eles as 4 horas da tarde? R: 720 ~ 55,5 /
13
km h≈ 
 
15) Está vazando água de um tanque cônico invertido a uma taxa de 10.000 cm3/min. Ao 
mesmo tempo está sendo bombeada a água para dentro do tanque a uma taxa constante de 
6m de altura, e o diâmetro no topo é de 4m. Se o nível da água estiver subindo a uma taxa 
de 20cm/min quando a altura da água for 2m, encontre a taxa segundo a qual a água esta 
sendo bombeada dentro do tanque. R: (10.000 + 800.000 9pi ) 
 
16) Um cocho tem 10 pés de comprimento, e suas extremidades têm a forma de triângulos 
isósceles com 3 pés na base e 1 pé de altura. Se o cocho for preenchido com água a uma 
taxa de 12 pés3/min, quão rápido estará se elevando o nível da água quando ele estiver 
com 6 polegadas de profundidade? 
 
17) Um esteira transportadora está descarregando cascalho a uma taxa de 30pés3/min, 
constituindo uma pilha na forma de cone com diâmetro da base e altura sempre igual. 
Quão rápido está crescendo a altura da pilha quando está a 10 pés de altura? 
 R: 6 ~ 0,38 / min(5 ) pépi ≈ 
 
18) Dois lados de um triangulo são 4m e 5m, e o ângulo entre eles esta crescendo a uma taxa 
de 0,06 rad/s. Encontre a taxa segundo a qual está crescendo quando o ângulo entre os 
lados do comprimento fixo é de 3
pi
. R: 0,5m2/s 
 
 
19) Dois lados de um triângulo são 12m e 15m, e o ângulo entre eles esta crescendo a uma 
taxa de 2º/min. Quão rápido está crescendo o comprimento do terceiro lado quando 
ângulo entre os lados do comprimento fixo é 60º? 
 
20) Uma escada de 10 pés de comprimento está apoiada contra uma parede vertical. Se a base 
as escada desliza afastando-se da parede a uma velocidade de 2pés/s, quão rápido está 
variando o ângulo entre o topo da escada e a parede quando o ângulo é de 4
pi rad? 
R: 2 /5 rad s 
21) Um farol está localizado em uma ilha, e a distância entre eles e o ponto mais próximo P 
em uma praia reta do continente é de 3 km. Sua luz faz quatro revoluções por minuto. 
Quão rápido estará se movendo o feixe de luz ao longo da praia quando ele estiver a 1km 
de P? 
 
22) Numa granja experimental, constatou-se que uma ave em desenvolvimento pesa em 
gramas 
 
onde t é medido em dias. 
(a) Qual a razão de aumento do peso da ave quando t = 50 ? R: 54 gramas/dia 
(b) Quanto a ave aumentará no 5lº dia? R: 54,5 gramas 
(c) Qual a razão de aumento do peso quando t = 80 ? R: 24,4 gramas dia 
 
23) A temperatura de um gás é mantida constante e sua pressão p em kgf/cm³ e volume v em 
cm³ estão relacionadas pela igualdade vp = c , onde c é constante. Achar a razão de 
variação do volume em relação à pressão quando esta vale 10 kgf/cm³. 
 R: 
 
24) Uma piscina está sendo drenada para limpeza. Se o seu volume de água inicial era de 
90.000 litros e depois de um tempo de t horas este volume diminuiu 2500 t2 litros, 
determinar: 
(a) tempo necessário para o esvaziamento da piscina; R: 6 horas 
(b) taxa média de escoamento no intervalo [ 2,5]; R: 1750 litros/h 
(c) taxa de escoamento depois de 2 horas do início do processo. R: 10.000 litros/h 
 
25) Um apartamento está alugado por R$ 4.500,00. Este aluguel sofrerá um reajuste anual de 
R$ 1.550,00. 
(a) Expresse a função com a qual podemos calcular a taxa de variação do aluguel, em t anos. 
 R: f(t) =4500 + 1550t 
(b) Calcule a taxa de variação do aluguel após 4 anos. R: R$1.550,00 
(c) Qual a porcentagem de variação do aluguel depois de 1 ano do primeiro reajuste? R: 25,6% 
(d) Que acontecerá à porcentagem de variação depois de alguns anos? R:
'100. ( )lim 0( )t
f t
f t→∞ = 
 
26) Numa pequena comunidade obteve-se uma estimativa que daqui a t anos a população será 
de 5( ) 20
1
p t
t
= −
+
 milhares 
(a) Daqui a 18 meses, qual será a taxa de variação da população desta comunidade? 
R: 0,8 milhares de pessoas ano 
 
(b) Qual será a variação real sofrida durante o 18º mês? R: 0,068965 milhares de pessoas 
 
 
27) Seja r a raiz cúbica de um número real x . Encontre a taxa de variação de r em relação a x 
quando x for igual a 8. R: 1/12 
 
28) Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de 5 m de raio de base e 10 m de 
altura. No tempo t = 0, a água começa a fluir no tanque à razão de 25 m3 /h.Com que 
velocidade o nível de água sobe? Quanto tempo levará para o tanque ficar cheio? 
R: x = 10π horas 
 
 
29) Achar a razão de variação do volume v de um cubo em relação ao comprimento de sua 
diagonal. Se a diagonal está se expandindo a uma taxa de 2 m/s, qual a razão de variação 
do volume quando a diagonal mede 3 m? R: 36 3 /m s 
 
30) Uma usina de britagem produz pó de pedra, que, ao ser depositado no solo, forma uma 
pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base. 
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base. R: 24
3
rpi 
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o 
raio mede 2 m? R: 21,066 /cm spi 
 
31) Os lados de um triângulo eqüilátero crescem à taxa de 2,5 cm/s. 
(a) Qual é a taxa de crescimento da área desse triângulo, quando os lados tiverem 12 cm de 
comprimento? R: 215 3 /cm s 
(b) Qual é a taxa de crescimento do perímetro, quando os lados medirem 10 cm de comprimento? 
 R: 7,5cm/s 
32) Um trem deixa uma estação, num certo instante, e vai para a direção norte à razão de 80 
km/h. Um segundo trem deixa a mesma estação 2 horas depois e vai na direção leste à 
razão de 95 km/h. Achar a taxa na qual estão se separando os dois trens 2 horas e 30 
minutos depois do segundo trem deixar a estação. R: 18 unidades/min 
 
33) Uma lâmpada colocada em um poste está a 4 m de altura. Se uma criança de 90 cm de 
altura caminha afastando-se da lâmpada à razão de 5 m/s, com que rapidez se alonga sua 
sombra? R: 119,09 km/h 
 
34) O raio de um cone é sempre igual à metade de sua altura h . Determinar a taxa de variação 
da área da base em relação ao volume do cone. 
R: 3 2
3V
pi
ua/uv 
35) O custo total C(q) da produção de q unidades de um produto é dado por. 
3 21( ) 5 10 120
2
C q q q q= − + + 
a) Qual é o custo fixo? R: 120 
b) Qual é o custo marginal quando o nível de produção é q-20 unidades? R: 410 
c) Determinar se existem os valores de q tais que o custo marginal é nulo. R: 5,44 e 1,2