Prod vetorial2014.1

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Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Produto
Vetorial
Interpretac¸a˜o
Geome´trica
Propriedades
Exemplos
Produto Misto
Matema´tica para Economia II - GAN 00146
Ricardo Fuentes Apolaya
ricardof16@yahoo.com.br
Departamento de Ana´lise
Nitero´i, 2014
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Produto
Vetorial
Interpretac¸a˜o
Geome´trica
Propriedades
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Produto Misto
Suma´rio
1 Produto Vetorial
2 Interpretac¸a˜o Geome´trica
3 Propriedades
4 Exemplos
5 Produto Misto
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Economia II -
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Produto
Vetorial
Interpretac¸a˜o
Geome´trica
Propriedades
Exemplos
Produto Misto
Suma´rio
1 Produto Vetorial
2 Interpretac¸a˜o Geome´trica
3 Propriedades
4 Exemplos
5 Produto Misto
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Produto
Vetorial
Interpretac¸a˜o
Geome´trica
Propriedades
Exemplos
Produto Misto
Suma´rio
1 Produto Vetorial
2 Interpretac¸a˜o Geome´trica
3 Propriedades
4 Exemplos
5 Produto Misto
Matema´tica
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Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Produto
Vetorial
Interpretac¸a˜o
Geome´trica
Propriedades
Exemplos
Produto Misto
Suma´rio
1 Produto Vetorial
2 Interpretac¸a˜o Geome´trica
3 Propriedades
4 Exemplos
5 Produto Misto
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Produto
Vetorial
Interpretac¸a˜o
Geome´trica
Propriedades
Exemplos
Produto Misto
Suma´rio
1 Produto Vetorial
2 Interpretac¸a˜o Geome´trica
3 Propriedades
4 Exemplos
5 Produto Misto
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Economia II -
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Ricardo
Fuentes
Apolaya
Produto
Vetorial
Interpretac¸a˜o
Geome´trica
Propriedades
Exemplos
Produto Misto
Produto Vetorial
A novidade aqui e´ o produto vetorial −→a ×−→b , entre dois
vetores −→a e −→b que da´ um vetor.
Definic¸a˜o
Sejam −→a = (a1, a2, a3) e −→b = (b1, b2, b3) vetores de R3.
O produto vetorial de −→a por −→b e´ def´ınido como sendo o vetor
−→a ×−→b = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1)
Ao inve´s de memorizar esta definic¸a˜o de produto vetorial, o que
e´ uma coisa bem penosa, utiliza-se o determinante∣∣∣∣∣∣
i j k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ a2 a3b2 b3
∣∣∣∣ i − ∣∣∣∣ a1 a3b1 b3
∣∣∣∣ j + ∣∣∣∣ a1 a2b1 b2
∣∣∣∣ k
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Economia II -
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Ricardo
Fuentes
Apolaya
Produto
Vetorial
Interpretac¸a˜o
Geome´trica
Propriedades
Exemplos
Produto Misto
Produto Vetorial
A novidade aqui e´ o produto vetorial −→a ×−→b , entre dois
vetores −→a e −→b que da´ um vetor.
Definic¸a˜o
Sejam −→a = (a1, a2, a3) e −→b = (b1, b2, b3) vetores de R3.
O produto vetorial de −→a por −→b e´ def´ınido como sendo o vetor
−→a ×−→b = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1)
Ao inve´s de memorizar esta definic¸a˜o de produto vetorial, o que
e´ uma coisa bem penosa, utiliza-se o determinante∣∣∣∣∣∣
i j k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ a2 a3b2 b3
∣∣∣∣ i − ∣∣∣∣ a1 a3b1 b3
∣∣∣∣ j + ∣∣∣∣ a1 a2b1 b2
∣∣∣∣ k
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Produto
Vetorial
Interpretac¸a˜o
Geome´trica
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Exemplos
Produto Misto
Produto Vetorial
A novidade aqui e´ o produto vetorial −→a ×−→b , entre dois
vetores −→a e −→b que da´ um vetor.
Definic¸a˜o
Sejam −→a = (a1, a2, a3) e −→b = (b1, b2, b3) vetores de R3.
O produto vetorial de −→a por −→b e´ def´ınido como sendo o vetor
−→a ×−→b = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1)
Ao inve´s de memorizar esta definic¸a˜o de produto vetorial, o que
e´ uma coisa bem penosa, utiliza-se o determinante∣∣∣∣∣∣
i j k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ a2 a3b2 b3
∣∣∣∣ i − ∣∣∣∣ a1 a3b1 b3
∣∣∣∣ j + ∣∣∣∣ a1 a2b1 b2
∣∣∣∣ k
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Produto
Vetorial
Interpretac¸a˜o
Geome´trica
Propriedades
Exemplos
Produto Misto
Produto Vetorial
A novidade aqui e´ o produto vetorial −→a ×−→b , entre dois
vetores −→a e −→b que da´ um vetor.
Definic¸a˜o
Sejam −→a = (a1, a2, a3) e −→b = (b1, b2, b3) vetores de R3.
O produto vetorial de −→a por −→b e´ def´ınido como sendo o vetor
−→a ×−→b = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1)
Ao inve´s de memorizar esta definic¸a˜o de produto vetorial, o que
e´ uma coisa bem penosa, utiliza-se o determinante∣∣∣∣∣∣
i j k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ a2 a3b2 b3
∣∣∣∣ i − ∣∣∣∣ a1 a3b1 b3
∣∣∣∣ j + ∣∣∣∣ a1 a2b1 b2
∣∣∣∣ k
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Produto
Vetorial
Interpretac¸a˜o
Geome´trica
Propriedades
Exemplos
Produto Misto
Produto Vetorial
A novidade aqui e´ o produto vetorial −→a ×−→b , entre dois
vetores −→a e −→b que da´ um vetor.
Definic¸a˜o
Sejam −→a = (a1, a2, a3) e −→b = (b1, b2, b3) vetores de R3.
O produto vetorial de −→a por −→b e´ def´ınido como sendo o vetor
−→a ×−→b = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1)
Ao inve´s de memorizar esta definic¸a˜o de produto vetorial, o que
e´ uma coisa bem penosa, utiliza-se o determinante∣∣∣∣∣∣
i j k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ a2 a3b2 b3
∣∣∣∣ i − ∣∣∣∣ a1 a3b1 b3
∣∣∣∣ j + ∣∣∣∣ a1 a2b1 b2
∣∣∣∣ k
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Apolaya
Produto
Vetorial
Interpretac¸a˜o
Geome´trica
Propriedades
Exemplos
Produto Misto
Produto Vetorial
A novidade aqui e´ o produto vetorial −→a ×−→b , entre dois
vetores −→a e −→b que da´ um vetor.
Definic¸a˜o
Sejam −→a = (a1, a2, a3) e −→b = (b1, b2, b3) vetores de R3.
O produto vetorial de −→a por −→b e´ def´ınido como sendo o vetor
−→a ×−→b = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1)
Ao inve´s de memorizar esta definic¸a˜o de produto vetorial, o que
e´ uma coisa bem penosa, utiliza-se o determinante
∣∣∣∣∣∣
i j k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ a2 a3b2 b3
∣∣∣∣ i − ∣∣∣∣ a1 a3b1 b3
∣∣∣∣ j + ∣∣∣∣ a1 a2b1 b2
∣∣∣∣ k
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Vetorial
Interpretac¸a˜o
Geome´trica
Propriedades
Exemplos
Produto Misto
Produto Vetorial
A novidade aqui e´ o produto vetorial −→a ×−→b , entre dois
vetores −→a e −→b que da´ um vetor.
Definic¸a˜o
Sejam −→a = (a1, a2, a3) e −→b = (b1, b2, b3) vetores de R3.
O produto vetorial de −→a por −→b e´ def´ınido como sendo o vetor
−→a ×−→b = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1)
Ao inve´s de memorizar esta definic¸a˜o de produto vetorial, o que
e´ uma coisa bem penosa, utiliza-se o determinante∣∣∣∣∣∣
i j k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣ a2 a3b2 b3
∣∣∣∣ i − ∣∣∣∣ a1 a3b1 b3
∣∣∣∣ j + ∣∣∣∣ a1 a2b1 b2
∣∣∣∣ k
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Produto Misto
Produto Vetorial
A novidade aqui e´ o produto vetorial −→a ×−→b , entre dois
vetores −→a e −→b que da´ um vetor.
Definic¸a˜o
Sejam −→a = (a1, a2, a3) e −→b = (b1, b2, b3) vetores de R3.
O produto vetorial de −→a por −→b e´ def´ınido como sendo o vetor
−→a ×−→b = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1)
Ao inve´s de memorizar esta definic¸a˜o de produto vetorial, o que
e´ uma coisa bem penosa, utiliza-se o determinante∣∣∣∣∣∣
i j k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ a2 a3b2 b3
∣∣∣∣ i
−
∣∣∣∣ a1 a3b1 b3
∣∣∣∣ j + ∣∣∣∣ a1 a2b1 b2
∣∣∣∣ k
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Vetorial
Interpretac¸a˜o
Geome´trica
Propriedades
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Produto Misto
Produto Vetorial
A novidade aqui e´ o produto vetorial −→a ×−→b, entre dois
vetores −→a e −→b que da´ um vetor.
Definic¸a˜o
Sejam −→a = (a1, a2, a3) e −→b = (b1, b2, b3) vetores de R3.
O produto vetorial de −→a por −→b e´ def´ınido como sendo o vetor
−→a ×−→b = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1)
Ao inve´s de memorizar esta definic¸a˜o de produto vetorial, o que
e´ uma coisa bem penosa, utiliza-se o determinante∣∣∣∣∣∣
i j k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ a2 a3b2 b3
∣∣∣∣ i − ∣∣∣∣ a1 a3b1 b3
∣∣∣∣ j
+
∣∣∣∣ a1 a2b1 b2
∣∣∣∣ k
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Produto Misto
Produto Vetorial
A novidade aqui e´ o produto vetorial −→a ×−→b , entre dois
vetores −→a e −→b que da´ um vetor.
Definic¸a˜o
Sejam −→a = (a1, a2, a3) e −→b = (b1, b2, b3) vetores de R3.
O produto vetorial de −→a por −→b e´ def´ınido como sendo o vetor
−→a ×−→b = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1)
Ao inve´s de memorizar esta definic¸a˜o de produto vetorial, o que
e´ uma coisa bem penosa, utiliza-se o determinante∣∣∣∣∣∣
i j k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ a2 a3b2 b3
∣∣∣∣ i − ∣∣∣∣ a1 a3b1 b3
∣∣∣∣ j + ∣∣∣∣ a1 a2b1 b2
∣∣∣∣ k
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Produto Misto
Produto Vetorial
A novidade aqui e´ o produto vetorial −→a ×−→b , entre dois
vetores −→a e −→b que da´ um vetor.
Definic¸a˜o
Sejam −→a = (a1, a2, a3) e −→b = (b1, b2, b3) vetores de R3.
O produto vetorial de −→a por −→b e´ def´ınido como sendo o vetor
−→a ×−→b = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1)
Ao inve´s de memorizar esta definic¸a˜o de produto vetorial, o que
e´ uma coisa bem penosa, utiliza-se o determinante∣∣∣∣∣∣
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a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ a2 a3b2 b3
∣∣∣∣ i − ∣∣∣∣ a1 a3b1 b3
∣∣∣∣ j + ∣∣∣∣ a1 a2b1 b2
∣∣∣∣ k
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Geome´trica
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Produto Misto
Observac¸a˜o
Observac¸a˜o
O vetor −→a ×−→b e´ ortogonal a −→a e a −→b , isto e´,
(−→a ×−→b ) • −→a = 0, (−→a ×−→b ) • −→b = 0
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Geome´trica
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Observac¸a˜o
Observac¸a˜o
O vetor −→a ×−→b e´ ortogonal a −→a e a −→b , isto e´,
(−→a ×−→b ) • −→a = 0, (−→a ×−→b ) • −→b = 0
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Observac¸a˜o
Observac¸a˜o
O vetor −→a ×−→b e´ ortogonal a −→a e a −→b , isto e´,
(−→a ×−→b ) • −→a = 0, (−→a ×−→b ) • −→b = 0
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Geome´trica
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Observac¸a˜o
Observac¸a˜o
O vetor −→a ×−→b e´ ortogonal a −→a e a −→b , isto e´,
(−→a ×−→b ) • −→a = 0,
(−→a ×−→b ) • −→b = 0
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Geome´trica
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Produto Misto
Observac¸a˜o
Observac¸a˜o
O vetor −→a ×−→b e´ ortogonal a −→a e a −→b , isto e´,
(−→a ×−→b ) • −→a = 0, (−→a ×−→b ) • −→b = 0
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Interpretac¸a˜o
Geome´trica
Propriedades
Exemplos
Produto Misto
Observac¸a˜o
Observac¸a˜o
O vetor −→a ×−→b e´ ortogonal a −→a e a −→b , isto e´,
(−→a ×−→b ) • −→a = 0, (−→a ×−→b ) • −→b = 0
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Geome´trica
Propriedades
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Produto Misto
Teorema
Teorema
Se θ e´ o aˆngulo entre dois vetores na˜o nulos −→a e −→b enta˜o∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥ = ∥∥−→a ∥∥∥∥∥−→b ∥∥∥ · Sen θ
Corola´rio
Dois vetores −→a e −→b paralelos, se e somente se,
−→a ×−→b = −→0
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Geome´trica
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Teorema
Teorema
Se θ e´ o aˆngulo entre dois vetores na˜o nulos −→a e −→b enta˜o∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥ = ∥∥−→a ∥∥∥∥∥−→b ∥∥∥ · Sen θ
Corola´rio
Dois vetores −→a e −→b paralelos, se e somente se,
−→a ×−→b = −→0
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Geome´trica
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Produto Misto
Teorema
Teorema
Se θ e´ o aˆngulo entre dois vetores na˜o nulos −→a e −→b enta˜o
∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥ = ∥∥−→a ∥∥∥∥∥−→b ∥∥∥ · Sen θ
Corola´rio
Dois vetores −→a e −→b paralelos, se e somente se,
−→a ×−→b = −→0
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Teorema
Teorema
Se θ e´ o aˆngulo entre dois vetores na˜o nulos −→a e −→b enta˜o∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥
=
∥∥−→a ∥∥∥∥∥−→b ∥∥∥ · Sen θ
Corola´rio
Dois vetores −→a e −→b paralelos, se e somente se,
−→a ×−→b = −→0
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Teorema
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Se θ e´ o aˆngulo entre dois vetores na˜o nulos −→a e −→b enta˜o∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥ = ∥∥−→a ∥∥∥∥∥−→b ∥∥∥ · Sen θ
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Dois vetores −→a e −→b paralelos, se e somente se,
−→a ×−→b = −→0
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Teorema
Teorema
Se θ e´ o aˆngulo entre dois vetores na˜o nulos −→a e −→b enta˜o∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥ = ∥∥−→a ∥∥∥∥∥−→b ∥∥∥ · Sen θ
Corola´rio
Dois vetores −→a e −→b paralelos, se e somente se,
−→a ×−→b = −→0
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Geome´trica
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Produto Misto
Teorema
Teorema
Se θ e´ o aˆngulo entre dois vetores na˜o nulos −→a e −→b enta˜o∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥ = ∥∥−→a ∥∥∥∥∥−→b ∥∥∥ · Sen θ
Corola´rio
Dois vetores −→a e −→b paralelos, se e somente se,
−→a ×−→b = −→0
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Geome´trica
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Produto Misto
Teorema
Teorema
Se θ e´ o aˆngulo entre dois vetores na˜o nulos −→a e −→b enta˜o∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥ = ∥∥−→a ∥∥∥∥∥−→b ∥∥∥ · Sen θ
Corola´rio
Dois vetores −→a e −→b paralelos, se e somente se,
−→a ×−→b = −→0
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Vetorial
Interpretac¸a˜o
Geome´trica
Propriedades
Exemplos
Produto Misto
Teorema
Teorema
Se θ e´ o aˆngulo entre dois vetores na˜o nulos −→a e −→b enta˜o∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥ = ∥∥−→a ∥∥∥∥∥−→b ∥∥∥ · Sen θ
Corola´rio
Dois vetores −→a e −→b paralelos, se e somente se,
−→a ×−→b = −→0
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Geome´trica
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Produto Misto
Interpretac¸a˜o Geome´trica
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Interpretac¸a˜o
Geome´trica
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Produto Misto
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Geome´tricaPropriedades
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Produto Misto
Interpretac¸a˜o Geome´trica
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Produto
Vetorial
Interpretac¸a˜o
Geome´trica
Propriedades
Exemplos
Produto Misto
Interpretac¸a˜o Geome´trica
O mo´dulo do produto vetorial representa a a´rea do
paralelogramo determinado por −→a e −→b uma vez que sua base e´∥∥−→a ∥∥ e a sua altura e´ ∥∥∥−→b ∥∥∥ · Sen θ.
Exemplo
Ache a a´rea do triaˆngulo formado por P(4, -3, 1), Q(6, -4, 7) e
R(1, 2, 2).
Denotamos
−→
PQ = (6− 4,−4− (−3), 7− 1) = (2,−1, 6)
−→
PR = (1− 4, 2− (−3), 2− 1) = (−3, 5, 1)
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Vetorial
Interpretac¸a˜o
Geome´trica
Propriedades
Exemplos
Produto Misto
Interpretac¸a˜o Geome´trica
O mo´dulo do produto vetorial representa a a´rea do
paralelogramo determinado por −→a e −→b
uma vez que sua base e´∥∥−→a ∥∥ e a sua altura e´ ∥∥∥−→b ∥∥∥ · Sen θ.
Exemplo
Ache a a´rea do triaˆngulo formado por P(4, -3, 1), Q(6, -4, 7) e
R(1, 2, 2).
Denotamos
−→
PQ = (6− 4,−4− (−3), 7− 1) = (2,−1, 6)
−→
PR = (1− 4, 2− (−3), 2− 1) = (−3, 5, 1)
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Vetorial
Interpretac¸a˜o
Geome´trica
Propriedades
Exemplos
Produto Misto
Interpretac¸a˜o Geome´trica
O mo´dulo do produto vetorial representa a a´rea do
paralelogramo determinado por −→a e −→b uma vez que sua base e´∥∥−→a ∥∥
e a sua altura e´
∥∥∥−→b ∥∥∥ · Sen θ.
Exemplo
Ache a a´rea do triaˆngulo formado por P(4, -3, 1), Q(6, -4, 7) e
R(1, 2, 2).
Denotamos
−→
PQ = (6− 4,−4− (−3), 7− 1) = (2,−1, 6)
−→
PR = (1− 4, 2− (−3), 2− 1) = (−3, 5, 1)
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Vetorial
Interpretac¸a˜o
Geome´trica
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Produto Misto
Interpretac¸a˜o Geome´trica
O mo´dulo do produto vetorial representa a a´rea do
paralelogramo determinado por −→a e −→b uma vez que sua base e´∥∥−→a ∥∥ e a sua altura e´ ∥∥∥−→b ∥∥∥ · Sen θ.
Exemplo
Ache a a´rea do triaˆngulo formado por P(4, -3, 1), Q(6, -4, 7) e
R(1, 2, 2).
Denotamos
−→
PQ = (6− 4,−4− (−3), 7− 1) = (2,−1, 6)
−→
PR = (1− 4, 2− (−3), 2− 1) = (−3, 5, 1)
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O mo´dulo do produto vetorial representa a a´rea do
paralelogramo determinado por −→a e −→b uma vez que sua base e´∥∥−→a ∥∥ e a sua altura e´ ∥∥∥−→b ∥∥∥ · Sen θ.
Exemplo
Ache a a´rea do triaˆngulo formado por P(4, -3, 1), Q(6, -4, 7) e
R(1, 2, 2).
Denotamos
−→
PQ = (6− 4,−4− (−3), 7− 1) = (2,−1, 6)
−→
PR = (1− 4, 2− (−3), 2− 1) = (−3, 5, 1)
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O mo´dulo do produto vetorial representa a a´rea do
paralelogramo determinado por −→a e −→b uma vez que sua base e´∥∥−→a ∥∥ e a sua altura e´ ∥∥∥−→b ∥∥∥ · Sen θ.
Exemplo
Ache a a´rea do triaˆngulo formado por P(4, -3, 1), Q(6, -4, 7) e
R(1, 2, 2).
Denotamos
−→
PQ = (6− 4,−4− (−3), 7− 1) = (2,−1, 6)
−→
PR = (1− 4, 2− (−3), 2− 1) = (−3, 5, 1)
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O mo´dulo do produto vetorial representa a a´rea do
paralelogramo determinado por −→a e −→b uma vez que sua base e´∥∥−→a ∥∥ e a sua altura e´ ∥∥∥−→b ∥∥∥ · Sen θ.
Exemplo
Ache a a´rea do triaˆngulo formado por P(4, -3, 1), Q(6, -4, 7) e
R(1, 2, 2).
Denotamos
−→
PQ = (6− 4,−4− (−3), 7− 1) = (2,−1, 6)
−→
PR = (1− 4, 2− (−3), 2− 1) = (−3, 5, 1)
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O mo´dulo do produto vetorial representa a a´rea do
paralelogramo determinado por −→a e −→b uma vez que sua base e´∥∥−→a ∥∥ e a sua altura e´ ∥∥∥−→b ∥∥∥ · Sen θ.
Exemplo
Ache a a´rea do triaˆngulo formado por P(4, -3, 1), Q(6, -4, 7) e
R(1, 2, 2).
Denotamos
−→
PQ = (6− 4,−4− (−3), 7− 1) = (2,−1, 6)
−→
PR = (1− 4, 2− (−3), 2− 1) = (−3, 5, 1)
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O mo´dulo do produto vetorial representa a a´rea do
paralelogramo determinado por −→a e −→b uma vez que sua base e´∥∥−→a ∥∥ e a sua altura e´ ∥∥∥−→b ∥∥∥ · Sen θ.
Exemplo
Ache a a´rea do triaˆngulo formado por P(4, -3, 1), Q(6, -4, 7) e
R(1, 2, 2).
Denotamos
−→
PQ = (6− 4,−4− (−3), 7− 1) = (2,−1, 6)
−→
PR = (1− 4, 2− (−3), 2− 1) = (−3, 5, 1)
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Exemplo
Temos que −→
PQ ×−→PR = (−31,−20, 7)
E ∥∥∥−→PQ ×−→PR∥∥∥ = √(−31)2 + (−20)2 + 72 = √1.410
A a´rea do triaˆngulo e´
1
2
·
√
1.410.
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Temos que
−→
PQ ×−→PR = (−31,−20, 7)
E ∥∥∥−→PQ ×−→PR∥∥∥ = √(−31)2 + (−20)2 + 72 = √1.410
A a´rea do triaˆngulo e´
1
2
·
√
1.410.
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Temos que −→
PQ ×−→PR = (−31,−20, 7)
E ∥∥∥−→PQ ×−→PR∥∥∥ = √(−31)2 + (−20)2 + 72 = √1.410
A a´rea do triaˆngulo e´
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2
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√
1.410.
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Exemplo
Temos que −→
PQ ×−→PR = (−31,−20, 7)
E ∥∥∥−→PQ ×−→PR∥∥∥ = √(−31)2 + (−20)2 + 72 = √1.410
A a´rea do triaˆngulo e´
1
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1.410.
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Temos que −→
PQ ×−→PR = (−31,−20, 7)
E ∥∥∥−→PQ ×−→PR∥∥∥ = √(−31)2 + (−20)2 + 72 = √1.410
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Temos que −→
PQ ×−→PR = (−31,−20, 7)
E ∥∥∥−→PQ ×−→PR∥∥∥ = √(−31)2 + (−20)2 + 72 = √1.410
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Observac¸a˜o
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Denotamos i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1).
Temos que
i × j =
∣∣∣∣ 0 01 0
∣∣∣∣ i − ∣∣∣∣ 1 00 0
∣∣∣∣ j + ∣∣∣∣ 1 00 1
∣∣∣∣ k = (0, 0, 1) = k
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Observac¸a˜o
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Denotamos i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1).
Temos que
i × j =
∣∣∣∣ 0 01 0
∣∣∣∣ i − ∣∣∣∣ 1 00 0
∣∣∣∣ j + ∣∣∣∣ 1 00 1
∣∣∣∣ k = (0,0, 1) = k
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Observac¸a˜o
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Denotamos i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1).
Temos que
i × j =
∣∣∣∣ 0 01 0
∣∣∣∣ i − ∣∣∣∣ 1 00 0
∣∣∣∣ j + ∣∣∣∣ 1 00 1
∣∣∣∣ k = (0, 0, 1) = k
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Denotamos i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1).
Temos que
i × j =
∣∣∣∣ 0 01 0
∣∣∣∣ i − ∣∣∣∣ 1 00 0
∣∣∣∣ j + ∣∣∣∣ 1 00 1
∣∣∣∣ k = (0, 0, 1) = k
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Denotamos i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1).
Temos que
i × j =
∣∣∣∣ 0 01 0
∣∣∣∣ i − ∣∣∣∣ 1 00 0
∣∣∣∣ j + ∣∣∣∣ 1 00 1
∣∣∣∣ k = (0, 0, 1) = k
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Denotamos i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1).
Temos que
i × j =
∣∣∣∣ 0 01 0
∣∣∣∣ i − ∣∣∣∣ 1 00 0
∣∣∣∣ j + ∣∣∣∣ 1 00 1
∣∣∣∣ k = (0, 0, 1) = k
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Observac¸a˜o
De forma ana´loga,
j × k = i k × i = j j × i = −k
k × j = −i i × k = −j i × i = j × j = k × k = −→0
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De forma ana´loga,
j × k = i k × i = j j × i = −k
k × j = −i i × k = −j i × i = j × j = k × k = −→0
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De forma ana´loga,
j × k = i k × i = j j × i = −k
k × j = −i i × k = −j i × i = j × j = k × k = −→0
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De forma ana´loga,
j × k = i k × i = j j × i = −k
k × j = −i i × k = −j
i × i = j × j = k × k = −→0
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De forma ana´loga,
j × k = i k × i = j j × i = −k
k × j = −i i × k = −j i × i = j × j = k × k = −→0
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−→a ×−→b = −−→b ×−→a
2 (r · −→a )×−→b = r(−→a ×−→b ) = −→a × (r · −→b )
3
−→a × (−→b +−→c ) = −→a ×−→b +−→a ×−→c .
4 (−→a +−→b )×−→c = −→a ×−→c +−→b ×−→c .
5 (−→a ×−→b ) • −→c = −→a • (−→b ×−→c ).
6 (−→a ×−→b )×−→c = (−→a • −→c )−→b − (−→a • −→b )−→c .
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−→a ×−→b = −−→b ×−→a
2 (r · −→a )×−→b = r(−→a ×−→b ) = −→a × (r · −→b )
3
−→a × (−→b +−→c ) = −→a ×−→b +−→a ×−→c .
4 (−→a +−→b )×−→c = −→a ×−→c +−→b ×−→c .
5 (−→a ×−→b ) • −→c = −→a • (−→b ×−→c ).
6 (−→a ×−→b )×−→c = (−→a • −→c )−→b − (−→a • −→b )−→c .
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−→a ×−→b = −−→b ×−→a
2 (r · −→a )×−→b = r(−→a ×−→b ) = −→a × (r · −→b )
3
−→a × (−→b +−→c ) = −→a ×−→b +−→a ×−→c .
4 (−→a +−→b )×−→c = −→a ×−→c +−→b ×−→c .
5 (−→a ×−→b ) • −→c = −→a • (−→b ×−→c ).
6 (−→a ×−→b )×−→c = (−→a • −→c )−→b − (−→a • −→b )−→c .
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−→a ×−→b = −−→b ×−→a
2 (r · −→a )×−→b = r(−→a ×−→b ) = −→a × (r · −→b )
3
−→a × (−→b +−→c ) = −→a ×−→b +−→a ×−→c .
4 (−→a +−→b )×−→c = −→a ×−→c +−→b ×−→c .
5 (−→a ×−→b ) • −→c = −→a • (−→b ×−→c ).
6 (−→a ×−→b )×−→c = (−→a • −→c )−→b − (−→a • −→b )−→c .
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−→a ×−→b = −−→b ×−→a
2 (r · −→a )×−→b = r(−→a ×−→b ) = −→a × (r · −→b )
3
−→a × (−→b +−→c ) = −→a ×−→b +−→a ×−→c .
4 (−→a +−→b )×−→c = −→a ×−→c +−→b ×−→c .
5 (−→a ×−→b ) • −→c = −→a • (−→b ×−→c ).
6 (−→a ×−→b )×−→c = (−→a • −→c )−→b − (−→a • −→b )−→c .
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−→a ×−→b = −−→b ×−→a
2 (r · −→a )×−→b = r(−→a ×−→b ) = −→a × (r · −→b )
3
−→a × (−→b +−→c ) = −→a ×−→b +−→a ×−→c .
4 (−→a +−→b )×−→c = −→a ×−→c +−→b ×−→c .
5 (−→a ×−→b ) • −→c = −→a • (−→b ×−→c ).
6 (−→a ×−→b )×−→c = (−→a • −→c )−→b − (−→a • −→b )−→c .
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1
−→a ×−→b = −−→b ×−→a
2 (r · −→a )×−→b = r(−→a ×−→b ) = −→a × (r · −→b )
3
−→a × (−→b +−→c ) = −→a ×−→b +−→a ×−→c .
4 (−→a +−→b )×−→c = −→a ×−→c +−→b ×−→c .
5 (−→a ×−→b ) • −→c = −→a • (−→b ×−→c ).
6 (−→a ×−→b )×−→c = (−→a • −→c )−→b − (−→a • −→b )−→c .
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1
−→a ×−→b = −−→b ×−→a
2 (r · −→a )×−→b = r(−→a ×−→b ) = −→a × (r · −→b )
3
−→a × (−→b +−→c ) = −→a ×−→b +−→a ×−→c .
4 (−→a +−→b )×−→c = −→a ×−→c +−→b ×−→c .
5 (−→a ×−→b ) • −→c = −→a • (−→b ×−→c ).
6 (−→a ×−→b )×−→c = (−→a • −→c )−→b − (−→a • −→b )−→c .
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1
−→a ×−→b = −−→b ×−→a
2 (r · −→a )×−→b = r(−→a ×−→b ) = −→a × (r · −→b )
3
−→a × (−→b +−→c ) = −→a ×−→b +−→a ×−→c .
4 (−→a +−→b )×−→c = −→a×−→c +−→b ×−→c .
5 (−→a ×−→b ) • −→c = −→a • (−→b ×−→c ).
6 (−→a ×−→b )×−→c = (−→a • −→c )−→b − (−→a • −→b )−→c .
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Exemplo 1
Exemplo
Ache a fo´rmula da distaˆncia d de um ponto R a uma reta L.
Sejam P, Q pontos da reta L e θ o aˆngulo formado pelos
vetores
−→
PR e
−→
PQ, logo d =
∥∥∥−→PR∥∥∥Sen θ.
Temos que∥∥∥−→PR ×−→PQ∥∥∥ = ∥∥∥−→PR∥∥∥∥∥∥−→PQ∥∥∥Sen θ = ∥∥∥−→PQ∥∥∥ · d
Resulta que
d =
∥∥∥−→PR ×−→PQ∥∥∥∥∥∥−→PQ∥∥∥
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Exemplo 1
Exemplo
Ache a fo´rmula da distaˆncia d de um ponto R a uma reta L.
Sejam P, Q pontos da reta L e θ o aˆngulo formado pelos
vetores
−→
PR e
−→
PQ, logo d =
∥∥∥−→PR∥∥∥Sen θ.
Temos que∥∥∥−→PR ×−→PQ∥∥∥ = ∥∥∥−→PR∥∥∥∥∥∥−→PQ∥∥∥Sen θ = ∥∥∥−→PQ∥∥∥ · d
Resulta que
d =
∥∥∥−→PR ×−→PQ∥∥∥∥∥∥−→PQ∥∥∥
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Exemplo 1
Exemplo
Ache a fo´rmula da distaˆncia d de um ponto R a uma reta L.
Sejam P, Q pontos da reta L e θ o aˆngulo formado pelos
vetores
−→
PR e
−→
PQ, logo d =
∥∥∥−→PR∥∥∥Sen θ.
Temos que∥∥∥−→PR ×−→PQ∥∥∥ = ∥∥∥−→PR∥∥∥∥∥∥−→PQ∥∥∥Sen θ = ∥∥∥−→PQ∥∥∥ · d
Resulta que
d =
∥∥∥−→PR ×−→PQ∥∥∥∥∥∥−→PQ∥∥∥
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Interpretac¸a˜o
Geome´trica
Propriedades
Exemplos
Produto Misto
Exemplo 1
Exemplo
Ache a fo´rmula da distaˆncia d de um ponto R a uma reta L.
Sejam P, Q pontos da reta L e θ o aˆngulo formado pelos
vetores
−→
PR e
−→
PQ,
logo d =
∥∥∥−→PR∥∥∥Sen θ.
Temos que∥∥∥−→PR ×−→PQ∥∥∥ = ∥∥∥−→PR∥∥∥∥∥∥−→PQ∥∥∥Sen θ = ∥∥∥−→PQ∥∥∥ · d
Resulta que
d =
∥∥∥−→PR ×−→PQ∥∥∥∥∥∥−→PQ∥∥∥
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Exemplo 1
Exemplo
Ache a fo´rmula da distaˆncia d de um ponto R a uma reta L.
Sejam P, Q pontos da reta L e θ o aˆngulo formado pelos
vetores
−→
PR e
−→
PQ, logo d =
∥∥∥−→PR∥∥∥Sen θ.
Temos que∥∥∥−→PR ×−→PQ∥∥∥ = ∥∥∥−→PR∥∥∥∥∥∥−→PQ∥∥∥Sen θ = ∥∥∥−→PQ∥∥∥ · d
Resulta que
d =
∥∥∥−→PR ×−→PQ∥∥∥∥∥∥−→PQ∥∥∥
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Sejam P, Q pontos da reta L e θ o aˆngulo formado pelos
vetores
−→
PR e
−→
PQ, logo d =
∥∥∥−→PR∥∥∥Sen θ.
Temos que
∥∥∥−→PR ×−→PQ∥∥∥ = ∥∥∥−→PR∥∥∥∥∥∥−→PQ∥∥∥Sen θ = ∥∥∥−→PQ∥∥∥ · d
Resulta que
d =
∥∥∥−→PR ×−→PQ∥∥∥∥∥∥−→PQ∥∥∥
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Exemplo 1
Exemplo
Ache a fo´rmula da distaˆncia d de um ponto R a uma reta L.
Sejam P, Q pontos da reta L e θ o aˆngulo formado pelos
vetores
−→
PR e
−→
PQ, logo d =
∥∥∥−→PR∥∥∥Sen θ.
Temos que∥∥∥−→PR ×−→PQ∥∥∥
=
∥∥∥−→PR∥∥∥∥∥∥−→PQ∥∥∥Sen θ = ∥∥∥−→PQ∥∥∥ · d
Resulta que
d =
∥∥∥−→PR ×−→PQ∥∥∥∥∥∥−→PQ∥∥∥
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Sejam P, Q pontos da reta L e θ o aˆngulo formado pelos
vetores
−→
PR e
−→
PQ, logo d =
∥∥∥−→PR∥∥∥Sen θ.
Temos que∥∥∥−→PR ×−→PQ∥∥∥ = ∥∥∥−→PR∥∥∥∥∥∥−→PQ∥∥∥Sen θ
=
∥∥∥−→PQ∥∥∥ · d
Resulta que
d =
∥∥∥−→PR ×−→PQ∥∥∥∥∥∥−→PQ∥∥∥
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Sejam P, Q pontos da reta L e θ o aˆngulo formado pelos
vetores
−→
PR e
−→
PQ, logo d =
∥∥∥−→PR∥∥∥Sen θ.
Temos que∥∥∥−→PR ×−→PQ∥∥∥ = ∥∥∥−→PR∥∥∥∥∥∥−→PQ∥∥∥Sen θ = ∥∥∥−→PQ∥∥∥ · d
Resulta que
d =
∥∥∥−→PR ×−→PQ∥∥∥∥∥∥−→PQ∥∥∥
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Sejam P, Q pontos da reta L e θ o aˆngulo formado pelos
vetores
−→
PR e
−→
PQ, logo d =
∥∥∥−→PR∥∥∥Sen θ.
Temos que∥∥∥−→PR ×−→PQ∥∥∥ = ∥∥∥−→PR∥∥∥∥∥∥−→PQ∥∥∥Sen θ = ∥∥∥−→PQ∥∥∥ · d
Resulta que
d =
∥∥∥−→PR ×−→PQ∥∥∥∥∥∥−→PQ∥∥∥
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Sejam P, Q pontos da reta L e θ o aˆngulo formado pelos
vetores
−→
PR e
−→
PQ, logo d =
∥∥∥−→PR∥∥∥Sen θ.
Temos que∥∥∥−→PR ×−→PQ∥∥∥ = ∥∥∥−→PR∥∥∥∥∥∥−→PQ∥∥∥Sen θ = ∥∥∥−→PQ∥∥∥ · d
Resulta que
d =
∥∥∥−→PR ×−→PQ∥∥∥∥∥∥−→PQ∥∥∥
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Exemplo 2
Exemplo
Sejam −→a ,−→b e −→c os lados adjacentes de uma caixa obl´ıqua.
Mostre que
∣∣∣(−→a ×−→b ) • −→c ∣∣∣ e´ o volume da caixa.
A a´rea da base da caixa e´
∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥ . Denotamos por θ o
aˆngulo entre −→c e −→a ×−→b . Como −→a ×−→b e´ perpendicular a`
base da caixa, a altura h e´ ‖−→c ‖ · |Cos θ|.
Assim o volume da caixa e´
V = (a´rea da base) x (altura) =
(
∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥) · (‖−→c ‖ · |Cos θ|) = ∣∣∣(−→a ×−→b ) • −→c ∣∣∣
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Sejam −→a ,−→b e −→c os lados adjacentes de uma caixa obl´ıqua.
Mostre que
∣∣∣(−→a ×−→b ) • −→c ∣∣∣ e´ o volume da caixa.
A a´rea da base da caixa e´
∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥ . Denotamos por θ o
aˆngulo entre −→c e −→a ×−→b . Como −→a ×−→b e´ perpendicular a`
base da caixa, a altura h e´ ‖−→c ‖ · |Cos θ|.
Assim o volume da caixa e´
V = (a´rea da base) x (altura) =
(
∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥) · (‖−→c ‖ · |Cos θ|) = ∣∣∣(−→a ×−→b ) • −→c ∣∣∣
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Mostre que
∣∣∣(−→a ×−→b ) • −→c ∣∣∣ e´ o volume da caixa.
A a´rea da base da caixa e´
∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥ . Denotamos por θ o
aˆngulo entre −→c e −→a ×−→b . Como −→a ×−→b e´ perpendicular a`
base da caixa, a altura h e´ ‖−→c ‖ · |Cos θ|.
Assim o volume da caixa e´
V = (a´rea da base) x (altura) =
(
∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥) · (‖−→c ‖ · |Cos θ|) = ∣∣∣(−→a ×−→b ) • −→c ∣∣∣
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Sejam −→a ,−→b e −→c os lados adjacentes de uma caixa obl´ıqua.
Mostre que
∣∣∣(−→a ×−→b ) • −→c ∣∣∣ e´ o volume da caixa.
A a´rea da base dacaixa e´
∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥ . Denotamos por θ o
aˆngulo entre −→c e −→a ×−→b . Como −→a ×−→b e´ perpendicular a`
base da caixa, a altura h e´ ‖−→c ‖ · |Cos θ|.
Assim o volume da caixa e´
V = (a´rea da base) x (altura) =
(
∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥) · (‖−→c ‖ · |Cos θ|) = ∣∣∣(−→a ×−→b ) • −→c ∣∣∣
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Mostre que
∣∣∣(−→a ×−→b ) • −→c ∣∣∣ e´ o volume da caixa.
A a´rea da base da caixa e´
∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥ .
Denotamos por θ o
aˆngulo entre −→c e −→a ×−→b . Como −→a ×−→b e´ perpendicular a`
base da caixa, a altura h e´ ‖−→c ‖ · |Cos θ|.
Assim o volume da caixa e´
V = (a´rea da base) x (altura) =
(
∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥) · (‖−→c ‖ · |Cos θ|) = ∣∣∣(−→a ×−→b ) • −→c ∣∣∣
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Mostre que
∣∣∣(−→a ×−→b ) • −→c ∣∣∣ e´ o volume da caixa.
A a´rea da base da caixa e´
∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥ . Denotamos por θ o
aˆngulo entre −→c e −→a ×−→b .
Como −→a ×−→b e´ perpendicular a`
base da caixa, a altura h e´ ‖−→c ‖ · |Cos θ|.
Assim o volume da caixa e´
V = (a´rea da base) x (altura) =
(
∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥) · (‖−→c ‖ · |Cos θ|) = ∣∣∣(−→a ×−→b ) • −→c ∣∣∣
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Mostre que
∣∣∣(−→a ×−→b ) • −→c ∣∣∣ e´ o volume da caixa.
A a´rea da base da caixa e´
∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥ . Denotamos por θ o
aˆngulo entre −→c e −→a ×−→b . Como −→a ×−→b e´ perpendicular a`
base da caixa,
a altura h e´ ‖−→c ‖ · |Cos θ|.
Assim o volume da caixa e´
V = (a´rea da base) x (altura) =
(
∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥) · (‖−→c ‖ · |Cos θ|) = ∣∣∣(−→a ×−→b ) • −→c ∣∣∣
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Mostre que
∣∣∣(−→a ×−→b ) • −→c ∣∣∣ e´ o volume da caixa.
A a´rea da base da caixa e´
∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥ . Denotamos por θ o
aˆngulo entre −→c e −→a ×−→b . Como −→a ×−→b e´ perpendicular a`
base da caixa, a altura h e´ ‖−→c ‖ · |Cos θ|.
Assim o volume da caixa e´
V = (a´rea da base) x (altura) =
(
∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥) · (‖−→c ‖ · |Cos θ|) = ∣∣∣(−→a ×−→b ) • −→c ∣∣∣
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Mostre que
∣∣∣(−→a ×−→b ) • −→c ∣∣∣ e´ o volume da caixa.
A a´rea da base da caixa e´
∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥ . Denotamos por θ o
aˆngulo entre −→c e −→a ×−→b . Como −→a ×−→b e´ perpendicular a`
base da caixa, a altura h e´ ‖−→c ‖ · |Cos θ|.
Assim o volume da caixa e´
V = (a´rea da base) x (altura) =
(
∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥) · (‖−→c ‖ · |Cos θ|) = ∣∣∣(−→a ×−→b ) • −→c ∣∣∣
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Mostre que
∣∣∣(−→a ×−→b ) • −→c ∣∣∣ e´ o volume da caixa.
A a´rea da base da caixa e´
∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥ . Denotamos por θ o
aˆngulo entre −→c e −→a ×−→b . Como −→a ×−→b e´ perpendicular a`
base da caixa, a altura h e´ ‖−→c ‖ · |Cos θ|.
Assim o volume da caixa e´
V = (a´rea da base) x (altura) =
(
∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥) · (‖−→c ‖ · |Cos θ|) = ∣∣∣(−→a ×−→b ) • −→c ∣∣∣
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Mostre que
∣∣∣(−→a ×−→b ) • −→c ∣∣∣ e´ o volume da caixa.
A a´rea da base da caixa e´
∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥ . Denotamos por θ o
aˆngulo entre −→c e −→a ×−→b . Como −→a ×−→b e´ perpendicular a`
base da caixa, a altura h e´ ‖−→c ‖ · |Cos θ|.
Assim o volume da caixa e´
V = (a´rea da base) x (altura) =
(
∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥)
· (‖−→c ‖ · |Cos θ|) =
∣∣∣(−→a ×−→b ) • −→c ∣∣∣
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Mostre que
∣∣∣(−→a ×−→b ) • −→c ∣∣∣ e´ o volume da caixa.
A a´rea da base da caixa e´
∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥ . Denotamos por θ o
aˆngulo entre −→c e −→a ×−→b . Como −→a ×−→b e´ perpendicular a`
base da caixa, a altura h e´ ‖−→c ‖ · |Cos θ|.
Assim o volume da caixa e´
V = (a´rea da base) x (altura) =
(
∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥) · (‖−→c ‖ · |Cos θ|)
=
∣∣∣(−→a ×−→b ) • −→c ∣∣∣
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Mostre que
∣∣∣(−→a ×−→b ) • −→c ∣∣∣ e´ o volume da caixa.
A a´rea da base da caixa e´
∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥ . Denotamos por θ o
aˆngulo entre −→c e −→a ×−→b . Como −→a ×−→b e´ perpendicular a`
base da caixa, a altura h e´ ‖−→c ‖ · |Cos θ|.
Assim o volume da caixa e´
V = (a´rea da base) x (altura) =
(
∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥) · (‖−→c ‖ · |Cos θ|) = ∣∣∣(−→a ×−→b ) • −→c ∣∣∣
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Mostre que
∣∣∣(−→a ×−→b ) • −→c ∣∣∣ e´ o volume da caixa.
A a´rea da base da caixa e´
∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥ . Denotamos por θ o
aˆngulo entre −→c e −→a ×−→b . Como −→a ×−→b e´ perpendicular a`
base da caixa, a altura h e´ ‖−→c ‖ · |Cos θ|.
Assim o volume da caixa e´
V = (a´rea da base) x (altura) =
(
∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥) · (‖−→c ‖ · |Cos θ|) = ∣∣∣(−→a ×−→b ) • −→c ∣∣∣
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Produto Misto
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Definic¸a˜o
O nu´mero (−→a ×−→b ) • −→c e´ chamado produto misto. Este
nu´mero pode ser considerado o determinante de ordem 3 que
envolve as componentes dos treˆs vetores.
Isto e´,
(−→a ×−→b ) • −→c =
∣∣∣∣∣∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣
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Definic¸a˜o
O nu´mero (−→a ×−→b ) • −→c e´ chamado produto misto. Este
nu´mero pode ser considerado o determinante de ordem 3 que
envolve as componentes dos treˆs vetores.
Isto e´,
(−→a ×−→b ) • −→c =
∣∣∣∣∣∣
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O nu´mero (−→a ×−→b ) • −→c e´ chamado produto misto.
Este
nu´mero pode ser considerado o determinantede ordem 3 que
envolve as componentes dos treˆs vetores.
Isto e´,
(−→a ×−→b ) • −→c =
∣∣∣∣∣∣
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O nu´mero (−→a ×−→b ) • −→c e´ chamado produto misto. Este
nu´mero pode ser considerado o determinante de ordem 3 que
envolve as componentes dos treˆs vetores.
Isto e´,
(−→a ×−→b ) • −→c =
∣∣∣∣∣∣
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Definic¸a˜o
O nu´mero (−→a ×−→b ) • −→c e´ chamado produto misto. Este
nu´mero pode ser considerado o determinante de ordem 3 que
envolve as componentes dos treˆs vetores.
Isto e´,
(−→a ×−→b ) • −→c =
∣∣∣∣∣∣
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Definic¸a˜o
O nu´mero (−→a ×−→b ) • −→c e´ chamado produto misto. Este
nu´mero pode ser considerado o determinante de ordem 3 que
envolve as componentes dos treˆs vetores.
Isto e´,
(−→a ×−→b ) • −→c =
∣∣∣∣∣∣
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Definic¸a˜o
O nu´mero (−→a ×−→b ) • −→c e´ chamado produto misto. Este
nu´mero pode ser considerado o determinante de ordem 3 que
envolve as componentes dos treˆs vetores.
Isto e´,
(−→a ×−→b ) • −→c =
∣∣∣∣∣∣
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O nu´mero (−→a ×−→b ) • −→c e´ chamado produto misto. Este
nu´mero pode ser considerado o determinante de ordem 3 que
envolve as componentes dos treˆs vetores.
Isto e´,
(−→a ×−→b ) • −→c =
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