Paralelismo2014.1

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Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Paralelismo de
Vetores
Independeˆncia
Linear
Comprimento
de um Vetor
Produto
Escalar
Aˆngulo entre
dois vetores
Matema´tica para Economia II - GAN 00146
Ricardo Fuentes Apolaya
ricardof16@yahoo.com.br
Departamento de Ana´lise
Nitero´i, 2014
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Vetores
Independeˆncia
Linear
Comprimento
de um Vetor
Produto
Escalar
Aˆngulo entre
dois vetores
Suma´rio
1 Paralelismo de Vetores
2 Independeˆncia Linear
3 Comprimento de um Vetor
4 Produto Escalar
5 Aˆngulo entre dois vetores
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Independeˆncia
Linear
Comprimento
de um Vetor
Produto
Escalar
Aˆngulo entre
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1 Paralelismo de Vetores
2 Independeˆncia Linear
3 Comprimento de um Vetor
4 Produto Escalar
5 Aˆngulo entre dois vetores
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Independeˆncia
Linear
Comprimento
de um Vetor
Produto
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1 Paralelismo de Vetores
2 Independeˆncia Linear
3 Comprimento de um Vetor
4 Produto Escalar
5 Aˆngulo entre dois vetores
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Independeˆncia
Linear
Comprimento
de um Vetor
Produto
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1 Paralelismo de Vetores
2 Independeˆncia Linear
3 Comprimento de um Vetor
4 Produto Escalar
5 Aˆngulo entre dois vetores
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Linear
Comprimento
de um Vetor
Produto
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1 Paralelismo de Vetores
2 Independeˆncia Linear
3 Comprimento de um Vetor
4 Produto Escalar
5 Aˆngulo entre dois vetores
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Comprimento
de um Vetor
Produto
Escalar
Aˆngulo entre
dois vetores
Observac¸a˜o
Observac¸a˜o
Se a origem do vetor e´ o ponto P0(x0, y0, z0) e o extremo e´ o
ponto P1(x1, y1, z1), escrevemos:
−−−→
P0P1 = (x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0) = P1 − P0
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Aˆngulo entre
dois vetores
Observac¸a˜o
Observac¸a˜o
Se a origem do vetor e´ o ponto P0(x0, y0, z0) e o extremo e´ o
ponto P1(x1, y1, z1), escrevemos:
−−−→
P0P1 = (x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0) = P1 − P0
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Comprimento
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dois vetores
Observac¸a˜o
Observac¸a˜o
Se a origem do vetor e´ o ponto P0(x0, y0, z0) e o extremo e´ o
ponto P1(x1, y1, z1), escrevemos:
−−−→
P0P1 = (x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0) = P1 − P0
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Observac¸a˜o
Observac¸a˜o
Se a origem do vetor e´ o ponto P0(x0, y0, z0) e o extremo e´ o
ponto P1(x1, y1, z1), escrevemos:
−−−→
P0P1 = (x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0) = P1 − P0
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Aˆngulo entre
dois vetores
Paralelismo de Vetores
Definic¸a˜o
Os vetores −→a e −→b sa˜o paralelos se existe r ∈ R, tal que
−→a = r · −→b , ou −→b = r · −→a
Denotamos −→a ‖ −→b .
Dois vetores que na˜o sa˜o paralelos sa˜o ditos linearmente
independentes (l.i.).
Observac¸a˜o
Se r > 0, dizemos que −→a e −→b tem mesma direc¸a˜o.
Se r < 0, dizemos que −→a e −→b tem direc¸o˜es opostas.
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dois vetores
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Definic¸a˜o
Os vetores −→a e −→b sa˜o paralelos
se existe r ∈ R, tal que
−→a = r · −→b , ou −→b = r · −→a
Denotamos −→a ‖ −→b .
Dois vetores que na˜o sa˜o paralelos sa˜o ditos linearmente
independentes (l.i.).
Observac¸a˜o
Se r > 0, dizemos que −→a e −→b tem mesma direc¸a˜o.
Se r < 0, dizemos que −→a e −→b tem direc¸o˜es opostas.
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dois vetores
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Definic¸a˜o
Os vetores −→a e −→b sa˜o paralelos se existe r ∈ R, tal que
−→a = r · −→b , ou −→b = r · −→a
Denotamos −→a ‖ −→b .
Dois vetores que na˜o sa˜o paralelos sa˜o ditos linearmente
independentes (l.i.).
Observac¸a˜o
Se r > 0, dizemos que −→a e −→b tem mesma direc¸a˜o.
Se r < 0, dizemos que −→a e −→b tem direc¸o˜es opostas.
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dois vetores
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Definic¸a˜o
Os vetores −→a e −→b sa˜o paralelos se existe r ∈ R, tal que
−→a = r · −→b ,
ou
−→
b = r · −→a
Denotamos −→a ‖ −→b .
Dois vetores que na˜o sa˜o paralelos sa˜o ditos linearmente
independentes (l.i.).
Observac¸a˜o
Se r > 0, dizemos que −→a e −→b tem mesma direc¸a˜o.
Se r < 0, dizemos que −→a e −→b tem direc¸o˜es opostas.
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dois vetores
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Definic¸a˜o
Os vetores −→a e −→b sa˜o paralelos se existe r ∈ R, tal que
−→a = r · −→b , ou −→b = r · −→a
Denotamos −→a ‖ −→b .
Dois vetores que na˜o sa˜o paralelos sa˜o ditos linearmente
independentes (l.i.).
Observac¸a˜o
Se r > 0, dizemos que −→a e −→b tem mesma direc¸a˜o.
Se r < 0, dizemos que −→a e −→b tem direc¸o˜es opostas.
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Os vetores −→a e −→b sa˜o paralelos se existe r ∈ R, tal que
−→a = r · −→b , ou −→b = r · −→a
Denotamos −→a ‖ −→b .
Dois vetores que na˜o sa˜o paralelos sa˜o ditos linearmente
independentes (l.i.).
Observac¸a˜o
Se r > 0, dizemos que −→a e −→b tem mesma direc¸a˜o.
Se r < 0, dizemos que −→a e −→b tem direc¸o˜es opostas.
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Definic¸a˜o
Os vetores −→a e −→b sa˜o paralelos se existe r ∈ R, tal que
−→a = r · −→b , ou −→b = r · −→a
Denotamos −→a ‖ −→b .
Dois vetores que na˜o sa˜o paralelos sa˜o ditos linearmente
independentes (l.i.).
Observac¸a˜o
Se r > 0, dizemos que −→a e −→b tem mesma direc¸a˜o.
Se r < 0, dizemos que −→a e −→b tem direc¸o˜es opostas.
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Os vetores −→a e −→b sa˜o paralelos se existe r ∈ R, tal que
−→a = r · −→b , ou −→b = r · −→a
Denotamos −→a ‖ −→b .
Dois vetores que na˜o sa˜o paralelos sa˜o ditos linearmente
independentes (l.i.).
Observac¸a˜o
Se r > 0, dizemos que −→a e −→b tem mesma direc¸a˜o.
Se r < 0, dizemos que −→a e −→b tem direc¸o˜es opostas.
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Os vetores −→a e −→b sa˜o paralelos se existe r ∈ R, tal que
−→a = r · −→b , ou −→b = r · −→a
Denotamos −→a ‖ −→b .
Dois vetores que na˜o sa˜o paralelos sa˜o ditos linearmente
independentes (l.i.).
Observac¸a˜o
Se r > 0, dizemos que −→a e −→b tem mesma direc¸a˜o.
Se r < 0, dizemos que −→a e −→b tem direc¸o˜es opostas.
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Definic¸a˜o
Os vetores −→a e −→b sa˜o paralelos se existe r ∈ R, tal que
−→a = r · −→b , ou −→b = r · −→a
Denotamos −→a ‖ −→b .
Dois vetores que na˜o sa˜o paralelos sa˜o ditos linearmente
independentes (l.i.).
Observac¸a˜o
Se r > 0, dizemos que −→a e −→b tem mesma direc¸a˜o.
Se r < 0, dizemos que −→a e −→b tem direc¸o˜es opostas.
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Definic¸a˜o
Os vetores −→a e −→b sa˜o paralelos se existe r ∈ R, tal que
−→a = r · −→b , ou −→b = r · −→a
Denotamos −→a ‖ −→b .
Dois vetores que na˜o sa˜o paralelos sa˜o ditos linearmente
independentes (l.i.).
Observac¸a˜o
Se r > 0, dizemos que −→a e −→b tem mesma direc¸a˜o.
Se r < 0, dizemos que −→a e −→b tem direc¸o˜es opostas.
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Aˆngulo entre
dois vetores
Exemplo
Exemplo
Se −→a = (−1, 2,−3), −→b = (5,−10, 15),−→c = (−2, 4,−6),−→
d = (0, 1, 3).
Temos que:
−→
b = −5−→a , −→c = 2−→a .
Ou seja, −→a ‖ −→b , −→a ‖ −→c .
−→a e −→d na˜o sa˜o paralelos.
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Exemplo
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Se −→a = (−1, 2,−3), −→b = (5,−10, 15),−→c = (−2, 4,−6),−→
d = (0, 1, 3).
Temos que:
−→
b = −5−→a , −→c = 2−→a .
Ou seja, −→a ‖ −→b , −→a ‖ −→c .
−→a e −→d na˜o sa˜o paralelos.
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Se −→a = (−1, 2,−3), −→b = (5,−10, 15),−→c = (−2, 4,−6),−→
d = (0, 1, 3).
Temos que:
−→
b = −5−→a , −→c = 2−→a .
Ou seja, −→a ‖ −→b , −→a ‖ −→c .
−→a e −→d na˜o sa˜o paralelos.
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Se −→a = (−1, 2,−3), −→b = (5,−10, 15),−→c = (−2, 4,−6),−→
d = (0, 1, 3).
Temos que:
−→
b = −5−→a ,
−→c = 2−→a .
Ou seja, −→a ‖ −→b , −→a ‖ −→c .
−→a e −→d na˜o sa˜o paralelos.
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Se −→a = (−1, 2,−3), −→b = (5,−10, 15),−→c = (−2, 4,−6),−→
d = (0, 1, 3).
Temos que:
−→
b = −5−→a , −→c = 2−→a .
Ou seja, −→a ‖ −→b , −→a ‖ −→c .
−→a e −→d na˜o sa˜o paralelos.
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Exemplo
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Se −→a = (−1, 2,−3), −→b = (5,−10, 15),−→c = (−2, 4,−6),−→
d = (0, 1, 3).
Temos que:
−→
b = −5−→a , −→c = 2−→a .
Ou seja, −→a ‖ −→b ,
−→a ‖ −→c .
−→a e −→d na˜o sa˜o paralelos.
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Se −→a = (−1, 2,−3), −→b = (5,−10, 15),−→c = (−2, 4,−6),−→
d = (0, 1, 3).
Temos que:
−→
b = −5−→a , −→c = 2−→a .
Ou seja, −→a ‖ −→b , −→a ‖ −→c .
−→a e −→d na˜o sa˜o paralelos.
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Exemplo
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Se −→a = (−1, 2,−3), −→b = (5,−10, 15),−→c = (−2, 4,−6),−→
d = (0, 1, 3).
Temos que:
−→
b = −5−→a , −→c = 2−→a .
Ou seja, −→a ‖ −→b , −→a ‖ −→c .
−→a e −→d na˜o sa˜o paralelos.
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Exemplo
Exemplo
Se −→a = (−1, 2,−3), −→b = (5,−10, 15),−→c = (−2, 4,−6),−→
d = (0, 1, 3).
Temos que:
−→
b = −5−→a , −→c = 2−→a .
Ou seja, −→a ‖ −→b , −→a ‖ −→c .
−→a e −→d na˜o sa˜o paralelos.
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dois vetores
Independeˆncia Linear
Teorema
Os vetores −→a e −→b sa˜o linearmente independentes se, e
somente se, os u´nicos escalares tais que r · −→a + s · −→b = −→0 , sa˜o
r = s = 0.
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Independeˆncia Linear
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Os vetores −→a e −→b sa˜o linearmente independentes se, e
somente se, os u´nicos escalares tais que r · −→a + s · −→b = −→0 , sa˜o
r = s = 0.
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Teorema
Os vetores −→a e −→b sa˜o linearmente independentes
se, e
somente se, os u´nicos escalares tais que r · −→a + s · −→b = −→0 , sa˜o
r = s = 0.
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Teorema
Os vetores −→a e −→b sa˜o linearmente independentes se, e
somente se, os u´nicos escalares tais que
r · −→a + s · −→b = −→0 , sa˜o
r = s = 0.
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Teorema
Os vetores −→a e −→b sa˜o linearmente independentes se, e
somente se, os u´nicos escalares tais que r · −→a + s · −→b= −→0 ,
sa˜o
r = s = 0.
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Teorema
Os vetores −→a e −→b sa˜o linearmente independentes se, e
somente se, os u´nicos escalares tais que r · −→a + s · −→b = −→0 , sa˜o
r = s = 0.
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Teorema
Os vetores −→a e −→b sa˜o linearmente independentes se, e
somente se, os u´nicos escalares tais que r · −→a + s · −→b = −→0 , sa˜o
r = s = 0.
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dois vetores
Exemplo
Exemplo
Se −→a e −→b sa˜o l.i. e que
(3x − y) · −→a + (1− x) · −→b = 7−→a + y−→b . Calcular x e y.
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(3x − y) · −→a + (1− x) · −→b = 7−→a + y−→b . Calcular x e y.
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Se −→a e −→b sa˜o l.i.
e que
(3x − y) · −→a + (1− x) · −→b = 7−→a + y−→b . Calcular x e y.
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Se −→a e −→b sa˜o l.i. e que
(3x − y) · −→a + (1− x) · −→b = 7−→a + y−→b .
Calcular x e y.
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Se −→a e −→b sa˜o l.i. e que
(3x − y) · −→a + (1− x) · −→b = 7−→a + y−→b . Calcular x e y.
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Se −→a e −→b sa˜o l.i. e que
(3x − y) · −→a + (1− x) · −→b = 7−→a + y−→b . Calcular x e y.
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Linear
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de um Vetor
Produto
Escalar
Aˆngulo entre
dois vetores
Comprimento de um Vetor
Definic¸a˜o
O comprimento ou mo´dulo (ou norma) de um vetor−→a = (x , y , z) e´ denotado por ∥∥−→a ∥∥ e def´ıne-se por∥∥−→a ∥∥ = √x2 + y2 + z2
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para
Economia II -
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Ricardo
Fuentes
Apolaya
Paralelismo de
Vetores
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Linear
Comprimento
de um Vetor
Produto
Escalar
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dois vetores
Comprimento de um Vetor
Definic¸a˜o
O comprimento ou mo´dulo (ou norma) de um vetor−→a = (x , y , z) e´ denotado por ∥∥−→a ∥∥ e def´ıne-se por∥∥−→a ∥∥ = √x2 + y2 + z2
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Definic¸a˜o
O comprimento ou mo´dulo (ou norma) de um vetor−→a = (x , y , z) e´ denotado por ∥∥−→a ∥∥
e def´ıne-se por∥∥−→a ∥∥ = √x2 + y2 + z2
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O comprimento ou mo´dulo (ou norma) de um vetor−→a = (x , y , z) e´ denotado por ∥∥−→a ∥∥ e def´ıne-se por
∥∥−→a ∥∥ = √x2 + y2 + z2
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O comprimento ou mo´dulo (ou norma) de um vetor−→a = (x , y , z) e´ denotado por ∥∥−→a ∥∥ e def´ıne-se por∥∥−→a ∥∥ = √x2 + y2 + z2
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Definic¸a˜o
O comprimento ou mo´dulo (ou norma) de um vetor−→a = (x , y , z) e´ denotado por ∥∥−→a ∥∥ e def´ıne-se por∥∥−→a ∥∥ = √x2 + y2 + z2
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Linear
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dois vetores
Observac¸o˜es
Observac¸a˜o
O comprimento e´ a distaˆncia da origem ate´ o ponto P(x, y, z)
que define o vetor −→a = (x , y , z).
Observac¸a˜o
Se
∥∥−→a ∥∥ = 1, dizemos que o vetor −→a e´ unita´rio.
Observac¸a˜o
Se −→a 6= −→0 , consideramos o vetor unita´rio −→u =
−→a∥∥−→a ∥∥
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Observac¸a˜o
O comprimento e´ a distaˆncia da origem ate´ o ponto P(x, y, z)
que define o vetor −→a = (x , y , z).
Observac¸a˜o
Se
∥∥−→a ∥∥ = 1, dizemos que o vetor −→a e´ unita´rio.
Observac¸a˜o
Se −→a 6= −→0 , consideramos o vetor unita´rio −→u =
−→a∥∥−→a ∥∥
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O comprimento e´ a distaˆncia da origem ate´ o ponto P(x, y, z)
que define o vetor −→a = (x , y , z).
Observac¸a˜o
Se
∥∥−→a ∥∥ = 1, dizemos que o vetor −→a e´ unita´rio.
Observac¸a˜o
Se −→a 6= −→0 , consideramos o vetor unita´rio −→u =
−→a∥∥−→a ∥∥
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O comprimento e´ a distaˆncia da origem ate´ o ponto P(x, y, z)
que define o vetor −→a = (x , y , z).
Observac¸a˜o
Se
∥∥−→a ∥∥ = 1, dizemos que o vetor −→a e´ unita´rio.
Observac¸a˜o
Se −→a 6= −→0 , consideramos o vetor unita´rio −→u =
−→a∥∥−→a ∥∥
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Observac¸a˜o
O comprimento e´ a distaˆncia da origem ate´ o ponto P(x, y, z)
que define o vetor −→a = (x , y , z).
Observac¸a˜o
Se
∥∥−→a ∥∥ = 1,
dizemos que o vetor −→a e´ unita´rio.
Observac¸a˜o
Se −→a 6= −→0 , consideramos o vetor unita´rio −→u =
−→a∥∥−→a ∥∥
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Observac¸a˜o
O comprimento e´ a distaˆncia da origem ate´ o ponto P(x, y, z)
quedefine o vetor −→a = (x , y , z).
Observac¸a˜o
Se
∥∥−→a ∥∥ = 1, dizemos que o vetor −→a e´ unita´rio.
Observac¸a˜o
Se −→a 6= −→0 , consideramos o vetor unita´rio −→u =
−→a∥∥−→a ∥∥
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O comprimento e´ a distaˆncia da origem ate´ o ponto P(x, y, z)
que define o vetor −→a = (x , y , z).
Observac¸a˜o
Se
∥∥−→a ∥∥ = 1, dizemos que o vetor −→a e´ unita´rio.
Observac¸a˜o
Se −→a 6= −→0 , consideramos o vetor unita´rio −→u =
−→a∥∥−→a ∥∥
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O comprimento e´ a distaˆncia da origem ate´ o ponto P(x, y, z)
que define o vetor −→a = (x , y , z).
Observac¸a˜o
Se
∥∥−→a ∥∥ = 1, dizemos que o vetor −→a e´ unita´rio.
Observac¸a˜o
Se −→a 6= −→0 , consideramos o vetor unita´rio
−→u =
−→a∥∥−→a ∥∥
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que define o vetor −→a = (x , y , z).
Observac¸a˜o
Se
∥∥−→a ∥∥ = 1, dizemos que o vetor −→a e´ unita´rio.
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Se −→a 6= −→0 , consideramos o vetor unita´rio −→u =
−→a∥∥−→a ∥∥
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O comprimento e´ a distaˆncia da origem ate´ o ponto P(x, y, z)
que define o vetor −→a = (x , y , z).
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Se
∥∥−→a ∥∥ = 1, dizemos que o vetor −→a e´ unita´rio.
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Se −→a 6= −→0 , consideramos o vetor unita´rio −→u =
−→a∥∥−→a ∥∥
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Propriedades
1
∥∥−→a ∥∥ ≥ 0, ∀−→a ∈ R3, ∥∥−→a ∥∥ = 0 ⇔ −→a = −→0 .
2
∥∥r · −→a ∥∥ = r · ∥∥−→a ∥∥ , ∀r ∈ R.
3
∥∥∥−→a +−→b ∥∥∥ ≤ ∥∥−→a ∥∥+ ∥∥∥−→b ∥∥∥ , ∀ −→a ,−→b ∈ R3.
4
∥∥−→a ∥∥ = ∥∥−−→a ∥∥ , ∀ −→a ∈ R3.
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Propriedades
1
∥∥−→a ∥∥ ≥ 0, ∀−→a ∈ R3, ∥∥−→a ∥∥ = 0 ⇔ −→a = −→0 .
2
∥∥r · −→a ∥∥ = r · ∥∥−→a ∥∥ , ∀r ∈ R.
3
∥∥∥−→a +−→b ∥∥∥ ≤ ∥∥−→a ∥∥+ ∥∥∥−→b ∥∥∥ , ∀ −→a ,−→b ∈ R3.
4
∥∥−→a ∥∥ = ∥∥−−→a ∥∥ , ∀ −→a ∈ R3.
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Propriedades
1
∥∥−→a ∥∥ ≥ 0, ∀−→a ∈ R3, ∥∥−→a ∥∥ = 0 ⇔ −→a = −→0 .
2
∥∥r · −→a ∥∥ = r · ∥∥−→a ∥∥ , ∀r ∈ R.
3
∥∥∥−→a +−→b ∥∥∥ ≤ ∥∥−→a ∥∥+ ∥∥∥−→b ∥∥∥ , ∀ −→a ,−→b ∈ R3.
4
∥∥−→a ∥∥ = ∥∥−−→a ∥∥ , ∀ −→a ∈ R3.
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Propriedades
1
∥∥−→a ∥∥ ≥ 0, ∀−→a ∈ R3, ∥∥−→a ∥∥ = 0 ⇔ −→a = −→0 .
2
∥∥r · −→a ∥∥ = r · ∥∥−→a ∥∥ , ∀r ∈ R.
3
∥∥∥−→a +−→b ∥∥∥ ≤ ∥∥−→a ∥∥+ ∥∥∥−→b ∥∥∥ , ∀ −→a ,−→b ∈ R3.
4
∥∥−→a ∥∥ = ∥∥−−→a ∥∥ , ∀ −→a ∈ R3.
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Propriedades
1
∥∥−→a ∥∥ ≥ 0, ∀−→a ∈ R3, ∥∥−→a ∥∥ = 0 ⇔ −→a = −→0 .
2
∥∥r · −→a ∥∥ = r · ∥∥−→a ∥∥ , ∀r ∈ R.
3
∥∥∥−→a +−→b ∥∥∥ ≤ ∥∥−→a ∥∥+ ∥∥∥−→b ∥∥∥ , ∀ −→a ,−→b ∈ R3.
4
∥∥−→a ∥∥ = ∥∥−−→a ∥∥ , ∀ −→a ∈ R3.
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Propriedades
1
∥∥−→a ∥∥ ≥ 0, ∀−→a ∈ R3, ∥∥−→a ∥∥ = 0 ⇔ −→a = −→0 .
2
∥∥r · −→a ∥∥ = r · ∥∥−→a ∥∥ , ∀r ∈ R.
3
∥∥∥−→a +−→b ∥∥∥ ≤ ∥∥−→a ∥∥+ ∥∥∥−→b ∥∥∥ , ∀ −→a ,−→b ∈ R3.
4
∥∥−→a ∥∥ = ∥∥−−→a ∥∥ , ∀ −→a ∈ R3.
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Propriedades
1
∥∥−→a ∥∥ ≥ 0, ∀−→a ∈ R3, ∥∥−→a ∥∥ = 0 ⇔ −→a = −→0 .
2
∥∥r · −→a ∥∥ = r · ∥∥−→a ∥∥ , ∀r ∈ R.
3
∥∥∥−→a +−→b ∥∥∥ ≤ ∥∥−→a ∥∥+ ∥∥∥−→b ∥∥∥ , ∀ −→a ,−→b ∈ R3.
4
∥∥−→a ∥∥ = ∥∥−−→a ∥∥ , ∀ −→a ∈ R3.
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Comprimento
de um Vetor
Produto
Escalar
Aˆngulo entre
dois vetores
Produto Escalar
Definic¸a˜o
O produto escalar, denotado por −→a • −→b de −→a = (a1, a2, a3) e−→
b = (b1, b2, b3) e´ por definic¸a˜o
−→a • −→b = (a1, a2, a3) • (b1, b2, b3) = a1b1 + a2b2 + a3b3 ∈ R
Tambe´m e´ chamado produto interno.
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Produto
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dois vetores
Produto Escalar
Definic¸a˜o
O produto escalar, denotado por −→a • −→b de −→a = (a1, a2, a3) e−→
b = (b1, b2, b3) e´ por definic¸a˜o
−→a • −→b = (a1, a2, a3) • (b1, b2, b3) = a1b1 + a2b2 + a3b3 ∈ R
Tambe´m e´ chamado produto interno.
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Produto
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Produto Escalar
Definic¸a˜o
O produto escalar, denotado por −→a • −→b de −→a = (a1, a2, a3) e−→
b = (b1, b2, b3)
e´ por definic¸a˜o
−→a • −→b = (a1, a2, a3) • (b1, b2, b3) = a1b1 + a2b2 + a3b3 ∈ R
Tambe´m e´ chamado produto interno.
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dois vetores
Produto Escalar
Definic¸a˜o
O produto escalar, denotado por −→a • −→b de −→a = (a1, a2, a3) e−→
b = (b1, b2, b3) e´ por definic¸a˜o
−→a • −→b = (a1, a2, a3) • (b1, b2, b3)
= a1b1 + a2b2 + a3b3 ∈ R
Tambe´m e´ chamado produto interno.
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Produto Escalar
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O produto escalar, denotado por −→a • −→b de −→a = (a1, a2, a3) e−→
b = (b1, b2, b3) e´ por definic¸a˜o
−→a • −→b = (a1, a2, a3) • (b1, b2, b3) = a1b1 + a2b2 + a3b3 ∈ R
Tambe´m e´ chamado produto interno.
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Produto Escalar
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O produto escalar, denotado por −→a • −→b de −→a = (a1, a2, a3) e−→
b = (b1, b2, b3) e´ por definic¸a˜o
−→a • −→b = (a1, a2, a3) • (b1, b2, b3) = a1b1 + a2b2 + a3b3∈ R
Tambe´m e´ chamado produto interno.
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Produto Escalar
Definic¸a˜o
O produto escalar, denotado por −→a • −→b de −→a = (a1, a2, a3) e−→
b = (b1, b2, b3) e´ por definic¸a˜o
−→a • −→b = (a1, a2, a3) • (b1, b2, b3) = a1b1 + a2b2 + a3b3 ∈ R
Tambe´m e´ chamado produto interno.
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Propriedades
Dados −→a ,−→b ,−→c ∈ R3, r ∈ R, temos as seguintes propriedades:
1
−→a • −→a = ∥∥−→a ∥∥2 .
2
−→a • −→b = −→b • −→a .
3
−→a • (−→b +−→c ) = −→a • −→b +−→a • −→c .
4 (r · −→a ) • −→b = r · (−→a • −→b ) = −→a • (r · −→b ).
5 0 · −→a = −→0 .
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Propriedades
Dados −→a ,−→b ,−→c ∈ R3, r ∈ R, temos as seguintes propriedades:
1
−→a • −→a = ∥∥−→a ∥∥2 .
2
−→a • −→b = −→b • −→a .
3
−→a • (−→b +−→c ) = −→a • −→b +−→a • −→c .
4 (r · −→a ) • −→b = r · (−→a • −→b ) = −→a • (r · −→b ).
5 0 · −→a = −→0 .
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Propriedades
Dados −→a ,−→b ,−→c ∈ R3, r ∈ R, temos as seguintes propriedades:
1
−→a • −→a = ∥∥−→a ∥∥2 .
2
−→a • −→b = −→b • −→a .
3
−→a • (−→b +−→c ) = −→a • −→b +−→a • −→c .
4 (r · −→a ) • −→b = r · (−→a • −→b ) = −→a • (r · −→b ).
5 0 · −→a = −→0 .
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Propriedades
Dados −→a ,−→b ,−→c ∈ R3, r ∈ R, temos as seguintes propriedades:
1
−→a • −→a = ∥∥−→a ∥∥2 .
2
−→a • −→b = −→b • −→a .
3
−→a • (−→b +−→c ) = −→a • −→b +−→a • −→c .
4 (r · −→a ) • −→b = r · (−→a • −→b ) = −→a • (r · −→b ).
5 0 · −→a = −→0 .
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Propriedades
Dados −→a ,−→b ,−→c ∈ R3, r ∈ R, temos as seguintes propriedades:
1
−→a • −→a = ∥∥−→a ∥∥2 .
2
−→a • −→b = −→b • −→a .
3
−→a • (−→b +−→c ) = −→a • −→b +−→a • −→c .
4 (r · −→a ) • −→b = r · (−→a • −→b ) = −→a • (r · −→b ).
5 0 · −→a = −→0 .
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Propriedades
Dados −→a ,−→b ,−→c ∈ R3, r ∈ R, temos as seguintes propriedades:
1
−→a • −→a = ∥∥−→a ∥∥2 .
2
−→a • −→b = −→b • −→a .
3
−→a • (−→b +−→c ) = −→a • −→b +−→a • −→c .
4 (r · −→a ) • −→b = r · (−→a • −→b ) = −→a • (r · −→b ).
5 0 · −→a = −→0 .
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Propriedades
Dados −→a ,−→b ,−→c ∈ R3, r ∈ R, temos as seguintes propriedades:
1
−→a • −→a = ∥∥−→a ∥∥2 .
2
−→a • −→b = −→b • −→a .
3
−→a • (−→b +−→c ) = −→a • −→b +−→a • −→c .
4 (r · −→a ) • −→b = r · (−→a • −→b ) = −→a • (r · −→b ).
5 0 · −→a = −→0 .
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Paralelismo de
Vetores
Independeˆncia
Linear
Comprimento
de um Vetor
Produto
Escalar
Aˆngulo entre
dois vetores
Propriedades
Dados −→a ,−→b ,−→c ∈ R3, r ∈ R, temos as seguintes propriedades:
1
−→a • −→a = ∥∥−→a ∥∥2 .
2
−→a • −→b = −→b • −→a .
3
−→a • (−→b +−→c ) = −→a • −→b +−→a • −→c .
4 (r · −→a ) • −→b = r · (−→a • −→b ) = −→a • (r · −→b ).
5 0 · −→a = −→0 .
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Paralelismo de
Vetores
Independeˆncia
Linear
Comprimento
de um Vetor
Produto
Escalar
Aˆngulo entre
dois vetores
Aˆngulo entre dois vetores
Teorema
Se θ e´ o aˆngulo entre dois vetores na˜o nulos −→a e −→b , enta˜o
−→a • −→b = ∥∥−→a ∥∥ · ∥∥∥−→b ∥∥∥ Cos θ
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Vetores
Independeˆncia
Linear
Comprimento
de um Vetor
Produto
Escalar
Aˆngulo entre
dois vetores
Aˆngulo entre dois vetores
Teorema
Se θ e´ o aˆngulo entre dois vetores na˜o nulos −→a e −→b , enta˜o
−→a • −→b = ∥∥−→a ∥∥ · ∥∥∥−→b ∥∥∥ Cos θ
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Independeˆncia
Linear
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de um Vetor
Produto
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Aˆngulo entre
dois vetores
Aˆngulo entre dois vetores
Teorema
Se θ e´ o aˆngulo entre dois vetores na˜o nulos −→a e −→b ,
enta˜o
−→a • −→b = ∥∥−→a ∥∥ · ∥∥∥−→b ∥∥∥ Cos θ
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Independeˆncia
Linear
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de um Vetor
Produto
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Aˆngulo entre
dois vetores
Aˆngulo entre dois vetores
Teorema
Se θ e´ o aˆngulo entre dois vetores na˜o nulos −→a e −→b , enta˜o
−→a • −→b
=
∥∥−→a ∥∥ · ∥∥∥−→b ∥∥∥ Cos θ
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dois vetores
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Teorema
Se θ e´ o aˆngulo entre dois vetores na˜o nulos −→a e −→b , enta˜o
−→a • −→b = ∥∥−→a ∥∥ · ∥∥∥−→b ∥∥∥ Cos θ
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dois vetores
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Teorema
Se θ e´ o aˆngulo entre dois vetores na˜o nulos −→a e −→b , enta˜o
−→a • −→b = ∥∥−→a ∥∥ · ∥∥∥−→b ∥∥∥ Cos θ
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dois vetores
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Teorema
Se θ e´ o aˆngulo entre dois vetores na˜o nulos −→a e −→b , enta˜o
Cos θ =
−→a • −→b∥∥−→a ∥∥ · ∥∥∥−→b ∥∥∥
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dois vetores
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Teorema
Se θ e´ o aˆngulo entre dois vetores na˜o nulos −→a e −→b , enta˜o
Cos θ =
−→a • −→b∥∥−→a ∥∥ · ∥∥∥−→b ∥∥∥
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dois vetores
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Teorema
Se θ e´ o aˆngulo entre dois vetores na˜o nulos −→a e −→b ,
enta˜o
Cos θ =
−→a • −→b∥∥−→a ∥∥ · ∥∥∥−→b ∥∥∥
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dois vetores
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Teorema
Se θ e´ o aˆngulo entre dois vetores na˜o nulos −→ae −→b , enta˜o
Cos θ
=
−→a • −→b∥∥−→a ∥∥ · ∥∥∥−→b ∥∥∥
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dois vetores
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Teorema
Se θ e´ o aˆngulo entre dois vetores na˜o nulos −→a e −→b , enta˜o
Cos θ =
−→a • −→b∥∥−→a ∥∥ · ∥∥∥−→b ∥∥∥
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dois vetores
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Teorema
Se θ e´ o aˆngulo entre dois vetores na˜o nulos −→a e −→b , enta˜o
Cos θ =
−→a • −→b∥∥−→a ∥∥ · ∥∥∥−→b ∥∥∥
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Independeˆncia
Linear
Comprimento
de um Vetor
Produto
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Aˆngulo entre
dois vetores
Exemplo 1
Exemplo
Ache o aˆngulo entre os vetores −→a = (4,−3, 1) e−→
b = (−1,−2, 2).
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dois vetores
Exemplo 1
Exemplo
Ache o aˆngulo entre os vetores −→a = (4,−3, 1) e−→
b = (−1,−2, 2).
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Exemplo 1
Exemplo
Ache o aˆngulo entre os vetores −→a = (4,−3, 1) e−→
b = (−1,−2, 2).
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Exemplo 1
Exemplo
Ache o aˆngulo entre os vetores −→a = (4,−3, 1) e−→
b = (−1,−2, 2).
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Vetores
Independeˆncia
Linear
Comprimento
de um Vetor
Produto
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Aˆngulo entre
dois vetores
Exemplo 2
Exemplo
Prove que os vetores sa˜o ortogonais:
(A) −→a = (1, 0, 0) e −→b = (0,−1, 0).
(B) −→a = (3,−7, 2) e −→b = (10, 4,−1).
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dois vetores
Exemplo 2
Exemplo
Prove que os vetores sa˜o ortogonais:
(A) −→a = (1, 0, 0) e −→b = (0,−1, 0).
(B) −→a = (3,−7, 2) e −→b = (10, 4,−1).
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Exemplo
Prove que os vetores sa˜o ortogonais:
(A) −→a = (1, 0, 0) e −→b = (0,−1, 0).
(B) −→a = (3,−7, 2) e −→b = (10, 4,−1).
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dois vetores
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Prove que os vetores sa˜o ortogonais:
(A) −→a = (1, 0, 0) e −→b = (0,−1, 0).
(B) −→a = (3,−7, 2) e −→b = (10, 4,−1).
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Prove que os vetores sa˜o ortogonais:
(A) −→a = (1, 0, 0) e −→b = (0,−1, 0).
(B) −→a = (3,−7, 2) e −→b = (10, 4,−1).
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Prove que os vetores sa˜o ortogonais:
(A) −→a = (1, 0, 0) e −→b = (0,−1, 0).
(B) −→a = (3,−7, 2) e −→b = (10, 4,−1).
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