Aula 08 - Exercícios Círculo de Mohr

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Mecânica dos Sólidos 3
Professor Maurício P. Ferreira
Engenheiro Civil, M.Sc., D.Sc.
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil
• Exemplo 1: Para o elemento em estado plano de tensões indicado
abaixo: (a) construir o Círculo de Mohr; (b) determinar os planos de tensão
principal; (c) determinar a intensidade das tensões principais; (d) determinar
as tensões máximas de cisalhamento e as tensões normais correspondentes.
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• Exemplo 1:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
Ponto C
50 10
abscissa: 20MPa
2 2
ordenada: 0
Cálculo do Raio do Círculo de Mohr
50 20 30MPa
40MPa
30 40 50MPa
x y
méd
xy
R CX CF FX
CF
FX
R
σ σ
σ
τ
+ + −
= = =
=
= = +
= − =
=
= + =
(a) Construção do Circulo de Mohr
50 MPa ; 10 MPa ; 40 MPax y xyσ σ τ= = − =
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• Exemplo 1:
(b) Planos de Tensão Principal
50 MPa ; 10 MPa ; 40 MPax y xyσ σ τ= = − =
( ) ( )2
1
40
tan 2 1,33
30
2 2 4 1,33 1,33 2 3,33
tan
2 1,33 2,67
26,6
p
P
P
FX
CF
θ
θ
θ
= = =
− ± − ⋅ ⋅− − ±
= =
⋅
= °
sabendo-se que:
30MPa
40MPa
CF
FX
 =

=
X
Y
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• Exemplo 1: 50 MPa ; 10 MPa ; 40 MPax y xyσ σ τ= = − =
(c) Tensões Principais
max 20 50médOA OC CA Rσ σ= = + = + = +
max 70MPaσ =
min 20 50médOB OC BC Rσ σ= = − = − = −
min 30MPaσ = −
sabendo-se que:
30MPa
40MPa
50MPa
CF
FX
R
 =

=
 =
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• Exemplo 1: 50 MPa ; 10 MPa ; 40 MPax y xyσ σ τ= = − =
1
sabendo-se que:
26,6
50MPa
P
R
θ = °

=
1 45 26,6 45S Pθ θ= + ° = °+ °
71,6sθ = °
max Rτ =
max 50 MPaτ =
médσ σ′ =
 20 MPaσ ′ =
(d) Cisalhamento Máximo
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• Exemplo 2: Para o elemento em estado plano de tensões indicado
abaixo, determine: (a) o plano e a intensidade das tensões principais; (b) as
componentes de tensão do elemento se ele for girado 30º no sentido anti-
horário.
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• Exemplo 2:
(a) Plano e intensidade das tensões principais
100 MPa ; 60 MPa ; 48 MPax y xyσ σ τ= = = −
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
Ponto C
100 60
abscissa: 80MPa
2 2
ordenada: 0
Cálculo do Raio do Círculo de Mohr
100 80 20MPa
48MPa
20 48 52MPa
x y
méd
xy
x méd
R CX CF FX
CF
FX
R
σ σ
σ
τ
σ σ
+ +
= = =
=
= = +
= − = − =
=
= + =
X
Y
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• Exemplo 2:
(a) Plano e intensidade das tensões principais
100 MPa ; 60 MPa ; 48 MPax y xyσ σ τ= = = −
( ) ( )2
1
48
tan 2 2,4
20
2 2 4 2,4 2,4 2 5,2
tan
2 2,4 4,8
33,7
p
P
P
FX
CF
θ
θ
θ
= = =
− ± − ⋅ ⋅− − ±
= =
⋅
= °
sabendo-se que:
20MPa
48MPa
CF
FX
 =

=
max
max 80 52méd
OA OC CA
R
σ
σ σ
= = +
= + = +
max 132MPaσ =
min
min 80 52méd
OB OC BC
R
σ
σ σ
= = −
= − = −
min 28MPaσ =
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• Exemplo 2:
(b) as componentes de tensão do elemento se 
ele for girado 30º no sentido anti-horário
100 MPa ; 60 MPa ; 48 MPax y xyσ σ τ= = = −
1180 2 2
180 60 67.4 52.6
cos 80 52cos52.6
48,4 MPa
cos 80 52cos52.6
111,6 MPa
sin 52sin52.6
41,3 MPa
P
x
x méd
x
y
y méd
y
x y
x y
OK OC KC
R
OL OC CL
R
KX R
φ θ θ
φ φ
σ
σ σ φ
σ
σ
σ σ φ
σ
τ φ
τ
′
′
′
′
′
′
′ ′
′ ′
= °− ⋅ − ⋅
= °− °− ° ∴ = °
= = −
= − ⋅ = − °
=
= = +
= + ⋅ = + °
=
′= = ⋅ = °
=
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• Exemplo 3: Uma força axial de 900 N e um torque de 2,50 N·m estão
aplicados ao eixo mostrado na Figura abaixo. Supondo que o eixo tenha um
diâmetro de 40 mm, determinar as tensões principais no ponto P de sua
superfície.
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• Exemplo 3:
(a) Componentes de Tensão
( ) ( )
( )
2
4
1
2
900
716,2 kPa
40
4
2500 20
198,9 kPa
20
y
xy
P
A
Tc
J
σ
π
τ
π
= + = + = +
⋅
⋅
= + = + =
⋅
(b) Construção do círculo de Mohr
0 716,2
358,1 kPa
2 2
x y
méd
σ σ
σ
+ +
= = =
( ) ( )
2 2
2 20 716,2
198,9
2 2
409,7 kPa
x y
xyR
R
σ σ
τ
−  − = + = +   
  
=
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• Exemplo 3:
(c) Tensões Principais
min
min
min
358,1 409,7
51,5 kPa
méd
DO OC DC
R
σ
σ σ
σ
= = −
= − = −
= −
A
max
max
max
358,1 409,7
767,8 kPa
méd
OB OC CB
R
σ
σ σ
σ
= = +
= + = +
= +
( ) ( )
2
2
2
2
198,9
tan 2 0,555
358,1
2 2 4 0,555 0,555 2 2,29
tan
2 0,555 1,11
14,5
P
P
P
OA
OC
θ
θ
θ
= = =
− ± − ⋅ ⋅− − ±
= =
⋅
= °