Lista exercícios Proposições e Demonstrações

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Curso: Superior em Ciência da Computação 
Unidade Curricular: Matemática Discreta Ano/Período: 2015/2º 
Tipo de Atividade: Lista de exercícios – Professor NAHASS 
Proposições e Demonstrações. 
 
 
1-) Considerando o sistema cartesiano ortogonal XoY , demonstre de forma direta, utilizando o teorema de Pitágoras, 
que a distância entre dois pontos quaisquer A = (xA, yA) e B = (xB, yB) , conhecidos, é dada pela fórmula: 
 𝑑(𝐴𝐵) = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)
2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)
2. 
 
2-) Demonstre o seguinte teorema: “Se x é um número positivo, então 𝑥 +
1
𝑥
 ≥ 2” – Sugestão: Tente primeiro por 
absurdo. 
 
3-) Numa cesta encontram-se 9 moedas idênticas, sendo que 8 delas têm o mesmo peso e uma delas é mais leve. 
Mostre que usando somente duas vezes uma balança de dois pratos, você consegue encontrar a moeda mais leve. 
(Se você não sabe o que é uma balança de dois pratos, faça uma pesquisa; elas praticamente não são mais usadas). 
 
4-) Prove que qualquer quadrado perfeito de um número natural maior que 1 ou é da forma 4K ou da forma 4K + 1. 
 
5-) Prove que o quadrado de um número ímpar é sempre um número ímpar. 
 
6-) Prove que se um quadrado perfeito é ímpar então o número que o originou também é ímpar. 
 
7-) Prove que o resto da divisão de qualquer número natural por 10 é o algarismo das unidades deste número. 
(sugestão: decomponha o número em potências de base 10, por exemplo: 2 435 = 2.103 + 4.102 + 3.101 + 5.100 , e 
em seguida, generalize). 
 
8-) Prove que log 4 é um número irracional. (Faça por absurdo). 
 
9-) Prove que √5 é um número irracional. (faça por absurdo). 
 
10-) Considerando a fórmula resolutiva para uma equação do segundo grau do tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 , onde 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 𝑒 𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 , demonstre de forma direta as relações de Girard: 𝑥′ + 𝑥" = −
𝑏
𝑎
 𝑒 𝑥′. 𝑥" =
𝑐
𝑎
. 
 
11-) Prove que o número: 545 362 – 7 não é divisível por 5. 
 
12-) Prove a soma de números que possuem paridades diferentes sempre é um número ímpar. 
 
13-) Prove que a soma de números que possuem a mesma paridade sempre é um número par. 
 
14-) Considere os conjuntos abaixo: 
F = conjunto de todos os filósofos; 
M = conjunto de todos os matemáticos; 
C = conjunto de todos os cientistas; 
P = conjunto de todos os professores. 
Lembre-se que: 
⊂ “está contido” ; ⊄ “não está contido” ; ∈ “pertence” ; ∉ “não pertence”; U “união” ; ∩ “intersecção”; – “diferença” e ∅ “vazio” 
Exprima cada uma das afirmações abaixo usando a linguagem de conjuntos: 
1-) Todos os matemáticos são cientistas; 
2-) Alguns matemáticos são professores; 
3-) Alguns cientistas são filósofos; 
4-) Todos os filósofos são cientistas ou professores; 
5-) Nem todo professor é cientista; 
6-) Alguns matemáticos são filósofos; 
7-) Nem todo filósofo é cientista; 
8-) Alguns filósofos são professores; 
9-) Se um filósofo não é matemático, ele é professor; 
10-) Alguns filósofos são matemáticos. 
 
15-) MOSTRE (não é demonstre) para pelo menos os oito primeiros números que satisfazem a condição que: 
a) 2𝑛 + 1 ≤ 2𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑜𝑢 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 2. 
b) 𝑛2 < 2𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑜𝑢 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 5. 
c) Para os itens (a) e (b) é possível fazer uma demonstração direta, contra positiva ou por absurdo, de que a 
desigualdade é sempre verdadeira para qualquer número natural que satisfaça a condição imposta? 
Justifique.